专题13平行线的证明复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题13平行线的证明复习讲义 1.熟练掌握平行线、同位角、内错角、同旁内角的概念，能在复杂图形里准确识别这三类角。 2.掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，会用判定定理证明两条直线平行。 3.掌握平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，能由平行关系推导角的数量关系。 4.分清平行线判定和性质的区别：判定是由角推平行，性质是由平行推角的关系，避免二者混淆。 5.理解证明的规范格式，证明过程做到每一步都写出对应的依据，规范书写简单几何推理证明。 6.掌握三角形内角和定理及其证明，能利用三角形内角和、平行线性质综合计算角度、进行推理论证。 7.能解决平行线与拐角模型、多折线综合的角度计算题，会结合图形转化角，处理变式综合题型。 8.养成严谨推理的习惯，看清已知条件，不凭空添加条件，规避证明跳步、理由写错、判定性质混用等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等，两直线平行 ★ 题型二 内错角相等，两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补，两直线平行 ★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行，同位角相等 ★ 题型八 两直线平行，内错角相等 ★ 题型九 两直线平行，同旁内角互补 ★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 题型一：同位角相等，两直线平行 1．如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 3．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型二：内错角相等，两直线平行 4．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形．为验证与是否平行，已测得，仅用下列一个测量结果即可判定与平行的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，要得到，则需要条件______（填一个你认为正确的条件即可），理由是_____． 6．如图，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：同旁内角互补，两直线平行 7．如图，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 9．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型四：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A． B．点B，C在直线l同侧 C．点B，C在直线l两侧 D．点A，B，C在同一条直线上 11．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 12．在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 题型五：平行公理的应用 13．如图，，直线平移后得到直线，，则_____． 14．如图，直线，是一块含角的直角三角板，其中，．若，则的度数为________． 15．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六：平行公理推论的应用 16．已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 17．如图，已知，，，则的值为__．    18．在作业纸上，，点C在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图①和图②），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（     ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 题型七：两直线平行，同位角相等 19．如图，直线，被直线所截．若，，则（     ） A． B． C． D． 20．如图，一只猴子从竹竿底端的点顺着往上爬至点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（     ） A．逐渐变小 B．始终不变 C．逐渐变大 D．无法确定 21．如图，液面与杯下沿平行（即），光线从液体中射向空气发生折射后沿射出，点在射线上，点、分别在、上．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型八：两直线平行，内错角相等 22．如图，，连接、．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为_______． 24．如图，直线，点在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型九：两直线平行，同旁内角互补 25．数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（   ） A． B． C． D． 26．红丝带是国际艾滋病防治标志，寓意关心、希望与支持，如图是其示意图，可大致看作由长方形折叠而成，若，则的度数为________． 27．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十：根据平行线判定与性质证明 28．如图，已知，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 29．如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为___________． 30．如图，下列推理正确的选项是（     ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 解答题 31．如图，在同一平面内，于点，于点，，求证： ． 32．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 33．如图，点E，F分别是线段上的点，连接与分别交于点G，H．已知． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 34．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 35．两个直角三角形按如图1初始放置，，其中，此时与重合．当点D从点A出发沿射线方向滑动的同时，点F在射线上滑动．滑动过程中，三角形不动，三角形形状、大小不变． (1)若，， ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，若点D运动到延长线上时，连接，设．当时，求的值； (2)如图4，过点E作射线交射线于点G，设，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请直接写出的度数．（用含x的式子表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13平行线的证明复习讲义 1.熟练掌握平行线、同位角、内错角、同旁内角的概念，能在复杂图形里准确识别这三类角。 2.掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，会用判定定理证明两条直线平行。 3.掌握平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，能由平行关系推导角的数量关系。 4.分清平行线判定和性质的区别：判定是由角推平行，性质是由平行推角的关系，避免二者混淆。 5.理解证明的规范格式，证明过程做到每一步都写出对应的依据，规范书写简单几何推理证明。 6.掌握三角形内角和定理及其证明，能利用三角形内角和、平行线性质综合计算角度、进行推理论证。 7.能解决平行线与拐角模型、多折线综合的角度计算题，会结合图形转化角，处理变式综合题型。 8.养成严谨推理的习惯，看清已知条件，不凭空添加条件，规避证明跳步、理由写错、判定性质混用等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等，两直线平行 ★ 题型二 内错角相等，两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补，两直线平行 ★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行，同位角相等 ★ 题型八 两直线平行，内错角相等 ★ 题型九 两直线平行，同旁内角互补 ★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 平行线的定义及画法 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线定义的三要素：(1) 在同一平面内；(2) 不相交；(3) 都是直线． 2.表示方法：用 “” 表示平行，直线AB与CD是平行线，记作 “(AB CD)” 或 “(CDAB)”，读作 “AB平行于CD” 或 “CD平行于AB”． 3.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落：把三角尺的一边落在已知直线上； 二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 三移：把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点； 四画：沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线． 知识点02:三线八角：平行线的 “角识别模型” 由两条被截直线和一条截线组成（三线），形成八个角（八角） 角的名称 位置特征 图形形象 数量（三线八角中） 同位角 截线同侧，被截线同方 形如 “F” 4 对 内错角 截线两侧，被截线之间 形如 “Z” 2 对 同旁内角 截线同侧，被截线之间 形如 “U” 2 对 关键提醒：判断三类角只看位置，与角的大小无关；只有两条直线被同一条截线截取，才存在这三类角。 知识点03:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点04.平行公理 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（唯一性 + 存在性）。 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 平行线证明通用解题步骤 1.标记图形：在图中标注已知相等、互补的角，找准截线，区分三类角； 2.明确解题目标 ① 目标：证两直线平行 → 寻找同位 / 内错相等、同旁内角互补，选用判定； ② 目标：求角度、证等角 → 利用已知平行，选用性质； 3.等量过渡：条件不足时，借助对顶角、邻补角做等量代换，搭建推理条件； 4.规范书写：分步书写∵∴，每一步末尾括号标注公理、定理、定义； 5.辅助线规范：需要作平行线辅助线时，必须文字说明，例：过点P作PQAB。 知识点 07 几何证明完整书写规范（阅卷标准） 1.必须成对使用∵（因为）、∴（所以），不可单独写结论； 2.每一步推导后标注对应依据（对顶角相等、平行线判定 / 性质等），不能省略； 3.添加辅助线：文字说明画法，图形用虚线画出； 4.文字类几何命题四步流程：画图→写已知→写求证→完整证明； 5.禁止仅凭肉眼观察图形直接下结论，所有结论必须有角度等量关系支撑。 题型一：同位角相等，两直线平行 1．如图所示，以下条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴（同位角相等，两直线平行），故该选项符合题意； B、，不能证明，故该选项不符合题意； C、，不能证明，故该选项不符合题意； D、，不能证明，故该选项不符合题意． 2．如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，可以根据内错角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同位角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定 ∴添加的条件可以是 （答案不唯一）． 3．如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形对各选项进行分析即可． 【详解】 A、与是直线，被第三条直线所截形成的同位角，则当时，，故A选项符合题意； B、与是对顶角，不能判定，故B选项不符合题意； C、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故C选项不符合题意； D、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故D选项不符合题意． 题型二：内错角相等，两直线平行 4．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形．为验证与是否平行，已测得，仅用下列一个测量结果即可判定与平行的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定判断选项即可． 【详解】解：A选项，若，无法判断与平行； B选项，若，则， 由内错角相等，两直线平行，可得与平行； C选项，若，无法判断与平行； D选项，若，无法判断与平行 ． 5．如图，要得到，则需要条件______（填一个你认为正确的条件即可），理由是_____． 【答案】 （答案不唯一） 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行； 6．如图，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得（同位角相等，两直线平行），原推理正确，符合题意； B、由不能推出，原推理错误，不符合题意； C、由可得（内错角相等，两直线平行），不能得到，原推理错误，不符合题意； D、由不能推出，原推理错误，不符合题意． 题型三：同旁内角互补，两直线平行 7．如图，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，无法判定，本选项不符合题意； B、不能判断，本选项不符合题意； C、，不能判断，本选项不符合题意； D、， ∴，本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 9．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， ， 故本选项不符合题意， 选项B：， ， 故本选项不符合题意， 选项C：， ， 故本选项符合题意， 选项D：， ， 故本选项不符合题意． 题型四：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A． B．点B，C在直线l同侧 C．点B，C在直线l两侧 D．点A，B，C在同一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查垂直的性质，根据同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，则过点A与直线l相垂直的直线有， 又∵“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”， ∴与重合，故选项A错误； ∴三点共线，可能在直线的同侧，也可能在直线的两侧；故选项B，C错误，选项D正确，符合题意； 故选：D． 11．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 12．在同一平面内有直线，，，，，…，按此规律，那么与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．无法判断 【答案】A 【分析】此题考查规律的探索，能找出其中的规律的解题的关键．根据，，，，．．．寻找规律解答． 【详解】解：，， 按此规律， 又 以此类推： ∴ ∵ ∴ ∵ 故选A． 题型五：平行公理的应用 13．如图，，直线平移后得到直线，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，如图，过作，证明，再进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过作， ∴， ∵直线平移后得到直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 故答案为： 14．如图，直线，是一块含角的直角三角板，其中，．若，则的度数为________． 【答案】/40度 【分析】过点作，根据平行线的性质逐步进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ， ， ． 15．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 题型六：平行公理推论的应用 16．已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 17．如图，已知，，，则的值为__．    【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，根据角的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．在作业纸上，，点C在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图①和图②），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（     ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】分别验证两个方案：方案Ⅰ通过作辅助平行线，利用平行线的内错角相等，将所求角转化为 ；方案Ⅱ通过延长线构造同位角，利用平行线的同位角相等，将所求角转化为，从而判断两个方案是否都可行． 【详解】解：方案Ⅰ：过点作 令直线交直线于点， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ， ∴与所夹锐角 ， ∴方案Ⅰ可行． 方案Ⅱ： 延长交于点令直线交直线于点， ∵， ∴与延长线所夹锐角 ， ∴方案Ⅱ可行． 综上，Ⅰ、Ⅱ都可行． 题型七：两直线平行，同位角相等 19．如图，直线，被直线所截．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ． 20．如图，一只猴子从竹竿底端的点顺着往上爬至点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（     ） A．逐渐变小 B．始终不变 C．逐渐变大 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可知视线与水平方向所成的夹角不变． 【详解】解：在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行， 在小猴爬行的过程中，视线与水平方向所成角等于，竹竿与地面的夹角， 小猴的视线与水平方向所成的夹角不变． 21．如图，液面与杯下沿平行（即），光线从液体中射向空气发生折射后沿射出，点在射线上，点、分别在、上．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型八：两直线平行，内错角相等 22．如图，，连接、．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线平行得内错角相等，再代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即． 23．如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为_______． 【答案】/35度 【分析】先确定与长方形的直角的关系，再利用折叠性质求，最后利用平行线性质求． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠性质可知． 已知， ∴． 由折叠得， ∴． ∵长方形中，， ∴， ∴． 24．如图，直线，点在直线上，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，求出的度数，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴． ∵， ∴． 题型九：两直线平行，同旁内角互补 25．数学符号“”可以看作是两条平行的直线被第三条直线所截而成，放大后如图所示．若，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 26．红丝带是国际艾滋病防治标志，寓意关心、希望与支持，如图是其示意图，可大致看作由长方形折叠而成，若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平行线内，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特征，右边三角板为等腰直角三角形，左边三角板为含角的直角三角形，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：由图可知，右边三角板为等腰直角三角形，， 左边三角板为含角的直角三角形， ， 上下两条直线平行， ， 即， ． 题型十：根据平行线判定与性质证明 28．如图，已知，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．由已知条件可判定，则有，即可求得，可判定，则可得． 【详解】解：， ． ． ， ． 即． ． ． 故选：B． 29．如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为___________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用相关知识点；先根据折叠得到相关角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到答案即可； 【详解】解：由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：7． 30．如图，下列推理正确的选项是（     ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定与性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则，依据：内错角相等，两直线平行，故正确； ②若，不能判断，故错误； ③若，则，依据：同旁内角互补，两直线平行，故正确； ④若，无法判定，故错误； ⑤若，则．依据：内错角相等，两直线平行，故正确． 解答题 31．如图，在同一平面内，于点，于点，，求证： ． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可. 【详解】略 32．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据“同位角相等，两直线平行”得，继而得到，进一步推出，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论； （2）根据垂直的定义得，结合已知得，再利用角的和差可得答案、 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 33．如图，点E，F分别是线段上的点，连接与分别交于点G，H．已知． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据已知条件证明即可得到结论； （2）证明 ，可得 ，结合 ，进一步可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 35．两个直角三角形按如图1初始放置，，其中，此时与重合．当点D从点A出发沿射线方向滑动的同时，点F在射线上滑动．滑动过程中，三角形不动，三角形形状、大小不变． (1)若，， ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，若点D运动到延长线上时，连接，设．当时，求的值； (2)如图4，过点E作射线交射线于点G，设，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请直接写出的度数．（用含x的式子表示） 【答案】(1)①；②； (2)或或 【分析】（1）①利用平行线的性质求解即可； ②过点B作，则，根据平行线的性质得到，，进而求得，即可解答； （2）分三种情况：当时；当时；当时，利用平行线的性质和角度的运算分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴； ②如图，过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，过点D作， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当时，； ∴； ③当时，过点D作， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $