1.2空间向量基本定理（分层作业，9大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 1.2空间向量基本定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量基底的概念及辨析 题型02 用空间基底表示向量 题型03 空间向量的正交分解 题型04 空间向量加减运算的几何表示 B组 能力进阶 题型01 利用空间向量基本定理求参数 题型02 空间向量基本定理及其应用 题型03 证明共线、共面问题 C组 思维拔高 题型01 证明线线平行、垂直问题 题型02 求异面直线所成角 空间向量基底的概念及辨析题型01 1．（25-26高二上·浙江·质检）若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 2．（24-25高三下·浙江温州·学业水平）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 3．若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再对每一个选项逐一判断得解. 【详解】由可得， 因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除A； 因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除B； 因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除D； 故答案为：C 4．（24-25高二上·湖北·联考）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 5．若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______． 【答案】0 【分析】根据空间向量基本定理求得，即可得解. 【详解】因为空间向量不共面，且， 所以， 所以. 故答案为：. 用空间基底表示向量题型02 1．如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 2．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 3．（24-25高二上·河北沧州·期末）在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 4．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）    【答案】 【分析】根据向量线性运算直接求解即可. 【详解】为中点，； ，； . 故答案为：. 5．（24-25高二上·贵州清镇·月考）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面， (2)为空间的一组基底， ， 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 空间向量的正交分解题型03 1．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】根据基底和空间向量共面的条件等知识确定正确答案. 【详解】A选项，由于，所以共线，则，，共面， 不能构成基底，所以A选项错误. B选项，，，两两垂直，则，，不共面， 能构成基底，所以B选项正确. CD选项，、，都得到，，共面， 不能构成基底，所以CD选项错误. 故选：B 2．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 3．（24-25高二上·重庆·月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】判断三个向量是否共面即可得． 【详解】选项AD中，三个向量一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面， 故选：B． 4．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 5．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子； （2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长． 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 空间向量加减运算的几何表示题型04 1．在正方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以. 故选：B 3．（25-26高二上·北京·质检）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量三角形法则和平行四边形法则表示出来即可. 【详解】在平行六面体中， 连接，如图所示：    因为点为的中点，， 所以 ， 故选：A. 4．下列关于空间向量的命题中，错误的是（    ） A．若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； B．若非零向量、、满足，，则有； C．若、、是空间向量的一组基底，且，则A、B、C、D四点共面； D．若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】B 【分析】根据向量的性质判断A、B；由基底的定义，结合向量共面定理判断C、D. 【详解】A：若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则它们与空间任意向量都共面，则必共线，即，对； B：当所成平面与垂直时，不一定成立，错； C：由题设，即，所以A、B、C、D四点共面，对； D：若、、不是空间向量的一组基底，即它们共面， 结合向量加法的几何意义知： 向量、、必共面， 与向量、、是空间向量的一组基底矛盾，对； 故选：B 5．（24-25高二下·上海·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 利用空间向量基本定理求参数题型01 1．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，由空间向量基底概念可判断各选项正误. 对于D，由题目中所提供信息可得答案. 【详解】根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底. 对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误； 对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误； 对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误； 对于D，设空间中任意向量为，， 则存在唯一的有序实数组，使 ， 则为“空间基本点集”，故D正确 故选：D 3．以下命题中，不正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可． 【详解】对①，向量、同向时，， 故时，必有向量、反向且， 只满足充分性，不满足必要性，①错误； 对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误； 对③，，，则，，不能得到，故③错误； 对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， ， 即不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，，⑤错误． 故选：C． 4．（24-25高二上·广西玉林·月考）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以.    故答案为：2 5．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【详解】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 空间向量基本定理及其应用题型02 1．已知点在平面内，对于平面外一点，，则的值为 A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理，先将题设中的向量关系按平面内向量与平面外向量分解，再利用基底表示的唯一性比较系数即可求得所求参数。 【详解】试题分析：由于点在平面内，且为平面外一点，根据空间向量基本定理可知，解得； 考点：空间向量基本定理； 2．（25-26高二上·北京·学业水平）如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量的加减法计算求解. 【详解】因为是平行四边形，所以点为与的中点， 则. 故选：A. 3．如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项． 【详解】如图， 记点E为BC的中点，连接AE，OE， 所以， 又G是的重心，则， 所以. 因为， 所以 . 4．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为____________. 【答案】4 【分析】求出，平方后得到，从而求出. 【详解】由题意得⊥，又，故⊥， 故，， ， 故 ， 故. 故答案为：4 5．如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出； （2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出． 【详解】（1）因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，， 而且， 所以， 即，所以的长为． （2）因为四面体为正四面体，所以点在平面的射影为的中心， 的外接圆半径为， 所以点到平面的距离为， 由于点为线段的中点，所以点到平面的距离为． 证明共线、共面问题题型03 1．（25-26高二上·河北保定·联考）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 【答案】(1) 由是空间的一个基底，得不共面， 假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得， 即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面， 所以是空间的另一个基底. (2)． 【分析】（1）利用空间向量基底的定义，借助反证法推理得证. （2）利用空间向量基本定理列式求解. 【详解】（1）略 （2）用基底表示向量，则， 又，因此，解得， 所以. 2．如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 【答案】(1) 在平行六面体中，，， ∵ ， 所以共面，且A为公共点， 所以四点共面； (2) 【分析】（1）通过证明，由此能够证明四点共面； （2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解． 【详解】（1）略 （2）， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明如下： 连接 ∵分别是的中点， ∴. 又∵， ∴， ∴，则四点共面. 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解；（2）根据中位线和平行线的性质，结合平行线的传递性证明，即可证结论. 【详解】（1）∵ ∴ （2）略 证明线线平行、垂直问题题型01 1．（25-26高二上·湖北汉川·质检）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 求异面直线所成角题型02 1．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 2．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理将与用基底表示出来，然后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由条件可知，， ， ， ， ，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A 3．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）,且每个顶点都是相同数目正多边形的公共顶点.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，结合正八面体的几何性质，通过计算数量积以及模长，即可求解向量夹角的余弦值，进而可求解正切. 【详解】由题意，， 又由正八面体的棱长都是1，且各个面都是等边三角形， 所以点A,E在平面BCDE上的投影均为四边形BCDE的中心，即四边形BCDE为正方形， 在中，由，可得，所以， 所以 ， 所以，所以，则. 故选:A. 4．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 5．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2空间向量基本定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 空间向量基底的概念及辨析 题型02 用空间基底表示向量 题型03 空间向量的正交分解 题型04 空间向量加减运算的几何表示 B组 能力进阶 题型01 利用空间向量基本定理求参数 题型02 空间向量基本定理及其应用 题型03 证明共线、共面问题 C组 思维拔高 题型01 证明线线平行、垂直问题 题型02 求异面直线所成角 空间向量基底的概念及辨析题型01 1．（25-26高二上·浙江·质检）若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高三下·浙江温州·学业水平）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 3．若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北·联考）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．若空间向量不共面，且，其中，为实数，则______． 用空间基底表示向量题型02 1．如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北沧州·期末）在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）    5．（24-25高二上·贵州清镇·月考）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 空间向量的正交分解题型03 1．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·月考）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 5．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 空间向量加减运算的几何表示题型04 1．在正方体中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·质检）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 4．下列关于空间向量的命题中，错误的是（    ） A．若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； B．若非零向量、、满足，，则有； C．若、、是空间向量的一组基底，且，则A、B、C、D四点共面； D．若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 5．（24-25高二下·上海·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 利用空间向量基本定理求参数题型01 1．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 2．对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 3．以下命题中，不正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·广西玉林·月考）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 5．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 空间向量基本定理及其应用题型02 1．已知点在平面内，对于平面外一点，，则的值为 A． B． C． D．0 2．（25-26高二上·北京·学业水平）如图，在三棱柱中，，，，点为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为____________. 5．如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 证明共线、共面问题题型03 1．（25-26高二上·河北保定·联考）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 2．如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 3．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 证明线线平行、垂直问题题型01 1．（25-26高二上·湖北汉川·质检）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 求异面直线所成角题型02 1．已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）,且每个顶点都是相同数目正多边形的公共顶点.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.如图，已知一个正八面体的棱长为为棱的中点，，设直线与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________；直线与所成角的余弦值为__________. 5．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $