二次函数新定义与综合阅读专题复习讲义2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数新定义与综合阅读 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 读清题目给定的对象、条件和范围，把陌生名称还原成坐标关系、方程或图形。所用定义在各题中重新写明，不要求额外记忆名称。 一、把题中定义写成坐标关系 2 二、先确定对应点，再检验图像条件 5 三、按规定的表达式确定对应关系 8 四、两个输入都要符合规定的范围 9 五、含绝对值的定义分清正负两种情况 12 六、按定义分段选用表达式 15 七、按定义确定一段图像的取值范围 18 八、从点的条件找出整幅图形 20 九、把角度条件转化为边长关系 24 A、基础通关 27 B、难点突破 29 C、综合进阶 31 D、中考真题精选 35 一、把题中定义写成坐标关系 题目临时规定的名称只在该题中使用，不是需要另外背诵的教材概念。先找到定义中对点的坐标、所在图像和取值范围的规定，再把这些规定放在一起。 把坐标条件对应到平面上的点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 横、纵坐标相等 是否在给定曲线上 横、纵坐标之和为 所有交点是否符合范围 横坐标为正 边界不计 例如点的横、纵坐标之和为某个数，可以写成两坐标相等写成若点还在抛物线上，就要同时满足抛物线的表达式。 定义中有两个条件，不能只检验其中一个。求出横坐标以后还要算出纵坐标；题目问点的个数时，应检查候选点是否重合、是否属于指定象限或区间。 交点图可以帮助理解条件：抛物线上的点再满足一个一次关系，相当于同时在一条直线上。计算以题目中的等式为准，不能只凭示意图判断有几个点。 如：点满足则在直线上。点满足这一关系；是否还属于指定的抛物线，需要再代入检验。 图中满足坐标之和为 例1、若点的横、纵坐标相等，则称为本题的“等坐标点”。求抛物线上的所有等坐标点。 【解析】按定义有与抛物线联立得即 因此或分别得到两点均满足两坐标相等和抛物线表达式，故全部保留。 解析图将这两个点分别记作 变式1-1、若点的横、纵坐标之和为则称该点为本题的“指定点”。抛物线上的指定点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】由得所以对应共个，选C。 变式1-2、若点满足则称为本题的“指定点”。抛物线上位于第一象限的指定点的坐标为________。 【解析】联立得解得或对应的点为仅位于第一象限，故填 变式1-3、若点满足则称为本题的“指定点”。抛物线上恰有一个指定点，求的值及该点的坐标。 【解析】由及抛物线得当时无点，时只有时有两个不同的横坐标。 因此该点为 二、先确定对应点，再检验图像条件 题目给出两个点的对应规则时，先用第一个点的坐标写出第二个点，再分别代入各自所在图像。对应点不一定在同一条曲线上，两个点的活动范围也不一定相同。 同一个点按不同规则得到不同的对应点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 关于原点对称 两个坐标一起变号 关于轴对称 横坐标不变 交换坐标 是否要求两点不重合 关于原点对称，两个坐标都变号；关于轴对称，只改变纵坐标的符号；交换横、纵坐标，则新点的横坐标是原来的纵坐标。这些规则不能混用。 若题目允许两点重合，原点或横、纵坐标相等的点有时可以保留；若明确要求两个不重合的点，必须排除相应情况。约去含未知量的因式前，先检查该因式等于零时是否符合题意。 交换坐标后仍在同一条抛物线上，可设两个坐标为保留两个对称的等式。把它们相减常能消去部分项，不必立即把一个式子完整代入另一个式子而展开四次式。 若定义给出两个平方的和等于两个平方都必须为先把这两个等式写出来，就能看出它实际规定了怎样的坐标对应；这比直接展开所有平方更清楚。 如：关于原点的对称点为交换坐标后的点为两种对应规则得到的点不同。 例2、点在抛物线上，点在直线上，且关于原点对称（允许两点重合）。求所有点的坐标。 【解析】设则由在上，得即 当时，点均为两点重合，题目允许重合，保留；当时，两组均满足对称和所在图像的条件。 变式2-1、点在抛物线上，点在直线上，且关于轴对称。若不重合，则的坐标为________。 【解析】设代入直线得即 时两点均为不合条件；时故填 变式2-2、点在抛物线上，将其横、纵坐标交换得到点若也在该抛物线上，且不重合，求点的所有坐标。 【解析】有及两式相减，整理得 因为两点不重合，所以从而代入得解得 故或两点交换坐标后恰为对方，代回两个式子均成立。 变式2-3、点在抛物线上，点与关于原点对称（允许两点重合）。若也在抛物线上，则这样的点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 【解析】设则由在曲线上得所以仅有原点，共个，选B。 三、按规定的表达式确定对应关系 有些阅读题用抛物线的系数或顶点坐标规定另一条图像。先看清题目使用一般式还是顶点式，再把抛物线写成题目要求的形式，不能随意替换符号。 先认清顶点式参数，再执行题中规定。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 原式不是顶点式 先配方写成 对应规则中的参数不变 已知对应直线 比较的系数及常数项 其余条件是否足够 求两图像交点 令两个表达式相等 保留所有不同交点 例如本单元把对应到这里的都来自顶点式；这个规定只在本题中使用，不是教材中抛物线与直线的固定对应法则。 若规则不是直接给新表达式，而是先平移某个点、再规定另一点的坐标，也按顺序逐步执行。先确定抛物线的对称轴及系数，再写出新点；最后才由两点求直线。题目没有规定的点，不自行假定在抛物线上。 反过来由直线求抛物线时，一条直线通常不能单独确定三个数先比较系数得到两个关系，再利用经过某点、顶点位置等其余条件，找全可能的抛物线。 需要求两图像的交点时，令两个纵坐标表达式相等。本单元的规则使可以作为整体处理；相同部分消去后，计算往往比先全部展开更简单。 如：按上述规定对应到不能把展开式中的直接换成 图中为抛物线顶点。 例3、规定：抛物线（对应的直线为某抛物线对应的直线为且该抛物线经过求该抛物线的所有可能的表达式。 【解析】比较直线系数得所以 代入得即 当时当时故或两式均经过给定点且对应直线相同。 变式3-1、规定：抛物线（对应的直线为抛物线对应的直线为________。 【解析】配方得故对应直线为 变式3-2、规定：抛物线（对应的直线为若某抛物线的顶点在轴上，对应直线为求抛物线的表达式及其与对应直线的交点坐标。 【解析】顶点在轴上，所以比较直线系数得故抛物线为 令得到或故交点为 变式3-3、规定：抛物线（对应的直线为抛物线与对应直线的两个交点间的距离为且抛物线的顶点为求抛物线的表达式。 【解析】顶点给出联立得因为所以或两交点为 由勾股定理，交点距离的平方为故或所求为或 四、两个输入都要符合规定的范围 把函数在处的值简写为表示将代入函数表达式计算，并不是与相乘。题中用规定一个量时，应分别计算两个函数值，然后相减。 两个输入的横坐标都要落在规定范围内。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 两个输入为 两输入范围取共同部分 移项后端点方向 求有方向的差 结果可以是负数 求差的大小 零点与两端都要看 如果原函数只在给定范围内讨论，那么和必须同时处在该范围内。先把两个范围条件联立，再化简式子，可以避免把没有规定的函数值也代入。 定义中的差有正负，不一定是线段长度。若题目要的是两个函数值相差的大小，就要取绝对值；不能在计算中自行把有方向的差改成非负数。 若两个输入为和确定范围时要使用题目给定的化简以后即使得到一次式，也不能把它的适用范围擅自扩大到全体实数。 如：且计算需要在此范围内，该差为 图中的横坐标相差两个输入均属于原范围。 例4、已知其中当与都在这一范围内时，记 （1）求的表达式及的取值范围；（2）求的最大值和最小值。 【解析】（1）同时满足和得展开相减得 （2）随增大而增大；在时最小值为在时最大值为 变式4-1、已知其中当与都在这一范围内时，记下列正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】两个输入均合法要求且合得又故选B。 变式4-2、已知其中当与都在这一范围内时，的最小值为________。 【解析】输入范围给出故绝对值在时取得最小值 变式4-3、已知（，其中当与都在这一范围内时，记 已知求及时的取值范围。 【解析】化简得其输入范围为 由得故 此时由得还须符合输入范围，所以 五、含绝对值的定义分清正负两种情况 定义中出现绝对值，先看它表示两个坐标相差的大小，还是两个距离的和。不能去掉绝对值后只保留正的一种情况。 坐标绝对值之和与直线距离不是同一个量。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 分为两条直线 两种符号均需考虑 按象限去绝对值 坐标轴上重复点合并 规定新的距离计算式 直接按题中公式计算 不自行套普通距离公式 例如且可以分为和点在抛物线上时，分别求与两条直线的交点，再合并结果。两条直线平行且不同，不会出现同一个点被两条线重复计数。 若规定就要依据所在象限写出相应的式子。图像关于坐标轴对称时，可先计算一侧，再补出对应点；但落在坐标轴上的点只计一次。 有些题规定的新量不是通常的线段长度。按题中公式计算即可，不能把两个坐标差的绝对值之和当成两点间的直线距离。 如：点满足但它到原点的距离为这两个量不能混用。 图中是在坐标轴上的投影，表示通常的直线距离。 例5、对于点规定时，称为本题的“平衡点”。 求抛物线上的平衡点坐标。 【解析】分为或前式为得或 后式没有实数解。因此平衡点为 变式5-1、规定满足的点为本题的“指定点”。 抛物线上的指定点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】因为所以令得保留因此有两个点，选C。 变式5-2、规定点满足时为本题的“指定点”。抛物线上恰有三个指定点，则________。 【解析】条件化为即或 当时两式各两点，共四点；时第一式有两点、第二式只有共三点；时两点；时一点；时无点。故 变式5-3、对于点规定点在抛物线上。（1）求时点的所有坐标；（2）求的最小值。 【解析】令则当时，当时， （1）第一段令得或第二段令只保留所以 （2）第一段第二段故最小值为在上述三点取得。 六、按定义分段选用表达式 阅读题可能根据的正负或大小，规定不同的计算式。先确定每个输入落在哪一段，再代入相应的式子。一个式子不能用于整条图像。 分段点两侧按各自的表达式作图。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 两个输入均在左段 两个值均用左段式 边界点用哪一段 两个输入分居两段 分别代入后再作差 不能只看第一个输入 两个输入均在右段 两个值均用右段式 最后比较各段结果 比较与对应的函数值时，两者可能分别落在不同的段。以分段点为例，应考虑在边界上按照题目给定的等号归属计算。 各段分别求得最小值之后，还需要把这些结果比较，才能得到全范围的最小值。若某段不包含端点，只能无限接近的值不能直接当作已经取得。 固定间隔的两个输入与任意两个输入不是同一个条件。本单元只按题目规定的间隔计算，不据此额外断言整个函数的增减。 如：（，（，则代入负数时，不能漏掉该段表达式最前面的负号。 例6、规定（，（。记求的最小值及取得该值时的值。 【解析】当时，时也符合这个式子。 当时，最小值为在取得。 当时，比较可知全范围最小值为对应 变式6-1、规定（，（。则________。 【解析】故故所以差为 变式6-2、规定（，（。 求方程的全部实数解。 【解析】时，差为得符合条件。 时，差为得符合条件。 时，差为此时所以差小于不能等于故只有 变式6-3、已知规定（，（。若对所有实数均有求应满足的条件。 【解析】时差为时差为 时差为在时取得因为它小于所以是全范围最小值。 原条件等价于故且此时各段的差均非负，符合原条件。 七、按定义确定一段图像的取值范围 如果题目用一段图像的最高点、最低点或全部函数值来规定新量，先画出或想清这段抛物线，再根据顶点是否位于区间内确定最大值、最小值。 在限定的图像范围内比较最高点与最低点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 区间含顶点 顶点给出一个最值，另一最值看端点 两端离轴远近 区间在对称轴一侧 比较两个端点 开口方向决定增减 到轴的距离 纵坐标取绝对值 负纵坐标不能作长度 “所有函数值都在某范围内”与“函数值恰好取遍该范围”不同。后者不仅不能越界，还要取得上下端点。对于连续的一段抛物线，确定实际的最小值和最大值，就确定了全部取值范围。 定义涉及点到轴的距离时，应取纵坐标的绝对值。最高点的纵坐标较大，不代表它到轴的距离一定较大，尤其是整段在轴下方时。 横坐标区间移动时，先比较它与对称轴的位置。端点离对称轴的远近决定哪个端点的函数值更大；不要固定把右端点当成最大值。 如果题目用一段抛物线的上下、左右边界确定矩形，那么矩形的宽是横坐标区间的长度，高是最大函数值与最小函数值之差。先分别求出宽和高，再按题目要求计算周长或面积；区间变化时，高的表达式也可能分段变化。 如：在内的最小值为最大值为最高点与最低点到轴的距离分别为不能直接把两纵坐标相加当距离和。 例7、对于抛物线在指定横坐标范围内的一段图像，规定这段图像的最大函数值与最小函数值之差为已知 （1）求时的（2）若且时求 第（1）问示意图。 【解析】（1）顶点在范围内，最小值为两端函数值分别为最大值为故 （2）区间在对称轴右侧，函数随增大而增大。最小值为最大值为令得或根据取 变式7-1、规定一段抛物线图像最高点与最低点到轴的距离之和为对于在内的一段图像，为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】最低点纵坐标为最高点纵坐标为两距离分别为所以选D。 变式7-2、对于若取遍时，且恰好取遍 则的值为________。 【解析】因为函数值非负，两个范围完全相同要求此时递增，故前式给或后式给或共同值为代回符合条件。 变式7-3、对于抛物线在内的一段图像，规定最大函数值与最小函数值之差为求时的所有值。 【解析】当时，得到 当时，得到 当时，区间含顶点，最小值为两个端点的绝对值都小于所以最大值小于不能满足。故或 八、从点的条件找出整幅图形 定义有时不是求一个点，而是把所有满足条件的点放在一起组成图形。先固定一个位置求清点在哪里，再让该位置变化，检查最后得到的是几个点、一条线段还是几部分组成的图形。 同一直线上，线段内外的距离和计算不同。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 在线段上 两端点是否允许 在延长线上 分别写两段正长度再相加 点不必在抛物线上 把所有点组成图形 各部分范围分别写清 共用端点去重 点在直线上，不等于在抛物线上。即使是直线与抛物线的交点，也不能自动把代入抛物线表达式。 当在线段上时，在延长线上时，距离和大于沿同一条直线讨论距离和，分清线段内外，通常不需要开方列复杂方程。 由不同部分拼成图形时，公共端点只算一次。原定义要求两个不重合的交点，就必须保留这一限制；图上画出的某个端点若不符合定义，要明确排除。 如：在直线上。距离和对应整条线段距离和为则只对应 图中对应距离和为的两个位置。 例8、直线与抛物线交于两个不重合的点点在直线上且满足让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把所有这样的点组成的图形记为求图形上点的坐标所满足的条件。 【解析】两个不重合的交点要求设 若点在线段内，距离和为若距离和为所以距离和为等价于并且或 因此有三部分：且且且上方两个公共端点只计一次，下方的不包括在内。 变式8-1、直线与抛物线交于点在直线上。 满足的点共有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 【解析】线段内距离和等于线段外大于不能等于故个，选A。 变式8-2、直线与抛物线交于两个不重合的点点同时在直线和直线上，且则的坐标为________。 【解析】设距离和为与中较大的数。 它等于要求且至少一个取等号。不满足第二条件；或中仅合法。因此 变式8-3、直线与抛物线交于两个不重合的点让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把直线上所有满足的点组成的图形记为求直线与的公共点个数随变化的情况。 【解析】按定义，包含三部分：且的两条竖直线段，以及且的上方线段。 与左边的交点为有效条件与右边的交点为有效条件与上边的交点为有效条件 时右边与上边相交于同一个角点，只计一次；时左边与上边相交于同一个角点，只计一次。 因此或时个；或时个；时个。 九、把角度条件转化为边长关系 题中用抛物线顶点与同一水平线上的两个交点组成一个角时，先利用抛物线的对称性。两个交点关于对称轴对称，它们到顶点的距离相等，所成三角形是等腰三角形。 利用等腰三角形的高，把顶角分成两个锐角。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 对称轴与水平线相交 垂足是底边中点 先确认两个交点不同 顶角为 用底边的一半，不用整边 水平线在顶点下方 距离不能取负值 设顶点为水平线交抛物线于在左侧。过作垂直于垂足是的中点，且平分顶角。若整个顶角为则直角三角形中这里用的是等腰三角形性质和正切定义，不需要三角函数倍角公式。 对于水平线为两个不重合的交点要求顶点到水平线的距离为是线段长度的一半；代入曲线得到 计算顺序通常是：由角确定与的比，再利用曲线表达式求长度或参数。开口向上时交线在顶点上方，开口向下时在顶点下方；距离必须为正。 比较两个锐角时，可以比较它们的正切值；锐角越大，正切值越大。使用这一性质前要确认比较的是等腰三角形顶角的一半，确实都是锐角，不可直接把整个顶角套入同一个比值。 如：等腰三角形的顶角为从顶点向底边作高，若高为底边长为则不是 例9、抛物线的顶点为水平直线与该抛物线交于两个不重合的点点在点左侧。若求及点的坐标。 【解析】顶点为设垂足为则由对称性有并且所以 两个交点不同且开口向上，故于是代入曲线得又所以 舍去得所以此时所以由对称性得符合条件。 变式9-1、抛物线的顶点为直线与它交于两个不重合的点若且则________。 【解析】顶点为到轴距离为由对称性和正切定义，线段的一半为右交点为 代入得所以开口向下，确有两个不同的轴交点。 变式9-2、抛物线的顶点为直线与其交于两个不重合的点求使的的取值范围。 【解析】两个交点要求右交点为过作于则 令其中由对称性， 等价于从而得到 变式9-3、水平直线分别与抛物线交于两组不同点和点各在同组另一点的左侧。两抛物线顶点分别为若且求 【解析】两条抛物线都须有两个不重合的交点，所以由对称性，第一组的底边一半为高为第二组的底边一半为高为 因此按条件得两边均为正，平方得到 故属于且代回原正切比为符合条件。 A、基础通关 1、规定满足的点为本题的“指定点”。 抛物线上的指定点是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】既需又需选项中满足两个式子，选C。 2、已知其中若与都在此范围内，则的范围是________。 【解析】由得与原范围合并得 3、规定：抛物线对应的直线为 抛物线对应的直线为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】本题规定使用并没有使用所以对应直线为选A。 4、点在抛物线上，将其横、纵坐标同时变为原来的倍得到点若的横坐标为则的坐标为________。 【解析】两个坐标分别乘所以不一定还在原抛物线上，不可把直接代入原曲线求的纵坐标。 5、规定其中在抛物线上。当时，等于（ ）。 A． B． C． D． 【解析】故选C。 6、规定一段抛物线的最大函数值与最小函数值之差为 对于在内的一段图像，求的值。 【解析】配方得顶点在范围内，最大值为端点函数值为故最小值为所以 7、规定（，（。方程的解为________。 【解析】时无解；时只保留 8、直线与抛物线交于点在直线上。 求时点的全部坐标。 【解析】线段内距离和为不满足。设在线段外，距离和为 令得故 B、难点突破 1、若点的横、纵坐标相等，则称它为本题的“等坐标点”。求抛物线在第一象限内恰有两个等坐标点时的取值范围。 【解析】按定义令得到第一象限还要求 方程有两个不同实根要求即两根为和 较大的根为正；较小的根为正等价于即因此端点会出现原点，只有一个点，均不计。 2、点在抛物线上，且点在直线上。若恰有一组关于原点对称的点（允许重合），则的取值范围为________。 【解析】设则代入直线得 在上该值由增至在上由减至故或时恰有一个对应不能保留。 3、点在抛物线上，交换横、纵坐标得到点若在直线上，则这样的点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 【解析】在直线上给出代入得其判别式无点，选A。 4、规定：抛物线对应的直线为某抛物线对应的直线为且顶点在直线上，求抛物线的表达式。 【解析】由对应直线得即顶点在另一条直线上，故 联立得所以代回对应直线为符合。 5、规定点满足时为本题的“指定点”。若抛物线上恰有两个指定点，求的取值范围。 【解析】条件为即或两式右端相差所得点不重合。 时共四点；时三点；时第一式两点、第二式无点；时一点；时无点。因此 6、已知规定若则________。 【解析】令得所以原函数未限制输入，两值均保留。 7、规定（，（。 方程的实数解个数为（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】两输入在同一侧时差不小于不能等于在时，差为 方程给出两根均在内，共个，选C。 8、已知（，对于所有实数有又知（1）求（2）规定满足且时为本题的“指定点”，求所有指定点坐标。 【解析】（1）左边为比较系数得得所以 （2）联立与得从而故只有 C、综合进阶 1、规定：抛物线对应的直线为两图像交于其中是抛物线顶点。若顶点在直线上，且抛物线经过原点， 求抛物线的所有可能的表达式。 【解析】联立并约去得所以由距离得即 顶点在上，故过原点给出所以或 分别得到四式均满足全部条件。 2、规定一段抛物线最高点与最低点到轴的距离之和为对于在内的一段图像，（1）用含的式子表示（2）求时的所有值。 示意图。 【解析】最低点纵坐标为最高点纵坐标为所以 当时当时两式在处均为 令第一段得取第二段得取两值均符合对应范围。 3、点在抛物线上，交换横、纵坐标得到点若要求也在该抛物线上且与不重合，则存在这样的点时，的取值范围是（ ）。 A． B．或 C．或 D． 【解析】两点在曲线上给出相减整理得两点不重合，所以从而 代入得到其判别式为 判别式为正时有两个不同根；若其中一个满足它应是二次方程的对称轴处根，只可能是重根，矛盾。因此两根均符合两点不重合的要求。判别式为零时恰有应排除；负时没有点。 所以解得或选C。 4、规定点满足时为本题的“指定点”，其中求抛物线上恰有六个指定点时的取值范围。 【解析】设条件为时左边为时为随增大而增大且从开始。 当时，第一段有两个不同且位于内的第二段有一个每个正对应两个共六点。 无点；时仅三点；时第一段仅一个第二段一个共四点；仅第二段两点。故所求为 5、已知（，若对于每一个都有则的取值范围为________。 【解析】取得所以又乘积为 取必须有若它成立，则在内原条件也成立。故化为再排除答案或 6、已知自变量取遍 （1）若所有函数值都在内，求的取值范围； （2）若所有函数值都在内，求的全部值。 【解析】（1）由得整个区间都在其中，需且所以这里并未要求函数值取遍整个 （2）由得所以或 区间连续且长度为不能跨过中间不符合条件的部分，只能恰好为或故或 7、直线与抛物线交于两个不重合的点让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把直线上所有满足的点组成的图形记为直线与恰有两个公共点时，应满足（ ）。 A． B． C． D． 【解析】为的两竖直线段与的上方线段。图形关于轴对称，只需先看 上边交点横坐标有效条件左边交点纵坐标有效条件右边不相交。时两交点重合为一个角点。 故时有两点。合并负得选C。 8、对于抛物线上的两个点规定且时，为本题的一组对应点。（1）当时，求所有点的坐标；（2）求抛物线上存在这样一组对应点时的取值范围。 【解析】两个平方均非负而和为所以设则并且 两点在抛物线上，故消去整理得由得 代入得到（1）时，或所以两点按规则恰互相对应。 （2）若判别式有两个不同实根，且均不为因此若判别式等于只能得到不满足定义；小于时无点。故 D、中考真题精选 1、（2026年江苏镇江中考第25题）如图，我们将经过点且垂直于轴的直线记作“直线”。如果它与二次函数（为常数，且的图象（顶点记为有两个公共点，记为（点在点的左侧），我们称直线为该二次函数图象的截线。 已知二次函数 （1）顶点的坐标为________。 （2）直线（即轴）是该二次函数图象的截线。若 求点的坐标以及的值。 （3）直线是二次函数图象的截线。 ①已知求的值； ②已知用含的代数式表示（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图象的截线，当时， 请直接写出的取值范围。 【解析】（1） （2）过作于由抛物线的对称性，平分所以代入得 （3）①开口向下，设由得故代入抛物线得所以 ②设由得将代入抛物线得因所以 ③若两抛物线分别位于与不存在题意中的公共截线。因此且 由抛物线的对称性和正切定义，两角都是锐角，故等价于得综上， 2、（2026年河南中考第22题）定义：若点在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大则称点是点的“黄金搭档点”。例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”。 （1）点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为求的值。 （2）点在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”。 ①若点的纵坐标相等，求点的横坐标。 ②抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象设点的横坐标为当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为请直接写出的值。 【解析】（1）由定义得代入得再代入得所以 （2）①抛物线为对称轴为设横坐标为则横坐标为两点纵坐标相等，故得 ②横坐标分别为因比离对称轴更远，故最高点始终为其纵坐标为 当时，顶点在图象上，最低点到轴的距离为于是得或结合范围，得或两值均符合。 当时，最低点为在轴下方，在轴上方，距离之和为令得不在本范围内，舍去。 综上，或 3、（2025年湖南长沙中考第24题）我们约定：当满足且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”。（ ） （2）若关于的一次函数与（都是常数，且均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于的二次函数是“对偶函数”，求实数的取值范围。 【解析】由定义中两个平方的和为得因此一对点可记为且 （1）①正确。若则去掉可能满足的点后，仍有无数对。 ②正确。若两点都在上，则解得但不符合定义。 ③错误。由与相减整理得因故代入得所以只有与这一对“对偶点”。 （2）设都在直线上，则两式相减得由得同理 两直线分别为与坐标轴围成两个等腰直角三角形。两面积依次为所求面积和为 （3）设对偶点为由及得因所以 将代入得判别式为若则不符合因此必须即 反过来，当时，上述方程有两个不同实数根且令可得与均在抛物线上，且符合定义。故 4、（2025年湖北中考第24题）抛物线与轴相交于点和点与轴相交于点是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为 （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为求的值； 左图为图1，右图为备用图。 （3）定义：抛物线上两点之间的部分叫做抛物线弧（含端点和。过分别作轴的垂线过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形。若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为 ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点点与点不重合。记抛物线弧的特征矩形的周长为若直接写出的长。 【解析】（1）将代入，得所以抛物线为故 （2）因为所以故 （3）①点在第四象限，故特征矩形的宽为高为弧上最高点与最低点的纵坐标之差。 当时，最高点为最低点为高为由此得到 当时，最高点为最低点为高为所以 当时，最高点为最低点为高为所以 ②时，点与点重合，不符合题意；时水平线经过顶点，不能得到另一个交点以下分别讨论其余范围。 由对称性，的横坐标为所以当时，的横坐标在与之间，由得所以 当时，的横坐标在与之间，同样得所以 当时，在轴左侧。弧上最高点为最低点为宽为高为所以由得因此或 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数新定义与综合阅读 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 读清题目给定的对象、条件和范围，把陌生名称还原成坐标关系、方程或图形。所用定义在各题中重新写明，不要求额外记忆名称。 一、把题中定义写成坐标关系 2 二、先确定对应点，再检验图像条件 5 三、按规定的表达式确定对应关系 8 四、两个输入都要符合规定的范围 9 五、含绝对值的定义分清正负两种情况 12 六、按定义分段选用表达式 14 七、按定义确定一段图像的取值范围 17 八、从点的条件找出整幅图形 19 九、把角度条件转化为边长关系 22 A、基础通关 25 B、难点突破 27 C、综合进阶 28 D、中考真题精选 31 一、把题中定义写成坐标关系 题目临时规定的名称只在该题中使用，不是需要另外背诵的教材概念。先找到定义中对点的坐标、所在图像和取值范围的规定，再把这些规定放在一起。 把坐标条件对应到平面上的点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 横、纵坐标相等 是否在给定曲线上 横、纵坐标之和为 所有交点是否符合范围 横坐标为正 边界不计 例如点的横、纵坐标之和为某个数，可以写成两坐标相等写成若点还在抛物线上，就要同时满足抛物线的表达式。 定义中有两个条件，不能只检验其中一个。求出横坐标以后还要算出纵坐标；题目问点的个数时，应检查候选点是否重合、是否属于指定象限或区间。 交点图可以帮助理解条件：抛物线上的点再满足一个一次关系，相当于同时在一条直线上。计算以题目中的等式为准，不能只凭示意图判断有几个点。 如：点满足则在直线上。点满足这一关系；是否还属于指定的抛物线，需要再代入检验。 图中满足坐标之和为 例1、若点的横、纵坐标相等，则称为本题的“等坐标点”。求抛物线上的所有等坐标点。 变式1-1、若点的横、纵坐标之和为则称该点为本题的“指定点”。抛物线上的指定点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 变式1-2、若点满足则称为本题的“指定点”。抛物线上位于第一象限的指定点的坐标为________。 变式1-3、若点满足则称为本题的“指定点”。抛物线上恰有一个指定点，求的值及该点的坐标。 二、先确定对应点，再检验图像条件 题目给出两个点的对应规则时，先用第一个点的坐标写出第二个点，再分别代入各自所在图像。对应点不一定在同一条曲线上，两个点的活动范围也不一定相同。 同一个点按不同规则得到不同的对应点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 关于原点对称 两个坐标一起变号 关于轴对称 横坐标不变 交换坐标 是否要求两点不重合 关于原点对称，两个坐标都变号；关于轴对称，只改变纵坐标的符号；交换横、纵坐标，则新点的横坐标是原来的纵坐标。这些规则不能混用。 若题目允许两点重合，原点或横、纵坐标相等的点有时可以保留；若明确要求两个不重合的点，必须排除相应情况。约去含未知量的因式前，先检查该因式等于零时是否符合题意。 交换坐标后仍在同一条抛物线上，可设两个坐标为保留两个对称的等式。把它们相减常能消去部分项，不必立即把一个式子完整代入另一个式子而展开四次式。 若定义给出两个平方的和等于两个平方都必须为先把这两个等式写出来，就能看出它实际规定了怎样的坐标对应；这比直接展开所有平方更清楚。 如：关于原点的对称点为交换坐标后的点为两种对应规则得到的点不同。 例2、点在抛物线上，点在直线上，且关于原点对称（允许两点重合）。求所有点的坐标。 变式2-1、点在抛物线上，点在直线上，且关于轴对称。若不重合，则的坐标为________。 变式2-2、点在抛物线上，将其横、纵坐标交换得到点若也在该抛物线上，且不重合，求点的所有坐标。 变式2-3、点在抛物线上，点与关于原点对称（允许两点重合）。若也在抛物线上，则这样的点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 三、按规定的表达式确定对应关系 有些阅读题用抛物线的系数或顶点坐标规定另一条图像。先看清题目使用一般式还是顶点式，再把抛物线写成题目要求的形式，不能随意替换符号。 先认清顶点式参数，再执行题中规定。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 原式不是顶点式 先配方写成 对应规则中的参数不变 已知对应直线 比较的系数及常数项 其余条件是否足够 求两图像交点 令两个表达式相等 保留所有不同交点 例如本单元把对应到这里的都来自顶点式；这个规定只在本题中使用，不是教材中抛物线与直线的固定对应法则。 若规则不是直接给新表达式，而是先平移某个点、再规定另一点的坐标，也按顺序逐步执行。先确定抛物线的对称轴及系数，再写出新点；最后才由两点求直线。题目没有规定的点，不自行假定在抛物线上。 反过来由直线求抛物线时，一条直线通常不能单独确定三个数先比较系数得到两个关系，再利用经过某点、顶点位置等其余条件，找全可能的抛物线。 需要求两图像的交点时，令两个纵坐标表达式相等。本单元的规则使可以作为整体处理；相同部分消去后，计算往往比先全部展开更简单。 如：按上述规定对应到不能把展开式中的直接换成 图中为抛物线顶点。 例3、规定：抛物线（对应的直线为某抛物线对应的直线为且该抛物线经过求该抛物线的所有可能的表达式。 变式3-1、规定：抛物线（对应的直线为抛物线对应的直线为________。 变式3-2、规定：抛物线（对应的直线为若某抛物线的顶点在轴上，对应直线为求抛物线的表达式及其与对应直线的交点坐标。 变式3-3、规定：抛物线（对应的直线为抛物线与对应直线的两个交点间的距离为且抛物线的顶点为求抛物线的表达式。 四、两个输入都要符合规定的范围 把函数在处的值简写为表示将代入函数表达式计算，并不是与相乘。题中用规定一个量时，应分别计算两个函数值，然后相减。 两个输入的横坐标都要落在规定范围内。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 两个输入为 两输入范围取共同部分 移项后端点方向 求有方向的差 结果可以是负数 求差的大小 零点与两端都要看 如果原函数只在给定范围内讨论，那么和必须同时处在该范围内。先把两个范围条件联立，再化简式子，可以避免把没有规定的函数值也代入。 定义中的差有正负，不一定是线段长度。若题目要的是两个函数值相差的大小，就要取绝对值；不能在计算中自行把有方向的差改成非负数。 若两个输入为和确定范围时要使用题目给定的化简以后即使得到一次式，也不能把它的适用范围擅自扩大到全体实数。 如：且计算需要在此范围内，该差为 图中的横坐标相差两个输入均属于原范围。 例4、已知其中当与都在这一范围内时，记 （1）求的表达式及的取值范围；（2）求的最大值和最小值。 变式4-1、已知其中当与都在这一范围内时，记下列正确的是（ ）。 A． B． C． D． 变式4-2、已知其中当与都在这一范围内时，的最小值为________。 变式4-3、已知（，其中当与都在这一范围内时，记 已知求及时的取值范围。 五、含绝对值的定义分清正负两种情况 定义中出现绝对值，先看它表示两个坐标相差的大小，还是两个距离的和。不能去掉绝对值后只保留正的一种情况。 坐标绝对值之和与直线距离不是同一个量。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 分为两条直线 两种符号均需考虑 按象限去绝对值 坐标轴上重复点合并 规定新的距离计算式 直接按题中公式计算 不自行套普通距离公式 例如且可以分为和点在抛物线上时，分别求与两条直线的交点，再合并结果。两条直线平行且不同，不会出现同一个点被两条线重复计数。 若规定就要依据所在象限写出相应的式子。图像关于坐标轴对称时，可先计算一侧，再补出对应点；但落在坐标轴上的点只计一次。 有些题规定的新量不是通常的线段长度。按题中公式计算即可，不能把两个坐标差的绝对值之和当成两点间的直线距离。 如：点满足但它到原点的距离为这两个量不能混用。 图中是在坐标轴上的投影，表示通常的直线距离。 例5、对于点规定时，称为本题的“平衡点”。 求抛物线上的平衡点坐标。 变式5-1、规定满足的点为本题的“指定点”。 抛物线上的指定点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 变式5-2、规定点满足时为本题的“指定点”。抛物线上恰有三个指定点，则________。 变式5-3、对于点规定点在抛物线上。（1）求时点的所有坐标；（2）求的最小值。 六、按定义分段选用表达式 阅读题可能根据的正负或大小，规定不同的计算式。先确定每个输入落在哪一段，再代入相应的式子。一个式子不能用于整条图像。 分段点两侧按各自的表达式作图。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 两个输入均在左段 两个值均用左段式 边界点用哪一段 两个输入分居两段 分别代入后再作差 不能只看第一个输入 两个输入均在右段 两个值均用右段式 最后比较各段结果 比较与对应的函数值时，两者可能分别落在不同的段。以分段点为例，应考虑在边界上按照题目给定的等号归属计算。 各段分别求得最小值之后，还需要把这些结果比较，才能得到全范围的最小值。若某段不包含端点，只能无限接近的值不能直接当作已经取得。 固定间隔的两个输入与任意两个输入不是同一个条件。本单元只按题目规定的间隔计算，不据此额外断言整个函数的增减。 如：（，（，则代入负数时，不能漏掉该段表达式最前面的负号。 例6、规定（，（。记求的最小值及取得该值时的值。 变式6-1、规定（，（。则________。 变式6-2、规定（，（。 求方程的全部实数解。 变式6-3、已知规定（，（。若对所有实数均有求应满足的条件。 七、按定义确定一段图像的取值范围 如果题目用一段图像的最高点、最低点或全部函数值来规定新量，先画出或想清这段抛物线，再根据顶点是否位于区间内确定最大值、最小值。 在限定的图像范围内比较最高点与最低点。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 区间含顶点 顶点给出一个最值，另一最值看端点 两端离轴远近 区间在对称轴一侧 比较两个端点 开口方向决定增减 到轴的距离 纵坐标取绝对值 负纵坐标不能作长度 “所有函数值都在某范围内”与“函数值恰好取遍该范围”不同。后者不仅不能越界，还要取得上下端点。对于连续的一段抛物线，确定实际的最小值和最大值，就确定了全部取值范围。 定义涉及点到轴的距离时，应取纵坐标的绝对值。最高点的纵坐标较大，不代表它到轴的距离一定较大，尤其是整段在轴下方时。 横坐标区间移动时，先比较它与对称轴的位置。端点离对称轴的远近决定哪个端点的函数值更大；不要固定把右端点当成最大值。 如果题目用一段抛物线的上下、左右边界确定矩形，那么矩形的宽是横坐标区间的长度，高是最大函数值与最小函数值之差。先分别求出宽和高，再按题目要求计算周长或面积；区间变化时，高的表达式也可能分段变化。 如：在内的最小值为最大值为最高点与最低点到轴的距离分别为不能直接把两纵坐标相加当距离和。 例7、对于抛物线在指定横坐标范围内的一段图像，规定这段图像的最大函数值与最小函数值之差为已知 （1）求时的（2）若且时求 第（1）问示意图。 变式7-1、规定一段抛物线图像最高点与最低点到轴的距离之和为对于在内的一段图像，为（ ）。 A． B． C． D． 变式7-2、对于若取遍时，且恰好取遍 则的值为________。 变式7-3、对于抛物线在内的一段图像，规定最大函数值与最小函数值之差为求时的所有值。 八、从点的条件找出整幅图形 定义有时不是求一个点，而是把所有满足条件的点放在一起组成图形。先固定一个位置求清点在哪里，再让该位置变化，检查最后得到的是几个点、一条线段还是几部分组成的图形。 同一直线上，线段内外的距离和计算不同。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 在线段上 两端点是否允许 在延长线上 分别写两段正长度再相加 点不必在抛物线上 把所有点组成图形 各部分范围分别写清 共用端点去重 点在直线上，不等于在抛物线上。即使是直线与抛物线的交点，也不能自动把代入抛物线表达式。 当在线段上时，在延长线上时，距离和大于沿同一条直线讨论距离和，分清线段内外，通常不需要开方列复杂方程。 由不同部分拼成图形时，公共端点只算一次。原定义要求两个不重合的交点，就必须保留这一限制；图上画出的某个端点若不符合定义，要明确排除。 如：在直线上。距离和对应整条线段距离和为则只对应 图中对应距离和为的两个位置。 例8、直线与抛物线交于两个不重合的点点在直线上且满足让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把所有这样的点组成的图形记为求图形上点的坐标所满足的条件。 变式8-1、直线与抛物线交于点在直线上。 满足的点共有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 变式8-2、直线与抛物线交于两个不重合的点点同时在直线和直线上，且则的坐标为________。 变式8-3、直线与抛物线交于两个不重合的点让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把直线上所有满足的点组成的图形记为求直线与的公共点个数随变化的情况。 九、把角度条件转化为边长关系 题中用抛物线顶点与同一水平线上的两个交点组成一个角时，先利用抛物线的对称性。两个交点关于对称轴对称，它们到顶点的距离相等，所成三角形是等腰三角形。 利用等腰三角形的高，把顶角分成两个锐角。 题目中的规定 写成数学关系 需要检查 对称轴与水平线相交 垂足是底边中点 先确认两个交点不同 顶角为 用底边的一半，不用整边 水平线在顶点下方 距离不能取负值 设顶点为水平线交抛物线于在左侧。过作垂直于垂足是的中点，且平分顶角。若整个顶角为则直角三角形中这里用的是等腰三角形性质和正切定义，不需要三角函数倍角公式。 对于水平线为两个不重合的交点要求顶点到水平线的距离为是线段长度的一半；代入曲线得到 计算顺序通常是：由角确定与的比，再利用曲线表达式求长度或参数。开口向上时交线在顶点上方，开口向下时在顶点下方；距离必须为正。 