周测评 (1) 空间向量及其运算、空间向量基本定理-【衡水真题密卷】2026-2027学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2026一2027学年度高二学科素养周测评（一）】 数学·空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、选择题 1.C【解析】因为{a,b,c}构成空间的一组基底， Q,由题意得A0=AA+A,0=AA+2A,B 所以a,b,c不共面.因为b=名[a十b) 号A,D=Am+店+ad,Ad + (a-b)],所以a十b,a-b,b共面，故A错误； =AB+AD」 因为a-b十c=a-b-(-c),所以a-b,a-b 所以A6.A花=(+}+})·应 十c,一c共面，故B错误；因为4b-2a=-2(a -2b)+0(a+c),所以a-2b,4b-2a,a+c共 +AD)=AA·A店+AA·AD+1A+ 面，故D错误；由于不存在实数入，u,使得a十 2b=入(a-2b)十4(a十c)成立，所以a+2b, A亦+2ai·A-16ose+8as(肾-a)十 1 a一2b,a十c不共面，故C正确. 2.D【解析】因为AB=AC+CD+DB,所以AB2 4+1=43sna+12cosa+5=83sim(e+）十 =AC+CD+DB=AC+CD+DB+ 2AC.CD+2CD DB+2AC.DB=32+42 5,当∠BAA1=a=日时，Ad.A花取得最大值，最 +公十0十0+2×3X2x号-35，所以 大值为85+5. 二、选择题 =√35. 5.AC【解析】对于A、C,由于数量积满足交换 3.D【解析】设正方体的棱长为1，AB=a,AD 律、分配律，故A,C正确；对于B,因为a·b∈ =b,AA1=c,则|a|=b=c|=1,a·b R,故a·b·c∥c,同理b·c·a∥a,但a与c =b·c=c·a=0. 不共线，故B错误；对于D,a·b·(b十c)=a 因为A1C=AC=AB+AD=a+b,D2=DD ·b·b+a·b·c,且a·b·b≠a·b2,故D +D正-DD+D,C-e+a, 错误. 6.AC【解析】对于A,由题意MP=2PN,所 所以A,C.D正=a+b)·(e+2a)=a…c 以O-0M=20-O前)，则o=}oM+ 1 1 +b·c+2a2+ o示N-oi+号（号ai+2刘-oi+ 又E-+-所以AC在 D2上的投影向量是|A1C|os(AC,D) O+记，故A正确：对于B周为0脑 庞a,·脑·吨i =(6oi+o+d)-a+o+ |DE DE 5 心+i.0+oi.心+oi.0d 2π 1 4.C【解析】设∠BAA1=a,则∠DAA1= 3 2026 学科素养周测评 2X号所以0-放B错民，时 又BCi·A1C=(a+c-b)·(c-a)=c2-a -b·c+a·b=-4, (18分) 于c,0m.oi-(gai+oi+).a耐- 所以cos(BCi,A1C) BC·AC -4 |BC||A1C√13X√7 i+.o成+d.0赋 6×4+ 4/91 91 (20分) 写×2X2×号×2=2，故C正确：对于D,向 所以异面直线BC1与A,C所成角的余弦值为 量OP在OA方向上的投影长度为 OP.OA 4√91 (22分) OA 91 三1，故D特说 1a.(1)解：成-店-正-号4花-}A不 三、填空题 -2+动》-号不 .Ci,CE,成，E,Di,2D,A等 【解析】 -名a+号ad-5am. (7分) 与成相反的向量有成，CB,晾，E,2Di, (2)①证明：因为A府-A市+子DD=A市 2DAi等（写出其中的两个即可）. +号AB=2,AD=4AM=6,店.应- 9 8,8【解析】由空间向量共面定理可得m十2n 0,AD.AA1=0,AB·AA=0,所以E京.A直 2=1,即m十2n=3,又m十2n=3≥2√/2mn,解 (2a+2A市-}4）·（ò+号aA） 得m≤骨当且仅当m=含m-时学号成 3 号4-号a-×16-号×6-@， 立，即mn的最大值为9」 所以EF⊥AH. (17分) 8 四、解答题 ②解：由于GD-G市+DD=Aò+AA,所 9.(1)证明：已知该几何体是三棱柱ABC A1B1C1,所以四边形BB1C1C为平行四边形， 以GD-}+Am-√市+A 又BC=c-b,BB1=AA1=a, 所以BB1·BC=a·(c-b)=a·c-a·b=0, -v,又床-}A+2-}A (4分) =+亦+g本=3，G而·厨 故BC⊥BB1,所以四边形BB1C1C为矩形. (8分) =(A市+AA)·(2A+2市-3a) (2)解：由已知得BC=BB,+B,C=AA+BC, 又BC=AC-AB=c-b, -0-号aA=-10, (25分) 故BC=a+c-b, 所以cos(GD1.E)= GD1·EF -10 则|BC|=√(a+c-b) GDEF 337 =√a2+c2+b2+2a·c-2a·b-2b·c -10√/37 111 (28分) =√13. (12分) 所以异面直线GD1与EF所成角的余弦值为 同理A,C=c-a, 10√37 则A1C|=√(c-a)2 111 (30分) =√a2+e2-2a·c=√7， (15分) ·2·今日披星戴月，明日成就梦想 2026一2027学年度高二学科素养周测评（一） 数学·空间向量及其运算、空间向量基本定理 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 A.0 10 DE B.v 5 DE 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 c D 答案 4.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了 1.若{a,b,c}构成空间的一组基底，则下列 一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上 向量不共面的是 下两个底面平行，且均为矩形的六面体 A.a+b;a-b;b 现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1,如图所 B.a-b,a-b+c,-c C.a+2b;a-2b;a+c AB=AA=4,A BI=AD=2,A D D.a-2b,4b-2a,a+c =1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1= 2.郑国渠是郑国主持修建的著名水利工 程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚 3AC与BD1的交点为O,则Ad·AC 2 固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤 坝斜面与地面的交线记为，点A,B分 的最大值为 别在堤坝的斜面与地面上，过点A,B分 别作直线1的垂线，垂足分别为C,D,若 AC=3,CD=4,BD=2,二面角A-1-B 的大小为120°，则AB= () 堤坝斜面 A.82+5 B.18 地面 C.83+5 D.21 A.√23 B.5 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 C.42 D.√35 12分。在每小题给出的选项中，有多项 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 符合题目要求。全部选对的得6分，部 为C1D1的中点，则A1C1在DE上的投 影向量是 ( 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 D 5.若a,b,c为两两互不垂直且不共线的任 意非零向量，则 ( 高二学科素养周测评（一）数学第1页（共2页） A.a·b=b·a A B.a·b·c=b·c·a C.a·(b十c)=a·b+a·c D.a·b·(b+c)=a·b2+a·b·c 6.如图，点M,N分别是棱长为2的正四面 B B 体OABC的棱OA和BC的中点，点P (1)证明：四边形BB1C1C为矩形 在线段MN上，且MP=2PN,则() (2)若a=60°，求异面直线BC1与A1C 所成角的余弦值. A0-oi+5店+0d B1O-号 C.OP.OA=2 10.(30分)如图，在长方体ABCD D向量O市在Oi方向上的教影长度为 ABCD,中，A正=吉Ai,F为AC 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 的中点、 12分。 (1)用AB,AD,AA表示向量EF! 7.如图，在正六棱柱ABCDEF-ABCD1E1F1 (2)已知AB=2,AD=4,AA1=6,AG 中，与向量BC相反的向量是 Ad,Di-号DD (写出两个即可). ①证明：EF⊥AH, ②求异面直线GD1与EF所成角 B C 的余弦值. 8.已知点P为三棱锥O-ABC的底面ABC 所在平面内的一点，且OP=mOA十 2mOB-20C,其中m>0,n>0,则mn的 最大值为 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)已知在三棱柱ABCA1B1C1中， AB=AC 2,AA=3,AAB ∠A1AC=60°，∠BAC=a,记AA1=a, AB=b,AC=c. 高二学科素养周测评（一）数学第2页（共2页）