2.3.2两点间的距离公式教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高中数学选择性必修第一册人教A版

《2.3.2 两点间的距离公式》教学设计

基本信息

学科：高中数学

教材版本：人教 A 版选择性必修第一册

课题：2.3.2 两点间的距离公式

课时：第 1 课时

课型：新授课

授课时长：45 分钟

一、课标分析

依据《普通高中数学课程标准》，本节课属于 “函数与几何” 主线中 “平面解析几何” 主题的内容。课标要求学生掌握平面上两点间的距离公式，并能运用公式解决简单的几何问题；在此基础上体会研究解析几何问题的基本方法——坐标法，即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题，再把代数运算的结果 “翻译” 回几何结论。

两点间的距离公式是解析几何中最基本的公式之一，它与直线的倾斜角、斜率公式共同构成解析几何的 “度量工具”。本公式既是求直线交点后研究线段长度的直接手段，也为后续研究点到直线的距离、圆的方程、椭圆与双曲线等内容奠定基础，起到承上启下的作用。

二、教材分析

《两点间的距离公式》是人教 A 版选择性必修第一册第二章 “直线和圆的方程” 中 2.3 节的内容。在此之前，学生已经学习了直线的倾斜角与斜率、直线的方程以及两条直线的交点坐标，具备了用代数方法研究直线问题的初步经验。教材在本节先以 “直线段的长度是最基本的几何量” 为切入点，引导学生用向量方法推出平面上两点间的距离公式，同时又设置 “思考” 栏目，启发学生构造直角三角形、借助勾股定理再次推导公式，使学生经历两种推导路径，加深对公式本质的理解。

距离是欧氏几何的基本量，两点间的距离公式沟通了 “坐标” 与 “长度” 之间的联系，是坐标法解决平面几何问题的第一块基石。教材随后安排了在坐标轴上找点、用坐标法证明平面几何命题等例题，突出 “建系—坐标表示—代数运算—几何翻译” 的完整流程，着力培养学生的直观想象与数学运算素养。据此确定本节课的教学重点：两点间距离公式的推导、记忆与运用。

三、学情分析

高二学生在必修第二册已经学过平面向量的坐标运算与向量的模，在初中已经熟悉勾股定理和数轴上两点间的距离，具备推导本公式的全部知识储备。多数学生能够独立完成 “构造直角三角形” 的操作，但容易在以下环节出现障碍：一是把公式中的减数顺序记混，导致符号出错；二是面对 “在坐标轴上找一点使它到两个定点距离相等” 这类逆向问题时，不会设点、不会把等量关系转化为方程；三是用坐标法证明几何命题时，不知如何建系、如何设点。本节课需要通过分层设问和典型例题示范，让学生完整经历 “设坐标—代入公式—化简求值” 的过程，突破上述障碍。

四、教学目标

1. 经历由数轴上两点间的距离到平面上两点间的距离的推广过程，掌握平面上两点间的距离公式，并能准确运用公式求两点间的距离，发展数学抽象素养。

2. 通过构造直角三角形与向量法两种途径推导公式，体会数形结合与转化的思想方法，能够解决 “在坐标轴上找点” 的简单距离问题，提升逻辑推理与数学运算素养。

3. 初步掌握用坐标法证明简单平面几何命题的基本步骤，感受坐标法把几何问题代数化的威力，增强用代数方法研究几何问题的意识，发展直观想象素养。

五、教学重难点及突破策略

教学重点

两点间距离公式的推导过程；运用公式求两点间的距离。

教学难点

公式的推导及变式运用；用坐标法解决 “在坐标轴上找点” 与证明平面几何问题。

重难点突破策略

1. 从数轴上两点间的距离出发，先解决与坐标轴平行的特殊情形，再借助勾股定理推广到一般情形，让公式 “生长” 在学生已有经验之上，避免直接灌输；

2. 通过 “公式与两点的先后顺序有关吗” 的追问和改变点序的对比验算，强化对公式结构的理解；

3. 例题教学中固定 “设点—表示距离—列方程（等式）—求解” 的解题程序，板书示范完整过程；

4. 课堂练习按 “直接套用公式—设点列方程—坐标法证明” 三个梯度设置，当堂反馈纠错。

六、教学准备

教师准备

多媒体课件、坐标纸与三角板；课本例题与改编的课堂练习题；板书设计。

学生准备

预习教材 2.3.2 节内容，复习平面向量的坐标运算与模的求法，准备直尺、练习本。

七、教学过程（总时长 45 分钟）

环节一：情境导入（5 分钟）

教师活动：多媒体展示公交线路情境图（如图 1）。在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，计划在公路旁建一个公交站点 C，如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？

图 1  公交站点选址情境图

引导：要解决 “最小” 问题，首先要会计算 “两点之间的距离”。在各种几何量中，直线段的长度是最基本的，而在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式。由此引出课题《两点间的距离公式》。

学生活动：观察情境图，思考选址问题，意识到距离计算是解决问题的前提，明确本节课要研究的对象。

设计意图：以真实生活情境引入，让学生体会距离问题的现实意义，自然生成本节课的研究课题，渗透数学建模素养。

环节二：新知探究（12 分钟）

教师活动：先从特殊到一般分步设问。

问题 1：在数轴上已知两点 A、B，它们的坐标分别为 xA、xB，如何求 A、B 两点间的距离？

预设：|AB| = |xB − xA|，即数轴上两点间的距离等于这两点坐标之差的绝对值。