精品解析：上海市闵行区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科期中试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，每题只有一个选项正确） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似形 B. 直角三角形都是相似形 C. 平行四边形都是相似形 D. 正方形都是相似形 【答案】D 【解析】 【分析】判断图形是否相似需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 等腰三角形的内角与边长均不确定，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误． B． 直角三角形的两个锐角不一定对应相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误． C． 平行四边形的内角与边长均不确定，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误． D． 正方形的各角均为，对应角相等，各边均相等，对应边成比例，所有正方形都相似，正确． 2. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，列方程与不等式联立求解. 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴. 3. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确两个条件：抛物线经过原点，即时；对称轴为直线，利用对称轴公式逐一检验四个选项． 【详解】解：A：， ， 不经过原点，故A项错误． B：， ，， ∴对称轴，故B项错误． ：， ，，， 对称轴，且抛物线经过原点，故项正确． D：， ， 不经过原点，故D项错误． 4. 如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 5. 如图，已知，，下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴，， ∴，， ∴选项A中正确，不符合题意； 选项B中不正确，符合题意， 选项C中正确，不符合题意； 选项D中正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 6. 已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点坐标推导、与的数量关系，以此判断各结论正误． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，， ∴对称轴为直线，即，则， 且时，， 将代入，得， ①∵，，的符号不确定， ∴的符号无法确定，故①错误； ②∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； ③∵的一个根为， ∴时，， 将，代入，得， 解得，故③正确； ④∵原抛物线可化为， 将其向左平移个单位可得，无需向下平移， 故④错误． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，共44分） 7. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的含义可直接得出顶点坐标． 【详解】解：由题中所给解析式y=2 +3中的可知顶点横坐标为1，再由后面常数项可知顶点纵坐标为3， 因此顶点坐标为（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数顶点式各部分的含义是解题的关键． 8. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 9. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两个相似三角形的周长比为，结合相似三角形的周长与相似比的关系、面积与相似比的关系推导最终结果． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比 这两个相似三角形的相似比为 相似三角形的面积比等于相似比的平方 它们的面积比为． 10. 如图，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 11. 已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 12. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走9里到宝塔处（即里），出西门往前直走2里到处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角看见宝塔，如果设正方形的中心为，点在一直线上，点在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是___________里． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形判定与性质、三角形相似的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟记正方形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 先根据正方形的判定与性质得到，再根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 设正方形的城墙长为里， 正方形的中心为，且，， 四边形是正方形， 则里，， ， ， ， 则， ， 则， 解得或（舍去）， 里， 即这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 13. 如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质及，可得，由三角形外角的性质可得，，进而可得，，推出，，代入数值即可求解． 【详解】解：是等边三角形，设边长为a， ，， ， ， 又，， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 即等边的边长为． 故答案为：． 14. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．由题意可得出．又易证，即可推出，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 16. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，则，设，则，，证明，得出比例线段求出，从而可求得求出，再证明得到，进而得到，，再推出，进而得解． 【详解】解：设，则，设，则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 解得， 设与交于点， 由全等可知， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，为边的中点，连接，将沿折叠得到，交于点，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，利用折叠性质得出，过点作，构造求出，证明，利用相似比和勾股定理列方程求解的长即可． 【详解】解：设，则  ∵折叠 ∴  ∵  ∴  过点作于点  则  在中，  ∵  ∴  ∴  又∵  ∴  ∴  设，则  ∵点在上 ∴  在中，  ∴ 整理得：  解得：或  当时，，不合题意，舍去 当时，  ∴  ∴． 三．解答题（本大题共7题，第18、19题10分，20题12分，21题10分，第22、23题13分，第24题14分，共82分） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由可设， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 19. 已知二次函数． （1）当二次函数的图象与轴没有交点时，求的取值范围； （2）设该二次函数的图象与轴的交点为，，且，与轴的交点为，它的顶点为，求直线的表达式． 【答案】（1）的取值范围是． （2）直线的表达式为． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与轴无交点的条件，结合判别式列不等式求解． （2）先利用根与系数的关系，结合列方程求的值，再根据判别式的非负性取舍，进而得到点、的坐标，用待定系数法求直线的表达式． 【小问1详解】 解：令，得． ∵二次函数图象与轴没有交点， ∴该一元二次方程无实数根，即． ∵ ， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴交于，， ∴，即， 解得． 由根与系数的关系得：，． ∵，且， ∴． 整理得． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 将代入二次函数解析式，得． 令，得， ∴点的坐标为．顶点的横坐标为， 将代入，得． ∴顶点的坐标为． 设直线的表达式为． 将代入，得． 将代入，得． 解得． ∴直线的表达式为． 20. 如图，在中，，于点，是边上一点，连接交于点，过作交于点． （1）求证：； （2）当平分时，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作交于点，利用角平分线的性质得到，再求得，利用等积法求得，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作交于点． ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 21. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． （1）此抛物线的解析式为： ； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】（1） （2）景观射灯与池中心的水平距离为7米 （3）水管要升高米 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； 【小问3详解】 解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点 E． (1)求证：DE•CD＝AD•CE； (2)设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC=90°，由同角的余角相等可得出∠ADE=∠DCE，结合∠AED=∠DEC=90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE•CD=AD•CE； （2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD=BC，DE=2DF，结合DE•CD=AD•CE可得出，结合∠BCE=∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质可证出AF•BC=AD•BE． 【详解】(1)∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDE＝90°． ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠ADE＝∠DCE． 又∵∠AED＝∠DEC＝90°， ∴△AED∽△DEC， ∴， ∴DE•CD＝AD•CE； (2)∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝BC， ∵F为DE的中点， ∴DE＝2DF． ∵DE•CD＝AD•CE， ∴2DF•BC＝AD•CE， ∴， 又∵∠BCE＝∠ADF， ∴△BCE∽△ADF， ∴， ∴AF•BC＝AD•BE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当点的坐标为，连接、、，求证：； （3）如图，连接、，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可得出函数解析式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可得到结论． 【小问1详解】 解：将，代入解析式， 得：， 解得： 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ． 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，每题只有一个选项正确） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似形 B. 直角三角形都是相似形 C. 平行四边形都是相似形 D. 正方形都是相似形 2. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 27 5. 如图，已知，，下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二．填空题（本大题共12题，每题4分，共44分） 7. 抛物线的顶点坐标是________． 8. 已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 9. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是_______________． 10. 如图，，，，，则______． 11. 已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 12. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走9里到宝塔处（即里），出西门往前直走2里到处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角看见宝塔，如果设正方形的中心为，点在一直线上，点在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是___________里． 13. 如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 14. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 15. 已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 16. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 17. 如图，在中，，，为边的中点，连接，将沿折叠得到，交于点，则的值为_______________． 三．解答题（本大题共7题，第18、19题10分，20题12分，21题10分，第22、23题13分，第24题14分，共82分） 18. 已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 19. 已知二次函数． （1）当二次函数的图象与轴没有交点时，求的取值范围； （2）设该二次函数的图象与轴的交点为，，且，与轴的交点为，它的顶点为，求直线的表达式． 20. 如图，在中，，于点，是边上一点，连接交于点，过作交于点． （1）求证：； （2）当平分时，若，，求的长． 21. 如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． （1）此抛物线的解析式为： ； （2）若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； （3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点 E． (1)求证：DE•CD＝AD•CE； (2)设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴相交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当点的坐标为，连接、、，求证：； （3）如图，连接、，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，求的值． 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $