上海市闵行区多校2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学试卷

2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 (考试时间：100分钟 满分：150分) 题号 二 三 总分 分值 24 40 86 150 得分 一、 选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分) 1. 2. 3. 9 二、填空题（本大题共10题， 每题4分，满分40分) 8. 9. 10 11 12 13. 15. 16. 那 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 雾 .其N,'W/Ww 17.解：(1) D B (2) (第17题图) 18.(1)该二次函数的对称轴是 (2)求该二次函数的表达式： 射 1 19.(1) (第19题图) (2) 20.(1) 花圃 (第20题图1) 墙 价 花圃 3米 区域1 区域2 3米 T (2) (第20题图2) 2 21.(1) D C B (2) (第21题图) 22.（1) (2)① (第22题图) ② 3 23.（1) (2) (3) 2 ② y E A D H G C B (第23题图1) (第23题图2) (第23题图3) 4 2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷学校_______________________ 班级__________ 学号_________ 姓名______________ …………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………… （考试时间：100分钟 满分：150分） 题号 一 二 三 总分 分值 24 40 86 150 得分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ）. （A）； （B）（为常数）； （C）； （D）. 2. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ）. （A）两个直角三角形； （B）两个等腰三角形； （C）两个矩形； （D）两个正方形． 3. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且.则下列说法正确的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）．y x O 1 B A C D E F （第3题图） （第6题图） 人 像 小孔 暗室 A B O C D （第4题图） 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法正确的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 5. 如果将抛物线向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（ ）. （A）持续上升； （B）持续下降； （C）先上升再下降； （D）先下降再上升. 6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象. 墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像. 如图，已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（ ）. （A）人向暗室后退2米； （B）人向暗室前进2米； （C）人向暗室后退4米； （D）人向暗室前进4米． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7．如果，那么的值是 . 8. 如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是 . 9. 如果线段MN的长为4cm，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段PN的长为 cm. 10. 已知抛物线经过点和，那么= . 11. 若二次函数的图像有最高点，那么= . 12. 如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC. 若AD=4，DC=10，AB=8，则BE的长为 .x y O P A B C D E F G H （第15题图） P A B C （第13题图） . D A C B E （第12题图） 13. 点P是△ABC边上的任一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，那么我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，当点P是边BC上一个三等分点时（PB＞PC），过点P的△ABC的“相似线”最多有 条. 14. 若抛物线与轴没有交点，那么的取值范围是 . 15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形ABCD与边长为3的菱形EFGH是位似图形，点P是位似中心，若点F的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），则位似中心P的坐标为 . 16. 若抛物线（其中是常数）的对称轴是直线，则当时，函数的最大值与最小值的差为9，则= . 三、简答题（本大题共7题，满分86分） 17. (本题满分10分) 如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若且.（第17题图） D A C B E （1）求；（2）求 18. (本题满分12分) 已知二次函数图像上部分点的坐标如下表所示： 0 1 0 m n 0 根据表中的信息回答以下问题： （1）该二次函数的对称轴是 ； （2）求该二次函数的表达式. 19. (本题满分12分) 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上，点F在AC边上，∠AEF=∠B.A B C E F （第19题图） （1）求证：. （2）若AE=5，AB=8，求FC的长. 20. (本题满分12分) 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60 米的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一：如图1，围成一个面积为450平方米的矩形花圃. 方案二：如图2，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 米的进出口（此处不用栅栏）. 花圃 （第20题图1） 墙 区域1 花圃 （第20题图2） 墙 3米 区域2 3米 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度? （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21. (本题满分12分) 如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，如图，A、B、C、D都是格点，连接AB、CD交于点E，连接AD、BC. （1）证明：AB⊥AD.…………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………… A C B D E （第21题图） （2）求的值.（如需作辅助线，请仅用无刻度直尺在给定网格中作图） 22. (本题满分13分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中是常数且）经过、两点. （1）求a、c的值；x y O （2）如果将抛物线向左平移个单位，再向上平移单位，平移后新抛物线经过点（0，4）， ①求该抛物线的表达式； ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交直线于点Q. 设P点横坐标为m，线段PQ的长度为d，求当d随m增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.（第22题图） 23. (本题满分15分)已知，将△ABC绕B点旋转得到△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，BC=BD=6，AC=ED=8，旋转角为（），连接AE、CD. （1）如图1，求证：△DBC∽△EBA. （2）如图2，当点D恰好落在边AB上，延长ED交边AC于点F，连接BF、CD，求证：∠ABF=∠ACD. （3）如图3，当点D恰好落在△ABC的中线CG的延长线上时，延长ED交边AC于点H，求AH的长.D （第23题图3） （第23题图2） （第23题图1） A C B D E A B C E F A B C D E G H 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C； 2．D； 3．A； 4．B； 5．D； 6．B． 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 8. ； 9. ； 10. ； 11. 2； 12. ； 13. 4； 14. ； 15. ； 16. . 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17. (本题满分10分) 如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若且 （1）求；（2）求 解：（1）因为DE∥BC（第17题图） D A C B E H 所以△ADE∽△ABC………（1分） 因为，所以………（1分） 所以………（2分） 因为，所以………（2分） （2）作△ADE的高EH，则………（2分） 因为，所以………（1分） 所以………（1分） 18. (本题满分12分) 已知二次函数图像上部分点的坐标如下表所示： 0 1 0 m n 0 根据表中的信息回答以下问题： （1）该二次函数的对称轴是 直线 ； （4分）（不写“直线”两个字要扣2分） （2）求该二次函数的表达式. （8分） 解：将点（，0）、（0，）、（1，0）代入，………（1分） 得……………（3分） 解得：……………（3分） 所以，该二次函数的解析式为………（1分） 19. (本题满分12分) 如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上，点F在AC边上，∠AEF=∠B.A B C E F （第19题图） （1）求证：. （2）若AE=5，AB=8，求FC的长. （1）证：因为AB=AC，所以∠B=∠ACB……（1分） 因为∠AEC=∠B+∠BAE…………………………（1分） ∠AEC=∠AEF+∠FEC 因为∠AEF=∠B，所以∠BAE=∠FEC…………（2分） 所以△ABE∽△ECF.………………（1分） 所以 ，即.……………（1分） （2）证：因为∠B=∠ACB，∠AEF=∠B 所以∠ACB=∠AEF……………………（1分） 因为∠CAE是公共角 所以△ACE∽△AEF.……………………（1分）A B C E F （第19题图） 所以………………（1分） 因为AE=5，AB=8，所以AC=8………（1分） 则，所以……………（1分） 所以……………（1分） 20. (本题满分12分) 学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60 米的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一：如图①，围成一个面积为450平方米的矩形花圃. 方案二：如图②，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3 米的进出口（此处不用栅栏）. 花圃 （第20题图1） 墙 区域1 花圃 （第20题图2） 墙 3米 区域2 3米 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度? （6分） （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？（6分） 解：（1）设与墙垂直的边的长度为x米，则与墙平行的边的长度为（）米.…（1分） 则由题意得：…………（2分） 整理得：…………（1分） 解得：…………（1分） 答：与墙垂直的边的长度为15米.……（1分） （2）设与墙垂直的边的长度为y米，则与墙平行的边的长度为米.（1分） 则由题意得 花圃面积…………（2分） …………（1分） 所以，当y=11时，S有最大值363，此时米.………（1分） 答：与墙平行的边的长度为33米.……………（1分） 21. (本题满分12分) 如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，如图，A、B、C、D都是格点，连接AB、CD交于点E，连接AD、BC. （1）证明：AB⊥AD. 证明：A C B D E （第21题图） 方法一 如图，连接BD，由图可计算 AB=，AD=2，BD=5.……………（3分） 所以……………（2分） 所以∠DAB=90°，即AB⊥AD.…（1分） 方法二 如图，取格点F，连接AF，DFF A C B D E （第21题图） 则BC=1，AC=2，AF=2，DF=4…（1分） 所以且∠ACB=∠DFA=90°…（1分） 所以△ACB∽△DFA…（2分） 所以∠CAB=∠FDA…（1分） 因为∠FDA+∠FAD=90°， 所以∠CAB+∠FAD=90°，即AB⊥AD.…（1分） （2）求的值.（如需作辅助线，请仅用无刻度直尺在给定网格中作图）A C B D E （第21题图） G 解： 方法一 如图，取格点G，连接DG、AG.….…（1分） 则BC=1，DG=5.….…（2分） 由BC∥DG 所以.….…（3分） 方法二 如图，取格点M、N，连接DM、BM、DN 则BC=1，AC=2，MN=2，DN=4，BM=5.….…（1分）A C B D E （第21题图） M N 所以且∠ACB=∠DNM=90°…（1分） 所以△ACB∽△DNM…（1分） 所以∠ABC=∠DMN…（1分） 所以BE∥DM…（1分） 所以.….…（1分） 方法三 如图，取格点F、H，连接AF，DF 则BC=1，AH=2，AC=2，CF=4.….…（1分）F A C B D E （第21题图） H 因为BC∥AH 所以.….…（1分） 所以.….…（1分） 因为AH∥DF 所以.….…（1分） 所以.….…（1分） 所以.….…（1分） 22. (本题满分13分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中是常数且）经过、两点. （1）求a、c的值；（4分） （2）如果将抛物线向左平移个单位，再向上平移单位，平移后新抛物线经过点（0，4）， ①求该抛物线的表达式；（4分） ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交直线于点Q. 设P点横坐标为m，线段PQ的长度为d，求当d随m增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.（5分） 解：（1）将代入得，c=2.….….….…（2分） 将代入得，.….….…（1分） 因为，所以，所以a+1=0，得 .….…（1分） （2）①因为， ，所以. 将抛物线平移后x y O P Q 得到….….…（2分） 将代入得，b=2.….….….…（1分） 所以，该抛物线的表达式为.….….…（1分）（第22题图） ②由题意得 当，得 所以抛物线和直线交于点（1，3）和（2，2）.….…（1分） 当时，.….…（1分） 此时，即当时，d随m增大而减小..….…（1分） 当时，.….…（1分） 此时，即当时，d随m增大而减小..….…（1分） 当时，d随m增大而增大. 综上所述，当时，； 当时，. 23. (本题满分15分)已知，将△ABC绕B点旋转得到△BDE，∠ACB=∠EDB=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，旋转角为（），连接AE、CD. （1）如图1，求证：△DBC∽△EBA.（4分） （2）如图2，当点D恰好落在边AB上，延长ED交边AC于点F，连接BF、CD，求证：∠ABF=∠ACD.（5分） （3）如图3，当点D恰好落在△ABC的中线CG的延长线上时，延长ED交边AC于点H，求AH的长.（6分）D （第23题图3） （第23题图2） （第23题图1） A B C D E G H A B C E F A C B D E （1）解：由题意得 ∠DCB=∠EBA=∠.….….…（1分） 因为BC=BD=6，AC=DE=8，∠ACB=∠EDB=90° 所以AB=EB=10….…………………….….….…（1分） 且.…………………….….….…（1分） 所以△DBC∽△EBA……………….….….…（1分） （2）证：由题意得 ∠ADF=∠ADB=90°….….…（1分）A B C E F D 又因为 ∠DAF=∠CAB 所以△ADF∽△ACB……………….….….…（1分） 所以……………….….….….…（1分） 即， 又因为∠DAC=∠FAB 所以△ADC∽△AFB…………….….….……（1分） 所以∠ABF=∠ACD.…………….….….….…（1分） （3）解：因为CG是Rt△ABC的中线A B C D E G H 所以CG==BG=AG=5.….….…（1分） 所以∠GCB=∠GBC，∠GAC=∠GCA 因为BD=BC 所以∠BDC=∠BCD 所以∠BDC=∠GBC 又由∠GCB是公共角 所以△DBC∽△BGC.…………….….….….…（1分） 所以 即 ，所以 .….….….…（1分） 因为∠EDB=90° 所以∠HDB=90°即∠BDC+∠HDC=90° 又由∠BCD+∠HCD=90° 所以∠HCD=∠HDC 因为∠GAC=∠GCA 所以∠HDC=∠GAC 又由∠HCD是公共角 所以△HCD∽△GAC.…………….….….….…（1分） 所以 即 ，所以 .….….….…（1分） 所以.….….….…（1分） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $学 校 2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 (考试时间：100分钟 满分：150分) 班级 题号 一 二 三 总分 学… 40 150 器 分值 24 86 得分 …名、 姓 选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分) …1. 2.；3. ；4.； 5. 6 …二、 填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 7. 8 9 10. …封. 12 13. 14. .15 16. “三、 解答题（本大题共7题，满分86分） 17.解：(1) … 线 … … …(2) (第17题图) … 18.(1)该二次函数的对称轴是 (2)求该二次函数的表达式. 1 19.(1) (第19题 (2) 20.(1) 墙 花圃 (第20题图1) 墙 2代 3米 区域1 花圃 区域2 (第20题图2) (2) 2 21.(1) D (2) (第21题 22.(1) (2)① (第22题 ② 3 Q E E (美23隆图) 23.食2 P (423隆图2) (423隆图3) 密 封2026学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C;2.D:3.A:4.B;5.D:6.B 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分) 8.a<-1: 9.2√5-2：10.-2；11.2： 12.40 3 13.4: 仁多 9 15.（-2,3): 16.±4 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17.(本题满分10分)如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC,若 AD:DB=1:2且SADB=3 (1)求S4BC;（2)求SBc 解：(1)因为DE∥BC 所以△ADE∽△ABC..（1分) 因为P},所以4P} DB 2 AB3.(1分) 所以S△D理 AD 21 .（2分) SAABC AB 9 (第17题图) 因为S。Dg=3,所以SAC=27.(2分) AD.EH (2)作△ADE的高BH,则SA4DE=2 AD 1 SABDE D.EH BD2…(2分) 因为S。ADB=3,所以SBDB=6..(1分) 所以SBDC=SABC-SADg-SDB=27-3-6=18..(1分) 18.(本题满分12分) 己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像上部分点的坐标如下表所示： -3 -2-1 01 y 0 -30 根据表中的信息回答以下问题： (1)该二次函数的对称轴是直线x=-1_;(4分)（不写“直线”两个字要扣2分） (2)求该二次函数的表达式.(8分) 解：将点(-3,0)、(0，-3)、(1,0)代入，…(1分) 第1页共7页 [9a-3b+c=0 得c=-3 …（3分) a+b+c=0 ∫a=1 解得：}b=2…(3分) {c=-3 所以，该二次函数的解析式为y=x2+2x-3.…(1分) 19.(本题满分12分)如图，己知：在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上，点F在AC边 上，∠AEF=∠B. (1)求证：AE.CF=BE·EF (2)若AE=5,AB=8,求FC的长， (1)证：因为AB=AC,所以∠B=∠ACB..(1分) 因为∠AEC=∠B+∠BAE..(1分) (第19题图) ∠AEC=∠AEF+∠FEC 因为∠AEF-∠B,所以∠BAE=∠FEC...（2分) 所以△ABE∽△ECF..(1分) 所以AE、BE ,即AE.CF=BEEF ....(1分) EF CF (2)证：因为∠B-∠ACB,∠AEF=∠B 所以∠ACB=∠AEF..(1分) 因为∠CAE是公共角 所以△ACE∽△AEF..(1分) 所以AP、AE ....（1分) AE AC 因为AE=5,AB=8,所以AC=8..(1分) 则AF5 58所以4n=25 (第19题图) 8 …(1分) 所以PC=8-2539 88 …（1分) 第2页共7页 20.(本题满分12分)学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已 知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60米的栅栏围成，兴趣小组设计了以 下两种方案： 方案一：如图①，围成一个面积为450平方米的矩形花圃 方案二：如图②，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形 区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3米的进出口（此处不用栅栏）· 墙 墙 花圃 3米 区域1 花圃 区域2 3米 入 (第20题图1) (第20题图2) (1)求方案一中与墙垂直的边的长度？(6分) (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？(6分) 解：(1)设与墙垂直的边的长度为x米，则与墙平行的边的长度为(60-2x)米..(1分) 则由题意得：x60-2x)=450.…(2分) 整理得：x2-30x+225=0....（1分) (x-15)2=0 解得：x1=x2=15..（1分) 答：与墙垂直的边的长度为15米..(1分) (2)设与墙垂直的边的长度为y米，则与墙平行的边的长度为60-2(y-3)-y米.(1分) 则由题意得花圃面积S=[60-2y-3)-y小.…(2分) =-3y2+66y =-3y-11)2+363..(1分) 所以，当=11时，S有最大值363，此时60-2(y-3)-y=33米..(1分) 答：与墙平行的边的长度为33米.…(1分) 21.(本题满分12分)如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每个小正 方形的顶点叫做格点，如图，A、B、C、D都是格点，连接AB、CD交于点E,连接AD、 BC. (1)证明：AB⊥AD. 证明： D 方法一 如图，连接BD,由图可计算 AB=√5，AD=2√5，BD=5.(3分) 所以AB2+AD2=BD2..(2分) 所以∠DAB=90°，即AB⊥AD..(1分) (第21题图) 第3页共7页 方法二 如图，取格点F,连接AF,DF 则BC=1,AC=2,AF=2,DF=4..（1分) D 所以BC、AC 且∠ACB=∠DEA=90°..(1分) AF DF 所以△ACB∽△DFA..(2分) 所以∠CAB=∠FDA..(1分) 因为∠FDA+∠FAD=90°， 所以∠CAB+∠FAD=90°，即AB⊥AD..(1分) (第21题图) (2)求C及的值。（如需作辅助线，请仅用无刻度直尺在给定网格中作图） DE 解： G D 方法一 如图，取格点G,连接DG、AG..…(1分) 则BC=1,DG-5..(2分) 由BC∥DG 所以CE=BC1 DEDG5.(3分) (第21题图) 方法二 如图，取格点M、N,连接DM、BM、DN 则BC=1,AC=2,N=2,DN=4,BM=5...(1分) D 所以BC=N且∠ACB=∠DMf90°.(1分) AC DN 所以△ACB∽△DM.(1分) 所以∠ABC∠DMN.(1分) C 所以BE∥DM.(1分) 所以CE-BC1 DBBM5.(1分) (第21题图) 方法三 如图，取格点F、H,连接AF,DF 则BC-1,AH=2,AC=2,CF=4..(1分) 因为BC∥AH 所以CEBC1 EH AH 2 …(1分) 所以CE1 CH3…(1分) B 因为AH∥DF 所以CHC4 (第21题图) 1 CDCF2…(1分) 第4页共7页 所以CE1 CD-6 …(1分) 所以CB1 ED5…(1分) 22.(本题满分13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(其中a、b、c 是常数且ab<0)经过(0,2)、b,c)两点. (1)求a、c的值：(4分) (2)如果将抛物线向左平移b个单位，再向上平移b单位，平移后新抛物线经过点(0,4)， ①求该抛物线的表达式：(4分) ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线PO垂直于x轴，交直线y=-x+4于点Q.设 P点横坐标为m,线段PQ的长度为d,求当d随m增大而减小时，d与m之间的函数关系 式，并写出自变量m的取值范围.(5分) 解：(1)将(0,2)代入得，c=2..（2分) 将(b,c代入得，a.b2+b2+c=c.....(1分) 因为ab<0,所以b2≠0，所以t1=0,得a=-1…(1分) (2)①因为ab<0,a=-1,所以b>0. 将抛物线y=-x2+bx+2平移后 得到y=-(x+bP+b(x+b)+2+b.…（2分) 将(0,4)代入得，b=2...(1分) 所以，该抛物线的表达式为y=-x2+2x+2...(1分) (第22题图) ②由题意得Pm,-m2+2m+2),Qm,-m+4) 当-x2+2x+2=-x+4,得x1=1,x3=2 所以抛物线和直线交于点(1,3)和(2,2)…(1分) 当m1时，d=（m+4)-（m2+2m+2)=m2-3m+2.(1分) 此时多即当时，d随m增大而减小分》） 当1<m<2时，d=（m2+2m+2(m+4)=-m2+3m-2.…(1分) 第5页共7页 321 m-2+4 此时m子即当≤m2时，d随m增大面减小…（1分) 3 当m>2时，d随m增大而增大. 综上所述，当m<1时，d=m2-3m+2; 当)3m<2时，d=m+3m-2 23.(本题满分15分)已知，将△ABC绕B点旋转得到△BDE,∠ACB=∠EDB-90°，BC-BD=6, AC=DE-8,旋转角为(0°<o<180°)，连接AE、CD (1)如图1，求证：△DBC∽△EBA.(4分) (2)如图2，当点D恰好落在边AB上，延长ED交边AC于点F,连接BF、CD,求证： ∠ABF=∠ACD.(5分) (3)如图3，当点D恰好落在△ABC的中线CG的延长线上时，延长ED交边AC于点H, 求AH的长.(6分) E y D H B C (第23题图1) (第23题图2) (第23题图3) (1)解：由题意得∠DCB=∠EBA=∠a..(1分) 因为BC=BD=6,AC=DE=8,∠ACB=∠EDB=90 所以AB=EB=10...(1分) 且BCEB 1 (1分) BD AB 所以△DBC∽△EBA..（1分) (2)证：由题意得∠ADF-∠ADB-90°. (1分) 又因为∠DAF=∠CAB E 所以△ADF∽△ACB.… (1分) 所以AD-AF (1分) AC AB 即， AD AC AF AB 第6页共7页 又因为∠DAC-∠FAB 所以△ADC∽△AFB. (1分) 所以∠ABF-∠ACD.(1分) (3)解：因为CG是Rt△ABC的中线 所以CG-1AB=BG=AG=5..(1分) y 2 所以∠GCB=∠GBC,∠GAC-∠GCA D 因为BD=BC H 所以∠BDC-∠BCD 所以∠BDC-∠GBC C 又由∠GCB是公共角 所以△DBC∽△BGC… (1分) 所以DBGB DC BC 即6-5 (1分) DC 6 ，所以DC=36 5 因为∠EDB-90° 所以∠HDB=90°即∠BDC+∠HDC=90° 又由∠BCD+∠HCD=90° 所以∠HCD=∠HDC 因为∠GAC=∠GCA 所以∠HDC=∠GAC 又由∠HCD是公共角 所以△HCD∽△GAC (1分) 所以HC、G4 CD AC 即HC5 9 =。，所以HC= 36-8 2 .(1分) 5 所以AH=8-97 221 …(1分) 第7页共7页2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 (考试时间：100分钟 满分：150分) 题号 二 三 总分 分值 24 40 86 150 得分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列函数中，一定是二次函数的是( 好 (A)y=7 (B)y=ax2-3x+1（a为常数)： 救 (C)y=(2x+1): (D)y=(x+5}2-x2 2.下列各选项中的两个图形一定相似的是( (A)两个直角三角形： (B)两个等腰三角形： (C)两个矩形： (D)两个正方形 3.如图，已知直线1213分别交直线L4于点A、B、C,交直线l于点D、E、F, 且1，∥12∥13.则下列说法正确的是( ) (A) AC DF (B) AB BE DF CF BC (C) AB (D) EF DE AD BC EF BE D 暗室 B 像 小孔 (第3题图) (第4题图) (第6题图) 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，那么下列说法正确的是( (A)a>0: (B)b>0: (C)c<0: (D)a+b+c<0 5.如果将抛物线y=(x-5P+6向左平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点M : 1 在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形( ) (A)持续上升； (B)持续下降；(C)先上升再下降； (D)先下降再上升 6.我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象.墨子曾进行如下 实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上 会呈现一个倒立的人像.如图，已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O 到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确 的是( ) (A)人向暗室后退2米； (B)人向暗室前进2米： 第1页共4页 (C)人向暗室后退4米： (D)人向暗室前进4米. 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分) 7.如果g=名，那么6_“的值是 8.如果抛物线y=(a+1)x2(a为常数)开口向下，那么a的取值范围是 9.如果线段N的长为4C,点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段PN的 长为 chL 10.已知抛物线y=2x2+c经过点A(m,4)和B(2,4),那么m= 11.若二次函数y=-xm-2的图像有最高点，那么m= 12.如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC.若AD=4, DC=10,AB=8,则BE的长为 D cū (第12题图) (第13题图) (第15题图) 13.点P是△ABC边上的任一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线 截△ABC,如果截得的三角形与△ABC相似，那么我们称这条直线为过点P的△ABC 的“相似线”.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，当点P是边BC上一个 三等分点时(PB>PC),过点P的△ABC的“相似线”最多有 条 14.若抛物线y=(k+2)x2+4+4k-1与x轴没有交点，那么k的取值范围 是 15.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形ABCD与边长为3的菱形EFGH 是位似图形，点P是位似中心，若点F的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,2)， 则位似中心P的坐标为 16.若抛物线y=x2+bx+c(其中b、c是常数)的对称轴是直线x=1,则当 m≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差为9，则m= 三、简答题（本大题共7题，满分86分) 17.(本题满分10分)如图，己知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥ BC,若AD:DB=1:2且S△ADE=3 (1)求SABC;(2)求SC (第17题图) 第2页共4页 18.(本题满分12分) 己知二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)图像上部分点的坐标如下表所示： -3 -2 -1 0 y 0 L 3 根据表中的信息回答以下问题： (1)该二次函数的对称轴是 (2)求该二次函数的表达式. 19.(本题满分12分)如图，已知：在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上，点F在 AC边上，∠AEF=∠B. (1)求证：AE.CF=BE.EF (2)若AE=5,AB=8,求FC的长 E (第19题图) 20.(本题满分12分)学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活 动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60米的栅栏围成，兴 趣小组设计了以下两种方案： 方案一：如图1，围成一个面积为450平方米的矩形花圃， 方案二：如图2，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两 个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3米的进出口（此 处不用栅栏) 墙 墙 花圃 花圃 区域1 区域2 (第20题图1) (第20题图2) (1)求方案一中与墙垂直的边的长度？ (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21.(本题满分12分)如图，这是由大小相等的边长为1的小正方形组成的网格，每 个小正方形的顶点叫做格点，如图，A、B、C、D都是格点，连接AB、CD交于点 E,连接AD、BC 第3页共4页 (1)证明：AB⊥AD 0 (2)求CE 的值.（如需作辅助线，请仅用无 DE 刻度直尺在给定网格中作图) B (第21题图) 22.(本题满分13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+b.x+c(其 中a、b、c是常数且ab<0)经过(0,2)、(b,c)两点 (1)求a、c的值： (2)如果将抛物线向左平移b个单位，再向上平移b单 位，平移后新抛物线经过点(0,4)， ①求该抛物线的表达式： ②若点P是该抛物线上一点，过点P的直线PQ垂直于x 轴，交直线y=-x+4于点Q.设P点横坐标为，线段 PQ的长度为d,求当d随m增大而减小时，d与之间 的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (第22题图) 匆 23.(本题满分15分)己知，将△ABC绕B点旋转得到△EBD,∠ACB=∠EDB=90° BC=BD-6,AC=ED=8,旋转角为a(0°<o<180°)，连接AE、CD (1)如图1，求证：△DBC∽△EBA (2)如图2，当点D恰好落在边AB上，延长ED交边AC于点F,连接BF、CD, 求证：∠ABF-∠ACD (3)如图3，当点D恰好落在△ABC的中线CG的延长线上时，延长ED交边AC 于点H,求AH的长 E A A D H (第23题图1) (第23题图2) (第23题图3) 第4页共4页