精品解析：黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

佳一中2026-2027学年度高二学年上学期期中考试 数学试题 时间：120分钟　总分：150分 I卷　选择题（共58分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设抛物线：的焦点为，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的焦半径，可先求出抛物线焦点，利用抛物线定义（或两点间距离公式）求焦半径长． 【详解】抛物线，对比标准式， 得，，焦点． 方法一：两点间距离公式 因为点在抛物线上，代入得，，即， 所以． 方法二：抛物线定义（焦半径公式） 由抛物线焦半径公式：抛物线上点到焦点距离， 已知的横坐标，于是． 2. 圆的圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将圆的一般方程化为标准方程得， 因此圆心为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离：. 又圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径之和，即最大值为.  3. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的左焦点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，，， 所以，由，得. 根据椭圆的几何性质：椭圆上的动点到焦点距离的最小值为. 当为左顶点时，到左焦点的距离取得最小值， 因此到左焦点的距离的最小值为. 4. 设双曲线：经过点和点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，得，则， 故的渐近线方程为 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义得，将乘积转化为关于的二次函数，结合的取值范围即可求得最小值. 【详解】由椭圆的方程，可得，，因此，， 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有，且的取值范围为，即， 设，则，因此， 该二次函数图象开口向下，对称轴为，故在区间端点处取得最小值， 代入得： ， 代入得： ， 故最小值为8. 6. 已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，即可得到点坐标，再将点坐标代入到双曲线方程中解方程得到离心率. 【详解】因为，，所以，因此，即，则； 不妨设在第二象限，因为，，则，所以； 又因为是双曲线上一点，所以，整理得，化简得， 又因为，所以. 7. 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点， 根据对称点的性质知中点在直线上， 即，可得， 又直线与直线垂直，即，可得， 即可得，即点， 直线的斜率为，得直线方程，即， 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点， 将代入得，即坐标为, 则将军在河边的饮马地点为. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将向量数量积转化为减去圆半径的平方，再结合椭圆上点到右焦点的距离范围计算取值范围 【详解】由椭圆，得，，，右焦点坐标为， 将圆的方程配方得，故圆心（即椭圆右焦点），半径， 由向量线性运算得，，又是圆直径端点，故， 因此：  ， 根据椭圆的性质，椭圆上任意一点到焦点的距离满足， 即，平方得， 因此： . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线．（ ） A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，时，，曲线化为，是焦点在轴的椭圆，A错误； B选项，若，则是双曲线， 当，双曲线变成，双曲线的渐近线为，整理可得， 当，双曲线变成，双曲线的渐近线为，综上可知B正确； C选项，若，则是圆，，即，其半径是，C错误； D选项，，时，，得到，为两条直线，D正确. 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 当时，与内切 C. 当时，与外切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，故圆心的坐标为，故A错误； 对于B，因为的圆心为，半径为， 当时，的半径为，则，故与内切，故B正确； 对于C，当时，的半径为，则，故与外切，故C正确； 对于D，当与相交时，与作差得，故D正确. 11. 双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. D. 当时，四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断C的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；利用即可判断B；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形， 故，故A正确； 对于C，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由于，故即，故C错误； 方法二：因为，因为双曲线中，，则， 又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 若过点往轴作垂线，垂足为，则， 则点与重合，则轴，则， 又，则，故C错误； 方法三：在中利用余弦定理知，， 即，则. 则为直角三角形，且，则，故C错误； 对于B，因为，则， 则双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于D，当时，则， 故四边形的面积为，故D正确. II卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在抛物线上，则求抛物线焦点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将点A的坐标代入抛物线方程求解参数a，再将抛物线方程化为标准形式，结合抛物线焦点坐标公式计算即可. 【详解】已知点在抛物线上，得 ，解得， 所以抛物线方程为，即，故，得，，所以焦点坐标为. 13. 已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则，即，解得. 14. 已知焦点在轴上的椭圆，轴正半轴上点，是的右顶点：若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】由中垂线斜率定出并写出，联立后借韦达定理把钝角条件化为数量积为负，解出的范围，再由换算成离心率的范围. 【详解】，，则. 因为的中垂线的斜率为，所以，即. 于是的中点为，故，即. 令得，点满足， 在椭圆内部，所以与恒有两个不同交点. 设、，由, 消去得， 由韦达定理得，. 因为为钝角，所以. 由（）得， 代入韦达定理并同乘得， 即，也即， 所以，结合得. 又，且，所以， 故椭圆的离心率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． （1）求的轨迹方程． （2）过作的切线，求切线方程及切线段长． 【答案】（1） （2）切线方程为或；切线段长为1 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合两点间距离公式运算求解即可； （2）分类讨论切线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解即可，再结合垂直关系求切线长即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 即，整理可得， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：动点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 若切线的斜率不存在，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：切线方程为或； 因为，所以切线长为. 16. 已知椭圆对称中心为，焦点在轴上且两个顶点坐标分别为、且离心率为，设上焦点为，过点的直线交椭圆于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：三角形的面积是三角形面积的倍； （3）当面积最大时求直线的方程，并求出的面积． 【答案】（1） （2）由（1）知、，且直线斜率一定存在， 故设直线方程为，即，设点、，如图所示， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 则，， 则， ，所以， 即三角形的面积是三角形面积的倍. （3）的最大值为，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接得出和的值，进而可得椭圆方程； （2）直接根据三角形的面积公式将面积之比转化为和之比即可； （3）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理将三角形面积表示为关于的函数，结合基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在轴上，，，所以，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由整理可得，，即， 由韦达定理得，， ， 令，则， 代入得， 当且仅当时取等号，此时，即， 所以的最大值为，此时直线的方程为. 17. 已知双曲线方程为，左右顶点为，，直线经过与双曲线右支交于，两点． （1）设直线的斜率为，求的取值范围． （2）设直线，的斜率为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2）由于在直线上，则， ， 而， 结合韦达定理代入，，， ， 于是， 即为定值 【解析】 【分析】（1）设出直线方程和双曲线联立，利用两交点横坐标大于零，判别式大于零列不等式组求解； （2）将斜率之和表达成关于的表达式，利用韦达定理化简求解. 【小问1详解】 设直线的方程为：，即， 联立，整理可得， 设， 若直线和双曲线右支交于两点，则， 由， 注意到， 则， 则，结合可得， 于是上述不等式组等价于，解得 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的方程为，左右焦点分别为，，直线，经过且相互垂直，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点． （1）当垂直于x轴时，求线段的长度． （2）求证：为定值． （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）证明：设（），代入得， 即，所以，. 于是， 所以. 当时，同理， 所以. 当竖直时，水平，，此时，同样成立， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）把代入椭圆方程求交点纵坐标； （2）设联立消元，用的韦达定理算弦长，再对用重复一遍相加，并单独验证竖直的情形； （3）由定值关系把目标化为的倍数，用求的最小值并检验等号. 【小问1详解】 椭圆中，，，. 当 轴时，代入得，即，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记，，由（2）得，即， 所以. 由及得，即， 当且仅当时取等号. 又，取时，此时也等于， 所以等号可以取到，最小值为. 19. 已知椭圆的方程为，椭圆的长轴长和短轴长分别为6和2．设椭圆左右顶点为，，直线过交椭圆于，两点，在x轴上方．连接，且． （1）求椭圆的方程和焦距． （2）若直线，的斜率分别为，，求证：为定值． （3）（i）求证：在一条定直线上． （ii）若过作直线的垂线垂足为，连接，求到直线距离的最大值． 【答案】（1）； （2）证明：设直线 的方程为 ， 联立 ，整理得 ， 由韦达定理得 . ，则 ，， ，故为定值. （3）（i）证明：设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 联立两式消去 得：，解得， 由点在和椭圆上，联立和， 解得点坐标为 ，同理可得点坐标为， 因为 ，，三点共线，所以，化简得 即或（不符题意，舍去）， 代入的表达式， 故点横坐标恒为 9 ，即 在定直线 上. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的几何意义解出和 ，从而求得椭圆的标准方程； （2）通过直线与椭圆联立方程组，得出韦达定理，， ，从而列出的表达式，化简即可得证； （3）（i）直线 的方程为 ，直线的方程为，联立直线、的方程，消去 得，，结合点在和椭圆上，求出点坐标，根据三点共线的斜率关系，结合从而得证； （ii）求出直线所过的定点，根据点到直线的几何性质可得当且仅当时取等号，计算出即可得出答案. 【小问1详解】 由题意得 ，，解得，，由 得， 即，所以椭圆的方程为 ，焦距为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）由题可得点坐标为，则直线的方程为， 令，则， 由（2）得， ， 所以， 所以， 所以直线过定点， 根据点到直线的几何性质可得，当且仅当时等号成立， 所以到直线距离的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026-2027学年度高二学年上学期期中考试 数学试题 时间：120分钟　总分：150分 I卷　选择题（共58分） 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设抛物线：的焦点为，点在上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 圆的圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的左焦点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线：经过点和点，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 6 6. 已知双曲线的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线．（ ） A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 C. 若，则是圆，其半径为 D. 若，，则是两条直线 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 当时，与内切 C. 当时，与外切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 11. 双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. D. 当时，四边形的面积为 II卷　非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在抛物线上，则求抛物线焦点的坐标为_______． 13. 已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为_______． 14. 已知焦点在轴上的椭圆，轴正半轴上点，是的右顶点：若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，若为钝角，则椭圆离心率的取值范围_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知动点到两个定点，的距离比为，设动点的轨迹方程为． （1）求的轨迹方程． （2）过作的切线，求切线方程及切线段长． 16. 已知椭圆对称中心为，焦点在轴上且两个顶点坐标分别为、且离心率为，设上焦点为，过点的直线交椭圆于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：三角形的面积是三角形面积的倍； （3）当面积最大时求直线的方程，并求出的面积． 17. 已知双曲线方程为，左右顶点为，，直线经过与双曲线右支交于，两点． （1）设直线的斜率为，求的取值范围． （2）设直线，的斜率为，，求证：为定值． 18. 已知椭圆的方程为，左右焦点分别为，，直线，经过且相互垂直，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点． （1）当垂直于x轴时，求线段的长度． （2）求证：为定值． （3）求的最小值． 19. 已知椭圆的方程为，椭圆的长轴长和短轴长分别为6和2．设椭圆左右顶点为，，直线过交椭圆于，两点，在x轴上方．连接，且． （1）求椭圆的方程和焦距． （2）若直线，的斜率分别为，，求证：为定值． （3）（i）求证：在一条定直线上． （ii）若过作直线的垂线垂足为，连接，求到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $