专题12证明的必要性与基本认识复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年材北师大版八年级数学上册

专题12证明的必要性与基本认识复习讲义 1.知道仅凭观察、实验、归纳、类比得到的结论不一定可靠，理解证明的必要性，明白严谨推理才是确认结论正确的依据。 2.掌握命题的概念，能准确识别命题，分清命题的题设（条件）和结论，会把命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式。 3.能区分真命题、假命题；会用举反例的方法说明一个命题是假命题。 4.了解定理的含义，知道定理是经过证明为真的命题，可以作为后续推理的依据。 5.理解证明的含义与基本格式，能看懂几何、代数类简单证明过程，准确填写推理对应的理论依据。 6.能根据命题写出已知、求证，规范书写简单命题的证明步骤，做到步步有依据。 7.可以利用给定论断自主组合命题，判断真假并完成证明，初步形成逻辑推理、严谨说理的习惯。 8.能区分观察猜想和演绎证明两种方式，规范几何、代数背景下的推理论证，规避说理跳步、理由写错等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★ 题型九 定理与证明 ★★ 题型十 逻辑推理与论证 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 禁止只看图凭直观写结论； 等量、等角转换标注 “等量代换”； 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 知识点08：高频易错点 1.混淆命题：疑问句、作图指令误判为命题； 2.改写命题 “如果那么” 时，拆分条件、结论出错； 3.证明跳步，不写每一步推理依据； 4.依靠视觉、度量代替逻辑推理； 5.认为举多个例子就能证明命题为真（只有反例可证假命题）； 6.公理、定理、定义混用，依据写错； 7.文字命题不画图、不写已知求证直接证明。 题型一：观察与实验 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 2．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 3．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 题型二：归纳与类比 4．直角坐标系，通常称为笛卡尔直角坐标系，它是以法国哲学家、数学家笛卡尔的名字命名的．笛卡尔于1637年发明了坐标系，导入运动着的点的坐标概念．他使用代数的方法研究几何，创立了解析几何学，被认为是解析几何之父．这种用代数的方法解决几何问题的研究方法体现的数学思想是（    ） A．类比思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 5．李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验，第组取粒，第组取粒，第组取粒，即每组所取种子数目比该组前一组增加粒，按此规律，那么请你推测第组应取种子粒数为（ ） A． B． C． D． 6．一个区域有若干特务，每个特务至多认识其他3个特务（认识是相互的），且直接认识的特务之间可以直接特务传递情报或者通过双方都认识的第三方特务传递情报，已知该地区情报互通．则该地区特务最多有_________人． 题型三：猜想与证明 7．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 题型四：判断是否是命题 10．下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 11．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 12．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 题型五：写出命题的题设与结论 13．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 14．下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 15．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 题型六：判断命题真假 16．下列命题中是真命题的是（    ） A．9的平方根3 B．无限小数是无理数 C．同位角相等，两直线平行 D．若，则 17．对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．下列命题是真命题的是（   ） A．平方根等于它本身的数是 B．立方根等于它本身的数是和 C．倒数等于它本身的数是 D．绝对值等于它本身的数是正数 题型七：举例说明假（真）命题 19．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 20．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 21．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 题型八：举反例 22．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 23．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 24．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C．1 D．2 题型九：定理与证明 25．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 26．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 27．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 题型十：逻辑推理与论证 28．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 29．密封的瓶中，如果放进一个细菌，60秒后瓶内充满了细菌，已知每个细菌每秒分裂成2个，两秒钟分裂成4个，如果开始放8个细菌．要使瓶中充满细菌最少需要________秒． 30．某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 解答题 31．某地有A，B，C三个文化景点，由于三个景点具有一定的关联性，去了景点A的游客都会继续去景点B游览，去了景点B的游客也会继续去景点C游览． (1)如果小明去了景点C，那么他一定去了景点A吗？ (2)如果小明没去景点C，那么他一定没去景点A吗？ (3)根据上面的信息，你还可以得到哪些结论？ 32．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 33．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 34．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）已知数表 ，其中且为整数，   （，，且，是整数）的值恰好是1，2，…，的一个排列，对于数表中的每个数，称周围一圈的数（不包含）为的“周边数”. 不难发现： ①数表四个角上的数，，，，每个数的“周边数”有个； ②数表边上的数 ，，…，；，，…，；，，…，；，，…，，每个数的“周边数”有5个； ③除数表四个角上的数以及边上的数之外，数表中剩下的数叫做数表的内部数，数表每个内部数的“周边数”有8个；（例如：的“周边数”是，，；的“周边数”是，，，，；的“周边数”是，，，，，，，）.若数表中存在某个，满足的“周边数”中至少有4个大于它，则称数表为“优质数表”. (1)若数表 ，判断数表是否为“优质数表”，并说明理由； (2)当， 时，数表必为“优质数表”，请直接写出的最大值； (3)当时，数表必为“优质数表”，请直接写出的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12证明的必要性与基本认识复习讲义 1.知道仅凭观察、实验、归纳、类比得到的结论不一定可靠，理解证明的必要性，明白严谨推理才是确认结论正确的依据。 2.掌握命题的概念，能准确识别命题，分清命题的题设（条件）和结论，会把命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式。 3.能区分真命题、假命题；会用举反例的方法说明一个命题是假命题。 4.了解定理的含义，知道定理是经过证明为真的命题，可以作为后续推理的依据。 5.理解证明的含义与基本格式，能看懂几何、代数类简单证明过程，准确填写推理对应的理论依据。 6.能根据命题写出已知、求证，规范书写简单命题的证明步骤，做到步步有依据。 7.可以利用给定论断自主组合命题，判断真假并完成证明，初步形成逻辑推理、严谨说理的习惯。 8.能区分观察猜想和演绎证明两种方式，规范几何、代数背景下的推理论证，规避说理跳步、理由写错等易错问题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★ 题型九 定理与证明 ★★ 题型十 逻辑推理与论证 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 五种不可靠的推理方式（易错直观误区） 依靠观察、测量、经验、特例、猜想得出的结论不一定正确，不能作为数学严谨依据，分五类： 1.直观观察（视觉误差） 肉眼观察图形长短、曲直、平行容易产生视觉错觉，眼见不一定为实。 例：等长线段画不同方向，看起来一长一短。 2.度量测量（工具误差） 直尺、量角器有精度限制，测量存在微小误差，无法精准证明普遍结论。 3.有限特例归纳（不完全归纳） 只举几个例子成立，不能说明所有情况都成立。 例：几个质数是奇数，不能推出所有质数都是奇数（2 是反例）。 4.个人经验、直觉判断 主观感受不具备数学严谨性，容易受生活常识干扰。 5.猜想假设无推导 凭空猜测，没有逻辑推导支撑，结论可能存在反例。 知识点 02 反例的核心作用 1.反例定义：满足命题条件，但不满足命题结论的例子。 2.唯一功能：只需举出 1 个反例，就能直接证明一个命题是假命题。 3.区分： 证明命题为真：必须严谨逻辑推理； 证明命题为假：只需1 个反例。 知识点03:核心基础概念（必背） 概念 定义 关键考点 定义 对名称、术语的含义作出准确、规范的描述 句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情对错的语句 只有判断句是命题；疑问、命令、画图句都不是 真命题 条件成立，结论一定成立的命题 可以作为推理依据 假命题 条件成立，结论不一定成立的命题 只需1 个反例即可推翻 反例 满足命题条件，但不满足结论的例子 证明假命题的唯一方法 知识点04:命题 1. 命题组成 所有命题统一分为两部分： 条件（题设）＋结论 2. 标准改写格式 统一改写为：如果……（条件），那么……（结论） 3. 命题改写注意点 (1)改写时不能改变原意 (2)语句残缺的命题需要补全主语 (3)找准谁是已知、谁是推出结果 4. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 知识点05:公理、定理、证明（几何核心） 名称 定义 是否需要证明 能否当推理依据 公理（基本事实） 人们长期实践公认正确的命题 不需要证明 可以直接用 定理 经过推理证明为正确的真命题 必须证明 可以直接用 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理，逐步推理得到结论的过程 — 几何大题书写核心 知识点 06 几何证明标准书写格式（固定模板） 1.已知：题目给出的全部条件； 2.求证：题目需要证明的结论； 3.证明：分步书写推理过程，每一步后括号标注推理依据（公理 / 定理 / 定义 / 等量代换）。 书写规范要求 推理每一步必须有理有据，不能跳关键步骤； 禁止只看图凭直观写结论； 等量、等角转换标注 “等量代换”； 平行、垂直判定标注对应判定定理。 知识点 07常用基础推理依据汇总 · 定义类：角平分线定义、垂直定义、中点定义、平行线定义； · 等量代换：若a=b，b=c，则a=c； · 等式性质：等式两边同时加 / 减 / 乘 / 除同一个数，等式仍成立； · 不等式性质（少量证明用到）； · 公理、平行线判定 / 性质、三角形相关定理。 知识点08：高频易错点 1.混淆命题：疑问句、作图指令误判为命题； 2.改写命题 “如果那么” 时，拆分条件、结论出错； 3.证明跳步，不写每一步推理依据； 4.依靠视觉、度量代替逻辑推理； 5.认为举多个例子就能证明命题为真（只有反例可证假命题）； 6.公理、定理、定义混用，依据写错； 7.文字命题不画图、不写已知求证直接证明。 题型一：观察与实验 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 2．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 3．透明盒子中有A、B、C、D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表： 盖子 A B C D 直径（） 1 2 3 4 当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有___________种． 【答案】11 【分析】首先明确“恰好有两个盖子被罩住”的含义，即最终有两个盖子被完全罩住，另外两个盖子能被看到，由此分解出关键问题：确定哪两个盖子被罩住，哪两个不被罩住．对于取出盖子的不同顺序进行分类讨论即可求出． 【详解】若最后取出的盖子，则有三个盖子都能被罩住， 盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个． ①当第一个取出盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住盖子，因为有两个盖子被罩住，故盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取还是先取，这两个盖子都能被罩住，即有2种情况：，； ②当第二个取出盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住，故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，故有3种情况：； ③当第三个取出盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被罩住，即有6种情况：． 综上所述，当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合共有（种）． 题型二：归纳与类比 4．直角坐标系，通常称为笛卡尔直角坐标系，它是以法国哲学家、数学家笛卡尔的名字命名的．笛卡尔于1637年发明了坐标系，导入运动着的点的坐标概念．他使用代数的方法研究几何，创立了解析几何学，被认为是解析几何之父．这种用代数的方法解决几何问题的研究方法体现的数学思想是（    ） A．类比思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 【答案】C 【分析】根据各种思想的定义进行判断选择． 【详解】解：A：类比是指将两个相似的概念进行对比并寻找其中规律，不符题意； B：分类讨论是针对不同情况分类别讨论，不符题意． C：数形结合是指把数字和图形结合起来，符合笛卡尔的方法，故符合题意； D：公理化思想是把普遍存在的规律归纳为大家认可的公理，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查数学思想和方法，弄清楚每种方法思想的定义是关键． 5．李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验，第组取粒，第组取粒，第组取粒，即每组所取种子数目比该组前一组增加粒，按此规律，那么请你推测第组应取种子粒数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知的第1组3粒可化为，并按照这个形式将第2组5粒化为，第3组粒化为，以此类推可得第组，将代入可得第7组应取种子粒数． 【详解】解：第1组 第2组 第3组 …… 第组 将代入上式得 第7组应取种子粒数为15 故选：A 【点睛】此题考查了归纳总结的知识点，不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理，不完全归纳法又叫做普通归纳法；掌握不完全归纳法的知识点是解题关键． 6．一个区域有若干特务，每个特务至多认识其他3个特务（认识是相互的），且直接认识的特务之间可以直接特务传递情报或者通过双方都认识的第三方特务传递情报，已知该地区情报互通．则该地区特务最多有_________人． 【答案】 【分析】结合题意，把特务看作图的顶点，互相认识建立连线．题干条件转化为：每个顶点最多连条线，任意两点要么直接相连，要么通过一个中间点连通，整个图形连通．任选一个顶点，它最多直接连接个点，这个点各自还能再外接个新点，算出人数上界为，故最大值可取到． 【详解】解：由题意，把特务看作图的顶点，任取其中一个顶点． 与直接相连的顶点最多有个，记这组顶点集合为． 任取集合中的一个顶点， 已经和相连， 最多还能再连接另外个顶点． 图中任意两点距离不大于， 不与直接相连的顶点，必须至少与中某一个顶点相连； 所有剩余顶点，都只能由内各顶点向外连接得到． 含有至多个顶点，每个顶点最多向外新增个顶点， 除去、之外，最多存在个顶点． 综上所有顶点总数． 又因为每个顶点度数为、任意两点距离、一共个顶点，满足全部限制条件，说明数值可以实现．因此该地区特务最多有人． 题型三：猜想与证明 7．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 8．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作，里面曾记载形如，方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根为的长，这种解法体现的数学思想是（   ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【详解】解：通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 题型四：判断是否是命题 10．下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 【答案】C 【详解】解：命题是判断一件事情的陈述句． A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； B、是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； C、是陈述句，对三角形中线平分对边作出了判断，是命题； D、是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题． 11．下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，关键是根据定义进行判断；命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵命题的定义是可以判断真假的陈述句， ∴A选项是可以判断真假的陈述句，是命题； B选项是祈使句，无法判断真假，不是命题； C选项是可以判断真假的陈述句，是命题； D选项是可以判断真假的陈述句，是命题； ∴不是命题的是B选项， 故答案选：B． 12．下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 题型五：写出命题的题设与结论 13．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 14．下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 15．把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 题型六：判断命题真假 16．下列命题中是真命题的是（    ） A．9的平方根3 B．无限小数是无理数 C．同位角相等，两直线平行 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义、无理数的概念、平行线的判定定理以及不等式的性质，解题的关键是准确掌握各知识点的定义与适用条件． 判断命题真假需紧扣定义与定理；对选项A，依据平方根的定义分析；对选项B，根据无理数的概念判断；对选项C，按照平行线的判定定理验证；对选项D，通过举反例验证不等式变形的正误． 【详解】解：A、的平方根是，并非只有，此选项不符合题意； B、无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，此选项不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，此选项符合题意； D、若，，满足，但，，此时，此选项不符合题意； 故选：C． 17．对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 18．下列命题是真命题的是（   ） A．平方根等于它本身的数是 B．立方根等于它本身的数是和 C．倒数等于它本身的数是 D．绝对值等于它本身的数是正数 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根、立方根、倒数和绝对值的性质逐一判断命题是否成立，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、平方根等于它本身的数是，该命题是真命题，符合题意； 、立方根等于它本身的数是和，该命题是假命题，不符合题意； 、倒数等于它本身的数是，该命题是假命题，不符合题意； 、绝对值等于它本身的数是和正数，该命题是假命题，不符合题意； 故选：． 题型七：举例说明假（真）命题 19．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． 20．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 【答案】 【分析】找出满足，但不满足的的值即可． 【详解】解：当时，，满足，但不满足，因此可作为该假命题的反例. 21．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：A． 当时，满足，但不满足，符合题意；     B． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     C． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     D． ，不满足，，不符合题意． 故选A． 题型八：举反例 22．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一组相等的角，但不是对顶角，能作为一个反例； B、是一组相等的角，也是对顶角，不能作为一个反例； C、不是一组相等的角，不能作为一个反例； D、不是一组相等的角，不能作为一个反例． 23．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 24．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先比较大小,确定满足条件的数,再代入计算判断即可 【详解】∵2,1件都不符合条n＜1， ∴C,D 都不符合题意； 当n=-2时，满足-2＜1，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 题型九：定理与证明 25．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 26．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 27．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 题型十：逻辑推理与论证 28．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可． 【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书， 所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书， 因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书， 所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读， 故选C． 29．密封的瓶中，如果放进一个细菌，60秒后瓶内充满了细菌，已知每个细菌每秒分裂成2个，两秒钟分裂成4个，如果开始放8个细菌．要使瓶中充满细菌最少需要________秒． 【答案】57 【分析】本题考查的是细菌分裂的倍数增长问题，解题的关键是推出8个细菌相当于1个细菌经过3秒达到的数量，进而通过总时长的换算得出结果．一开始有一个细菌，之后分裂成两个，两秒钟分裂成4个，也就是每秒钟细菌占据的体积增大一倍．如果放进一个细菌，60秒钟后充满了瓶子，那么一开始有8个细菌，相当于1个细菌经过了3秒达到的数量，就要从60秒里减去3秒，即（秒）． 【详解】放进8个细菌，相当于1个细菌经过了3秒达到的数量，所以要使瓶中充满细菌最少需要：（秒） 答：要使瓶中充满细菌最少需要57秒． 故答案为：57 30．某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 【答案】 5 14 【分析】本题考查的是逻辑推理，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键．注意理解清楚，每人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个，再结合表格分析，可以求出最短和最长时间． 【详解】解：时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个， 甲：均可， 乙：， 丙：， 丁：， 观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意， 最短时间； 时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 查看表格，时间段1，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的乙，， 时间段2，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁，， 最长时间=所有时间之和． 故答案为：5，14． 解答题 31．某地有A，B，C三个文化景点，由于三个景点具有一定的关联性，去了景点A的游客都会继续去景点B游览，去了景点B的游客也会继续去景点C游览． (1)如果小明去了景点C，那么他一定去了景点A吗？ (2)如果小明没去景点C，那么他一定没去景点A吗？ (3)根据上面的信息，你还可以得到哪些结论？ 【答案】(1)不一定 (2)一定 (3)示例：①游览景点A的游客一定会游览景点C；②没游览景点B的游客一定没游览景点A；③没游览景点C的游客一定没游览景点B．（写出合理结论即可） 【分析】（1）通过举反例即可判断去C不一定去A， （2）结合游览的传递性反向推导结论， （3）根据题干的游览传递关系推导其他成立的结论． 【详解】（1）解：若小明仅游览景点C，满足去了景点C，但未去景点A，因此去了景点C不一定去了景点A． （2）解：去景点A的游客都会去景点B，去景点B的游客都会去景点C，因此没去景点C的游客一定没去景点B，进而一定没去景点A． （3）略 32．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成：如果______，那么______，这个命题的条件是______，结论______； (2)这个命题是______（填真命题或假命题），请说明理由． 【答案】(1)两个数的绝对值相等；这两个数也相等；两个数的绝对值相等；这两个数也相等 (2) 该命题是假命题． 反例：虽然，但是， 故原命题为假命题． 【分析】（1）根据命题改写的规则，将原命题拆分为“如果+条件，那么+结论”的形式，明确条件和结论． （2）通过举反例的方法，判断命题的真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． 条件是：两个数的绝对值相等． 结论是：这两个数相等． （2）解：略． 33．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动． 【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值． (1)补充完整下列表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+2x+3 … 0 3 4 … (2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ； (3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明． 【答案】(1)3,0 (2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一） (3)甲的判断不正确，乙的判断正确， 例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4； ∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的； 乙的判断是正确的，原因如下： ， 由于， ∴， 所以同学乙的判断正确． 【分析】（1）将数值代入计算即可； （2）填一个从表中数据可以得到的结论，并言之有理即可； （3）根据表中数据即可举出反例说明甲的判断错误，通过对代数式进行变形，即可得到它的最大值为4，证明乙正确． 【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3； 当x=3时，﹣x2+2x+3=0； 故答案为：3；0． （2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）． （3）略 【点睛】本题考查了代数式的求值及其变化规律问题，解题关键是能够根据表中数据正确判断代数式值的情况，并能够对代数式进行正确的变形． 34．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）已知数表 ，其中且为整数，   （，，且，是整数）的值恰好是1，2，…，的一个排列，对于数表中的每个数，称周围一圈的数（不包含）为的“周边数”. 不难发现： ①数表四个角上的数，，，，每个数的“周边数”有个； ②数表边上的数 ，，…，；，，…，；，，…，；，，…，，每个数的“周边数”有5个； ③除数表四个角上的数以及边上的数之外，数表中剩下的数叫做数表的内部数，数表每个内部数的“周边数”有8个；（例如：的“周边数”是，，；的“周边数”是，，，，；的“周边数”是，，，，，，，）.若数表中存在某个，满足的“周边数”中至少有4个大于它，则称数表为“优质数表”. (1)若数表 ，判断数表是否为“优质数表”，并说明理由； (2)当， 时，数表必为“优质数表”，请直接写出的最大值； (3)当时，数表必为“优质数表”，请直接写出的最小值. 【答案】(1)数表A是“优质数表”．理由如下： 根据定义，的周边数有， 其中这四个数均大于， 因此，数表A是“优质数表”． (2)5 (3)4 【分析】解题关键是紧扣定义，分析不同位置数的周边数数量，结合数的大小关系进行判断即可． 1.准确识别“周边数”，逐一比较大小即可； 2.以内部数的周边数数量为8个为突破口，结合1到9的数的范围，通过假设再验证分析找最大值即可； 3.分析数表结构中角、边、内部数的周边数差异，从较小数开始分类讨论，直到都满足条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：t的最大值为5；当时，为内部数， 其周边数为除t以外的另外8个数， 要使得数表为“优质数表”需满足t的周边数至少有4个大于它， 当时，大于5的数有共四个，这四个数必然都在的8个周边位置上， 因此有四个大于它的周边数； 当时，大于6的数有7，8，9共三个，因此只有三个大于它的周边数， 综上所述，t的最大值为5． （3）解：的最小值为4；当时，数表中数的范围为1到， 对于角上的数，周边数有3个，无法满足条件， 对于边上的非角数，周边数有5个， 对于内部数，周边数有8个， 当时，数表有9个数，构造非“优质数表” ， 其中没有任何一个数满足其“周边数”中至少有四个大于它； 当时，先考虑数表中较小的前四位数，即， 当这四个数中只有一个，或者两个，或者三个较小数占据角位时，其它位置必然能够出现至少有四个周边数大于它的数， 当这四个数占据了4个角位时，剩余最小数为5， 则5的位置只能出现在边上非角位或内部位， 当5在内部时，其8个周边数中至少有4个大于5； 当5在边上时，内部数必然存在满足条件的数 综上所述，的最小值为4． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $