课外拓展提高 31.2.3 相似三角形的性质&课外拓展提高 31.3 第1课时 相似三角形在测量中的应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

31.2.3 相似三角形的 1.（2026上饶鄱阳期中)如 图，△ABC的中线BE与 CF交于点O,连接EF.若 △OBC的周长为8，则 △OEF的周长为(B)B4 第1题图 A.2 B.4 C.8 D.16 2.如图，在□ABCD中，E是边AB的中点，EC 交BD于点F,那么S△BEF：S△BCF=(A) A.1:2B.1:3C.1:4 D.2:3 第2题图 第3题图 3.如图，△AB0的顶点A在函数y= F( 0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等 分点M,N分别作x轴的平行线交AB于点 P,Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的 值为 (D) A.9 B.12C.15 D.18 4.一题多解法如图，网格中每个小正方形的 边长均为1，A,B,C,D四点均在格点上， AB与CD相交于点E,则△ADE(图中阴影 部分)的面积是 (A) A 0.2 B 第4题图 第5题图 5.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形， AB被一平行于BC的矩形截成三等份，则阴 影部分的面积是3√3cm2. 84 九年级数学RJ版 性质（建议用时：30分钟） 6.如图所示的是伸缩折叠不锈钢晾衣架的侧面 示意图，AD与CB相交于点O,AB∥CD.根 据图中的数据可得x的值为0.96 C0.8D 1B -单位：m 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC,且DE和 FG把△ABC的面积三等分.如果BC=12, 那么FG=4√6 8.推理能力如下图，已知四边形ABCD为平 行四边形，过点C分别作AD,AB的垂线， 交边AD,AB的延长线于点E,F. (1)求证：△CDE∽△CBF. (2)求证：AD·DE=AB·BF. （③》准接AC如男是答求江C能 证明：(1)，四边形ABCD是平行 四边形。 .CD∥AB,AD∥BC, ∴·∠CDE=∠DAB,∠CBE =∠DAB, ∴.∠CDE=∠CBF. B CE⊥AE,CF⊥AF,∴.∠CED=∠CFB=90°， ∴.△CDE∽△CBF. CD CB (2)'△CDE△CBE,DEBF :四边形ABCD是平行四边形， C=AD,D=A,提-0 ,.AD·DE=AB·BF 88-答∠n=∠A=0. ∴△ACF△CDE. 又△CBF∽△CDE, △nac,=(-2答 :△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高 ..SANGL=AF ACAF 相等小F小BCBP 31.3相似三角形的应用 目第1课时相似三角形在测量中的应用（建议用时：30分钟) 1.(教材变式)如图，小明在点C处看到甲、乙两4.跨物理学科如图所示的是利用凹透镜做实 楼楼顶上的点A和点E.C,E,A三点在同一 验时的光路示意图.已知平行于主光轴！的 条直线上，点B,D分别在点E,A的正下方，且 光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反 D,B,C三点在同一条直线上，B,C两点相距 向延长线过焦点F,,经过凹透镜光心O的 20m,D,C两点相距40m.乙楼高BE为15m. 光线传播方向不改变，F,M与AO的交点C 小明的身高忽略不计，甲楼高AD为(B) 即为点A的像点.若AM=4cm,OF1= A.40mB.30mC.20mD.15m 3cm,点A到主光轴l的距离AB=2cm,则 点C到主光轴1的距离CD为 7 cm. 5.如下图，小斌想用学过的知识测算河的宽度 第1题图 第2题图 EF.在河对岸有一棵高4m的树GF,树GF 2.古代数学文化《周髀算经》中记载了“偃矩 在河里的倒影为HF,GF=HF.小斌在岸 以望高”的方法，这里“偃矩”可以看作两条 边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看 边呈直角的曲尺（如图中的ABC).“偃矩以 到岸边的点C和倒影的顶点H在一条直线 望高”的意思是利用“偃矩”可测量物体的高 上.点C到水面EF的距离CE=0.8m,AB 度.如图，点A,B,Q在同一水平线上， =1.6m,BC=2.4m,AB⊥BC,CE⊥EF, ∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相 FH⊥EF,GF⊥EF,BC∥EF,视线AH与 交于点D,测得AB=40cm,BD=20cm, 水面EF的交点为D.请你根据以上测量方 BQ=11.6m,则树高PQ为 (B) 法及数据求河的宽度EF, A.5.8mB.6mC.6.8mD.25.8m 解：BC∥EF,AB⊥BC, 3.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现 CE⊥EF, 可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.如 ∴.∠ACB=∠CDE,∠ABC B 图所示的是古代测量员用四分仪测量一方 =∠CED=90°，.△ABC ∽△CED, 井的深度的示意图，四分仪为正方形AB CD,方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪 世-断将-洁 ∴.ED=1.2m. 中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE ,CE⊥EF,FH⊥EF,∴.CE∥FH, 为2.5，则井深BG为 (A) ,.△CED△HFD. A.4 B.5 C.6 D.7 品-0-品m=6m D ∴.EF=ED十FD=7.2m, ∴.河的宽度EF为7.2m. C. B F D 第3题图 第4题图 下册课外拓展提高 85提是号胎爱-贤 2 AB AC BC ÷iC-DA-CA.△ABCn△DCA, .∠B=∠ACD. ∠B=55°，∴.∠ACD=55. 9.证明：：AB和OA分别是⊙O和⊙O'的直径，点C,D 分别在两圆上， ∴.∠C=∠D=90°，AB=2OA. AB BC 又：BC=20DA0OD =2, ∴.Rt△ABC∽Rt△AOD, ∴.∠BAC=∠OAD,即AB平分∠CAD 10.证明：(1)设AB=BD=DE=EC=m, 则AD=√2m,CD=2m,AE=√5m,AC=√10m, 品得器后普兰品 CD-DACA△ADE∽△CDA. 之.即AD DE AE■ (2)由(1)可知，△ADE△CDA,∴∠DAE=∠3. ∠B=90°，AB=BD,.∠1=45°. 又，∠1=∠2+∠DAE,∴.∠2+∠3=∠1=45°， .∠1+∠2+∠3=90°. 1解0E明：-”号铝-器-号伦-8 -号BE-8e△ACn△AnE (2)由(1)，得△ABC∽△ADE,∴.∠BAC=∠DAE =125°. 又∠EAC=70°，.∠CAD=∠DAE-∠EAC= 125°-70°=55°. 12.解：(1)证明：，D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .ED,EF,DF分别为△AOB,△OBC,△AOC的中 位线…胎货识- .△ABC∽△DEF. (2)如图，(1)中结论仍成立. 13.证明：I):BD=AD·BCBD=BC AD BD 又：∠BAD=∠CDB=90°， ∴.Rt△ADBORt△DBC, ∴.∠ADB=∠DBC,.AD∥BC. (2)如图所示，过点A作AE∥CD,交BC于点E :AD∥BC,∠BAD=90°， .∠EBA=∠BAD=90°. 28 九年级数学RJ版 又：∠CDB=90°， .∠EBA=∠CDB=90. AE∥CD,∴∠AEB=∠C, ∴.△ABEC∽△BDC, ÷腮5GD·AR=E,C :AD∥BC,AE∥CD, ∴.四边形ADCE是平行四边形， .AE=CD,.CD=BE·BC. 31.2.3相似三角形的性质 1.B【解析】根据题意，EF是△ABC的中位线， EF/BC,EF=2BC,.△OEF∽△OBC, ,C△oEr_EF1 1 :△0BC的周长为8，.Car=2X8=4. 2.A【解析】，四边形ABCD为平行四边形，E是边AB 的中点， AB/CD.BE-TAB-CD. BE EF 1 ∴.△BEF△DCF,心DC-CF=2' .S△Er:S△BCr=1:2. 3.D【解析】.NQ∥MP∥OB,∴.△ANQ∽△AMP △A0aM,N是0A的三等分点一-名 g-(0)-8-(- 3 SAAMP 4'SAAOB :四边形MNQP的面积为3，·3+SAA=4 .S△ANo=1,.S△A0B=9,.k=2S△A0B=18. 4.A【解析】，'AD∥BC,∴.△ADE∽△BCE. 设△ADE的边AD上的高为h1,△BCE的边BC上的 药为A提-会是 12 h,十h,=4,h,=5, 1 1218 SaE=2AD·h,=2X3X5=写， 》一题多解法 如图，连接BD, :AD∥BC,.△ADE∽△BCE, AE AD 3 BEBC S△ADE=AE ·SAmE BE 3 2 1 :S6m=2X3X4=6. 3 18 ∴.S△ADE= 5X6= 5 5.33 6.0.96【解析】如图，过点O作MN⊥ C0.8D N/ AB于点M,MN交CD于点N,则 ON=x,OM=1.2. AB∥CD,∴.△OCD∽△OBA, 1.2 8微品即后 =,. M B -单位：m 0.96. 7.4√6【解析】设△ADE的面积为k,则△AFG的面积 为2k,△ABC的面积为3k..DE∥FG∥BC, .△ADED△AFGD△ABC.:S△ADE：S△AFG: S△A=1:2:3,.△AFG和△ABC的相似比是 2:√3，.FG:BC=2：√3，即FG:12=2:√3 解得FG=4√6. 8.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,AD∥BC, .∠CDE=∠DAB,∠CBF=∠DAB, ∴.∠CDE=∠CBF. ,'CE⊥AE,CF⊥AF,.∠CED=∠CFB=90°， ∴.△CDE∽△CBF CD CB (2)'△CDE∽△CBF,DE-BF 四边形ABCD是平行四边形， BC-AD.CD-AB能0 .AD·DE=AB·BF 68SE-8S∠cED-∠cFA-90. ∴.△ACF△CDE. 又，'△CBFp△CDE,.△ACF∽△CBF, AC)AC CBCB ,△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等， Sag-AF AC:AF SACBF BFBCT-BE 31.3相似三角形的应用 第1课时相似三角形在测量中的应用 1.B 2.B【解析】·∠ABC=∠AQP=90°，∠A=∠A, ∴△ABDn△AQP,品-A8 ,AB=40cm,BD=20cm,BQ=11.6m=1160cm, :.P2_40+1160.PQ=600cm=6m. 20 40 3.A【解析】依题意，得AB∥EF,∴.△ABH∽△FEH, ÷08:AB=1,BH=0.5,BE=25∴E 1 2.5-0.5,解得FE=4,∴BC=4. 0.5 4.氵【解析】由题意可知，AM/L, △AMCA0r,cC-8C- 易知CD∥AB,.△OCD∽△OAB, 思货9 6 2=3+4CD=7cm. 5.解：BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, ,.∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴.△ABC p△CED, 0品时9-品m=1,2m AB BC CE⊥EF,FH⊥EF,.CE∥FH, ∴.△CED∽△HFD, 蛋-0-品D=6m .EF ED+FD=7.2 m, ∴.河的宽度EF为7.2m. 第2课时相似三角形与四边形的综合应用 1.B【解析】EF⊥AB,∠ABC=90°， ce-品-2 :AD/Bc,△ADEO△CME,0-E-2. .BC=AD=2CM,即M是BC的中点，.CM=BM. 又.'∠DCM=∠GBM,∠DMC=∠GMB, .△DCM≌△GBM,.GM=DM. 易知CD=BC=AB=AF+BF=2十1=3， .CM=2' 3 MG=DM=vD+N-√+(2)-3 21 2.C【解析】设AE=x,则BE=3-x. ,四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B=90 ,CE⊥EF,.∠AEF=∠BCE=90°-∠BEC, .∴.△AEF△BCE. “BEBC32-乞AF-3, .AF AE.AF 2 AE+AF=x+(3-)1 5 2 2=-2+2x 2<0,0<x<3, 2 .当x= 2x(-8) 之时，AE+AF取得最大值， 最大位为-×豆×- 4.504【解析】如图，设PQ与AD的交点为点E. .PQ:PN=7:2, 下册详解详析 29个