黑龙江省哈尔滨市第三中学校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈三中2026—2027学年度上学期 高二学年期中考试 数学 试卷 考试说明:（1）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分. 考试时间为120分钟； （2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第 I 卷（选择题, 共 58 分） ⼀、单选题：共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1. 已知是抛物线的焦点，则 A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 2. 已知直线与直线垂直，则 C. 4 D . A. B. 3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，P 是双曲线上⼀点且满⾜ ，则双曲线的标准⽅程为 D．A. B. C. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是 B． C．A. D． 5. 已知，为椭圆 的两个焦点， 是椭圆上第⼀象限的点，若 ，则A. B. C. D． ⾼⼆数学 第 1 ⻚ 共 6 ⻚ 学科网（北京）股份有限公司 6. 设为双曲线 的左焦点，分别为双曲线的两条渐近线 的倾斜⻆，已知点F 到其中⼀条渐近线的距离为2，且满⾜ ，则双曲线的焦距为 A． 6 B．8 C．10 D. 12 7. 已知圆 与椭圆： 交于A,B 两点，且线段 恰好为圆 的直径，则 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 如图，椭圆 ，双曲线 ， 与有共同的焦点，，它们在第⼀象限的交点为 P，若，椭圆的 ⻓轴⻓是双曲线实轴⻓的倍，则椭圆与双曲线的离⼼率分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， ⼆、多选题：共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合 题⽬要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知曲线：，其中为⾮零常数，则下列结论中正确的是 A. 曲线不可能是圆 B. 当时，曲线是焦点在 轴上的椭圆 C. 若曲线是离⼼率为的椭圆，则 D. 当 时，曲线是双曲线且渐近线⽅程为 10. 已知圆和圆，则下列结论正确的是 A. 两圆的圆⼼距的最⼩值为 1 B. 若圆与圆恰有两条公切线，则 C. 若圆与圆相切，则 D. 若，则圆与圆公共弦所在直线⽅程为 11. “⼯艺折纸”是⼀种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识.如图⽤⼀张圆形纸⽚，按如下步骤折纸： 步骤 1：设圆⼼是，在圆内异于圆⼼处取⼀定点；步骤 2：把纸⽚折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤 3：把纸⽚展开，并留下⼀道折痕，记折痕与的交点为； 步骤 4：不停重复步骤 2 和 3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点.现取半径为的圆形纸⽚，设点到圆⼼的距离为，按上述⽅法折纸．以线段 的中点为原点，的⽅向为x 轴的正⽅向建⽴平⾯直⻆坐标系xOy，记动点的轨迹为曲线． 则下列说法正确的是 A. 曲线围成的封闭图形⾯积⼩于 B. 过作其中⼀道折痕的垂线，垂⾜为，则 C. 在曲线上任取⼀点，则点到直线的距离的最⼤值为 D. 若直线与曲线交于两点，，且平分，的中点到点的最⼩距离为 第Ⅱ卷（⾮选择题, 共 92 分） 3、 填空题：本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 已知⼀束光线通过点，经直线反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线⽅程为 . 13. 已知点在抛物线上，且点，则的最⼩值为 ． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、 ， 点为坐标原点，过的直线与的两条渐近线分别交于、 两点，若， 且，则双曲线的离⼼率为 ． 4、 解答题：本⼤题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13 分） 在平⾯直⻆坐标系中，已知三个顶点为， , . （1） 求线段的垂直平分线所在直线的⽅程； （2） 若边上⾼所在的直线⽅程为，且的⾯积为，求点的坐 标. 16．（本题满分 15 分） 在平⾯直⻆坐标系中，点，圆的圆⼼为，半径为. （1） 若，直线经过点交圆于、两点，且，求直线的 ⽅程； （2） 若圆 上存在点 满⾜ ，求实数的取值范围． 17．（本题满分 15 分） 已知椭圆 的离⼼率为 ，且过 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 为坐标原点，求 面 积的最⼤值，并求此时直线的⽅程． 18．（本题满分 17 分） 已知双曲线：的渐近线⽅程为，点是上⼀点． （1） 求的⽅程； （2） 设点为的右顶点，为上异于点的两个动点，且以为直径的圆过点， 证明：直线过定点，并求出定点坐标； （3） 点为的右焦点，过点作斜率不为零的直线，与双曲线交于两点，设直线 （其中），过分别作的垂线，垂⾜分别为． 是否存在，使得直线与的交点总在轴上？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分 17 分） 在上任取⼀点，过点作 轴的垂线，为垂⾜，当在圆 上运动时，线段的中点的轨迹为曲线 （当点在 轴上时，规定与重合）， 为内的⼀个点，过点的直线交曲线的两个点的中点所形成的轨迹对应记为 （1） 求曲线的离⼼率； （2） 为坐标原点， 和为内的两个点，且，求证： 与除外有且仅有⼀个公共点，且该点在直线上； （3） 对（2）中的和以及，若轨迹、与两两相交于原点及另⼀ 个点，且除 外所得的三个点互不相同且共线，求点的轨迹⽅程. $高二上期中考试数学答案 一、 单选题 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 B C D A B B C D 二、 多选题 题号 9 10 11 答案 BD AD ACD 三、填空题 12.5x-y+1=0 13.4 14.2 三、解答题 15.解：（1)B2,1.c(-2-3)中点为0，-10.且kac=号=1 故BC的垂直平分线斜率为-1，方程为x+y+1=0. (2)BC边上的高所在直线为x+y=0,故设A(m,-m) 直线BC的方程为x-y-1=0.又BC=√(2+2)2+1+3)7=4W2. 点A到BC的距离为d=m-(m)-1=2m-1 由面积SAAc=BC·d=6,得4W2.2=6,即12m-1=3. 所以m=2或m=-1.故A(2,-2)或A(-1,1) 16.解：(1)圆C的圆心为(1,0)，半径为2.直线1过A(0,2),设其方程为kx-y+2=0. 由弦长Mw=2W3,得弦心距为22-(=1.所以2=1，解得k=- √k2+1 又直线x=0也满足条件，故直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0. (2)AP.0P=0得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1 点P同时在圆C上，圆C的圆心为(2a-1,a一1)，半径为2，故两圆有公共 点，两圆心距d=√2a-1)2+(a-2).由1≤d≤3得1≤5a2-8a+5≤9解得 C③扫描全能王 碰3亿人都在用的扫描ApP 17.解：()设椭圆方程为+后=1，由离心率e=得b2=2.又椭圆过点(1,9) 所以3+是=1，得a2=4,b2=1.故椭圆方程为+y2=1. (2)设直线1的方程为x=my+1,代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-3=0. 设Ay).B6y2.则y1+=-品4yM=- 于是s0B=1-y2l=2平.令t=Vm+3≥V5,则S= m2+4 当t=V3,即m=0时，面积最大，最大值为此时直线1的方程为x=1. 18.解：(1)由渐近线方程V5x±2y=0得=罗，即b2=2:又点P(4,V⑤)在双曲 线上，所以9-票=1.代入b2-,得9-号=1，所以a2=4,=5 故双曲线方程为芳-号=1. (2)设MN:x=my+n.代入双曲线方程得(5m2-4)y2+10mny+5n2-20=0. 设M(x,y1),N(x2,y2),由以MN为直径的圆过点E,得EN·E丽=0， 即(x1-2)x2-2)+y1y2=0.化简得n2+16n-36=0,解得n=2或n=-18. 当n=2时，直线MN过点E,不合题意，故n=-18. 因此直线MN恒过定点(-18,0). (3)设直线1的方程为x=my+3,设A(x1,y),B(x2,y2).则C(t,y),D(t,y2). 直线AD与x轴交点的横坐标为x4D=丝，直线BC与x轴交点的横坐标为 y2-y1 (x my+3, xc=2必.要使交点总在x轴上，需xy2+x2y=t0y1+y2).联立 y2-y1 得(5m2-4)y2+30my+25=0. 所以y+2=y=3号又x+x=2m+30:+y）=- 30m C③扫描全能王 壁3亿人都在用的扫描APp 故t=x2*2y=4 y1+y2 19.解：(1)设椭圆的半焦距为c,则c2-a2-2=a2,故e== 2 (2)由椭圆E的方程为x2+4y2=a2.设两条中点轨迹的一个公共点为W(x,y),过 A的相应弦的两个端点为M(x1,y1),N(x2,y2) 由x=,y=,号+4y=a2,x号+45=a2, 联立得x(x1-x2)+4y0y1-y2)=0. 又A,W及弦的两个端点共线，故存在实数S, 使1-x=s(x1-x2),-y=sy1-y2), 从而x(1-x)-4y2=0,即x2+4y2-x=0.① 同理过T的弦的中点，得x2+4y2-px-4qy=0.② ①②两式相减，得(p-1)x+4qy=0,代入x2+4y2-x=0中， 得*p-+4]x-4-0 当x=0时，由(p-1)x+4qy=0得y=0,即该公共点与原点重合；当x≠0时， 方程组有且仅有一组非零解，即x,y均唯一确定，故两条轨迹除原点外至多有一个 公共点 又A,T均在椭圆内部，直线AT与椭圆相交所得的中点同时属于这两条中点轨迹， 且O,A,T不共线，所以该中点不与原点重合。因此，两条中点轨迹除原点外有且 仅有一个公共点，且该点在直线AT上. (3)记过A,B,T的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C,H,K,其中C 为过A,B的弦的中点轨迹的交点，H为过A,T的弦的中点轨迹的交点，K为过B,T 的弦的中点轨迹的交点.由题设，点T不在直线OA,OB,AB上，故pq(p+2q- 1)≠0.由(2)知，过A,B,T的弦的中点的轨迹方程分别为 E4:x2+4y2-x=0, EB:x2+4y2-2y=0, ET:x2+4y2-px -4qy =0. E4,EB两式相减，得x=2y.又由(2)知C∈AB,而AB的方程为x+2y=1,故 C(（任)。由(2)知HEAT,设H1+-1),q,E,E7两式相减， CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描App 得（卫-1）x+4qy=0,代入点H的坐标，得= m-12+4g 同理，KEBT,设K(p,+u(q-)》 E8,Er两式相减，得px+(4q-2)y=0, 代入点K的坐标，得L=-可 1-2q 由于C,H,K共线，则有(x-(-)=(x-)(-) 代入H,K的坐标并整理，得(p+2q-1)(+-2)=0. 由p+2q-1≠0，得入+u-2μ=0，代入入4并通分整理，得 (1-p-2q)(p2+4q2-p-2q)=0. 又p+2q-1≠0，故p2+4q2-p-2q=0. 因此点T的轨迹方程为x2+4y2-x-2y=0. 反之，设点T(p,q)满足该方程且不与0，A,B重合，则p2+4q=p+2q. 若p=0或q=0,由轨迹方程可得点T与0，A,B中的一点重合. 若p+2q=1,则p2+4q2=1,从而4pq=(D+2q)2-(D2+4q2)=0, 仍得点T与A或B重合，均与所取点矛盾，因此pqp+2q-1)≠0. 又由轨迹方程得（口引°+(2g-》-号可令p-号=号cos8,2g-子-号 sine, 0∈[0,2π， 则P+4g2=(停cos0+)+(停sin0+)-1+96in0+cos0)=1+sin(0+)≤2， 从而p2+4q2不大于2.由a>2,故点T在椭圆E内.此时上述各步均可逆，故 三个非原点公共点共线， 若其中两个点重合，则该点同时属于过A,B,T的三条弦的中点轨迹，从而点C(任) 也满足，则得卫+2q=1,矛盾，故三个公共点互不相同 综上，点T的轨迹方程为x2+4y2-x-2y=0,其中去掉点0，A,B. C③扫描全能王 延3亿人都在用的扫描ApP