比较两个锐角时，可以比较它们的正切值；锐角越大，正切值越大。使用这一性质前要确认比较的是等腰三角形顶角的一半，确实都是锐角，不可直接把整个顶角套入同一个比值。 如：等腰三角形的顶角为从顶点向底边作高，若高为底边长为则不是 例9、抛物线的顶点为水平直线与该抛物线交于两个不重合的点点在点左侧。若求及点的坐标。 变式9-1、抛物线的顶点为直线与它交于两个不重合的点若且则________。 变式9-2、抛物线的顶点为直线与其交于两个不重合的点求使的的取值范围。 变式9-3、水平直线分别与抛物线交于两组不同点和点各在同组另一点的左侧。两抛物线顶点分别为若且求 A、基础通关 1、规定满足的点为本题的“指定点”。 抛物线上的指定点是（ ）。 A． B． C． D． 2、已知其中若与都在此范围内，则的范围是________。 3、规定：抛物线对应的直线为 抛物线对应的直线为（ ）。 A． B． C． D． 4、点在抛物线上，将其横、纵坐标同时变为原来的倍得到点若的横坐标为则的坐标为________。 5、规定其中在抛物线上。当时，等于（ ）。 A． B． C． D． 6、规定一段抛物线的最大函数值与最小函数值之差为 对于在内的一段图像，求的值。 7、规定（，（。方程的解为________。 8、直线与抛物线交于点在直线上。 求时点的全部坐标。 B、难点突破 1、若点的横、纵坐标相等，则称它为本题的“等坐标点”。求抛物线在第一象限内恰有两个等坐标点时的取值范围。 2、点在抛物线上，且点在直线上。若恰有一组关于原点对称的点（允许重合），则的取值范围为________。 3、点在抛物线上，交换横、纵坐标得到点若在直线上，则这样的点有（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．无数个 4、规定：抛物线对应的直线为某抛物线对应的直线为且顶点在直线上，求抛物线的表达式。 5、规定点满足时为本题的“指定点”。若抛物线上恰有两个指定点，求的取值范围。 6、已知规定若则________。 7、规定（，（。 方程的实数解个数为（ ）。 A．个 B．个 C．个 D．个 8、已知（，对于所有实数有又知（1）求（2）规定满足且时为本题的“指定点”，求所有指定点坐标。 C、综合进阶 1、规定：抛物线对应的直线为两图像交于其中是抛物线顶点。若顶点在直线上，且抛物线经过原点， 求抛物线的所有可能的表达式。 2、规定一段抛物线最高点与最低点到轴的距离之和为对于在内的一段图像，（1）用含的式子表示（2）求时的所有值。 示意图。 3、点在抛物线上，交换横、纵坐标得到点若要求也在该抛物线上且与不重合，则存在这样的点时，的取值范围是（ ）。 A． B．或 C．或 D． 4、规定点满足时为本题的“指定点”，其中求抛物线上恰有六个指定点时的取值范围。 5、已知（，若对于每一个都有则的取值范围为________。 6、已知自变量取遍 （1）若所有函数值都在内，求的取值范围； （2）若所有函数值都在内，求的全部值。 7、直线与抛物线交于两个不重合的点让在能产生两个不重合的交点的范围内变化，把直线上所有满足的点组成的图形记为直线与恰有两个公共点时，应满足（ ）。 A． B． C． D． 8、对于抛物线上的两个点规定且时，为本题的一组对应点。（1）当时，求所有点的坐标；（2）求抛物线上存在这样一组对应点时的取值范围。 D、中考真题精选 1、（2026年江苏镇江中考第25题）如图，我们将经过点且垂直于轴的直线记作“直线”。如果它与二次函数（为常数，且的图象（顶点记为有两个公共点，记为（点在点的左侧），我们称直线为该二次函数图象的截线。 已知二次函数 （1）顶点的坐标为________。 （2）直线（即轴）是该二次函数图象的截线。若 求点的坐标以及的值。 （3）直线是二次函数图象的截线。 ①已知求的值； ②已知用含的代数式表示（直接写出结果） ③若直线恰好又是二次函数图象的截线，当时， 请直接写出的取值范围。 2、（2026年河南中考第22题）定义：若点在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大则称点是点的“黄金搭档点”。例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”。 （1）点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为求的值。 （2）点在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”。 ①若点的纵坐标相等，求点的横坐标。 ②抛物线上两点之间的部分（含两点）记为图象设点的横坐标为当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为请直接写出的值。 3、（2025年湖南长沙中考第24题）我们约定：当满足且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”。（ ） （2）若关于的一次函数与（都是常数，且均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于的二次函数是“对偶函数”，求实数的取值范围。 4、（2025年湖北中考第24题）抛物线与轴相交于点和点与轴相交于点是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为 （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为求的值； 左图为图1，右图为备用图。 （3）定义：抛物线上两点之间的部分叫做抛物线弧（含端点和。过分别作轴的垂线过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形。若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为 ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点点与点不重合。记抛物线弧的特征矩形的周长为若直接写出的长。 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $