第五单元 线和角-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题】-2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三单元复习培优讲义

2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 线和角『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材三年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版三上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 【导图指引 梳理脉络】 2 【知识梳理 温故知新】 3 知识点梳理01：线段、直线、射线 3 知识点梳理02：角的认识 3 【考点讲练 真题汇总】 4 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 4 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 4 高频考点三 用圆规比较线段的长短 5 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 6 高频考点五 角的概念及表示方法 7 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 8 高频考点七 数图形（数角） 9 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 10 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 10 高频考点三 用圆规比较线段的长短 11 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 11 高频考点五 角的概念及表示方法 12 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 12 高频考点七 数图形（数角） 13 【优选真题 实战演练】 13 【能力提升练】 13 【思维创新练】 15 知识点梳理01：线段、直线、射线 1、线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2、直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3、射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。 （2）长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。 （3）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线，笔直的公路抽象为线段，而非直线）。 （4）避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和延伸方向区分。 知识点梳理02：角的认识 1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 3、角的表示方法： （1）用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC）。 （2）用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B，需保证顶点处只有一个角）。 （3）用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。 4、角的分类（按张开程度）： （1）角分为锐角、直角、钝角三类。 （2）锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。 （3）每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。 5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法： （1）将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合； （2）看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果没有重合，这个角就不是直角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·河南新乡·阶段检测）经过一点可以画( )条射线；经过一点能画( )条直线；经过两点能画( )条直线。 【变式训练1】（25-26三年级下·北京顺义·期末）数一数，下图中有( )条射线、( )条线段。 【变式训练2】（25-26三年级上·山东日照·期末）点在同一条直线上依次排列，点D位于点C的右侧。 (1)用圆规在图中确定点D的位置，使。 (2)比较线段的长短：AC( )BD。（填“＞”“＜”或“＝”） 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26三年级上·重庆秀山·期末）如图，奇奇从家到学校有三条路可以走，( )号路最近。 【变式训练1】（25-26三年级上·四川眉山·期末）按要求作图。 （1）作射线AB、线段BC。 （2）用圆规在线段BC的延长线上截取CD＝BC。 （3）在直线l上找到一点P，使AP＋CP最小，在图上画出来，并写出你的理由。 【变式训练2】（24-25四年级上·河北·课后作业）看图回答问题。 （1）北京到南京的空中航程是（    ）千米，铁路里程是（    ）千米，公路里程是（    ）千米。 （2）（    ）线路最长，（    ）线路最短。 （3）自己提出问题并解答。 高频考点三 用圆规比较线段的长短 【典例精讲】（25-26三年级上·四川广元·期末）用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（填“＞”“＜”或“＝”） (1) AB____________________CD (2) AB____________________CD 【变式训练1】（25-26三年级上·陕西宝鸡·期末）按要求做一做。 (1)在图中画出线段AB、射线BC和直线AC。 (2)比一比线段AB和线段AC的长短，AB______AC。（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式训练2】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）画一画，填一填。 (1)在如图中过点画出一条直线，经过点可以画出（    ）条直线。 (2)在如图中以点为端点画一条射线。 (3)用圆规比较右图中的两条线段的长度，线段（    ）线段。（填“”“＜”或“＝”）（保留作图痕迹） 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】（25-26三年级上·河北廊坊·阶段检测）数一数。 上图中一共( )条线段，( )条射线，( )条直线。 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏扬州·期末）经过纸上的2个点可以画1条直线，经过3个点中的每2个点最多可以画3条直线。画一画，数一数，填一填。 点数个 2 3 4 5 6 … 直线数条 1 3 … 【变式训练2】（25-26三年级上·山东济南·期末）想一想，画一画。 (1)在直线l上有一个点A，请你以点A为一个端点画出长为3厘米的线段AB，再用圆规在直线l上作线段BC，使BC＝AB。 (2)完成问题（1）后，仔细观察思考，图中有( )条线段，有( )条射线。 高频考点五 角的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）角的认识。 (1)左图中一共有( )个角，其中有( )个钝角，( )个直角。 (2)中国古为礼仪之邦，在古代便有着很多种行礼方式，如“揖（yī）礼”，下面是三种较为常见的“揖礼”。下图中所形成的角最小的是( )，最大的是( )。 【变式训练1】（25-26三年级上·河南开封·期末）画一画，填一填。 （1）过点O画直线。经过点O可以画（    ）条直线。 （2）在直线上取一点A，使线段长5厘米，经过O、A两点可以画（    ）条直线。 （3）以射线为一条边画，标出角的各部分名称。 【变式训练2】（2025三年级上·全国·专题练习） （1）从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作（    ），它通常用符号“（    ）”表示，图中的角可以记作“（    ）”。 （2）标出图中角的各部分的名称。 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·山西运城·阶段检测）在下面的图形中画一条线段，把它分成一个长方形和一个三角形。 变化后的图形里有（    ）个直角，（    ）条线段。 【变式训练1】（25-26三年级上·福建厦门·期末）按要求画一画。 (1)以点A为顶点，以射线m为角的一条边，画一个锐角； (2)在射线m上画一条3厘米的线段AB； (3)在角的另一条边上用圆规截取与线段AB同样长的线段AC。 【变式训练2】（25-26三年级上·四川南充·期末）如下图，有A、B、C、D四个点，按照下面要求画一画。 (1)画出射线AB，并以射线AB作为角的一条边画一个锐角。 (2)画出直线CD，再用圆规在直线CD上作线段CN，使CN＝CD。 高频考点七 数图形（数角） 【典例精讲】（25-26三年级上·广东汕头·阶段检测）数一数。下面的图形中各有几个角？几条线段？ ( )个角，( )条线段。 ( )个角，( )条线段。 ( )个角，( )条线段。 【变式训练1】（25-26三年级上·云南曲靖·阶段检测）数一数，填一填。 (1)图1中一共有( )个角。 (2)一趟从甲地开往乙地的动车，沿途要停靠A站、B站、C站三站（如图2），铁路部门要为这趟动车准备( )种不同的车票（单程）。 【变式训练2】（25-26三年级上·河南安阳·阶段检测）如图中一共（    ）个角。 A．10 B．9 C．8 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级上·浙江杭州·期末）如果一条直线上有n个端点，就有（    ）条线段，就有（    ）条射线。（借助下面的图画一画） 【变式训练1】如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点……连一连，写出最多可以得到多少条线段。 平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系： 【变式训练2】长方形内有6个点，连同长方形的4个顶点在内共有10个点。在这10个点中，任意3个点都不在一条直线上。以这10个点为顶点，可作出( )个互不重叠的三角形。 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·江苏扬州·期末）一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸，请在图中画出最短路线，并说明理由。 我这样画，理由1是：_________  理由2是：___________________________ 【变式训练1】两根木条，一根长60cm，另一根长80m，将它们的一端重合，放在同一直线上，此时两根木条的中点间的距离是( )cm。 【变式训练2】数线段． 高频考点三 用圆规比较线段的长短 【典例精讲】（25-26三年级上·江西赣州·期末）军军想知道花灯骨架中哪一组线段更长（如图所示），请你用不同工具比一比这两组线段的长度，并说说你的理由。 【变式训练1】（25-26三年级上·陕西渭南·期末）按要求画一画。 (1)在图中画出直线AB、射线BD和线段DC。 (2)按（1）所画出的图形中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 (3)用圆规比较所画图中线段AB、BD的长短，得出线段( )更长。 【变式训练2】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）用圆规在直线l上作线段CD，使CD＝AB。 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠3个站，铁路部门要准备( )种不同的单程车票。 【变式训练1】图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 【变式训练2】在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有_____条。 高频考点五 角的概念及表示方法 【典例精讲】（24-25四年级上·河北·课后作业）数一数：有多少个角？       ( )个                 ( )个 【变式训练1】下图中有( )条射线，一共组成了( )个角。 数一数，独立的小角有( )个，由2个小角组成的角有( )个，由3个小角组成的角有( )个。 【变式训练2】图形 内共有（    ）个角。 A．6 B．8 C．12 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】下午时刻中，分针与时针成直角的是（    ）。 A．12时15分 B．3时30分 C．9时 【变式训练1】如图，两个正方形叠放在一起，的度数是( )°。 【变式训练2】中学要学一个关于平行线的知识，如图①，a∥b，则∠1＝∠2。小强为了证明这个结论，过∠1、∠2的顶点，在平行线之间作了两条垂线，使得AB⊥BC，DC⊥AD（如图②）。请你利用图②，推理说明∠1＝∠2。（用上“因为”“所以”） 高频考点七 数图形（数角） 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·随堂练习）一个正方形有几个角？如果去掉一个角后还剩下几个角？ 【变式训练1】（25-26三年级上·四川宜宾·期末）在中，共有( )个角，其中锐角有( )个。 【变式训练2】（25-26三年级上·河南省直辖县级单位·期末）图中一共有( )个角，其中有( )个锐角、( )个直角、( )个钝角。 【能力提升练】 1．（25-26三年级上·河北保定·期中）一条线用卷尺量有228厘米，这条线一定是（ ）。 A．线段 B．射线 C．直线 2．（25-26三年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面用一副三角尺拼成的三个角中，最小的角是（    ）。 A． B． C． 3．（25-26三年级上·广东汕尾·阶段检测）分针从数字3走到数字6，走过的角度是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 4．（25-26三年级上·河北保定·期中）3时30分时，钟面上时针和分针形成的较小的角是( )角。 5．（25-26三年级上·河北保定·期中）如图，有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 6．（25-26三年级上·陕西咸阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3千米( )300米 70厘米( )6分米9厘米 600毫米( )1千米 4米( )70毫米 8分米( )90厘米 5毫米( )6厘米 ( )( ) 7．（25-26三年级上·河北邢台·期中）一副三角板上最大锐角的度数是70°。( )（判断对错） 8．（26-27三年级上·河北唐山·期中）孙悟空一念咒语，他的金箍棒可以向两端无限延长，金箍棒相当于一条直线。( )（判断对错） 9．（2026三年级上·全国·专题练习）数一数，解决问题（写出过程）。 1个角 3个角 6个角 （    ）个角     （    ）个角 10．（25-26三年级上·北京大兴·期末）儿童滑梯是儿童游乐场中最受欢迎的游乐设施之一。在滑梯的上下穿梭间，孩子们不仅享受了无尽的欢乐，更在运动中锻炼了身体，磨炼了意志，培养了勇气。根据国家标准，幼儿用的滑梯的滑道要设计得更加平缓，小学生用的滑梯坡度可适当加大。 (1)一个幼儿用的滑梯模型（如下图），明明觉得太陡不安全。为了让滑梯变缓从而更安全，应该（    ）。 A．增大，减小 B．减小，增大 (2)为了让滑梯变缓，明明提出了一种改造方法，将虚线以下的部分截掉（如下图）。他的改造方法能让滑梯变缓吗？请说明理由。 (3)如果让你来设计，如何让滑梯变缓从而更安全呢？请你画一画（可以在原图上改造，也可以重新设计）。 改造设计图 【思维创新练】 1．（25-26三年级上·湖北武汉·期末）关于角，下列说法正确的有（    ）人。 李红：角是从一点引出两条射线组成的图形。 张强：角的边是射线，所以角的大小与边的长短无关。 钱松：把一个角的两边张开得大一些，角就变大了。 赵亮：锐角比直角小，钝角比直角大。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24四年级上·河南商丘·期末）如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备（    ）种不同的车票。 A．45 B．55 C．65 D．20 3．（25-26三年级上·河南南阳·期末）一张长方形纸上有四个角，把它沿一条直线剪去一个角，最多还剩( )个角，最少还剩( )个角。 4．（25-26三年级上·陕西安康·阶段检测）一个长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，可能还剩( )个角。（填序号） ①2  ②3  ③4  ④5  ⑤6 5．（24-25二年级下·江苏泰州·期末）下图钟面上表示的时间是( )时( )分，这时分针和时针形成的角是( )角，再过( )分钟就是8时了。 6．（23-24四年级上·河北衡水·期末）如图，两张同样的长方形纸重叠了一部分，已知∠1＝55°，分别求出∠2、∠3的度数。 7．（25-26三年级上·四川凉山·期末）一张长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，还剩几个角？请你试着画一画，数一数。（角的个数相同的只算一种。） 8．（25-26三年级上·湖北恩施·期末）如下图所示，两根小棒AB和CD重叠在一起。 (1)如果AC＝BD，那么AB( )CD。 (2)如果AC＜BD，那么AB( )CD。 (3)你还能像上面①②那样，用“如果……那么……”写几组关系吗？（至少写2组） 9．（25-26三年级上·山东济南·阶段检测）操作题。 (1)在下面直线上画出长为2厘米的线段AB。 (2)再用圆规在直线上作线段BC，使BC＝AB（保留作图痕迹）。 (3)以射线BC为角的一条边，画一个锐角。 10．（25-26三年级上·河南信阳·阶段检测）有、、三点（位置如图），按要求完成以下操作。 （1）过点、可以画出（    ）条直线，请你画出来。过点C可以画（    ）条直线。在图中画出射线CB。 （2）在直线上画出长为2厘米的线段；再用圆规在直线上作线段，使（保留作图痕迹） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 线和角『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共62题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材三年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版三上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 【导图指引 梳理脉络】 2 【知识梳理 温故知新】 3 知识点梳理01：线段、直线、射线 3 知识点梳理02：角的认识 3 【考点讲练 真题汇总】 4 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 4 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 5 高频考点三 用圆规比较线段的长短 8 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 10 高频考点五 角的概念及表示方法 12 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 14 高频考点七 数图形（数角） 17 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 18 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 20 高频考点三 用圆规比较线段的长短 21 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 24 高频考点五 角的概念及表示方法 25 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 27 高频考点七 数图形（数角） 29 【优选真题 实战演练】 30 【能力提升练】 30 【思维创新练】 35 知识点梳理01：线段、直线、射线 1、线段 （1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 （2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 （3）性质：两点之间，线段最短。 2、直线 （1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 （2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3、射线 （1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 （2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 （1）区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。 （2）长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。 （3）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线，笔直的公路抽象为线段，而非直线）。 （4）避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和延伸方向区分。 知识点梳理02：角的认识 1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 3、角的表示方法： （1）用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC）。 （2）用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B，需保证顶点处只有一个角）。 （3）用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。 4、角的分类（按张开程度）： （1）角分为锐角、直角、钝角三类。 （2）锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。 （3）每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。 5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法： （1）将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合； （2）看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果没有重合，这个角就不是直角。 【易错点拨】 （1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘米”。 （2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关。 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·河南新乡·阶段检测）经过一点可以画( )条射线；经过一点能画( )条直线；经过两点能画( )条直线。 【答案】 无数 无数 1 【思路引导】射线有一个端点，向一端无限延伸，以一点为端点可以向任何方向画射线；直线没有端点，向两端无限延伸，经过一点，可以向任意方向画直线；经过两点，只能确定一条直线。 【规范解答】经过一个点，可以向不同的方向画出射线，方向有无数个，所以可以画无数条射线； 经过一个点，可以画出不同方向的直线，方向有无数个，所以可以画无数条直线； 经过两点，只能确定一条直的路径，所以只能画1条直线。 【变式训练1】（25-26三年级下·北京顺义·期末）数一数，下图中有( )条射线、( )条线段。 【答案】 6 3 【思路引导】线段定义：两个端点，有限长；射线定义：一个端点，向一端无限延伸。图中有A、B、C三个点，直线左右两端无限延长。 【规范解答】1.数射线 每个点能向左、向右各形成1条射线，3个点：3×2＝6（条）。 2.数线段 单条短线段：AB、BC，共2条； 两条组合线段：AC，共1条； 线段总数：2＋1＝3（条）。 【变式训练2】（25-26三年级上·山东日照·期末）点在同一条直线上依次排列，点D位于点C的右侧。 (1)用圆规在图中确定点D的位置，使。 (2)比较线段的长短：AC( )BD。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】(1) (2)＝ 【思路引导】（1）用圆规量取线段AB的长度，将圆规的针尖脚固定在点A，铅笔脚张开到点B，保持圆规的张开幅度不变，再将圆规的针尖脚固定在点C，转动手柄，使铅笔脚在点C的右侧画弧，与直线AC相交的点即为点D，此时CD＝AB； （2）将AB、CD加上相同的线段BC，可比较AC和BD的大小。 【规范解答】（1）画图略。 （2）AC＝AB＋BC BD＝BC＋CD 因为AB＝CD，所以AC＝BD。 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（25-26三年级上·重庆秀山·期末）如图，奇奇从家到学校有三条路可以走，( )号路最近。 【答案】② 【思路引导】两点间所有的连线中，线段的距离是最短的，注意线段是直的，据此判断。 【规范解答】②号路是家到学校直直的线段；①号和③号是折起来的两条线段，折线的长度都比直直的线段长；所以②号路最近。 【变式训练1】（25-26三年级上·四川眉山·期末）按要求作图。 （1）作射线AB、线段BC。 （2）用圆规在线段BC的延长线上截取CD＝BC。 （3）在直线l上找到一点P，使AP＋CP最小，在图上画出来，并写出你的理由。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）见详解；两点之间线段最短 【思路引导】（1）根据题意，先用直尺连接A、B两点，并从A经过B的方向画出射线AB。再直接连接B、C得线段BC。 （2）用圆规在线段BC的延长线上截取CD＝BC。先画BC的延长线，用圆规在BC的延长线上截出另一段CD，使CD与BC相等。 （3）根据两点之间线段最短，可知在直线l上找到一点P，使AP＋CP最小，直接连接AC，使线段AC与直线l相交于点P，以此画图即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）作射线AB、线段BC如下： （2）用圆规在线段BC的延长线上截取CD＝BC如下： （3）在直线l上找到一点P，使AP＋CP最小，在图上画出来如下： 理由：两点之间线段最短。 【变式训练2】（24-25四年级上·河北·课后作业）看图回答问题。 （1）北京到南京的空中航程是（    ）千米，铁路里程是（    ）千米，公路里程是（    ）千米。 （2）（    ）线路最长，（    ）线路最短。 （3）自己提出问题并解答。 【答案】（1）925；1160；1071 （2）铁路；航空 （3）铁路里程比航空里程长多少千米； 235千米（答案不唯一） 【思路引导】 （1）观察图可以发现，表示航空，北京到南京的空中航程是925千米，表示铁路，铁路里程是1160千米，表示公路，公路里程是1071千米。 （2）比较航空、铁路和公路的里程即可。 （3）根据题干所给信息，提出铁路里程比航空里程长多少千米？用铁路里程减去航空里程，即可求出用铁路里程减去航空里程。 【规范解答】（1）由分析可知，北京到南京的空中航程是925千米，铁路里程是1160千米，公路里程是1071千米。 （2）1160＞1071＞925 所以铁路线路最长，航空线路最短。 （3）铁路里程比航空里程长多少千米？ 1160－925＝235（千米） 答：铁路里程比航空里程长235千米。（答案不唯一） 高频考点三 用圆规比较线段的长短 27．（25-26三年级上·四川广元·期末）用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（填“＞”“＜”或“＝”） (1) AB____________________CD (2) AB____________________CD 【答案】(1)＜ (2)＝ 【思路引导】把圆规的两个针尖先对准线段AB的两个端点，固定圆规的张开幅度，再去比对线段CD的长度，会发现CD比AB长，所以AB＜CD。 同样用圆规先量出AB的长度，再和CD比对，能发现CD与AB一样长，所以AB＝CD。 【规范解答】（1） AB＜CD （2） AB＝CD 【变式训练1】（25-26三年级上·陕西宝鸡·期末）按要求做一做。 (1)在图中画出线段AB、射线BC和直线AC。 (2)比一比线段AB和线段AC的长短，AB______AC。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】(1) (2)＞ 【思路引导】（1）线段AB是连接A和B两个端点，不能延长；射线BC是从B点向C点无限延伸；直线AC是过A和C两个点，两端都无限延长。 （2）连接A和C两点，得到线段AC，圆规比较线段长短：将圆规的一个针尖固定在点A，调整圆规使另一个针尖刚好落在点B，此时圆规两脚张开的幅度就是线段AB的长度；保持圆规两脚的张开幅度不变，把固定端的针尖依然放在点A，看另一端针尖的位置，如果另一端针尖超过点C，说明AB的长度大于AC；如果另一端针尖落在A点和C点之间，说明AB的长度小于AC。 【规范解答】（1）略 （2） 通过观察发现另一端针尖超过点C，所以AB＞AC 【变式训练2】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）画一画，填一填。 (1)在如图中过点画出一条直线，经过点可以画出（    ）条直线。 (2)在如图中以点为端点画一条射线。 (3)用圆规比较右图中的两条线段的长度，线段（    ）线段。（填“”“＜”或“＝”）（保留作图痕迹） 【答案】(1)无数 (2)见详解 (3)＝ 【思路引导】直线没有端点，可以向两端无限延伸，所以只要经过A点任意画一条直线m即可；经过A点可以画无数条直线； 以A为端点，用直尺向任意一个方向画一条线，使线的一端固定在点A，即以A为端点的射线； 用圆规的两脚分别对准线段CD画一条弧线，再将圆规的两脚对准线段EF画一条弧线，可以发现线段CD＝线段EF。 【规范解答】（1） ；无数条 （2） （3） ；＝ 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】（25-26三年级上·河北廊坊·阶段检测）数一数。 上图中一共( )条线段，( )条射线，( )条直线。 【答案】 6 8 1 【思路引导】线段：直线上两点之间的部分； 射线：一个端点，向一侧无限延伸； 直线没有端点，向两边无限延伸。 【规范解答】图上一条直线上有4个点： 线段：单个小段3条，两段组合2条，三段组合1条，合计3＋2＋1＝6（条） 射线：1个端点分出2条射线，4个端点，共有2×4＝8（条） 直线：整条只有1条直线 【变式训练1】（25-26三年级下·江苏扬州·期末）经过纸上的2个点可以画1条直线，经过3个点中的每2个点最多可以画3条直线。画一画，数一数，填一填。 点数个 2 3 4 5 6 … 直线数条 1 3 … 【答案】；6；10；15 【思路引导】把线段的两端无限延长，得到一条直线，经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。4个点：第一个点可以和另外3个点画3条直线，第二个点已经和第一个点连过，还能画2条新直线，第三个点已经和前两个点连过，还能画1条新直线，总共：3＋2＋1＝6条。 5个点：同理累加可得，总共：4＋3＋2＋1＝10条。6个点：同理累加可得，总共：5＋4＋3＋2＋1＝15条……。 【规范解答】如图所示： 4个点：3＋2＋1＝6（条） 5个点：4＋3＋2＋1＝10（条） 6个点：5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 点数个 2 3 4 5 6 … 直线数条 1 3 6 10 15 … 【变式训练2】（25-26三年级上·山东济南·期末）想一想，画一画。 (1)在直线l上有一个点A，请你以点A为一个端点画出长为3厘米的线段AB，再用圆规在直线l上作线段BC，使BC＝AB。 (2)完成问题（1）后，仔细观察思考，图中有( )条线段，有( )条射线。 【答案】(1) (2) 3 6 【思路引导】（1）先在直线l上找到点A，用直尺从点A开始量出3厘米，确定点B，画出线段AB。再把圆规两脚张开的距离调整为3厘米，以点B为圆心画弧，弧与直线l的交点就是点C，线段BC就和AB一样长； （2）线段有两个端点，数出图中所有不同的线段。射线有一个端点，向一端无限延伸，以每个点为端点，向左右两边数出射线的数量。 【规范解答】（1）画图略。 （2）根据端点一条一条数，可以数出3条线段；有3个端点，每个端点向左右两边画出2条射线，共6条射线。 高频考点五 角的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）角的认识。 (1)左图中一共有( )个角，其中有( )个钝角，( )个直角。 (2)中国古为礼仪之邦，在古代便有着很多种行礼方式，如“揖（yī）礼”，下面是三种较为常见的“揖礼”。下图中所形成的角最小的是( )，最大的是( )。 【答案】(1) 4 2 1 (2) 土揖 长揖 【思路引导】（1）从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。四边形有四个角，分别和三角尺上的直角做比较，判断各角属于哪类角。 （2）角的大小取决于两条边张口的程度，张开得越小，角的度数越小，张开得越大，角的度数越大；观察三种揖礼的弯曲程度所形成的角，进行比较。 【规范解答】（1）观察这个图形是四边形，四边形有4个角，可以用三角尺的直角分别去量每个角，比直角小的是锐角，相等的是直角，比直角大的是钝角，得出有1个角是直角，2个角是钝角，1个角是锐角。 （2）观察图形，土揖形成两条边的张开程度＜天揖形成两条边的张开程度＜长揖形成两条边张开程度 所以土揖形成角的度数＜天揖形成角的度数＜长揖形成角的度数 所以形成的角最小的是土揖，最大的是长揖。 【变式训练1】（25-26三年级上·河南开封·期末）画一画，填一填。 （1）过点O画直线。经过点O可以画（    ）条直线。 （2）在直线上取一点A，使线段长5厘米，经过O、A两点可以画（    ）条直线。 （3）以射线为一条边画，标出角的各部分名称。 【答案】（1）无数 （2）；1 （3） 【思路引导】（1）过一点可以画无数条直线。 （2）把直尺的0刻度对齐O点，直尺与直线重合，从O点出发，在5厘米处点一个点A，连接OA，即可画出线段OA；经过两点只能画一条直线。 （3）从O点向另一个方向画一条射线OB，即可画出∠AOB，O点为顶点，OA和OB为边。 【规范解答】（1）经过点O可以画无数条直线。 （2）画图如下；经过O、A两点可以画1条直线。 【变式训练2】（2025三年级上·全国·专题练习） （1）从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作（    ），它通常用符号“（    ）”表示，图中的角可以记作“（    ）”。 （2）标出图中角的各部分的名称。 【答案】（1）角；∠；∠1 （2）标注见详解 【思路引导】（1）根据角的概念和表示方法，从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，它通常用符号“∠”表示，图中的角可以记作“∠1”。 （2）两条射线共同的端点就是角的顶点，从一点引出的两条射线分别叫做角的边；据此标出角各部分的名称。 【规范解答】（1）根据分析可知： 从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作角，它通常用符号“∠”表示，图中的角以记作“∠1”。 （2）角的各部分名称如下： 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】（25-26三年级上·山西运城·阶段检测）在下面的图形中画一条线段，把它分成一个长方形和一个三角形。 变化后的图形里有（    ）个直角，（    ）条线段。 【答案】；5；7 【思路引导】要分成一个长方形和一个三角形，过右上方的顶点向下底作垂直的线段，即可完成分割。 数直角时，先分别统计长方形内的直角数量和三角形内的直角数量，再求和得到总直角数。 数线段时，先统计原梯形的线段数量，加上新增的分割线段，再统计被分割点拆分出的新线段，求和得到总线段数。 【规范解答】图略； 数直角：长方形自带4个直角，分出的直角三角形自带1个直角，合起来一共是5个直角。 数线段：原来的直角梯形有4条边，新增了1条分割用的垂直线段；同时梯形原本的下底被这条垂线分成了2条短线段，总线段数为：4＋1＋2＝7（条）。 【变式训练1】（25-26三年级上·福建厦门·期末）按要求画一画。 (1)以点A为顶点，以射线m为角的一条边，画一个锐角； (2)在射线m上画一条3厘米的线段AB； (3)在角的另一条边上用圆规截取与线段AB同样长的线段AC。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）以A为顶点，射线m为其中一条边；用三角板的一条直角边与射线m重合，以A为端点，画一条射线，使这条射线在三角板的直角边的内侧。也就是形成比直角小的角。 （2）用刻度尺在射线m上从A点开始量取3厘米，标记出点B；线段AB即为所求。 （3）用圆规作等长线段，先量出已知线段长度，再在目标位置截取相同长度。 ①把圆规针尖固定在A点，调整圆规张开幅度，让铅笔端对准B点，量出AB的长度； ②保持圆规张开幅度不变，把针尖固定在A点不动，在角的另一边上用圆规截取与线段AB同样长的线段AC，即得到的线段AC就满足AC＝AB。 【变式训练2】（25-26三年级上·四川南充·期末）如下图，有A、B、C、D四个点，按照下面要求画一画。 (1)画出射线AB，并以射线AB作为角的一条边画一个锐角。 (2)画出直线CD，再用圆规在直线CD上作线段CN，使CN＝CD。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）首先明确射线AB的定义：端点是A，向B的方向无限延伸，所以先连接A、B，再沿AB方向过B点向外延长得到射线AB。因为锐角是大于0°且小于90°的角，所以以A为顶点，在射线AB外选一个合适的点，作另一条射线，使两条射线的夹角满足锐角的范围即可。 （2）首先明确直线CD的定义：没有端点，过C、D两点向两个方向无限延伸，所以过C、D两点画直线并向两端延长得到直线CD。要作CN＝CD，那么用圆规量取CD的长度，再以C为圆心，CD长为半径在直线CD上画弧，与直线CD的交点即为N点。 高频考点七 数图形（数角） 【典例精讲】（25-26三年级上·广东汕头·阶段检测）数一数。下面的图形中各有几个角？几条线段？ ( )个角，( )条线段。 ( )个角，( )条线段。 ( )个角，( )条线段。 【答案】 6 6 5 5 8 5 【思路引导】线段：直直的，有两个端点，可以量出长度；角：从一个点起，向不同方向画出两条射线，就组成一个角。 【规范解答】有6个角，6条线段； 有5个角，5条线段； 有8个角，5条线段。 【变式训练1】（25-26三年级上·云南曲靖·阶段检测）数一数，填一填。 (1)图1中一共有( )个角。 (2)一趟从甲地开往乙地的动车，沿途要停靠A站、B站、C站三站（如图2），铁路部门要为这趟动车准备( )种不同的车票（单程）。 【答案】(1)10 (2)10 【思路引导】（1）对于数角的问题，先数出单个小角有4个，由2个小角组成的角有3个，由3个小角组成的角有2个，由4个小角组成的角有1个，把这些所得的角的个数相加，计算出总角数； （2）对于单程车票种类问题，因为两个站点之间对应一种单程车票，先数出甲地到其它4个站点有4种不同的车票，A站点到其它3个站点（甲站点除外）有3种不同的车票，B站点到C站点和乙站点有2种不同的车票，C站点到乙站点有1种车票，把所得的车票种数相加，可得一共有多少种车票。 【规范解答】（1）（个），图中一共有个角。 （2）（种），铁路部门要为这趟动车准备种不同的车票（单程）。 【变式训练2】（25-26三年级上·河南安阳·阶段检测）如图中一共（    ）个角。 A．10 B．9 C．8 【答案】A 【思路引导】先数出单个的角，再数出由两个角拼成的角，再数出由三个角拼成的角，再数出由四个角拼成的角，最后相加即可。 【规范解答】单个的角：4个；由两个角拼成的角：3个；由三个角拼成的角：2个；由四个角拼成的角：1个；总数：（个）。 高频考点一 线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】（23-24四年级上·浙江杭州·期末）如果一条直线上有n个端点，就有（    ）条线段，就有（    ）条射线。（借助下面的图画一画） 【答案】n（n－1）÷2；2n 【思路引导】一条直线上有2个端点时，有1条线段，（2×2）条射线；一条直线上有3个端点时，有（1＋2）条线段，（2×3）条射线；一条直线上有4个端点时，有（1＋2＋3）条线段，（2×4）条射线……当有n个端点时，线段的条数就是（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1，射线的条数就是用端点个数乘2。据此解答即可。 【规范解答】（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1把第一个式子和最后一个数相加得到n，第二个式子和倒数第二个数相加得到n，依次类推一共有（n－1）÷2个n，即n（n－1）÷2；射线的条数用端点个数乘2，即2n。即如果一条直线上有n个端点，就有（n（n－1）÷2）条线段，就有（2n）条射线。 数线段的条数画图略。 【考点剖析】能够明白线段的个数是用端点的个数减去1后的数一直加到1的和，射线的个数是用端点个数乘2是解决本题关键。 【变式训练1】如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点……连一连，写出最多可以得到多少条线段。 平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系： 【答案】见详解 【思路引导】线段有两个端点，所以两个点可以画一条线段，据此在题图上画出线段，然后再分析点的数量与线段的条数之间的关系即可。 【规范解答】 2个点连线的数量：1 条 3个点连线的数量：1＋2＝3（条） 4个点连线的数量：1＋2＋3＝6（条） 5个点连线的数量：1＋2＋3＋4＝10（条） 可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋……＋（点的数量－1） 【考点剖析】本题的解题关键是根据已知图形中点与线段条数的关系，推理出结论进行解答。 【变式训练2】长方形内有6个点，连同长方形的4个顶点在内共有10个点。在这10个点中，任意3个点都不在一条直线上。以这10个点为顶点，可作出( )个互不重叠的三角形。 【答案】14 【思路引导】先画一个长方形，然后根据题意在长方形内画6个点，再将每3个点链接起来组成一个三角形，最后计算出三角形的个数即可。 【规范解答】 如图可知：以这10个点为顶点，可作出14个互不重叠的三角形。 【考点剖析】熟练掌握三角形、长方形和直线的特点是解答此题的关键。 高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】（24-25四年级上·江苏扬州·期末）一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸，请在图中画出最短路线，并说明理由。 我这样画，理由1是：_________  理由2是：___________________________ 【答案】 两点之间线段最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【思路引导】（1）因为两点之间线段最短，所以连接Q、A两点的连线即是小船Q到A仓库的最短路线； （2）因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以，只要作出A点到B岸的垂直线段即可。 【规范解答】画图略 理由1是：两点之间线段最短；理由2是：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【考点剖析】本题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，以及两点之间线段最短的应用。 【变式训练1】两根木条，一根长60cm，另一根长80m，将它们的一端重合，放在同一直线上，此时两根木条的中点间的距离是( )cm。 【答案】70或10 【思路引导】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分第一种情况BC不在AB上时，MN＝BM＋BN；第二种情况BC在AB上时，MN＝BM－BN，分别代入数据进行计算即可得解。 【规范解答】如图，设较长的木条为AB＝80cm，较短的木条为BC＝60cm， 因为M、N分别为AB、BC的中点， 所以BM＝AB ＝×80 ＝40cm， BN＝BC ＝×60 ＝30cm， 如图1，BC不在AB上时，MN＝BM＋BN＝40＋30＝70cm； 如图2，BC在AB上时，MN＝BM－BN＝40－30＝10cm； 综上所述，两根木条的中点间的距离是70cm或10cm。 【考点剖析】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观。 【变式训练2】数线段． 【答案】15条 【规范解答】6×（6﹣1）÷2=15（条） 答：共有15条线段． 高频考点三 用圆规比较线段的长短 【典例精讲】（25-26三年级上·江西赣州·期末）军军想知道花灯骨架中哪一组线段更长（如图所示），请你用不同工具比一比这两组线段的长度，并说说你的理由。 【答案】 直接测量出第一组线段7cm，第二组线段共6cm；所以第一组线段更长。 或者用圆规的两脚分别对准C、D两点，将圆规一脚与A点对齐，在线段AB中画出D点；圆规的两脚分别对准D、E两点，将圆规一脚与D点对齐，在线段AB中画出E点，发现第一组线段更长。 【思路引导】方法一：可以用尺子分别量出①和②的长度，并进行数值比较。 方法二：借助圆规将一条线段“移动”到另一条线段上，使一个端点重合，通过观察另一个端点的位置来判断；具体操作过程如下：用圆规比较：圆规的两脚分别对准C、D两点，将圆规一脚与A点对齐，在线段AB中画出D点；圆规的两脚分别对准D、E两点，将圆规一脚与D点对齐，在线段AB中画出E点，发现第一组线段更长。 【规范解答】由分析可得： 方法一：7＞6 理由：通过测量可得，第一组线段7cm，第二组线段共6cm；所以第一组线段更长。 方法二：图略 理由：用圆规的两脚分别对准C、D两点，将圆规一脚与A点对齐，在线段AB中画出D点；圆规的两脚分别对准D、E两点，将圆规一脚与D点对齐，在线段AB中画出E点，发现第一组线段更长。 【考点剖析】本题重点在于理解叠合法的操作步骤和逻辑判断。 【变式训练1】（25-26三年级上·陕西渭南·期末）按要求画一画。 (1)在图中画出直线AB、射线BD和线段DC。 (2)按（1）所画出的图形中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 (3)用圆规比较所画图中线段AB、BD的长短，得出线段( )更长。 【答案】(1) (2) 1 1 2 (3)AB 【思路引导】（1）用直尺过点A和点B，画出直线AB；用直尺从点B出发，过点D，画出射线BD；用直尺连接点D和点C，画出线段DC。 （2）锐角＜90°，180°＞钝角＞90°，直角＝90°，先用数字标出每个角，再用三角尺的直角与每个角比较，由此可知锐角、钝角和直角的数量。 （3）圆规的针尖脚固定在点B，截取线段AB的长，保持间距不变，用铅笔脚在射线BD上画弧，弧线在线段BD内则线段BD更长，在线段BD外则线段AB更长。 【规范解答】（1）略 （2） 由图可知，∠1是锐角，∠2是钝角，∠3和∠4是直角，所以锐角有1个，钝角有1个，直角有2个。 （3） 由图可知，弧线在线段BD外，所以线段AB更长。 【变式训练2】（25-26三年级上·陕西榆林·期末）用圆规在直线l上作线段CD，使CD＝AB。 【答案】 【思路引导】用圆规作等长线段，核心是先量出已知线段长度，再在目标位置截取相同长度。①把圆规针尖固定在A点，调整圆规张开幅度，让铅笔端对准B点，量出AB的长度；②保持圆规张开幅度不变，把针尖移到C点固定，向右侧旋转圆规使圆规铅笔端与直线l相交，画出交点D，此时线段CD的长度等于AB的长度，据此画图即可。 【规范解答】 高频考点四 数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠3个站，铁路部门要准备( )种不同的单程车票。 【答案】10 【思路引导】如下图。此题可转化为求甲地至乙地的路线上有多少条线段的问题，有多少条线段，就应该有多少种单程车票。 从A点出发的线段有4条，即AB、AC、AD、AE； 从B点出发的线段有3条，即BC、BD、BE； 从C点出发的线段有2条，即CD、CE； 从D点出发的线段有1条，即DE。 最后计算出线段的总条数，即不同的单程车票的种数。 【规范解答】4＋3＋2＋1＝10（种） 所以铁路部门要准备10种不同的单程车票。 【考点剖析】本题关键要掌握将实际问题转化为数学问题的思想，明白求多少种不同单程票就是求有多少条线段问题，画图表示更直观。 【变式训练1】图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数，先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射线有( )条，共有( )条射线。 【答案】 2 1 6 2 3 1 6 【思路引导】线段有两个端点，可以度量；射线有一个端点，一端无限延长，不可度量；直线没有端点，两端无限延长，不可度量；据此解答。 【规范解答】图中有2条线段：AB、BC；1条直线；6条射线； 发现：由A点出发的射线有2条，由B点出发的射线有3条，由C点出发的射线有1条；共6条。 【考点剖析】本题考查直线、线段与射线的特性，关键掌握射线有一个端点，一端无限延长。 【变式训练2】在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有_____条。 【答案】21 【思路引导】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。据此可知，包含“☆”的线段左端点在“☆”的左边，从2个点中选1个，右端点在“☆”的右边，从6个点中选1个，由此包含“☆”的线段有2×6＝12条。同理，“△”左边端点可选的有5个，从5个中选1个，右端点有3个，从3个中选1个，所以包含“△”的线段有5×3＝15条。其中还有重复计算的部分，根据集合的知识点，还要减去同时包含“☆”和“△”的线段条数，同时包含“☆”和“△”的线段左端点有2个，右端点有3个可选，所以共有2×3＝6条，所以至少包含“☆”和“△”中一个的线段有12＋15－6条。 【规范解答】12＋15－6 ＝27－6 ＝21 则至少包含“☆”和“△”中一个的线段有21条。 【考点剖析】熟练掌握线段的定义，注意线段有两个端点。 高频考点五 角的概念及表示方法 【典例精讲】（24-25四年级上·河北·课后作业）数一数：有多少个角？      ( )个                 ( )个 【答案】 15 36 【思路引导】根据角的概念，即由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，按顺序一条边一条边的找即可找出所有的角。 图一，单个的小角有5个，由2个小角组成的大角有4个，由3个小角组成的大角有3个，由4个小角组成的大角有2个，由5个小角组成的大角有1个，依此计算出角的总个数即可。 图二，单个的小角有8个，由2个小角组成的大角有7个，由3个小角组成的大角有6个，由4个小角组成的大角有5个，由5个小角组成的大角有4个，由6个小角组成的大角有3个，由7个小角组成的大角有2个，由8个小角组成的大角有1个，依此计算出角的总个数即可。 【规范解答】5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）       （15）个                          （36）个 【变式训练1】下图中有( )条射线，一共组成了( )个角。 数一数，独立的小角有( )个，由2个小角组成的角有( )个，由3个小角组成的角有( )个。 【答案】 4 6 3 2 1 【思路引导】射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度。具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 单个的小角有3个，由2个小角组成的大角有2个，由3个小角组成的大角有1个，依此计算出角的总个数即可。 【规范解答】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 上图中有4条射线，一共组成了6个角。数一数，独立的小角有3个，由2个小角组成的角有2个，由3个小角组成的角有1个。 【变式训练2】图形 内共有（    ）个角。 A．6 B．8 C．12 【答案】B 【思路引导】观察图中所给图形，由两个三角形组合成了一个四边形，在这两个三角形中，每个三角形各有3个角，共有6个角，当它们组合成新的图形后，它们其中的两个角合在一起，组成了2个新的角，由此可得到图形 内共有几个角。 【规范解答】3＋3＋2 ＝6＋2 ＝8（个） 因此图形 内共有8个角。 故答案为：B 高频考点六 直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】下午时刻中，分针与时针成直角的是（    ）。 A．12时15分 B．3时30分 C．9时 【答案】C 【思路引导】钟面上有12个大格，每个大格对应的角度是30度，当时针与分针成直角时，时针与分针之间有3个大格，据此选择。 【规范解答】A．12时15分，时针与分针相差2格多一点，成锐角； B．3时30分，时针与分针相差2格多一点，成锐角； C．9时，时针与分针刚好相差3格，成直角。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查了钟面的认识和角的分类。 【变式训练1】如图，两个正方形叠放在一起，的度数是( )°。 【答案】75 【思路引导】 由图可知，正方形有四个直角，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋30°＋45°＋90°＝180°。那么∠2＝180°－30°－45°－90°，再用90°减∠2即可求出∠1。 【规范解答】180°－30°－45°－90° ＝150°－45°－90° ＝105°－90° ＝15° 90°－15°＝75° 所以∠1的度数是75°。 【变式训练2】中学要学一个关于平行线的知识，如图①，a∥b，则∠1＝∠2。小强为了证明这个结论，过∠1、∠2的顶点，在平行线之间作了两条垂线，使得AB⊥BC，DC⊥AD（如图②）。请你利用图②，推理说明∠1＝∠2。（用上“因为”“所以”） 【答案】见解析 【思路引导】根据题意可知，过∠1、∠2的顶点，在AD与BC这组平行线之间作了两条垂线，使得AB⊥BC，DC⊥AD，因为AD与BC平行，所以AB与CD相当于两平行线之间的距离，它们是相等的，而且是平行关系，这样就形成了一个长方形ABCD，长方形的四个内角都是90度，如图可知，长方形的对角线将长方形分成了两个直角三角形，根据直角三角形的两个锐角和是90度，据此列式，再进行比较即可解答。 【规范解答】因为a∥b，所以AD∥BC。   因为AB⊥BC，CD⊥AD， 所以AB∥CD，并且AB＝CD， ∠ABC＝∠ADC＝90° 则四边形ABCD是长方形， 所以∠BAD＝∠ADC＝90°， 即∠BAC＋∠1＝90°。 又在三角形ABC中，∠BAC＋∠2＝90°， 即∠BAC＋∠1＝∠BAC＋∠2， 所以∠1＝∠2 【考点剖析】本题考查了角与线的综合，掌握平行线和三角形内角和以及直角的知识是解题的关键。 高频考点七 数图形（数角） 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·随堂练习）一个正方形有几个角？如果去掉一个角后还剩下几个角？ 【答案】4个；可能是5个角；或者4个角；或者3个角 【思路引导】根据正方形的特征，正方形有4个角，都是直角；题中说的去掉一个角，但没有规定怎么剪。 （1）若剪掉正方形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形，有5个角； （2）若从正方形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形，有4个角； （3）若沿着正方形的对角线剪，则剩余部分为三角形，有3个角；据此解答即可。 【规范解答】一个正方形有4个角。 如图有3种剪法： 如果去掉一个角后还剩下的角可能是5个角；或者4个角；或者3个角。 【考点剖析】本题要结合实际，通过画图可以得出结论，要注意考虑到各种情况。 【变式训练1】（25-26三年级上·四川宜宾·期末）在中，共有( )个角，其中锐角有( )个。 【答案】 3 2 【思路引导】角由一个顶点和两条边组成，像长方形上直直的角是直角，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角，据此得出结论即可。本题要关注到小角可以拼成大角，防止遗漏。 【规范解答】按从小到大的顺序数，单个的小角有2个，由两个小角拼成的大角有1个，一共有2＋1＝3个角，其中有2个锐角。 【变式训练2】（25-26三年级上·河南省直辖县级单位·期末）图中一共有( )个角，其中有( )个锐角、( )个直角、( )个钝角。 【答案】 8 5 2 1 【思路引导】先数单个的角再数组合的角总计8个，再根据锐角小于直角，钝角大于直角分类计数。 【规范解答】单个角6个，组合角2个，总计8个，锐角5个，直角2个，钝角1个。 【能力提升练】 1．（25-26三年级上·河北保定·期中）一条线用卷尺量有228厘米，这条线一定是（ ）。 A．线段 B．射线 C．直线 【答案】A 【思路引导】直线没有端点，可以向两端无限延伸，射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，线段有两个端点，线段长度有限，可测量出具体长度，射线和直线均为无限长，无法测量。 【规范解答】一条线用卷尺量有228厘米，说明线长度有限，可以测量。 A．线段有2个端点，长度有限，可测量，符合题意。 B．射线有1个端点，可向一端无限延伸，长度无限，不可测量，不符合题意。 C．直线没有端点，可向两端无限延伸，长度无限，不可测量，，不符合题意。 2．（25-26三年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面用一副三角尺拼成的三个角中，最小的角是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】第一个图的角是把三角尺的直角和另一个三角尺的大锐角拼在一起，两个角拼成一个钝角； 第二个图的角是把两个三角尺最大的锐角拼在一起，两个角拼成了一个直角； 第三个图的角是把三角尺的锐角和另一个三角尺的更小的锐角拼在一起，两个小角拼成一个更大的锐角； 钝角＞直角＞锐角，据此解答。 【规范解答】 A．拼成一个钝角； B．拼成一个直角； C． 拼成一个锐角。 钝角＞直角＞锐角，所以下面用一副三角尺拼成的三个角中，最小的角是。 3．（25-26三年级上·广东汕尾·阶段检测）分针从数字3走到数字6，走过的角度是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【思路引导】钟面有12大格，每大格对应着30°，从数字3走到数字6走过3大格，用30°乘3可算出对应的度数，90°的角是直角。 【规范解答】钟面上每大格对应30° 分针从3走到6经过的大格数：（个） 走过的总角度： 90°的角是直角。 综上所述：分针从数字3走到数字6，走过的角度是直角。 4．（25-26三年级上·河北保定·期中）3时30分时，钟面上时针和分针形成的较小的角是( )角。 【答案】 锐 【思路引导】钟面上一圈是360度，平均分成12个大格，每个大格的角度是30度。3时整的时候时针指向3，分针指向12，夹角是90度。到3时30分的时候，分针指向6，时针会从3的位置往4的方向走半格，不会停在原地，这时时针和分针的夹角不到3个大格的90度，是比90度小的角，比90度小又比0度大的角是锐角。 【规范解答】3时30分时，钟面上时针和分针形成的较小的角是锐角。 5．（25-26三年级上·河北保定·期中）如图，有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 3 12 3 【思路引导】线段是直的，有2个端点，不能向两端无限延伸，能测量长度； 直线是直的，没有端点，可以向两端无限延伸，不能测量长度； 射线是直的，有1个端点，可以向一端无限延伸，不能测量长度。 据此解答。 【规范解答】 数一数可知，图中有3条直线，12条射线，3条线段。 6．（25-26三年级上·陕西咸阳·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3千米( )300米 70厘米( )6分米9厘米 600毫米( )1千米 4米( )70毫米 8分米( )90厘米 5毫米( )6厘米 ( )( ) 【答案】 【思路引导】千米米；米分米厘米毫米；分米厘米毫米；锐角开口比直角小。高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。 【规范解答】（米），，千米米； （厘米），（厘米），，厘米 分米厘米； （米），毫米厘米，米厘米，毫米千米 ； （毫米），，米毫米； （厘米），，分米厘米； （毫米），毫米厘米； 直角直角； 直角锐角 7．（25-26三年级上·河北邢台·期中）一副三角板上最大锐角的度数是70°。( ) 【答案】 × 【规范解答】一副三角板中的锐角有、、，其中最大的锐角是，原题说法错误。 故答案为：× 8．（26-27三年级上·河北唐山·期中）孙悟空一念咒语，他的金箍棒可以向两端无限延长，金箍棒相当于一条直线。( ) 【答案】√ 【思路引导】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。据此判断。 【规范解答】直线无端点，可向两端无限延伸，金箍棒可向两端无限延长，符合直线的特征。 故答案为：√ 9．（2026三年级上·全国·专题练习）数一数，解决问题（写出过程）。 1个角 3个角 6个角 （    ）个角     （    ）个角 【答案】；；第四个图形有条射线，则角的数量为 （个），所以第四个图形有个角；第五个图形有条射线，则角的数量为 （个），所以第五个图形有个角。 【思路引导】通过观察图形，找出角的数量与射线数量之间的规律。第一个图形有条射线个角；第二个图形有条射线，先数单独的小角有个，再数个小角拼起来的大角有个，总数是个角；第三个图形有条射线，先数单独的小角有个，再数个小角拼起来的角有个，最后数个小角拼起来的大角有个，总数是个角；可以发现角的数量等于从开始连续加到比射线数量少的数的和。据此算出第四、五个图形各有几个角。 【规范解答】第个图：条射线，（个） 第个图：条射线， （个） 第个图：条射线， （个） 第个图：条射线， （个） 第个图：条射线， （个） 10．（25-26三年级上·北京大兴·期末）儿童滑梯是儿童游乐场中最受欢迎的游乐设施之一。在滑梯的上下穿梭间，孩子们不仅享受了无尽的欢乐，更在运动中锻炼了身体，磨炼了意志，培养了勇气。根据国家标准，幼儿用的滑梯的滑道要设计得更加平缓，小学生用的滑梯坡度可适当加大。 (1)一个幼儿用的滑梯模型（如下图），明明觉得太陡不安全。为了让滑梯变缓从而更安全，应该（    ）。 A．增大，减小 B．减小，增大 (2)为了让滑梯变缓，明明提出了一种改造方法，将虚线以下的部分截掉（如下图）。他的改造方法能让滑梯变缓吗？请说明理由。 (3)如果让你来设计，如何让滑梯变缓从而更安全呢？请你画一画（可以在原图上改造，也可以重新设计）。 改造设计图 【答案】(1)A (2)不能。理由：截掉虚线以下的部分并没有改变和的大小，滑梯的坡度没有改变。 (3) （画法不唯一） 【思路引导】（1）滑梯滑道和竖直支架的夹角是∠1，和地面的夹角是∠2。滑梯变缓就是滑道更贴近地面、坡度更小：把滑道下端往远离支架的地面方向拉，∠1会变大，∠2会变小，滑道就更平缓了。 （2）截掉虚线以下部分后，新的滑梯滑道和竖直支架的夹角、和地面的夹角，都和原来滑梯的∠1、∠2大小完全一样，滑道的倾斜程度没有发生变化，所以坡度没变，滑梯不会变缓。 （3）设计方法示例： 保持滑梯顶部的高度不变，把滑梯滑道的底端向远离支架的地面方向延长，让滑道和地面的夹角比原来更小，画出来的滑道会比原来更平缓；也可以适当降低滑梯顶部的高度，同时把滑道底端往远处地面延伸，同样能得到坡度更小、更安全的缓滑梯。（画图时只需画出倾斜程度比原滑道更贴近地面的新滑道即可，符合小学数学对坡度的认知要求） 【规范解答】（1）一个幼儿用的滑梯模型（如下图），明明觉得太陡不安全。为了让滑梯变缓从而更安全，应该增大∠1，减小∠2。 （2）略 （3）略 【思维创新练】 1．（25-26三年级上·湖北武汉·期末）关于角，下列说法正确的有（    ）人。 李红：角是从一点引出两条射线组成的图形。 张强：角的边是射线，所以角的大小与边的长短无关。 钱松：把一个角的两边张开得大一些，角就变大了。 赵亮：锐角比直角小，钝角比直角大。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】利用角的概念和特征解答，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，角的大小只与开口有关，与角的边的长短无关，因为角的两边是射线；比直角大的角叫钝角，比直角小的角叫锐角，据此解答。 【规范解答】角是从一点引出两条射线组成的图形，正确； 角的边是射线，所以角的大小与边的长短无关，正确； 把一个角的两边张开得大一些，角就变大了，正确； 锐角比直角小，钝角比直角大，正确； 因此说法正确的有4人。 2．（23-24四年级上·河南商丘·期末）如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备（    ）种不同的车票。 A．45 B．55 C．65 D．20 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，一共10个汽车站，从第一站到其它各站有9种单程车票，同理从第二个站到其他站有8种单程车票，第三站到其他站有7种单程车票，从第四站到其他站有6种单程车票……依次类推，由此求解。 【规范解答】9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（9＋8＋7）＋（6＋5＋4）＋（3＋2＋1） ＝24＋15＋6 ＝45（种） 则如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备45种不同的车票。 故答案为：A 3．（25-26三年级上·河南南阳·期末）一张长方形纸上有四个角，把它沿一条直线剪去一个角，最多还剩( )个角，最少还剩( )个角。 【答案】 5 3 【思路引导】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。一张长方形纸有四个角，如果剪去一个角，因剪的位置不同，一共有三种剪法：①不过顶点；②过一个顶点；③过两个顶点。分别画出图，即可确定最多还剩几个角；最少还剩几个角。 【规范解答】①不过顶点：剩下部分有5个角； ②过一个顶点：剩下部分有4个角； ③过两个顶点：剩下部分有3个角。 一张长方形纸上有四个角，把它沿一条直线剪去一个角，最多还剩5个角，最少还剩3个角。 4．（25-26三年级上·陕西安康·阶段检测）一个长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，可能还剩( )个角。（填序号） ①2  ②3  ③4  ④5  ⑤6 【答案】②③④ 【思路引导】从1个点引出两条射线形成的图形叫作角，角有1个顶点2条边；将一个长方形纸剪去一个角，可能从一个顶点向相对的顶点剪，也可能从一个顶点向不相邻的一条边的中间剪，还可能从相邻的两边中间剪；据此数出长方形纸剪去一个角后的角的数量，即可解答。 【规范解答】如图： 一个长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，可能还剩3个角，或还剩4个角，也可能还剩5个角。 5．（24-25二年级下·江苏泰州·期末）下图钟面上表示的时间是( )时( )分，这时分针和时针形成的角是( )角，再过( )分钟就是8时了。 【答案】 7 55 钝 5 【思路引导】钟面上长针是分针，短针是时针。有12个大格，分针走1大格是5分钟，时针走1大格是1小时。角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角；比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。 8时，时针指着8，分针指着12，根据图可知，分针再经过5个小格就是8时。 【规范解答】钟面上表示的时间是7时55分，这时分针和时针形成的角是钝角，再过5分钟就是8时了。 6．（23-24四年级上·河北衡水·期末）如图，两张同样的长方形纸重叠了一部分，已知∠1＝55°，分别求出∠2、∠3的度数。 【答案】∠2＝35°，∠3＝55° 【思路引导】根据图形，∠1＋∠2＝90°，因为∠1＝55°，所以可以求出∠2的度数；又根据∠3＋∠2＝90°，继而可求出∠3度数，据此即可解答。 【规范解答】∠1＋∠2＝90°，∠1＝55°，∠2＝90°－55°＝35°； ∠2＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－35°＝55° 7．（25-26三年级上·四川凉山·期末）一张长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，还剩几个角？请你试着画一画，数一数。（角的个数相同的只算一种。） 【答案】，5个；，4个；，3个 【思路引导】剪法一：从一个角的顶点向对边上的一点剪（不经过其他顶点），剩下5个角。剪法二：沿着长方形的一个角的两条邻边剪（剪去小角，经过一个顶点），剩下4个角。剪法三：沿着长方形的对角线剪（经过两个对角顶点），剩下3个角。 【规范解答】剪法一：，还剩5个角； 剪法二：，还剩4个角； 剪法三：，还剩3个角。 8．（25-26三年级上·湖北恩施·期末）如下图所示，两根小棒AB和CD重叠在一起。 (1)如果AC＝BD，那么AB( )CD。 (2)如果AC＜BD，那么AB( )CD。 (3)你还能像上面①②那样，用“如果……那么……”写几组关系吗？（至少写2组） 【答案】(1)＝ (2)＜ (3)如果AC＞BD，那么AB＞CD；如果AB＝CD，那么AC＝BD 【思路引导】观察图形可知，纸条AB＝AC＋BC，纸条CD＝BD＋BC，因为AC＝BD，纸条AC和BD加的都是同一个BC，所以AB＝CD，据此解答即可。同理可得，如果AC＜BD，那么AB＜CD，再写出其他的，答案不唯一。 【规范解答】（1）如果AC＝BD，那么AB＝CD。 （2）如果AC＜BD，那么AB＜CD。 （3）如果AC＞BD，那么AB＞CD；如果AB＝CD，那么AC＝BD。（答案不唯一） 9．（25-26三年级上·山东济南·阶段检测）操作题。 (1)在下面直线上画出长为2厘米的线段AB。 (2)再用圆规在直线上作线段BC，使BC＝AB（保留作图痕迹）。 (3)以射线BC为角的一条边，画一个锐角。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】先在给定直线上任意选取一点标记为A，将直尺0刻度线和A点对齐，在2厘米刻度的地方点上一点，标上B，即可画出线段AB； 将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点A上，另一只脚固定在线段AB的端点B上，拿起圆规并固定两脚的距离，然后将圆规有针尖的脚固定在线段AB的端点B上，以AB长度为半径在直线上画弧，弧与直线的交点即为C点； 以B点作为角的顶点，射线BC是角的其中一条边，从顶点B出发画另一条射线，让两条射线张开的开口比直角小，这样画出的角就是锐角。 10．（25-26三年级上·河南信阳·阶段检测）有、、三点（位置如图），按要求完成以下操作。 （1）过点、可以画出（    ）条直线，请你画出来。过点C可以画（    ）条直线。在图中画出射线CB。 （2）在直线上画出长为2厘米的线段；再用圆规在直线上作线段，使（保留作图痕迹） 【答案】（1）1；； 无数； （2） 【思路引导】（1）两点确定一条直线；过一个点可以画无数条直线。射线CB以C为端点，向B方向无限延伸。线段AD长2厘米，圆规截取AD长度，以D为圆心画弧得到等长DE。 用直尺连接A、B两点并向两端延长，得到直线AB；射线CB：端点是C，经过B点继续向外画。 （2）在直线AB上，从A点量出2厘米标出D点，得到线段AD；圆规两脚量好AD的长度，针尖对准D点，在直线AB上画弧，交点记为E，线段DE就和AD相等，保留圆弧痕迹。 【规范解答】（1）过点A、B可以画出（1）条直线，过点C可以画（无数）条直线。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元线和角『举一反三知识讲练」（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练共62题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材三年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版三上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 【导图指引梳理脉络】 【知识梳理温故知新】.....，.， …3 知识点梳理01：线段、直线、射线.· 3 知识点梳理02：角的认识...... 【考点讲练真题汇总】.。 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征. 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离.· ...4 高频考点三用圆规比较线段的长短.…… ………5 高频考点四数图形（线段、直线、射线)…… 高频考点五角的概念及表示方法......…......7 第1页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点六直角、钝角、锐角的认识及特征... 高频考点七数图形（数角）…· 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征.·· 10 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离...…· 10 高频考点三用圆规比较线段的长短·..… 11 高频考点四数图形（线段、直线、射线）.. 11 高频考点五角的概念及表示方法... 12 高频考点六直角、钝角、锐角的认识及特征.· 12 高频考点七数图形（数角） 13 【优选真题实战演练】 13 【能力提升练】 13 【思维创新练】 ….15 导图指引梳理脉络 三年级上册数学第五单元 1.线段、射线、直线☆ 《线和角》知识点梳理思维导图 2.角的认识☆ ①线段：有两个端点，不能无限延伸。可以量出长度 ①角：从一个点引出的两条射线组成的图形 B 边 顶点1 ·这个点是角的顶点 ②射线：有一个端点，向一端无限延伸。 ·这两条射钱是角的两条边 A ②直角：用符号“上表示。 ③直线：没有端点，向两端无限延伸 ③角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的大小有关 ★区别：线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点。 ★联系：线段C射线C直线 线和角 ★认角方法：先找顶点，再找两条边。 ★要知道是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比 3.线段的比较与测量☆ 线段·射线·直线 4.生活中的线和角 ①比较线段长短的方法： ①线段AB:用两个端点A、B表示。 (1)直接比：把两条线段的一端对齐，另一端谁长谁短 ①线在生活中的应用： 和 。 (2)借助工具比：用尺子量出长度再比较。 ②射线AB:用端点和它上面另一点表示」 61170 马路上的线 铁轨 ②线段的特点：两点之间，线段最短。 ③直线：用它上面的两个点表示，可写成 ②角在生活中的应用： 直线AB,也可写成直线(. A ★想一想：像上面那样，点A与点C重合 线段AB比线段CD短。 ★记住：线段可以量长度，射线和直线不能量长度。 交通标志 A 三角尺 椅子的角 门的角 夕解题技巧 A易错点拨 ⊙知识小结 ①认线段、射线、直线：看端点个数，找表示方法。 ①误认为射找有两个烤点。（射线只有一个端点） ·钱有三种：线段(2端点)→射线(1端点)→直线(0端点) 比较线段：一端对齐比长短，或用尺子量长度。 日误认为角的大小与边的长短有关，（与边长无关） ·角是由两条边和一个顶点组成，直角用“上”表示 ⊙认角和画角：先找顶点，再找边：要画直角用三角尺。 目画角时忘了标顶点。（项，点要画清楚） ·两点之间，线段最短 目比成线段时两鳩没对齐。（要对齐同一鸡点） 0应用知识：把数学知识和生活中的物品联系起来 Θ起直线当作线段量长度，（直线不能量长度】 ·数学知识在生活中处处可见，善于观察，多思考到 第2页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点梳理01：线段、直线、射线 1、线段 （1)定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。 (2)特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。 (3)性质：两点之间，线段最短。 2、直线 (1)定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。 (2)特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。 3、射线 (1)定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。 (2)特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。 【易错点拨】 (1)区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。 (2)长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。 (3)实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽象为射线， 笔直的公路抽象为线段，而非直线)。 (4)避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和延伸方向 区分。 知识点梳理02：角的认识 1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，与两条边 张开的程度有关。 3、角的表示方法： （1)用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC)。 (2)用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B,需保证顶点处只有一个角）。 (3)用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。 4、角的分类（按张开程度）： (1)角分为锐角、直角、钝角三类。 (2)锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。 第3页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 (3)每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。 5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法： (1)将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合； (2)看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果没有重 合，这个角就不是直角。 【易错点拨】 (1)角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘来 (2)角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短无关 考点讲练真题汇总 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】(25-26三年级上·河南新乡·阶段检测)经过一点可以画( )条射线：经过一点能画 ( )条直线：经过两点能画( )条直线。 【变式训练1】(25-26三年级下·北京顺义·期末)数一数，下图中有( )条射线、( 条线段。 A B C 【变式训练2】 (25-26三年级上·山东日照·期末)点A、B、C在同一条直线上依次排列，点D位于点C 的右侧。 A B C (1)用圆规在图中确定点D的位置，使CD=AB。 (2)比较线段的长短：AC(（ )BD。(填“>”“<”或“=”) 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(25-26三年级上·重庆秀山·期末)如图，奇奇从家到学校有三条路可以走，( )号 路最近。 ① ② 奇奇家 ③ 学校 第4页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26三年级上·四川眉山·期末)按要求作图。 A● B· c (1)作射线AB、线段BC。 (2)用圆规在线段BC的延长线上截取CD=BC。 (3)在直线1上找到一点P,使AP+CP最小，在图上画出来，并写出你的理由。 【变式训练2】(24-25四年级上·河北·课后作业)看图回答问题。 北京 航空 天津 公路一 沧 铁路一 德州 济南 淄博 山 兖州。 P临沂 徐州 宿州 1071千米 925千米 蚌埠 1160千米 南京 (1)北京到南京的空中航程是( )千米，铁路里程是( )千米，公路里程是( 千米。 (2)( )线路最长，( )线路最短。 (3)自己提出问题并解答。 高频考点三用圆规比较线段的长短 【典例精讲】(25-26三年级上·四川广元·期末)用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（填“>” “<”或“=”) 第5页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 ●D (1)C B AB CD B C● ●D (2) A ® CD 【变式训练1】(25-26三年级上·陕西宝鸡·期末)按要求做一做。 (1)在图中画出线段AB、射线BC和直线AC。 •B A. C (2)比一比线段AB和线段AC的长短，ABAC。(填“>”“<”或“=”) 【变式训练2】(25-26三年级上·陕西榆林·期末)画一画，填一填。 。F E A· C D (1)在如图中过点A画出一条直线m,经过点A可以画出( )条直线。 (2)在如图中以点A为端点画一条射线。 (3)用圆规比较右图中的两条线段的长度，线段CD( )线段EF。(填“>”“<”或“=”)（保 留作图痕迹) 高频考点四数图形（线段、直线、射线) 【典例精讲】(25-26三年级上·河北廊坊·阶段检测)数一数。 ● 上图中一共( )条线段，( )条射线，( )条直线。 第6页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练1】(25-26三年级下·江苏扬州·期末)经过纸上的2个点可以画1条直线，经过3个点中的 每2个点最多可以画3条直线。画一画，数一数，填一填。 点数/个 3 4 5 6 直线数/条 1 3 … 【变式训练2】(25-26三年级上·山东济南·期末)想一想，画一画。 -1 (1)在直线1上有一个点A,请你以点A为一个端点画出长为3厘米的线段AB,再用圆规在直线1上作线段 BC,使BC=AB。 (2)完成问题(1)后，仔细观察思考，图中有()条线段，有( )条射线。 高频考点五角的概念及表示方法 【典例精讲】(25-26三年级上·陕西榆林·期末)角的认识。 (1) 左图中一共有( )个角，其中有( )个钝角，( )个直角。 (2)中国古为礼仪之邦，在古代便有着很多种行礼方式，如“揖(yi)礼”，下面是三种较为常见的“揖礼”。 下图中所形成的角最小的是( ),最大的是( )。 土揖 天揖 长揖 【变式训川练1】(25-26三年级上·河南开封·期末)画一画，填一填。 (1)过点0画直线。经过点0可以画( )条直线。 (2)在直线上取一点A,使线段0A长5厘米，经过0、A两点可以画( )条直线。 (3)以射线OA为一条边画∠AOB,标出角的各部分名称。 第7页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 0 【变式训练2】(2025三年级上·全国·专题练习) ( (1)从一点引出两条射线所组成的图形（如图）叫作( ),它通常用符号“( )”表示， 图中的角可以记作“( )”。 (2)标出图中角的各部分的名称。 高频考点六直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】(25-26三年级上·山西运城·阶段检测)在下面的图形中画一条线段，把它分成一个长方 形和一个三角形。 变化后的图形里有( )个直角，( )条线段。 【变式训川练1】(25-26三年级上·福建厦门·期末)按要求画一画。 A● -m (1)以点A为顶点，以射线m为角的一条边，画一个锐角： (2)在射线m上画一条3厘米的线段AB: (3)在角的另一条边上用圆规截取与线段AB同样长的线段AC。 第8页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训川练2】(25-26三年级上·四川南充·期末)如下图，有A、B、C、D四个点，按照下面要求画一 画。 A。 ●B ● D (1)画出射线AB,并以射线AB作为角的一条边画一个锐角。 (2)画出直线CD,再用圆规在直线CD上作线段CN,使CN=CD。 高频考点七数图形（数角） 【典例精讲】(25-26三年级上·广东汕头·阶段检测)数一数。下面的图形中各有几个角？几条线段？ )个角，（)条线段。 )个角，（)条线段。 )个角，（)条线段。 【变式训练1】(25-26三年级上·云南曲靖·阶段检测)数一数，填一填。 甲地。A B C一乙地 图1 图2 (1)图1中一共有( )个角。 (②)一趟从甲地开往乙地的动车，沿途要停靠A站、B站、C站三站（如图2），铁路部门要为这趟动车准备 )种不同的车票（单程）。 【变式训练2】(25-26三年级上·河南安阳·阶段检测)如图中一共( )个角。 第9页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 A.10 B.9 C.8 难点突破奥数拓展 高频考点一线段、直线、射线的认识及特征 【典例精讲】(23-24四年级上·浙江杭州·期末)如果一条直线上有n个端点，就有( )条线 段，就有( )条射线。（借助下面的图画一画） 【变式训练1】如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点…连一连，写出最多可以得到多少 条线段。 ●】 ● ●】 ● ● ● ● ● ()条()条()条()条 平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系： 【变式训练2】长方形内有6个点，连同长方形的4个顶点在内共有10个点。在这10个点中，任意3个 点都不在一条直线上。以这10个点为顶点，可作出( )个互不重叠的三角形。 高频考点二两点间线段最短与两点间的距离 【典例精讲】(24-25四年级上·江苏扬州·期末)一条小船Q先要到A仓库去拿东西，然后再到B岸， 请在图中画出最短路线，并说明理由。 B .Q A仓库 我这样画，理由1是： 理由2是： 【变式训练1】两根木条，一根长60cm,另一根长80m,将它们的一端重合，放在同一直线上，此时两根 木条的中点间的距离是( )cmo 【变式训练2】数线段. 第10页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点三用圆规比较线段的长短 【典例精讲】(25-26三年级上·江西赣州·期末)军军想知道花灯骨架中哪一组线段更长（如图所示）， 请你用不同工具比一比这两组线段的长度，并说说你的理由。 ① ② 【变式训练1】(25-26三年级上·陕西渭南·期末)按要求画一画。 A D。 B d (1)在图中画出直线AB、射线BD和线段DC。 (2)按(1)所画出的图形中有( )个锐角、( )个钝角和( )个直角。 (3)用圆规比较所画图中线段AB、BD的长短，得出线段( )更长。 【变式训练2】(25-26三年级上·陕西榆林·期末)用圆规在直线1上作线段CD,使CD=AB。 A B 高频考点四数图形（线段、直线、射线） 【典例精讲】一列从甲地开往乙地的火车，途中要停靠3个站，铁路部门要准备( )种不同的单程 车票。 【变式训练1】图中有( )条线段，( )条直线，( )条射线。我发现：数射线条数， 先数由A点发出的射线有( )条，再数由B点发出的射线有( )条，最后数由C点发出的射 线有( )条，共有( )条射线。 B 第11页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】在下图所示的线段中，至少包含“☆”和“△”中一个的线段有条。 高频考点五角的概念及表示方法 【典例精讲】（24-25四年级上·河北·课后作业)数一数：有多少个角？ )个 )个 【变式训练1】下图中有( )条射线，一共组成了( ）个角。 数一数，独立的小角有( )个，由2个小角组成的角有( )个，由3个小角组成的 角有( )个。 【变式训练2】图形 内共有( )个角。 A.6 B.8 C.12 高频考点六直角、钝角、锐角的认识及特征 【典例精讲】下午时刻中，分针与时针成直角的是( )。 A.12时15分 B.3时30分 C.9时 【变式训练1】如图，两个正方形叠放在一起，∠1的度数是( )°。 3045 第12页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】中学要学一个关于平行线的知识，如图①，a∥b,则∠1=∠2。小强为了证明这个结论， 过∠1、∠2的项点，在平行线之间作了两条垂线，使得AB⊥BC,DC⊥AD(如图②)。请你利用图②，推理 说明∠1=∠2。（用上“因为”“所以”） D b ① ② 高频考点七数图形（数角） 【典例精讲】(25-26四年级上·全国·随堂练习)一个正方形有几个角？如果去掉一个角后还剩下几个 角？ 【变式训练1】(25-26三年级上·四川宜宾·期末)在 中，共有( )个角，其中锐 角有( )个。 【变式训练2】(25-26三年级上·河南省直辖县级单位·期末)图中一共有( )个角，其中有() 个锐角、（ )个直角、()个钝角。 昌优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(25-26三年级上·河北保定·期中)一条线用卷尺量有228厘米，这条线一定是()。 A.线段 B.射线 C.直线 2.(25-26三年级上·陕西咸阳·阶段检测)下面用一副三角尺拼成的三个角中，最小的角是( )。 第13页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 A. 3.(25-26三年级上·广东汕尾·阶段检测)分针从数字3走到数字6，走过的角度是( A.锐角 B.直角 C.钝角 4.(25-26三年级上·河北保定·期中)3时30分时，钟面上时针和分针形成的较小的角是()角。 5.(25-26三年级上·河北保定·期中)如图，有( )条直线，()条射线，( )条线段。 6.(25-26三年级上·陕西咸阳·期中)在括号里填上“>”“<”或“=”。 3千米()300米70厘米()6分米9厘米 600毫米()1千米4米()70毫米 8分米()90厘米5毫米()6厘米 7.(25-26三年级上·河北邢台·期中)一副三角板上最大锐角的度数是70°。（)（判断对错） 8.(26-27三年级上·河北唐山·期中)孙悟空一念咒语，他的金箍棒可以向两端无限延长，金箍棒相当 于一条直线。()（判断对错） 9.(2026三年级上·全国·专题练习)数一数，解决问题（写出过程）。 1个角3个角6个角( )个角 ( )个角 10.(25-26三年级上·北京大兴·期末)儿童滑梯是儿童游乐场中最受欢迎的游乐设施之一。在滑梯的上 下穿梭间，孩子们不仅享受了无尽的欢乐，更在运动中锻炼了身体，磨炼了意志，培养了勇气。根据国家 标准，幼儿用的滑梯的滑道要设计得更加平缓，小学生用的滑梯坡度可适当加大。 (1)一个幼儿用的滑梯模型（如下图），明明觉得太陡不安全。为了让滑梯变缓从而更安全，应该( )。 第14页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三讲义思维拓展 A.增大∠1，减小∠2 B.减小∠1，增大∠2 (2)为了让滑梯变缓，明明提出了一种改造方法，将虚线以下的部分截掉（如下图）。他的改造方法能让滑 梯变缓吗？请说明理由。 (3)如果让你来设计，如何让滑梯变缓从而更安全呢？请你画一画（可以在原图上改造，也可以重新设计）。 改造设计图 【思维创新练】 1.(25-26三年级上·湖北武汉·期末)关于角，下列说法正确的有( )人。 李红：角是从一点引出两条射线组成的图形。 张强：角的边是射线，所以角的大小与边的长短无关。 钱松：把一个角的两边张开得大一些，角就变大了。 赵亮：锐角比直角小，钝角比直角大。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(23-24四年级上·河南商丘·期末)如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备( )种不 同的车票。 A.45 B.55 C.65 D.20 3.(25-26三年级上·河南南阳·期末)一张长方形纸上有四个角，把它沿一条直线剪去一个角，最多还 第15页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 剩( )个角，最少还剩( )个角。 4.(25-26三年级上·陕西安康·阶段检测)一个长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，可能还 剩( )个角。（填序号） ①2 ②3 ③4 ④5 ⑤6 5.(24-25二年级下·江苏泰州·期末)下图钟面上表示的时间是( )时( )分，这时分针和时 针形成的角是( )角，再过( )分钟就是8时了。 且5 1 6.(23-24四年级上·河北衡水·期末)如图，两张同样的长方形纸重叠了一部分，己知∠1=55°，分别 求出∠2、∠3的度数。 7.(25-26三年级上·四川凉山·期末)一张长方形纸上有4个角，如果用剪刀剪去一个角，还剩几个角？ 请你试着画一画，数一数。（角的个数相同的只算一种。） 第16页共17页 2026-2027学年人教版新教材数学三年级上册举一反三进义思维拓展 8.(25-26三年级上·湖北恩施·期末)如下图所示，两根小棒AB和CD重叠在一起。 B D (1)如果AC=BD,那么AB( )CD. (2)如果AC<BD,那么AB( )CD。 (3)你还能像上面①②那样，用“如果…那么…”写几组关系吗？（至少写2组） 9.(25-26三年级上·山东济南·阶段检测)操作题。 (1)在下面直线上画出长为2厘米的线段AB。 (2)再用圆规在直线上作线段BC,使BC=AB(保留作图痕迹)。 (3)以射线BC为角的一条边，画一个锐角。 10.(25-26三年级上·河南信阳·阶段检测)有A、B、C三点（位置如图），按要求完成以下操作。 ● B & (1)过点A、B可以画出( )条直线，请你画出来。过点C可以画( ）条直线。在图中画 出射线CB。 (2)在直线AB上画出长为2厘米的线段AD:再用圆规在直线AB上作线段DE,使AD=DE(保留作图痕迹) 第17页共17页