1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型（基础卷） 目　录 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 题型二　空间向量的加减法运算 题型三　空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示） 题型四　共面向量定理与四点共面 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 【解题技巧】①零向量方向任意（不是没有方向），模为0；②两向量a⃗、b⃗相等⇔模相等（|a⃗|=|b⃗|）且方向相同（与起点无关）；③单位向量模为1但方向任意，故任意两个单位向量a⃗、b⃗不一定相等；④相反向量⇔模相等且方向相反，即b⃗=−a⃗；⑤向量可以平移，任意两个空间向量a⃗、b⃗经平移后必共面；⑥零向量与任意向量a⃗平行。 1．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．下列命题中，说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 3．下列命题中是真命题的是(　　) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 题型二　空间向量的加减法运算 【解题技巧】空间向量加减法遵循三角形法则与平行四边形法则：加法首尾相接（起点→终点），减法共起点（指向被减向量）。用已知向量表示所求向量时，先在图中找“回路”，利用 AB⃗=OB⃗−OA⃗ 等关系逐段拆解；遇到中点用数乘：M为AB中点则 OM⃗=(OA⃗+OB⃗)/2。 1．在平行六面体中，运算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，底面ABCD的对角线交于点O，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三　空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示） 【解题技巧】用基底（通常取不共面的三个棱向量，）表示目标向量：①选定起点；②沿几何体的棱/对角线/中点构造回路；③把目标向量逐步拆成基向量的线性组合；④合并同类项。中点、分点常用：N为BC中点，ON⃗=(OB⃗+OC⃗)/2；F满足 AF⃗=λAC⃗ 等按比例点用数乘表示。 1．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 3．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（      ） A． B． C． D． 题型四　共面向量定理与四点共面 【解题技巧】三点/四点共面判定：点P在平面ABC内⇔存在 x,y,z 且 x+y+z=1，使 OP⃗=xOA⃗+yOB⃗+zOC⃗；或存在实数λ,μ使 AP⃗=λAB⃗+μAC⃗。坐标法：若三向量共面，则存在不全为零的 x,y,z 使 xa⃗+yb⃗+zc⃗=0（向量式），或设 c⃗=λa⃗+μb⃗ 列方程解参。四点共面常用“系数和=1”检验。 1．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是 A． B． C． D． 3．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 4．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 参考答案 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 1．D 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 2．D 【详解】对A，因为空间向量是既有大小又有方向的量，所以不能比较大小，故A正确； 对B，因为相等的向量大小相等，方向相同，所以若起点相同，则终点也相同，故B正确. 对C，因为规定模为0的向量为零向量，所以只有零向量的模等于0，故C正确； 对D，因为共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D错误. 所以错误的选项为D. 故选：D. 3．D 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A错误； 因为仅表示与的模相等，与方向无关，选项B错误； 因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，选项C错误； ∵，∴，∴与共线，故 ，选项D正确. 本题选择D选项. 题型二　空间向量的加减法运算 1．C 【详解】在平行六面体中，， ，故C正确. 故选：C 2．B 【详解】. 故选：B. 3．A 【详解】如下图所示：   . 故选：A. 题型三　空间向量的加减与数乘线性运算（基底表示） 1．D 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 2．C 【详解】由题意可得：． 故选：C. 3．C 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 4．A 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：A. 5．D 【详解】如图，连接，   是的中点，， ，， ． 故选：． 6．A 【详解】-＝， . 故选：A． 题型四　共面向量定理与四点共面 1．B 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 2．D 【详解】不妨设. 对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误. 对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误. 对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误. 对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立： 由，得， 即，故存在，使得成立，也即四点共面. 故选：D. 3．C 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 4．D 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 5．B 【详解】因为三向量、、共面，设，其中、， 则，解得. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $