第13讲 带电粒子的临界值问题（动圆模型）和磁聚焦磁发散（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027届高考物理一轮复习磁场专题

第13讲 带电粒子在磁场中的临界值极值问题及磁聚焦磁发散 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：放缩圆法 9 题型02：平移圆法 39 题型03：旋转圆 58 题型04：磁发散和磁聚焦 88 题型05：带电粒子在磁场中运动的极值问题 115 （一） 带电粒子在磁场中运动时间的极值问题 115 （二)带电粒子在磁场中运动磁场面积的极值问题 124 （三）带电粒子在磁场中运动速度的极值问题 129 （四）带电粒子在磁场中运动距离的极值问题 133 （五）带电粒子在磁场中运动磁场强度的极值问题 137 巩固提升 139 1. 考查地位：高考物理磁场大题核心难点，常作为压轴小问；多选也会单独考磁聚焦模型，区分度极高。临界极值是必考思路，磁聚焦、磁发散属于经典二级结论模型。 2. 命题方向： ①临界极值：粒子轨迹圆与磁场边界相切为临界，求最大/最小速度、最大偏转角、最长/最短运动时间、磁场最小面积。会用“平移圆”法、“旋转圆”法、“放缩圆”法分析临界问题。 ②磁聚焦：平行入射→会聚一点；磁发散：一点发射→平行出射（圆形磁场专属模型）。 3. 命题特点：侧重几何作图，不只是套公式；容易混淆“什么时候用聚焦结论、什么时候不能直接套用”，很多学生忽略模型前提直接硬套结论丢分。 4. 分 值：临界极值一般4–6分；磁聚焦单独设问3–5分。 1. 识别临界标志词：最大、最小、刚好飞出、刚好打不到、范围；能抓住相切是核心临界。 2. 掌握两类极值：速度极值（半径变化）、时间极值（圆心角大小）。 3. 熟记磁聚焦、磁发散的模型条件、结论，清楚适用前提。 4. 会画图：平移圆法、旋转圆法、放缩圆法，快速找到临界轨迹。 5. 能区分普通有界磁场临界和圆形磁场聚焦模型，不混用结论。 知识点一：带电粒子在磁场中的临界值极值问题 1.临界问题的分析重点是临界状态 临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。 2.极值问题 所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。　　　　　　　　　　 3.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 知识点二：判断临界问题的三种常用模型： （一） 放缩圆模型 1. 适用条件： 带电粒子入射方向固定、速度不同 粒子源发射方向一定、速度大小不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。 2. 轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上 如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又出发位置相同，这些带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 上，相当于将轨迹圆的半径以入射点 为定点，所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹圆就叫放缩圆。 3. 放缩圆轨迹变化特征： 轨迹半径随速度放大缩小，用来找刚好穿出/不穿出磁场边界的临界速度。 4. 寻找临界条件 以入射点 为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹， 从而找到临界圆。 5.核心操作步骤 ①找圆心轨迹 过入射点作初速度的垂线，‌这条垂线就是所有放缩圆的圆心所在直线‌，不用每个圆单独找圆心。 ②放缩找临界 从最小半径（速度接近0）开始，逐步放大半径画圆，‌临界情况一定是轨迹刚好和磁场边界相切‌，记住：相切就是极值点，直接找相切的圆即可。 ③几何算半径 根据相切的几何关系，用勾股定理/三角函数算出临界半径，再代入公式，就能直接得到临界速度或磁感应强度。 （二）平移圆模型 1. 适用条件： 速度大小一定，方向一定，入射点不同，且为直线边界。 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等，方向相同。但入射点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。 2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上。 如图所示， 假设粒子带负电， 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上， 该直线与入射点的连线重合。 3. 平移圆模型特征：轨迹圆整体平移，用来分析粒子出射位置的分布规律。 4.寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移， 从而找到粒子运动的临界圆。 5.核心操作步骤（三步法） ①算固定半径，确定圆心轨迹 先根据速度大小算出固定轨迹半径r，由于速度平行，所有圆心都在‌垂直于速度方向、过入射点的同一条直线‌上，也就是圆心共线，直接确定圆心所在直线即可。 ②平移圆找临界 沿着圆心所在直线平移这个固定半径的圆，‌临界情况是轨迹刚好与磁场边界相交/相切‌，找到刚好接触边界的两个临界位置： 刚好不能穿出磁场：轨迹与右边界相切，是入射速度最小的临界； 刚好从边界端点穿出：轨迹经过端点，是偏转角最大的临界。 ③ 几何关系计算参数 根据临界位置的相切/过端点条件，用勾股定理、三角函数算出对应半径，再推导速度、磁感应强度或偏转范围。 （三） 旋转圆模型 1. 适用条件： 粒子出发地点相同，速度大小一定， 但方向不同。 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。 2. 轨迹特点： 轨迹圆的圆心在同一个圆上 如图所示， 假设粒子带正电， 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 为圆心、半径 的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”， 相当于将最外侧的轨迹圆以入射点 为定点进行顺时针旋转， 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就是旋转圆模型。 3. 旋转圆模型特征：轨迹圆绕入射点旋转，用来找粒子打在磁场边界的最大范围； 4. 寻找临界圆 以入射点 为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒子的轨迹，结合边界条件， 从而找到临界圆。 5.核心操作步骤（三步法） ①定基础圆 先根据速度大小算出固定轨迹半径 ( )，确定旋转的基础圆大小。 ②旋转找临界 以入射点为定点，旋转这个半径固定的圆，临界情况是轨迹刚好与磁场边界相切/刚好过边界端点，旋转过程中找到第一个接触到边界和最后一个接触到边界的圆，就是两个临界位置。 ③几何算参数 根据临界位置的几何关系，计算偏转角、圆心角，进一步推导速度范围、打在接收屏上的区域长度等问题 知识点三：磁发散和磁聚焦 磁发散和磁聚焦是圆形匀强磁场的特殊结论：适用于分析当带电粒子轨迹圆半径等于圆形磁场半径时 带电粒子的运动轨迹变化 1.磁发散定义：从磁场边界同一点入射的粒子，偏转后会变成平行出射； 磁感应强度为B的有界圆形磁场区域的圆心为O，从圆形磁场区域的边界P 点有若干电荷量为+q、质量为m的带电粒子（不计重力），它们均以相等大小的速度v朝各个方向进入磁场区域，若圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些粒子射出磁场时速度的方向平行，如图1所示。 2.磁聚焦定义：平行入射的粒子，偏转后会全部汇聚到磁场边界的同一点； 若干速度大小相同的同种带正电的粒子，如果平行进入圆形磁场区域，并且圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，如图2所示。 3.磁发散磁聚焦的条件：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。 4.磁发散磁聚焦的原理（以磁发散为例）： 如下图，前提：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。A是边界圆上粒子的入射点，cd是A点的切线，B是粒子的出射点，O1是磁场边界圆的圆心，O2是粒子轨迹圆的圆心，连接AO1BO2，由于磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径，则AO1BO2一定是菱形，因而AO1平行于BO2，因为出射粒子的速度方向垂直于BO2，也就垂直于AO1，从而平行于AO1的切线cd。 5.磁聚焦和磁发散是相反的过程,满足运动的可逆性。 6.带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论： (1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 (2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的延长线的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。 (3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。 (4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。 知识点四：几种常见的求极值情况 1.时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 2.磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 一：临界极值三类模型 1. 放缩圆（速度v变化，半径r变，入射点、入射方向固定） 圆心在速度垂线上，圆放大缩小；相切位置就是临界半径。 ①相切于边界→对应临界速度； ②圆心角越大，运动时间越长。 2. 旋转圆（v大小不变，r不变，入射点固定，速度方向转动） 圆心在以入射点为圆心、r为半径的圆周上旋转； 最远出射点、最大弦长由此找；弦越长，圆心角越大，时间越长。 3. 平移圆（速度大小方向都不变，入射点平移） 轨迹圆整体平移，多用于条形、矩形磁场边界。 时间极值结论：t＝T，T不变，圆心角θ决定时间；弦长越长，圆心角越大。 二：磁聚焦 &磁发散（圆形磁场） 模型条件：磁场圆半径R = 粒子轨迹圆半径r 1. 磁聚焦 平行等速粒子射入圆形磁场 → 全部会聚到磁场圆上的同一点（焦点）。 2. 磁发散 从圆形磁场边界上一点向磁场内各个方向发射等速粒子 → 离开磁场时速度互相平行。 易错：只有 r=R 才成立！半径不等，不能用聚焦结论。 三:高频易错点 1. 看到圆形磁场直接套磁聚焦，忽略 r=R 这个前提。 2. 旋转圆中，误以为速度反向就是最远点，没有画轨迹找相切临界。 3. 求最短时间错用弦长，忘记：最小圆心角对应最短时间。 4. 分不清：磁聚焦是平行进汇聚出；磁发散是一点进平行出。 5. 临界值写不等号写反（大于、小于搞反）。 四：速记口诀 放缩变径找相切，旋转定角看弦长； 平行入射会一点，同径圆场才聚焦。 题型01：放缩圆法 【典型例题】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入磁场，其运动轨迹如图，若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子受洛伦兹力最大 B．c粒子运动速率最小 C．c粒子在磁场中运动时间最短 D．它们做圆周运动的周期 【答案】C 【解析】AB．粒子的轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，c粒子的轨道半径最大，所以c粒子速率最大，c粒子的洛伦兹力最大，故AB错误； CD．粒子做圆周运动的周期均为 即 粒子在磁场中运动时间 上图可知c粒子转过的圆心角最小，则c粒子在磁场中运动的时间最短，故C正确，D错误。 故选C 。 【典型例题2】如图，半径R＝2 m的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点。已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为(　　) A.(3π－2) m2 B.(2π－2) m2 C.3π m2 D.2π m2 【答案】　A 【解析】设轨迹圆的半径为r，由几何关系∠POQ＝90°，则粒子做圆周运动的半径为r＝， 圆形磁场中有粒子经过的区域如图中阴影所示，圆形磁场中有粒子经过的区域面积为S＝()＋＝(3π－2) m2，故选A。 【典型例题3】如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向外的匀强磁场，O点为AB中点，M点为OB中点，N点为BC中点，P点为NC中点。一束质子以不同的速率从O点垂直于磁场沿图中方向射入磁场后，分别从M、N、P点射出磁场，质子重力不计。则它们在磁场中的运动时间、、的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出从M、N、P点射出磁场对应的粒子运动轨迹图，如下图所示 设轨迹圆弧对应的圆心角分别为、、，由轨迹图可知 粒子在磁场中运动时洛伦兹力充当向心力，所以 做圆周运动的周期为 所以粒子运动的时间 所以 故选D。 【典型例题4】　一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc=135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重力。以下说法正确的是(　　) A.从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B.若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长 C.粒子在磁场中最长运动时间不大于 D.粒子在磁场中最长运动时间不大于 【答案】　D 【解析】　画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B错误； 当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α=270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为t=T=，故C错误，D正确。 【典型例题5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角 最小，如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中运动的时间为其中解得，ACD错误，B正确。故选B。 【典型例题6】（多选）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是（　　） A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同 【答案】BC 【解析】AB．由周期公式T＝知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，由知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故A错误，B正确； CD．若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题7】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A.所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场 【答案】ACD 【解析】如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图中几何关系可知，从ad射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。故选A、C、D。 【典型例题8】（多选）在矩形abcO区域内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为4l，ab边长为3l。带正电的粒子从O点沿Ob方向以不同速率射入，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作用均忽略不计。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．垂直边界ab射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界ab射出时，粒子的速度大小为 【答案】AC 【解析】由几何关系有，解得θ＝37°，设粒子做圆周运动的半径为R，由，，可得，可知粒子在磁场中做圆周运动的周期和速度无关。由几何关系可知粒子偏转的最大圆心角，粒子运动的最长时间，A正确，B错误； 粒子垂直于ab边射出时，由几何关系有，解得，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有，解得，C正确，D错误。故选AC。 【变式训练1-1】如图所示，ab边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab边界上c点距圆形边界圆心O的距离为2R；一束质量为m、电荷量为q的负电粒子，在纸面内从c点沿垂直边界ab方向以不同速率射入磁场。不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v的粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（　　） A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为 B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为 C．速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为 D．速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为 【答案】C 【解析】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得，可得 可知，粒子的速度越大，其轨迹半径越大，当粒子从Ⅱ区域右侧经过圆形磁场边界时，轨迹半径最大，此时粒子的速度最大，由几何关系得最大的轨迹半径rmaxR 代入数据解得最大速度为 当从Ⅱ区域左侧经过圆形磁场边界时，粒子轨迹对应的轨迹半径最小，此情况下粒子速度最小，由几何关系得最小的轨迹半径rmin 代入数据解得最小速度为，故AB错误； C、粒子在磁场Ⅰ中运动周期为 设粒子经过圆形磁场边界时，在磁场Ⅰ中偏转的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间为 则粒子偏转的圆心角越小，到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间越短，由几何关系可得，速率为v的粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短的运动轨迹如下图所示 由几何知识可知，粒子在Ⅰ区域中运动的时间最短时轨迹半径r＝R 对应的圆心角为θ＝120° 可得速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为，故C正确； D、当进入Ⅱ区域磁场后，粒子做匀速圆周运动的半径为，由r2＜R与对称性可知，粒子能在Ⅱ区域做半个圆周运动，则速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为，故D错误。 故选：C。 【变式训练1-2】如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为 B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为 D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为 【答案】B 【解析】解：A、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，粒子的轨迹如图所示， 由几何关系得： 由洛伦兹力提供向心力，则有： 联立得粒子的入射速度为：，故A错误； B、若粒子恰好能从N点射出，画出符合条件的粒子轨迹如图所示， 由几何关系得：FO′2+FN2＝NO′2，＝R+Rsinα 即： 联立解得： 可知∠PO′N＝30°，则粒子在磁场中运动的时间为：，故B正确； C、若粒子恰好能从K点射出，画出该粒子的运行轨迹如图所示， 根据平面几何的知识，可知四边形POKO'是菱形，则粒子在磁场中运动的半径：r3＝R，故C错误； D、若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，画出符合条件的运动轨迹如图所示， 根据几何关系可知：∠OPQ＝60°﹣45°＝15° 因ΔPOQ为等腰三角形，则根据数学知识有： 由于ΔPO′Q为等腰直角三角形，可知： 由洛伦兹力提供向心力，可得： 联立以上各式解得：，故D错误。 故选：B。 【变式训练1-3】如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知边长为L，，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A点沿方向射入磁场，则（　　） A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点射出的 C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长 D．粒子在磁场中运动的最长路程为 【答案】D 【解析】AB．当粒子能够从AC边射出时，在磁场中运动如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为，因此运动时间为当粒子不能从AC边射出，圆心角变小，时间变短，故AB错误； C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故C错误； D．当粒子和BC边相切时路程最大，此时有由A中分析知运动的路程为故D正确。故选D。 【变式训练1-4】如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间不可能小于 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若 粒子在磁场中的运动时间为 【答案】D 【解析】A．若粒子的运动速度趋向于无穷大，则其运动的半径趋向于无穷大，粒子几乎不做偏转从边飞出，则其在磁场中运动的时间趋向于0，故A错误； BC．粒子在磁场中做圆周运动，周期满足 故在三角形AOC内部做部分圆周运动所用的时间与粒子转过的圆心角有关。若粒子速度较大，粒子从边飞出，其临界情况为粒子的圆周运动轨迹与边相切，粒子在磁场中运动的时间为 当粒子速度略小于该临界情况，则其从边飞出，转过的圆心角为钝角；当粒子速度逐渐减小至粒子垂直于边出射，其在磁场中运动的时间最长，对应转过的圆心角为，所用时间为 综上不存在粒子在磁场中转过出射，用时的情况，故BC错误； D．粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当圆周运动的向心力，满足 当粒子的速度 可知其运动半径为 运动轨迹如图所示 由图可知， 粒子轨迹圆的圆心到边的距离为 故粒子不会从AC边飞出，另外出射点到点的距离为 可知 故粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间为 ，故D正确。 故选D。 【变式训练1-5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 【变式训练1-6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde为矩形。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及重力，在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设粒子过bcde上一点g，当∠Oag最大时，∠aOg最小，粒子运动时间最长，O为粒子做圆周运动的圆心，由几何关系知，当粒子过c点时，粒子运动时间最长，轨迹如图所示： 设半径为R，则有(L－R)2＋＝R2，解得R＝，由牛顿第二定律：qvB＝，解得v＝，故B正确，ACD错误。故选B。 【变式训练1-7】如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为1：2 B．速度之比为2：1 C．时间之比为2：3 D．周期之比为2：1 【答案】A 【解析】解：A．设粒子的入射点到磁场下边界的磁场距离为d，粒子的轨迹半径分别为R1、R2，如图所示。 根据几何关系可得：R1＝d R2＝R2cos60°+d 解得：R2＝2d 则两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为R1：R2＝1：2，故A正确； B、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m 可得：v 则两粒子的速度之比为v1：v2＝R1：R2＝1：2，故B错误； CD、粒子在磁场中运动的周期为：T，可知粒子的运动的周期与粒子的速度大小无关，所以粒子在磁场中的周期相同； 由粒子的运动轨迹可知，两种速度的粒子轨迹的圆心角分别为90°、60°，粒子运动的时间为：tT 则两粒子在磁场中的运动时间之比为：t1：t2＝90°：60°＝3：2，故CD错误。 故选：A。 【变式训练1-8】一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q四点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间最长时的速率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：粒子在磁场中运动时间最长时轨迹对应的圆心角最大，则粒子从O点射出时运动时间最长，如图所示： 根据几何关系可得圆心在M点，轨迹半径为：R＝PM＝MO＝d 根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m 解得：v，故C正确、ABD错误。 故选：C。 【变式训练1-9】如图2所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量均为m、电荷量均为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则下列分析中正确的是(　　) 图2 A.粒子带负电 B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率 C.从M点射出粒子在磁场中所用时间一定小于从N点射出粒子所用时间 D.所有粒子中射出磁场时所用的最短时间为 【答案】　D 【解析】粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则可知，粒子带正电，A错误；根据qvB＝m，得v＝，从M点射出粒子的圆半径更小，则速度更小，B错误；由t＝T＝·，粒子运动周期相同，运动轨迹对应的圆心角θ越大，粒子运动时间越长，由几何关系可知，当运动轨迹的弦与bc圆弧相切时，θ最小，运动时间最短，如图所示，Ob等于R，由几何关系可知，此时运动轨迹对应的圆心角为120°，则最短时间为tmin＝·＝，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子所用时间和从N点射出粒子所用时间的大小关系，C错误，D正确。 【变式训练1-10】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示。 圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，此时轨迹过ab中点，β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故选C。 【变式训练1-11】如图所示，等腰梯形ABCD区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB＝0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O为DC边上一点，AO⊥DC，O点处有一粒子源，能沿垂直AD边的方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣9C，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．从A点飞出的粒子速度大小为32cm/s B．AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．BC边会有部分区域有粒子飞出 【答案】B 【解析】解：A、从A点飞出的粒子，运动情况如图所示： 由几何关系可知，从A点飞出的粒子的运动轨迹半径为rA＝0.4m 由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m 可得从A点飞出的粒子速度大小为v＝0.032m/s＝3.2cm/s，故A错误； BD、由几何关系可知，若粒子速度较大，则粒子可能从AD边靠近E点处射出磁场，随着粒子速度减小，射出点逐渐向A点靠近，当粒子速度再减小，运动轨迹刚好与AB边相切，若速度再减小，粒子将在磁场中偏转从CD边射出磁场，即BC边不会有粒子飞出；当粒子运动轨迹恰好与AB边相切时，轨迹如图所示： 轨迹半径满足关系：2×（0.4m﹣r）＝r 解得：rm AB边有粒子射出的区域长度为：L1 ＝rcos30°，解得：L1m 轨迹与AB边相切从DC边射出的粒子距O点最远，粒子速度再变小则从最远距离至O点均有粒子射出，即CD边有粒子射出的区域长度为：L2＝2L1 则AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2，故B正确，D错误； C、粒子从CD边射入磁场再从CD边射出磁场所用时间最长，则运动的最长时间为：tmax 解得：tmax，故C错误。 故选：B。 【变式训练1-12】（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 【变式训练1-13】（多选）如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB、CD边足够长，AD边长为L。现有质量为m、电荷量为q的不同速率的带正电粒子，从AD的中点E射入磁场且速度方向与AD成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.从AB边射出粒子的最小速度为 C.从CD边射出粒子的最小速度为 D.AB边上有粒子射出的区域长度为L 【答案】　CD 【解析】　当粒子从AD边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，由图可知粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝T＝×，故A错误;当粒子刚好与AB边相切时，从AB边射出粒子的速度最小，如图乙所示，根据几何关系可得r1＋r1sin 30°＝，得r1＝，由洛伦兹力提供向心力得qv1B＝m，联立解得v1＝，故B错误;当粒子刚好与CD边相切时，从CD边射出粒子的速度最小，如图丙所示，根据几何关系可得r2＝L，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝m，联立解得v2＝，故C正确;由B、C选项图中几何关系可得AB边上有粒子射出的区域长度为Δx＝r2＋r2cos 30°－r1cos 30°＝L，故D正确。 【变式训练1-14】（多选）如图所示，矩形ABCD为某匀强磁场的边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。AB、AD边长分别为和a，D点处有一粒子源，沿DC方向发射带正电粒子。观测发现：粒子只从AB边向外射出磁场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，忽略电荷间相互作用和粒子受到的重力，则发射粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 得 粒子从点沿方向射入，圆心在边上。粒子只从边射出，说明粒子轨迹与边相交，且不与边相交（除点外）。当粒子轨迹刚好经过点时，半径最小，此时 即 对应最小速度 当粒子轨迹刚好经过点时，半径最大，由几何关系 解得 对应最大速度 发射粒子的速度大小 故选AB。 【变式训练1-15】（多选）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 【答案】BC 【解析】A．粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示 根据左手定则，粒子带负电，A错误； B．根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确； CD．粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切 结合几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角 解得此时粒子的速度 若要粒子从BC边飞出，则速度v不小于，C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练1-16】（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【解析】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 【变式训练1-17】（多选）如图所示，在直角坐标系的第一象限内有一段以坐标原点为圆心、半径为的四分之一圆弧，为圆弧上的一点，且，圆弧内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。现有一批质量均为、电荷量为的带电粒子，从原点沿轴正方向以不同速率射入磁场，不计粒子重力与粒子间相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子从圆弧射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 B．粒子从射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 C．从点射出的粒子，进入磁场时的速度大小为 D．从点射出的粒子和从点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1 【答案】ACD 【解析】A．根据 可得 周期为 粒子从圆弧射出时，速度越大，则轨迹半径越大，由几何知识可知，粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角也越小，根据可知，粒子在磁场中运动的时间越短，故A正确； B．如图所示 粒子从射出时，速度越大，半径越大，但是时间都是半个周期，可知运动时间相同，故B错误； C．从点射出的粒子，如图所示 根据几何关系可得其半径为，根据 可得进入磁场时的速度大小为，故C正确； D．如图所示 从点射出的粒子转过的圆心角为，运动时间为 从点射出的粒子转过的圆心角为，运动时间为 可知从点射出的粒子和从点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1，故D正确。 故选ACD。 【变式训练1-18】（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 【变式训练1-19】（多选）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 【答案】AD 【解析】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示 当粒子都从ab边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为，当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于，故A正确，BC错误； D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最长运动时间小于，故D正确。故选AD。 【变式训练1-20】（多选）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图9，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) 图9 A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r 【答案】　BC 【解析】根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－2)r，C正确，D错误。 【变式训练1-21】（多选）如图所示，足够大的ABCDE虚线区域内存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，DE是半径为R的四分之一圆弧，圆心为O，其中A、E、O在同一条直线上，位于F点的粒子源垂直AE射出各种速度大小不等的带电粒子，粒子在磁场的作用下向右偏转。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，F点到E点的距离为，则从圆弧DE射出的粒子，运动的可能时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】设粒子从弧DE射出时射出点与F点的连线与OF的夹角为，粒子在磁场中匀速圆周运动的圆心角为，如图所示 由图可知，越大越小，当射出点与F点的连线与弧DE相切时，最大，此时最小，设此时的射出点为G，有 即 所以的最小值为90°，另外当为零时最大，最大值为180°，所以从弧DE上射出的粒子在磁场匀速圆周运动的时间范围为 即 又根据洛伦兹力提供向心力有 得 所以 故选CD。 【变式训练1-22】如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。 【答案】　(1)　(2)<v0≤ 【解析】　(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示， 有qBv0＝，又T＝， 解得T＝ 又由几何关系得θ＝74°， 则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝ (2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示， 设此时速度为v01，轨道半径为R1， 由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l 又qBv01＝，解得v01＝ 当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2， 由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l， 又qBv02＝，解得v02＝ 综上可得<v0≤。 【变式训练1-23】平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【解析】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 题型02：平移圆法 【典型例题1】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是 B．粒子在磁场中运动的速度一定是 C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是 D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场 【答案】C 【解析】C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子垂直边离开磁场的轨迹如图所示： 由几何关系可知圆弧对应的圆心角为，则垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，即，则得周期由得故C正确； AB．设当粒子的速度为时，有一个粒子的轨迹刚好与边相切从点离开磁场，设此时粒子的轨迹半径为，画出轨迹如图中所示黑色轨迹： 则可知此时粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，运动时间最长，为，由几何关系可得 可得根据圆周运动规律有可得但若粒子的速度小于，在磁场中运动的轨道半径也可以在磁场运动半圈而从边离开，在磁场中的运动最长时间也为，如图中的红色轨迹所示，则可知粒子在磁场运动的轨道半径不一定等于 粒子在磁场运动的速度大小不一定等于故AB错误； D．如果粒子带的是负电，以B点为圆心，转过的圆心角为的粒子能垂直BC边射出磁场，故D错误。 故选C 【典型例题2】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量均匀分布在ab边的同种带电粒子（质量为m，电荷量为+q）以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果有一半的粒子从bc边射出。已知bc边长为L，bc与ac的夹角为60°，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 D．若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射出bc，则粒子的入射速度至少为 【答案】B 【解析】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，取ab的中点d，满足条件的临界情况为从d点射入的粒子的圆周运动轨迹与bc边相切，如图1所示， 设轨道半径为r1，粒子的入射速度为v1，由几何关系得： bdabLsin60° r1bd 联立解得：r1 由洛伦兹力提供向心力得： qv1B＝m 联立解得：v1，故A错误，B正确； C、从bc边射出的粒子在磁场中运动时间最长的临界轨迹如图1所示，临界出射的位置为切点e，对应的轨迹圆心角∠eOd＝120°，故粒子在磁场中运动最长时间为，则有： tmax，故C错误； D、带负电粒子在磁场中顺时针偏转，从d点射入磁场临界情况的轨迹如图2所示， 由几何关系得： r2＝ac•sin60° 由洛伦兹力提供向心力得： qv2B＝m 联立解得：v2，故D错误。 故选：B。 【典型例题3】如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源 从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝，解得tm＝，故选C。 【典型例题4】地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，O为地球球心、R为地球半径，地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m，电荷量均为q。不计粒子的重力及相互作用力。则（　　） A．粒子无论速率多大均无法到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域 【答案】D 【解析】A．射入方向在地球下表面以下的粒子，只要速率合适，粒子可到达MN右侧地面，故A错误； B．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示 设该轨迹半径为，由几何关系可得 解得 故B错误； C．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 由B选项分析可知，若粒子速率等于时，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，所以若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，故C错误； D．若粒子速率为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 此时最下端的粒子正入射恰好可以到达最右侧地面；而在最下端的以上入射的粒子，因为向上偏转，能到达MN右侧地面最右端以下；综上所述，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域，故D正确。 故选D。 【典型例题5】（多选）如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A.粒子在磁场中运动的半径为 B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 【答案】　CD 【解析】　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误;设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误;粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝，选项C正确;进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝，选项D正确。 【变式训练2-1】一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　) 【答案】C 【解析】　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。 【变式训练2-2】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d；，现垂直于AB边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 【答案】C 【解析】解：A、垂直于AC边射出，可知速度偏转角为，则对应的圆心角也等于，依题意有 解得：T＝4t0，故A错误； B、根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有： 变形后可得：，故B错误； C、在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，依题意其运动轨迹如图所示， 因磁场中运动的时间为时，对应的圆心角为，即： 根据几何关系有： 代入三角函数的值上式即： 变形后解得：，故C正确； D、根据带电粒子在匀强磁场中圆周运动的轨道半径公式，依题意有： 解得：，故D错误。 故选：C。 【变式训练2-3】如图所示，在等腰三角形ABC内充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为l，∠A＝∠C＝30°。一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子垂直BC边射入磁场，已知从AB边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而在AB边射出的粒子，在磁场中运动最长的时间为（不计粒子重力和粒子间相互作用）。下列判断正确的是（　　） A．粒子可以从CB边射出 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 C．粒子从AB和AC边出射的范围其长度之比为2：3 D．粒子进入磁场速度大小为 【答案】D 【解析】解：AC．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，根据周期公式可得：，解得：； 画出该粒子的运动轨迹如图所示： 设轨道半径为R，由几何知识得： 解得： 则射出点距B的距离为： 故粒子在AB边出射的范围为：x1x 轨迹与AC切点距离C点的距离为：x2R 故粒子从AB和AC边出射的范围其长度之比为1：3，根据图像可知，粒子不可以从CB边射出，故AC错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AB边射出的粒子在磁场中运动的时间是，即，得周期T＝3t0，故B错误； D．根据周期公式可得：，解得：，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-4】如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．40% B．47.3% C．52.7% D．60% 【答案】C 【解析】粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力 可得：r＝0.3L 当粒子的轨迹与AC边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为E，则 r 解得： 当粒子的轨迹与CD边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的左侧临近点，设此时入射点为F，则 解得： 则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的入射点的长度为 解得： 所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【变式训练2-5】如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC区域范围内（包含边界）存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点（图中未画出），AD＝EO＝0.5d，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场做圆周运动的半径为2d B．粒子距A点处射入，恰好不从AC边界出射 C．从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 D．从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 【答案】D 【解析】由洛伦兹力提供向心力，可得，解得，A错误； 粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示 恰好与AC相切，根据几何关系可得，此时入射点到A的距离为，即入射点到A点距离大于的粒子都不能出磁场，B错误；从D点射入的粒子，运动轨迹为半圆，如图 则时间为，在E点入射的粒子运动轨迹如上图，由几何关系可知，则圆心角为60°，在磁场中运动的时间为，C错误，D正确。故选D。 【变式训练2-6】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（　　）    A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ 【答案】C 【解析】如下图所示，画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移    则粒子做圆周运动的半径 从C点射出的粒子运动时间为 那么，从P点入射的粒子圆心在AD延长线上距D点处，那么粒子转过的圆心角为 解得 运动时间 所以 故选C。 【变式训练2-7】如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】带电粒子在磁场中运动过程中洛伦兹力提供向心力有 将磁感应强度代入解得 OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一平移圆，如图（a）所示 根据几何关系可得当粒子半径与OA垂直时，打到x轴上的P点距坐标原点最远，根据几何关系得 另外要注意本题中带电粒子打的最远的距离不是轨迹与x轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图（b）所示 根据几何关系有 所以Q点不是距离坐标原点最远的点。 故选C。 【变式训练2-8】（多选）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】ACD 【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由可得解得故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为，则有可得画出该粒子的运动轨迹如图所示 设轨道半径为，由几何知识得可得故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力可得则粒子射入磁场的速度大小为故C正确； D．射入的粒子恰好不从边射出，粒子在磁场中扫过的面积为 故D正确。故选ACD。 【变式训练2-9】（多选）如图所示的直角三角形区域ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界)，∠B=90°、∠C=30°，AB=L，在BC边的某部分区域内有一线状粒子发射源，发射源能在纸面内垂直BC边向磁场区域发射一系列比荷均为k、速率相等的粒子，最终粒子均从AB边离开磁场。粒子在磁场中运动的最短时间为t0，且该粒子刚好垂直AB边离开磁场；粒子在磁场中运动的最长时间为t0，且轨迹与AC边相切。忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.粒子带负电 B.磁感应强度大小为 C.粒子射入磁场的速率为 D.发射源的长度为 【答案】　BD 【解析】　粒子均从AB边离开磁场，故粒子要向左偏转，根据左手定则，粒子带正电，A错误；依题意，粒子在磁场中运动的最短时间为t0，且该粒子刚好垂直AB边离开磁场，则t0=T，由qvB=m，T=，k=，解得B=，B正确；依题意，粒子在磁场中运动的最长时间为t0，且轨迹与AC边相切，如图甲所示，有Rsin 30°+=L， 得R=，综上可得v=，C错误；设发射源的长度为x，如图乙所示，设发射源的长度为x，可知R+x=R+Rcos 30°，代入R得x=，D正确。 【变式训练2-10】（多选）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】BC 【解析】AB、粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，解得r，因为bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图1中实线所示，由几何关系得：rL，则粒子的入射速度v，故A错误，B正确； C、从a点入射的粒子在磁场运动的最长轨迹为πrπL，故C正确； D、与bc边相切恰从bc边射出的粒子的轨迹（如图2），对应的最大偏转角最大为，根据tT，T，可知从bc边射出的粒子在磁场内最长时间为t，故D错误。 故选：BC。 【变式训练2-11】（多选）如图8所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5× 103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　) 图8 A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m B.C点有粒子射出 C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(－1)m处入射 【答案】　ACD 【解析】　粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC边射出的粒子长度为＝R－R＝(－1)m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；由图可知，在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1)m处入射，故D正确。 【变式训练2-12】（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】BCD 【解析】A．粒子刚好从BC边垂直打出，设该过程扫过的圆心角为，由 几何关系可知，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的最长时间轨迹所对的圆心角为，则有 解得 画出该粒子的运动轨迹，如下图 由几何知识得 解得，故B正确； C．由 联立解得，故C正确； D．由几何知识得扫过的面积为，故D正确。 故选BCD。 【变式训练2-13】如图所示的环形区域中存在垂直于纸面向外的匀强磁场，已知外圆半径是内圆半径的倍，内圆半径为R。MN为磁场外圆边界的直径，一群均匀分布、质量为m、带电荷量为＋q的粒子垂直MN以速度v平行射入磁场区域，粒子入射范围的宽度等于MN的长度。已知正对圆心O入射的粒子恰好没有射入内圆，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求： （1）磁场的磁感应强度大小； （2）若某粒子可以垂直射入内圆，则该粒子从进入磁场到内圆所需的时间； （3）从M点射入的粒子第一次在环形磁场中速度偏转角的余弦值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）正对圆心O入射的粒子恰好没有射入内圆，轨迹图如图1所示， 根据几何关系有，解得 根据洛伦兹力提供向心力有 磁场的磁感应强度大小为； （2）粒子可以垂直射入内圆，轨迹图如图2所示，打在内圆的点设为K，轨迹圆圆心为Q，则三角形OKQ为等腰直角三角形，可得 根据，可知 故轨迹的圆心角为 粒子从进入磁场到内圆所需的时间为； （3）从M点射入的粒子第一次在环形磁场中，轨迹图如图3所示，D点为轨迹圆圆心， 根据几何关系可知三角形COD为等腰三角形，有 从M点射入的粒子第一次在环形磁场中速度偏转角的余弦值为＝＝。 题型03：旋转圆 【典型例题1】如图所示，直角三角形abc中∠a＝30°，ac＝L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是（ ） A．ab边上有粒子到达区域的长度为 B．ac边上有粒子到达区域的长度为 C．从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【解析】A．根据带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力可得qvB＝，解得R＝，根据题意可知，＝k，v＝，解得R＝， 作出粒子运动的两个临界轨迹，如图所示 粒子沿cb方向射入，其在磁场中运动的轨迹圆心为O1，从ab边上的d点射出磁场，由几何关系可求得轨迹所对圆心角为60°，当粒子轨迹恰好与ab边相切时，其在磁场中运动的轨迹圆心为O2，可以证明cdeO2为一正方形，故在ab边有粒子射出的区域长度为de的长度，即，故A错误； C．从ab边射出的粒子，从d点射出磁场事，在磁场中运动时间最短，即t＝＝，故C正确； B．粒子在ac边上最远从f点射出，由几何关系可得cf＝＝，故ac边上有粒子到达区域的长度为，B错误； D．ac边射出的粒子，从f点射出时，其在做场中运动的时间最长，最长时间为t＝＝，D错误。 【典型例题2】如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【答案】B 【解析】C．粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN是粒子做圆周运动的轨迹直径，故从N点射出的粒子运动方向偏转了180°，故C错误； A．根据几何关系可知 得粒子在磁场中运动的半径为，故A错误； B．由粒子所受洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有 解得粒子的比荷为，故B正确； D．由几何关系可知从M点射入的所有粒子在磁场中轨迹所能达到的区域面积应大于轨迹圆的半圆面积，则必大于，故D错误。 故选B。 【典型例题3】（多选)如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在磁场中顺时针运动 B.若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C.若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D.若v＝，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过 【答案】　BC 【解析】　根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A错误;根据半径公式r＝，其中v＝，代入解得r＝，如图甲所示，打在挡板上的粒子的两个临界为轨迹圆①和②，对应的速度角度范围为180°，则打在挡板上的粒子数占总数的，故B正确;打在挡板上的长度为两个临界圆②和③，对应的长度分别为l1＝，l2＝，挡板上有粒子打到的线段长度为Δl＝l1＋l2＝，故C正确;由于v＝，可知粒子的轨迹半径为r'＝，打在MN的临界如图乙中④和⑤，QN段无粒子通过，故D错误。 【典型例题4】（多选)如图为一种新型粒子装置， 粒子源放置在水平面上长为、宽为的矩形的中心， 矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为的带正电粒子，速度大小限制在到之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 B．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 C．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 D．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 【答案】AD 【解析】AB．所有粒子不射出，要求速度最大的粒子（，对应最大半径）也不射出。 粒子从出发，在轨迹圆上，圆上离最远点为直径端点，边界上离最近点为ab边中点，到上下边界距离为，临界情况刚好不射出 由洛伦兹力提供向心力 得半径公式 此时临界情况有 解得 即的最小值为，故A正确，B错误； CD．所有粒子都射出，要求速度最小的粒子（，对应最小半径）也能射出。最难射出的临界情况：轨迹圆过，同时与右边界、上边界相切，轨迹如图所示 圆心到的距离等于半径，因此 展开整理 解得最小临界半径 代入半径公式 整理得 即的最大值为，故C错误，D正确。 故选AD。 【典型例题5】（多选)如图所示，有一粒子源位于棱长为L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为v0，质量为m，电荷量为+q的带电粒子。整个空间（包含正方体内、外空间）内存在竖直向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度忽略粒子重力及粒子间相互作用。则（　　） A．粒子做圆周运动半径r=2L B．粒子运动到正方体侧面的最短时间为 C．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 D．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 【答案】BCD 【解析】A．粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得，故A错误； B．周期 粒子从O点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O点到侧面垂足P的最短弦长，由几何关系可知，弦长 圆心角 最短时间，故B正确； CD．要使所有粒子都打到正方体底面中心O1，需要满足 根据牛顿第二定律，有 运动时间满足 联立可得 当N=1时， 当N=2时，，故CD正确。 故选BCD。 【典型例题6】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。 （1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； （2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。 【答案】（1）见解析　（2）60° 【解析】（1）带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝m，解得r＝。 （2）粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越 大，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于圆形磁场的直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，则sin＝＝，解得φmax＝60°。 【变式训练3-1】如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（    ） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．边有粒子射出的区域长度为 D．从边射出的粒子速度最大偏转角为 【答案】C 【解析】AD．如图所示，有的粒子能从边射出，则速度方向与边成角范围内的粒子都能从边射出，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为 洛伦兹力提供向心力有 粒子比荷为，联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为 如图所示，从边射出的粒子，射出点在点时，粒子在磁场中运动轨迹的圆弧的弦最大，对应的圆心角最大，可知从边射出的粒子速度最大偏转角为，故AD错误； B．粒子在磁场中运动轨迹的圆弧的弦可以非常小，对应的圆心角可以非常小，根据， 可得时间 可知粒子在磁场中运动的最短时间为零，故B错误； C．如图所示，粒子沿方向射出时，圆心在点，从点射出，可知边有粒子射出的区域为，其长度为，故C正确。 故选C。 【变式训练3-2】如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，∠C=30∘，∠D=45∘，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面内向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电荷量为−e，且满足v0＝。下列说法中正确的是（　　） A．从AC边射出的电子占总电子数的 B．从AD边射出的电子中，速度方向与OC的夹角的取值范围为45°<<135° C．从CD边（含OC、OD段）射出的电子中，最长运动时间为 D．所有从AC边射出的电子中，当=30∘时，所用的运动时间最短 【答案】C 【解析】AB．由于粒子源发射的电子速率相同，电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 即所有电子的半径都相等，由左手定则可知，电子进入磁场后顺时针做圆周运动，所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出，此时，如图所示 由题意及分析可知，当范围内，电子从AC边上射出，当电子从AC边射出时，由几何关系可知从边射出的电子占总电子的 由题意及几何关系可知，当粒子在范围内，电子从AD边射出，故AB错误； C．从CD边射出的电子，经过D点对应的弦长最长，根据几何关系可知，运动轨迹对应的最大圆心角为，因此最长运动时间为 故C正确； D．电子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为T，有 在磁场中运动的时间为t，有 整理有 即电子运动的圆心角越小，其在磁场中运动的时间就越短，圆心角所对应的弦长越长，其圆心角越大，所以最短时间即为弦长的最小值，当弦长 与AC边垂直时，弦长最短，有几何关系可知此时对应的入射角不等于，故D错误。 故选C。 【变式训练3-3】如图所示，半径为的圆形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子以相同的速率在纸面内从点沿不同的方向射入磁场，粒子的出射点到点的最大距离为。已知磁感应强度大小为，带电粒子的质量为、电荷量为，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则粒子运动的速率大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】所有粒子的速度大小相等，所以粒子的运动半径相等，又因为粒子的出射点到A点的最大距离为，所以为粒子轨迹的直径，则粒子的轨迹半径 由 解得 故选C。 【变式训练3-4】如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　) A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】　C 【解析】　根据洛伦兹力提供向心力有qvB=，可得R==d，故A错误；当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知s上min=d；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，s上max=d，故上表面接收到粒子的区域长度为s上=(-1)d，故B错误；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；由图可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有tmin=×=，故D错误。 【变式训练3-5】如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为的粒子，粒子速率均为，则（     ） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．粒子的半径都为2h D．被接收的粒子运动最长时间 【答案】B 【解析】C．根据洛伦兹力提供向心力有 解得，C错误； A．如图所示接收板接收到离子的区域长度为 A错误； B．当粒子的运动轨迹与接收板两侧相切时，粒子恰好能被接收板接收，此时粒子在O点的速度方向间的夹角等于180°，所以能被接收的离子占总离子的，B正确； D．粒子在右侧轨迹与MN相切时运动时间最长，则被接收的粒子运动最长时间为，D错误。 故选B。 【变式训练3-6】（多选）如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为 B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为 【答案】BD 【解析】打在荧屏MN上的粒子轨迹的临界状态如图1所示，根据几何关系知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为：l＝AB＝R＋＝(1＋)R＝(1＋)d，故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为：t＝，又T＝，解得：t＝，故B正确；在磁场中运动时间最长（优弧1）和最短（劣弧2）的粒子的运动轨迹如图2所示，粒子做完整圆周运动的周期T＝，由几何关系可知，最长时间：t1＝＝，最短时间：t2＝＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差：Δt＝t1－t2＝，故C错误，D正确。 【变式训练3-7】（多选）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点有一粒子源，点坐标为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为，电荷量为，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，点坐标为，则下列说法正确的是（　　） A．从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．打在轴的长度为 【答案】AC 【解析】由 得 A． 如图所示，从轴射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A正确； B． 如图所示，从之间射出磁场的粒子速度间的夹角为，因此从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B错误； C． 如图所示，当射出点为N（PN与x轴垂直）时，此粒子为到达x轴的粒子中，在磁场中运动的时间最短，圆心角为，运动时间为，故C正确； D． 如图所示，PN为直径，ON为打在轴的长度，等于，故D错误。 故选AC。 【变式训练3-8】（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】BC 【解析】A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，则 由洛伦兹力提供向心力， 解得，故A错误； B．已知，根据 可得，则所有粒子不从上边界飞出， 当粒子速度沿x轴正方向发射时，粒子在磁场中的圆心角为 粒子在磁场中的运动时间最长，且，故B正确； C．若磁感应强度大小为，则所有粒子运动的区域如图中阴影部分所示 则该部分的面积，故C正确； D．若磁感应强度大小为，则粒子在磁场中运动的半径 粒子能够从上边界射出的范围如图所示，由几何关系可得该范围的宽度 ，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-9】（多选）如图所示，PQ为磁感应强度为B＝1×10－2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O点有一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为v＝1×104 m/s、比荷为＝1×107 C/kg的带正电的粒子。已知O点与PQ的距离为10 cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的三分之一 B.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的四分之一 C.PQ上有粒子飞出的区域长度为20 cm D.飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的4.5倍 【答案】D 【解析】　粒子在磁场中，由牛顿第二定律有qvB＝m，运动半径为r＝＝0.1 m＝10 cm，等于O到PQ的距离，各个方向发射的粒子的轨迹如图甲所示，水平向右和水平向左射出的粒子恰经过边界PQ，过O点作垂直于PQ的水平线，则从O点射向水平线上方的粒子都不能射出磁场，射向水平线下方的粒子都可以射出磁场，故飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半，故A、B错误； 粒子从边界飞出的临界点如图乙所示，其中打到最下面的位置距离O点为2r，故PQ上有粒子飞出的区域长度为s＝ m＋0.1 m＝0.1 m＋0.1 m＝(10＋10) cm，故C错误； 如图丙所示，水平向左发射的粒子运动时间最长，所对圆心角为270°，故在磁场中运动时间为tmax＝T，如图丁所示，粒子轨迹对应的弦长最短，粒子运动时间最短，所对圆心角为60°，故在磁场中运动时间为tmin＝，所以tmax＝4.5tmin，故D正确。 【变式训练3-10】（多选）如图1甲所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106 m/s、质量为m＝1×10－15 kg、带电荷量为q＝1×10－9 C的同种带电正粒子。在x轴上距离原点1 m处垂直于x轴放置一个长度为1 m、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板P上立即被接收)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为(　　) 图1 A.1.1×10－6 s B.1.4×10－6 s C.2.5×10－6 s D.4.6×10－6 s 【答案】　ABD 【解析】　如图甲所示，由观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，可知粒子做圆周运动的半径为1 m，结合r＝，可知磁感应强度为B＝1 T，打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是60°，此时运动时间最短，可得被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间(被P左侧接收到的粒子在磁场中运动的最短时间) 　 tmin＝T＝·＝1×10－6 s，被P左侧接收到的粒子在磁场中运动时间最长，粒子轨迹对应的圆心角为90°，此时运动时间t2＝T＝·＝1.5×10－6 s，被P右侧接收到的粒子在磁场中运动时间最短的粒子轨迹对应的圆心角为270°，此时粒子运动时间t3＝T＝·＝4.5×10－6 s，打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子轨迹对应的圆心角为300°，如图乙所示，最长时间tmax＝T＝·＝5×10－6 s，粒子能被P接收时，粒子在磁场中运动时间应满足tmin≤t≤t2，或t3≤t≤tmax，故A、B、D正确。 【变式训练3-11】（多选）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为(－，0)和(，0)，坐标为(0，)的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在磁场中顺时针运动 B.若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C.若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D.若v＝，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过 【答案】BC 【解析】　根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A错误；根据半径公式r＝，可得v＝时r＝，如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为180°，则打在挡板上的粒子数占总数的，故B正确；打在挡板上的长度的两个临界为②和③，对应的长度分别为l1＝，l2＝，故v＝时，挡板上有粒子打到的线段长度为Δl＝l1＋l2＝，故C正确；当v＝时，可知粒子的轨迹半径为r'＝，打在MN的临界如图乙中④和⑤，QN段无粒子通过，故D错误。 【变式训练3-12】（多选）如图所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 B.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 C.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 D.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 【答案】AB 【解析】若粒子速率为v＝， 则轨迹半径r＝＝L 粒子运动情况如图甲所示 从P点飞出的粒子，轨迹的圆心在N点，该粒子从O点发射时的速度方向与ON垂直斜向右下，与水平方向成60°角。从N点飞出的粒子，轨迹的圆心在S点，该粒子从O点发射时的速度方向与OS垂直，水平向右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子“逃出”的概率为，由图甲可知，NP线段上各处都可能有粒子通过，故A、B正确；若粒子速率为v＝，则轨迹半径r＝ 粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P点相交时，圆心为A， 粒子轨迹与PN相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则粒子“逃出”的概率为> 由图乙可知OD<ON＝L 则D在N点下方，故线段DN间不可能有粒子通过，故C、D错误。 【变式训练3-13】（多选）如图所示，在矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。已知边长为，边长为。、分别为、边的中点。在点有一粒子源，可以在纸面内向磁场区域任意方向发射同种带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，初速度大小均相同。沿与方向成角的方向发射的粒子恰好从点射出磁场。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角可能大于 【答案】BC 【解析】A．速度与OB的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，粒子带负电，故A错误； B．如下图所示，根据粒子的运动轨迹，结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 由牛顿第二定律 联立解得粒子运动的速度大小为，故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，而最长时间对应圆心角为，故C正确； D．初速度水平向左时恰好过A点，竖直向上射入的带电粒子恰好过D点，则从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角最大等于，不可能大于，故D错误。 故选BC。 【变式训练3-14】（多选）如图1所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子(　　) 图1 A.带负电 B.运动速率v＝ C.在磁场中运动的最长时间tm＝ D.在磁场中运动的最长时间tm＝ 【答案】　BC 【解析】　由左手定则可知粒子带正电，选项A错误；根据粒子的运动轨迹可知r＝L，由qvB＝m，可得v＝，选项B正确；从C点射出的粒子在磁场中运动的时间最长，圆弧所对应的圆心角为60°，则最长时间为tm＝·＝，选项C正确，D错误。 【变式训练3-15】（多选）如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 【答案】BD 【解析】AB．根据牛顿第二定律解得故A错误，B正确； C．粒子轨迹如图所示 由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与边相切，在磁场中运动的最长时间的粒子将从AD之间离开磁场，C错误； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为若粒子能过A点，设轨迹对应的圆心角为，则有即此时在磁场中运动时间为但是由粒子轨迹图可知，粒子不能过A点，当轨迹与AC相切时，圆心角小于，故粒子在磁场中运动的最长时间小于，D正确。故选BD。 【变式训练3-16】（多选）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（     ） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 【答案】BC 【解析】A．如图所示 过D点作AC垂线，则有AD=BD，易知DE小于AD，根据几何关系有，故小于 根据几何关系知，粒子若能从C点飞出，则在C点时的速度方向与DC连线所成角度等于，实际从C点飞出的粒子与DC的最大夹角为，所以粒子不可能从C点射出，故A错误； BD．如图所示 所有能从A点飞出的粒子所对应的速度偏角最大值为，所以最长时间满足 由几何关系知，满足从A点飞出且时间最长的粒子轨迹半径为 结合题意分析知，所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积如图所示的弓形面积 即，故B正确，D错误； C．由粒子轨迹分析知，当粒子速度方向沿DB方向且轨迹与AC边刚好相切时，从AC边上飞出时所对应的圆心角最大，时间也最长 ，故C正确。 故选BC。 【变式训练3-17】（多选）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x，y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（　　） A．粒子做圆周运动的半径为2L B．粒子做圆周运动的半径为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【解析】解：AB、当a＝150°时，粒子运动轨迹如图所示： 由几何关系可知θ＝30°，轨迹半径r＝2，故A错误，B正确； CD、粒子沿y轴正方向射入时在磁场中运动时间最长，轨迹如图所示： 由几何关系可知γ＝30°，β＝210°，洛伦兹力提供向心力，运动周期T，代入数据可得T，运动时间t，故C错误，D正确。 故选：BD。 【变式训练3-18】（多选）如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为 D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 【答案】BC 【解析】解：A、粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB，代入数据可得，故A错误； B、水平向右射入的粒子射出CD时离D点最近，恰好与CD边相切的粒子射出时离D点最远，轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得，同理可得，在直径CD上有粒子射出的区域长度为AB＝R，故B正确； C、由几何关系得∠O1SO2＝53°，则θ＝53°，所以从S射入磁场的粒子，可以从直径CD上射出的粒子占比为，故C正确； D、粒子在磁场中运动时间越长，则运动对应的轨迹越长，弦长越长，由上图可知， 从A或B点射出时弦长最长，由几何关系可知对应圆心角θ1＝127°，从O点射出时弦长最短，由几何关系可知对应圆心角θ2＝106°， 则从直径CD上射出的粒子，在磁场区域内运动的最长时间与最短时间之比为，故D错误。 故选：BC。 【变式训练3-19】（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 【答案】ABD 【解析】A．从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，则沿方向射出的粒子轨迹恰好与挡板相切，由几何关系可得，粒子的轨迹半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得，故A正确； B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置，如图所示，根据“旋转圆”的知识可知，该区域长度是C到A之间的部分 根据几何知识可知，区域长度为，故B正确； C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，粒子到达挡板上恰好没有重叠时，如图所示 根据旋转圆的知识并结合几何知识可知，此时挡板与x轴的夹角为，即挡板至少要逆时针转动，故C错误； D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，粒子源发射位置不变，粒子运动的轨迹半径仍为a，其轨迹如图所示 根据“磁发散”原理可知，能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，水平向左射入的粒子能够从C点射出；速度方向与轴负方向夹角为45°的粒子从O点射入磁场时，由几何关系可知，则射出位置点到C点的水平距离为 区域长度 则打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的，故D正确。 故选ABD。 【变式训练3-20】（多选）某个粒子分析装置的简化示意图如图7所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板， α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光。已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为m，电荷量为q。不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝时，下列说法正确的是(　　) 图7 A.所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板 B.荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布 C.α粒子在磁场中运动的最长时间为 D.α粒子在无磁场区域运动的最长时间为 【答案】　AD 【解析】　α粒子在磁场中运动的轨迹半径为r＝＝R， 则从P点射出的α粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，四边形O′MOP为菱形，可知O′M水平，则从M点进入圆形区域的粒子速度竖直向下，垂直击中荧光挡板，选项A正确；沿着PG方向射出的粒子打到挡板上的位置最远，由几何关系可知，最远点与P点的距离为2R－Rsin 30°＝R，并且从O到P，距P点越近，粒子数量越多，粒子分布不均匀，选项B错误；沿着PH方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为330°，则最长时间t＝·＝，选项C错误；水平向左射出的α粒子在无磁场区域运动的时间最长，为t′＝＝，选项D正确。 【变式训练3-21】（多选）如图，xOy平面内有大量质子从原点O在180°的范围内连续以相同速率v0向y轴右侧发射，右侧足够远处放置与x轴垂直且足够大的荧光屏，O在荧光屏上的投影点为O′。现在第Ⅰ象限和第Ⅳ象限一定范围内分别施加一个垂直于xOy平面的区域匀强磁场（磁场大小相同、方向不同），使得所有质子都垂直打在荧光屏上CC′范围内，已知O′C＝O′C′＝R。忽略质子间的相互作用，已知质子质量为m、电荷量为e，求： （1）磁场在第Ⅰ象限的方向和大小； （2）在Ⅰ、Ⅳ象限所加磁场的最小总面积。 【答案】（1）从原点O竖直向上射出的电子垂直打在荧光屏上， 故磁场方向必定垂直xOy平面向外 根据题意粒子的回旋半径为R， 根据ev0B＝，解得B＝ （2）在由O点射入第Ⅰ象限的所有质子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。 设某电子做匀速圆周运动的圆心O′，与O点的连线与y轴正方向夹角为θ， 若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向， 其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。 由图中几何关系可得x＝Rsin θ，y＝R－Rcos θ 参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为x2＋(R－y)2＝R2（x＞0，y＞0） 这是一个圆的方程，圆心在（0，R）处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积， 磁场的最小面积为S1＝ 根据对称性可知，磁场的最小总面积为S＝2S1＝πR2－2R2 【变式训练3-22】（多选）如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收，若粒子速率v＝，则挡板上被粒子打中区域的长度是　　　　　　(不计粒子的重力和粒子间的相互作用)。 【答案】　(＋1)L 【解析】　若粒子速率为v＝，则轨迹半径R＝＝L 粒子运动情况如图所示 根据几何关系可得AB＝L，AC＝L 所求长度为BC＝AB＋AC＝(＋1)L。 题型04：磁发散和磁聚焦 【典型例题1】如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（ ） A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心 B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 【答案】C 【解析】做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供：，将代入，求得r＝R，即磁场圆的半径与质子轨迹圆的半径相等。 A．对着圆心射入的质子，由几何关系知该质子最后从O点的正下方C点射出磁场，其出射方向的反向延长线必过圆心，所以选项A错误。 BC．假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，连接EOCD构成如图所示的四边形， 由于DE∥OC，且DE＝OC，则四边形DEOC是平行四边形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点E水平入射的质子也从O点的正下方C射出，故C正确； 由于从a点入射的质子比从b点入射的质子偏转角大，根据（θ为运动轨迹对应的圆心角）可知，从a点入射的质子在磁场中运动时间长，所以选项B错误。 D．由于质子的速率，则质子做匀速圆周运动的半径仍为R；假设这些质子从O点正下方的C点从不同方向射入磁场，则这些质子在磁场中运动的过程可以看成题中的质子束运动的逆过程，由此可知这些质子从磁场出射时都是相互平行的；由此扩展来看，质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向一定是相互平行的，不可能出现垂直的情况，故D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，长方形abcd中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（　　） A．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 D．从ad边射入的粒子其出射点均为b点 【答案】D 【解析】AC．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可 因ab=0.3m，故从Od边射入的所有粒子运动的轨迹形成以r为半径的平移圆弧，从点O射入的粒子从b点射出，从d点射入的粒子运动到e点，因边界eb上无磁场，故这些粒子到达be段后应沿eb方向做直线运动，即全部通过b点，故AC错误； BD．从aO边（不含O点）射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某个粒子从M点进入磁场，轨迹圆心为O'，如图所示，根据几何关系可得，四边形O'Meb为菱形，则粒子一定从b点射出。再结合选项A的分析可知，从ad边射入的粒子全部从b点射出，故B错误，D正确。故选D。 【典型例题3】（多选）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直平面向里。以圆形边界磁场最低点为原点建立直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿轴负方向再次通过坐标原点，不计粒子重力。则（　　） A．粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动半径为 B．粒子在匀强磁场Ⅰ中的速度偏转角为150° C．粒子从点到第二次经过点的运动时间为 D．矩形磁场区域的最小面积为 【答案】AD 【解析】A．粒子在圆形磁场区域，由洛伦兹力提供向心力得 解得运动半径为，故A正确； B．圆形磁场中，连接入射点、磁场圆心、轨迹圆心及出射点构成菱形，转过圆心角为，故B错误； C．周期 粒子从O点进入第四象限，速度与轴正向夹角为，在矩形磁场中转，矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，根据 可知粒子周期不变，可知粒子在两磁场中运动时间为 设粒子从P点进入方形磁场，从Q点离开方形磁场，由几何关系可知 粒子做匀速直线运动时间 全程时间，故C错误； D．由几何关系得，矩形磁场区域的最小面积 解得，故D正确。 故选AD。 【典型例题4】（多选）如图所示，坐标原点O处有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力及粒子间相互作用)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场右侧有一点A(2R，R)，已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则(　　) A.初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点 B.初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点 C.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 D.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 【答案】AC 【解析】初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则粒子的轨迹半径r＝R，由qvB＝可得粒子轨迹半径都为R；结合题意和几何关系可知，平面第一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x轴正方向，设经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为α，根据几何关系有R＋Rsin (α－90°)＝R，解得α＝120°，故A正确，B错误； 该粒子在磁场中的运动时间为t＝×，故C正确，D错误。 【典型例题5】（多选）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2) D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【答案】　BC 【解析】　根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，由qB0v＝m解得B0＝，要使会聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示， 由几何关系可知粒子的轨迹半径为2r0，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有qB1v＝m，解得B1＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确；由图可知，磁场区域的最小面积为Smin＝2[(2r0)2]＝2(π－2)，C正确，D错误。 【典型例题6】（多选）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形abcd边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v垂直ab边射入，如果在abcd的某区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c点射出，不计离子的重力和离子间的相互作用，则(　　) A.磁场方向垂直纸面向里 B.离子的比荷为 C.磁场区域的最小面积为 D.离子在磁场中运动的最长时间为 【答案】　BD 【解析】　由题意可知，离子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；画出离子轨迹，如图， 由图可知为磁聚焦模型，故运动半径r＝L，再由qvB＝m得，故B正确；由图可知，磁场区域的最小面积为“叶”形面积S＝2()＝，故C错误；离子在磁场中运动的最大圆心角为，则最长时间为t＝，故D正确。 【典型例题7】（多选）如图所示，上部半圆下部矩形组成的平面区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，由点A向圆心O方向连续发射相同速率的同种带电粒子，最终粒子从B点离开磁场区域，不计粒子所受重力，粒子间的相互作用及空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．该种粒子一定带负电，且在B点沿OB方向离开磁场 B．若在A点增大粒子入射速率，方向不变，则粒子在磁场中的运动时间增加 C．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，则BC间无粒子射出 D．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，从AB弧射出的粒子的出射方向均与OB平行 【答案】AD 【解析】A．由点A向圆心O方向发射带电粒子，最终粒子从B点离开磁场区域，根据左手定则，洛伦兹力方向向左，判断该粒子带负电，已知初速度方向和末速度位置，如图根据几何关系，可知粒子在B点沿OB方向离开磁场，故A正确； B． 磁场中的运动时间与带电粒子在磁场中转过的圆心角有关，增大粒子入射速率，方向不变， 由半径公式 半径增大，转过的圆心角变小，时间缩短，故B错误； C．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，则半径不变，粒子可以从BC间射出，如下图 所示，故C错误； D．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，则半径不变，当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时，为磁发散现象，此时从AB弧射出的粒子的出射方向均与A点的切线平行，即出射方向均与OB平行，故D正确。 故选AD。 【典型例题8】带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【答案】（1）该磁场磁感应强度B1的大小为； （2）该磁场磁感应强度B2的大小为，方向为垂直xOy平面向里，以及该磁场区域的面积为； （3）Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小分别为和，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积分别为和。 【解析】解：（1）利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R1，则有R1＝r1， 粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB1＝m 解得：B1 （2）在磁场B1中汇聚到O点的带电粒子进入磁场B2后，射出后变为宽度为2r2平行粒子束，此为磁聚焦的逆过程（磁控束），粒子运动轨迹如右图中红色轨迹，则可知需要的区域面积最小的匀强磁场应为以出射的粒子流的宽度为直径的圆形区域磁场，如右图中蓝色圆形区域，设粒子匀速圆周运动半径为R2，需要的最小圆形磁场区域半径为r2′，则有R2＝r2′＝r2， 粒子做匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有：qvB2＝m， 解得：B2， 带正电粒子在磁场B2中做逆时针匀速圆周运动，由左手定则判断，磁感应强度B2的方向为垂直xOy平面向里， 该磁场区域的面积S （3）进入区域Ⅰ的粒子经磁聚焦由O点进入区域Ⅳ经磁控束后离开磁场；同理，进入区域Ⅱ的粒子经磁聚焦由O点进入区域Ⅲ经磁控束后离开磁场，则可知在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的圆形磁场区域半径为r3，粒子匀速圆周运动半径也为r3，同理，在区域Ⅲ和区域Ⅳ中的圆形磁场区域半径为r4，粒子匀速圆周运动半径也为r4，如右图所示，各区域中的蓝色圆弧为最小区域磁场边界，红色圆弧为入射或出射时离x轴距离最远的粒子运动轨迹，则各区域需要的磁场区域最小面积为蓝色圆弧与红色圆弧围成的区域面积。 设区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B3，则有：qvB3＝m 解得：B3 设区域Ⅲ中磁场的磁感应强度为B4，则有：qvB4 解得：B4 区域Ⅱ中匀强磁场区域的面积S2＝2（） 区域Ⅳ中匀强磁场区域的面积S4＝2（） 答：（1）该磁场磁感应强度B1的大小为； （2）该磁场磁感应强度B2的大小为，方向为垂直xOy平面向里，以及该磁场区域的面积为； （3）Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小分别为和，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积分别为和。 【变式训练4-1】带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（　　） A．   B． C． D． 【答案】C 【解析】利用圆形区域匀强磁场实现对带电粒子流的磁聚焦，需要满足：粒子匀速圆周运动半径与圆形磁场区域的半径相等，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则有 粒子匀速圆周运动所需向心力等于洛伦兹力，则有 解得 故选C。 【变式训练4-2】如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，、是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能在纸面内向磁场中各个方向以相同的速率射出相同的带电粒子，所有粒子均从之间射出磁场 点有粒子射出。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的半径为 C．粒子的比荷为 D．若仅将粒子的速率变为，则所有粒子射出磁场时的方向都相同 【答案】D 【解析】A．根据左手定则，粒子带正电，故A错误; B．因为所有粒子射出磁场时均在之间，是粒子运动的直径，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径 ，故B错误; C．根据，解得，故C错误; D．若仅将粒子的速率变为，则粒子在磁场中运动的半径为，因为粒子做圆周运动的半径与区域圆的半径相等，所以由磁发散可知，所有粒子射出磁场时的方向都相同，故D正确。 故选D。 【变式训练4-3】磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R B．粒子从P点射入磁场的速度大小为 C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为 D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为 【答案】D 【解析】A．因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，画出粒子轨迹示意图如图所示： 设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有 可得 选项A错误； B．由 可得 选项B错误； C．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为 粒子从P点射出到第一次回到P点所需要的时间为 选项C错误； D．由几何关系可知，圆环的大圆半径为，小圆半径为R，所以其面积为 选项D正确。 故选D。 【变式训练4-4】如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为B、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为e、质量为m．电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点．下列说法错误的是（    ）． A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 【答案】D 【解析】由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管长为L，若这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点，则需满足 （n=1，2，3…）T为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为 解得周期为 联立可得 （n=1，2，3…） 因为电子速度v与磁场方向的夹角非常小，所以 可见，粒子的速度只要满足 （n=1，2，3…） 即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以汇聚到P点。 A．由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则运动的时间可能为，A正确，不符合题意； B．若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则 B正确，不符合题意； C．由上述分析可知当粒子速度为v时 （n=1，2，3…） 故当粒子速度为时 （=2，4，6…） 即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子一定能汇聚在P点，C正确，不符合题意； D．当粒子速度为时 （=，1，…） 即粒子的运动时间不是总等于粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能汇聚在P点，D错误，符合题意。 故选D。 【变式训练4-5】（多选）如图所示，半径为R的图形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（圆形区域上半圆半径略小于下半圆半径）。一群质量为m、电荷量为+q的带电粒子从A点沿平行于纸面的任意方向射入磁场，粒子射入磁场的速度大小为，不计粒子重力及粒子间相互作用，则（   ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．粒子离开磁场时，速度方向一定相同 D．粒子离开磁场时，动量变化量一定相同 【答案】BC 【解析】ABC．由题知，粒子带正电，粒子进入磁场后将向上偏转，因粒子射入磁场的速度大小为，根据洛伦兹力提供向心力有 解得偏转半径为 即粒子的偏转半径与磁场圆的半径相等，设为粒子做圆周运动的圆心，O为磁场圆的圆心，作出从A点任意一个方向入射的粒子的运动轨迹，如图所示 连接OA、OC、、，AD为过A点作磁场圆的切线，即，因偏转半径等于磁场圆半径，故 则四边形为菱形，由此可得 又因为 则 又因为CE为粒子的出射方向，必定与轨迹圆的半径垂直，则有 联立可得 因粒子的入射方向是任意的，而A点的切线方向是确定的，因此从A点射入磁场的所有粒子都会平行于AD方向射出，故粒子离开磁场时，速度方向一定相同； 由图可知，当粒子从方向1入射时，偏转的圆心角最大，运动的时间最长，为半个周期， 即 当粒子进入磁场的方向越往上时，圆心角越小，时间越短，所以当粒子在方向2入射时，将不会进入磁场，此时在磁场运动的时间为零，即为最短的时间，故A错误，BC正确； D．动量的变化为 该式子为矢量表达式，因粒子离开磁场时的速度方向相同，即末动量相同；但进入磁场的方向不相同，即初动量不相同，故粒子离开磁场时，动量变化量一定不相同，故D错误。 故选BC。 【变式训练4-6】（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　　) A.粒子速度大小为 B.所有粒子均能垂直射在光屏上 C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为 D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135° 【答案】AC 【解析】　由题意，初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qBv＝m，r＝R，解得v＝，A正确；由于所有粒子的速度大小相等，方向不同，但粒子离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R，并不会全部垂直打在光屏上，B错误；如图甲， 由几何关系可得，能射在光屏上的粒子中，运动时间最长的对应轨迹的圆心角为π，根据周期公式T＝，可得t＝T＝，C正确；若能打在光屏下端，如图乙， 由几何关系可得θ1＝60°，即初速度与x轴正方向夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屏上端时，初速度与x轴正方向夹角为θ2＝120°，则60°≤θ≤120°，D错误。 【变式训练4-7】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)、速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则(　　) A.带电粒子在磁场中运动的半径为R B.匀强磁场的磁感应强度大小为 C.在磁场中运动的带电粒子通过的路程最长为 D.带电粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】　AC 【解析】　从粒子源中点P发出的粒子，在磁场中的运动轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子在磁场中运动的半径为R，A正确;根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得B＝，B错误;从M点发出的粒子在磁场中的轨迹，如图乙所示，此时轨迹最长，路程最长，由几何知识可知四边形O1DOQ为菱形，则∠QO1D＝120°，则在磁场中运动的带电粒子通过的路程最长为l＝×2πR＝，C正确;从N点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，此时轨迹对应的圆心角最小，运动时间最短，四边形OBO2Q为菱形，则∠QO2B＝60°，可知此时粒子经过磁场区域最短时间为t＝×，D错误。 【变式训练4-8】（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【答案】AD 【解析】A．首先根据洛伦兹力提供向心力 代入题目数据得，所有粒子轨迹半径均为。沿着半径射入的粒子在圆形区域内轨迹圆心角​，运动时间 ，故A正确； B．由之前分析，沿着半径射入的粒子运动半径为，故B错误； C．从右边缘进入的粒子其轨迹为粒子能够到达的上边界 则有粒子到达的面积为，故C错误； D．沿着半径射入的粒子之后轨迹刚好与bc相切在c点，则从最低点左侧进入磁场的粒子之后会打在cd屏上或者ad屏上，刚好打在d点的轨迹如图所示 由几何关系可得A点到ad的距离为 则可以打在cd屏上的粒子进入磁场的点在圆形磁场最低点和A点之间，则比例为,故D正确。 故选AD。 【变式训练4-9】（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【答案】AD 【解析】A．首先根据洛伦兹力提供向心力 代入题目数据得，所有粒子轨迹半径均为。沿着半径射入的粒子在圆形区域内轨迹圆心角​，运动时间 ，故A正确； B．由之前分析，沿着半径射入的粒子运动半径为，故B错误； C．从右边缘进入的粒子其轨迹为粒子能够到达的上边界 则有粒子到达的面积为，故C错误； D．沿着半径射入的粒子之后轨迹刚好与bc相切在c点，则从最低点左侧进入磁场的粒子之后会打在cd屏上或者ad屏上，刚好打在d点的轨迹如图所示 由几何关系可得A点到ad的距离为 则可以打在cd屏上的粒子进入磁场的点在圆形磁场最低点和A点之间，则比例为,故D正确。 故选AD。 【变式训练4-10】（多选）如图所示，在半径为2R的半圆形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场；方向垂直纸面向内，圆弧PQ上覆盖有一层厚度不计的收集板（未画出）。另有一半径为R的圆形磁场区域与直径PQ相切于圆心O点，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向内。一束宽度为2R，均匀分布的电子束，以速度v沿着与直径PQ平行的方向，射向圆形磁场区域。电子的电荷量为e，质量为m，最终所有电子均从圆心O进入半圆形磁场区域。不计电子间的相互作用以及重力影响，则下列说法中正确的是（　　） A．圆形区域内磁场的磁感应强度大小为2B B．收集板上有电子接收的范围占整个收集板的 C．收集板接收到的电子数占所有电子的80% D．沿QP方向向左移动圆形磁场区域，可以增大收集板上有电子接收的范围 【答案】AC 【解析】解：电子速度，半圆形磁场半径2R、磁感应强度B，圆形磁场半径R，电子电荷量e、质量m。 电子在圆形磁场中偏转后均指向O点，说明其轨迹半径r1＝R. 由洛伦兹力提供向心力：，代入和r1＝R解得B1＝2B. 电子进入半圆形磁场时，轨迹半径。 从O点正上方进入的电子，轨迹圆心在P点，打在收集板最右端。 从O点正下方进入的电子，轨迹圆心在Q点，打在收集板最左端。 由几何关系，收集板上电子接收的弧长对应的圆心角为120°，占整个半圆的 电子束宽度为2R，能进入圆形磁场的电子高度范围为2R，其中能进入半圆形磁场并打在收集板上的电子 高度范围为1.6R，占比80%。故AC正确，BD错误。 故选：AC。 【变式训练4-11】（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，过（－2R，0）点垂直x轴放置一线型粒子发射装置，能在0<y<R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度均为v、带正电的同种粒子，粒子质量为m，电荷量为q。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转恰好击中y轴上的同一点，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子击中点距O点的距离为R B．磁场的磁感应强度为 C．粒子离开磁场时速度方向相同 D．粒子从离开发射装置到击中y轴所用时间t的范围为＜t< 【答案】ABD 【解析】A．由题意，某时刻发出的粒子都击中的点是y轴上同一点，由发射装置最高点射出的粒子只能击中（0，R），则击中的同一点只能是（0，R），即粒子击中点距O点的距离为R，A正确； C． 从最低点射出的也击中（0，R），那么粒子做匀速圆周运动的半径为R， 由洛伦兹力提供向心力有 qvB＝m 可得磁感应强度 B＝ B正确； C．粒子运动的半径都相同，但是入射点不同，所以粒子离开磁场时的速度方向不同，C错误； D．整个过程粒子的速率不变，故粒子运动的时间正比于轨迹的长度，所以从最低点射出的粒子运动的时间最长，由此可得粒子从离开发射装置到击中y轴所用的最长时间为 从最高点直接射向（0，R）的粒子运动时间最短，最短的时间为 D正确。 故选ABD。 【变式训练4-12】（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是(　　) A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短 B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长 C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上 D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于 【答案】ACD 【解析】对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t<T＝，故选项C、D正确． 【变式训练4-13】如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。两个半径为r的圆形区域内有与x0y平面垂直的匀强磁场（包括圆形区域边界），宽度为2r的带电粒子流（粒子的质量为m、电荷量为+q）沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A（O，r）、半径为r的圆形匀强磁场B1中，带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，经过圆心为C（O，-r）、半径为r的圆形匀强磁场B2后，沿x轴正方向射出，不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。求： （1）这两个圆形匀强磁场的磁感应强度B1、B2的大小和方向； （2）带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间； （3）增大带电粒子射入的速度，使正对圆心A（0，r）射入的粒子恰好不经过下方的磁场，求粒子射入的速度大小。 【答案】（1）大小均为，B1垂直纸面向外，B2垂直纸面向内；（2）；（3） 【解析】（1）带电粒子流沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A（O，r）、半径为r的圆形匀强磁场B1中，带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，结合磁聚焦的原理可知，粒子的运动轨迹半径与磁场半径相等，即 由洛伦兹力作为向心力可得 联立解得磁感应强度B1的大小为 由右手定则可知，磁感应强度B1的方向垂直纸面向外； 全部粒子从O点进入圆心为C（O，-r）、半径为r的圆形匀强磁场B2后，沿x轴正方向射出，故该过程为磁聚焦的逆过程，同理可得 由洛伦兹力作为向心力可得 联立解得磁感应强度B2的大小为 由右手定则可知，磁感应强度B2的方向垂直纸面向内。 （2）粒子在磁场中的运动周期均为 当粒子从（0，2r）点射入，恰好沿磁场边缘运动，从（0，-2r）点射出，在磁场中的运动时间最长，恰好为一个周期T，故带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间为 （3）如图所示，当粒子的运动轨迹恰好与圆心为C、半径为r的圆形匀强磁场边缘相切时，恰好不经过下方的磁场，如图所示 由几何关系可得 故粒子的偏转角为，设轨迹半径为r3，可得 联立解得 由洛伦兹力作为向心力可得 联立解得粒子速度大小为 【变式训练4-14】如图4所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在－R＜y＜0的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求： 图4 (1)粒子的初速度v0； (2)矩形磁场区域的宽度a； (3)从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。 【答案】　(1)　(2)R　(3) 【解析】(1)设粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律，有qv0B＝ 因为入射的粒子均由O点进入第一象限，是磁聚焦模型，有r＝R 解得v0＝。 (2)设在矩形区域内运动时间最长的粒子其速度方向与y轴正方向夹角为θ 由题意知，其轨迹与PQ边刚好相切，由几何关系得rsin θ＋rcos θ＝2a rsin θ＋a＝r 解得a＝R，sin θ＝。 (3)设在矩形区域内运动时间最长的粒子，其射入圆形磁场区域时的纵坐标为－y1，由几何关系得 R－y1＝Rsin θ 所求粒子占比为 代入数据得＝。 【变式训练4-15】“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图所示。辐射状的加速电场区域I边界为两个同心平行的网状金属扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD间的电势差为U0，M为外圆弧的中点。在紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且大小为B＝。在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知MO1O2和FNQ为两条平行线，且与O2N连线垂直。假设太空中漂浮着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面并经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集，忽略一切万有引力和粒子之间作用力。求： （1）粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小； （2）粒子在磁场中运动的半径R； （3）粒子到达收集板沿PQ方向的宽度。 【答案】解：（1）带电粒子在电场中加速时，电场力做功，根据动能定理有qU0＝ 解得v＝ （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qvB＝ 代入数据解得R＝L （3）所有粒子从AB弧面射入的粒子，速度大小相等，在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，且与磁场的半径相同，根据对称性可知，它们经过磁场旋转后都从磁场边界垂直于PNQ线射出，最终到达PNQ板被收集，轨迹如图所示 AC从各个粒子的运动轨迹可以看出，轨迹1在磁场中转动的角度最小，所以从A点射入的粒子到达收集板的最左端，根据几何知识可知， 该粒子转动了30°，轨迹1、2的距离为x1＝L－R(1－cos 30°)＝ 根据对称性可得，粒子到达收集板的范围为x＝2x1＝ 题型05：带电粒子在磁场中运动的极值问题 （1） 带电粒子在磁场中运动时间的极值问题 【典型例题1】如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【答案】D 【解析】根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误;当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最短时间间隔为tmin＝2T1＝，C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。 【典型例题2】如图所示，在空间中有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内(包括坐标轴上)充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为3B，方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。边界上的P点坐标为(L，L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，忽略粒子重力。 (1)若粒子不能从x轴出射，则粒子运动速度的最大值; (2)若粒子垂直于y轴离开磁场，则该粒子在磁场中运动的最短时间; (3)若粒子从O点离开磁场，则该粒子在磁场中运动的速度的可能值? 【答案】　(1)　(2)　 (3)(n＝1，2，3，…) 【解析】　(1)根据题意，作出粒子的运动轨迹如图甲所示 由几何关系得tan θ＝ 解得θ＝30° 由图可知rm＝OPsin θ＝2Lsin 30°＝L 由牛顿第二定律qvm·3B＝m 解得vmax＝。 (2)粒子垂直于y轴离开磁场，运动轨迹如图乙所示，由几何关系知粒子在Ⅰ区域转过的圆心角为120°，在Ⅱ区域转过的圆心角为30°，又 T＝ 因带电粒子速度大小没有确定，可多次通过磁场Ⅰ区域和Ⅱ区域，但带电粒子第一次通过磁场Ⅰ区域进入磁场Ⅱ区域后与y轴垂直，所用时间最短，故最短时间为 t＝··。 (3)若粒子从O点离开磁场，如图丙所示，由几何关系得OP＝n(2r1sin 60°＋2r2sin 60°) 其中r1＝，r2＝ 联立解得v＝(n＝1，2，3，…)。 【变式训练5-1-】如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角越大，在磁场中运动的时间越长，由题可知，水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子轨迹的半径为a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如图所示有两种情况    打在MN上表面时，粒子运动轨迹最大的圆心角为，当粒子打在MN下表面时，若OP为轨迹圆的弦，则轨迹所对圆心角最大，其中 故粒子运动轨迹最大的圆心角为 根据可知 粒子在磁场中运动的时间为 故粒子在磁场中运动的最长时间为 故选A。 【变式训练5-1-2】如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【答案】D 【解析】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直指向右下方。 当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，所以粒子运动的半径 由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间，故B错误； D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线上方处； 当θ增大时，粒子打在PQ上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ相切时。 如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线下方处； 当θ继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ不相交，直接从MN上射出，且在MN上的出射点不断上移直到O点。 所以若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为，故D正确； C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期不变。 所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。 由D的分析可知，当粒子的出射点在PQ上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值； 当粒子的出射点在MN上时，粒子的弦长可取[0，]的任意值； 所以粒子运动轨迹的弦长最大可取，此时对应的中心角φ=120°。 所以粒子在磁场中运动的最长时间，故C错误。 故选 D。 【变式训练5-1-3】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】A 【解析】AB．粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A正确，B错误； C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为，故C错误； D．与bc边相切恰从bc边射出粒子的对应的圆心角最大为 从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。 故选A。 【变式训练5-1-4】（多选）如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为处有一粒子源，时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为，则（　　） A．粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为 B．粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为 C．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 D．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 【答案】AD 【解析】 AB．如图1所示，当粒子的轨迹以AB为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆心角为，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为 故A正确，B错误； CD．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2所示，当 时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练5-1-5】如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】1）沿方向入射的粒子恰好经过点，则轨迹圆半径 由牛顿第二定律得 解得比荷 （2）由图可知，粒子从点沿偏右射入在磁场中运动时间最长，在第一象限没有磁场区域运动的位移也最大，故总时间最长。 磁场中运动为三分之一周长， 第一象限没有磁场区域运动的位移 时间 粒子在第一象限内运动的最长时间为 （3）由可知，所有粒子从磁场区域离开时，速度方向均垂直于轴，如图所示 设磁场区域上有粒子离开的最低点为，最高点为，根据几何关系可知，点与圆心重合，右侧轨迹经过点，则有 有粒子经过区域为虚线阴影部分，灰色阴影部分面积相等，则有粒子经过磁场区域的面积 【变式训练5-1-6】带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。如图所示，在直角坐标系xOy第二象限的圆形区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其圆心A的坐标为（-d，d），半径为d，y轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。宽度为2d的带电粒子流以相同的速度沿y轴负方向垂直匀强磁场入射进圆形区域，经过圆形磁场后汇聚到y轴上S（0，d）处进入第一象限，在y轴S点下方固定一能吸收粒子的收集板。已知粒子的质量为m、电荷量为q，圆形磁场和第一、四象限匀强磁场的磁感应强度大小均为B，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。求： (1)粒子通过x轴时，与坐标原点的最远距离OP； (2)运动轨迹经x轴的粒子中，从S点计时运动的最短时间； (3)所有粒子在第一、四象限中的运动轨迹经过的区域面积。 ．【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据磁聚焦原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 粒子通过x轴时，若轨迹与x轴的交点与S点的连线恰好等于轨迹圆的直径时，粒子与坐标原点的距离最远，根据几何关系可得 解得 （2）运动轨迹经x轴的粒子中，经过O点的粒子运动时间最短，此时圆心角为60°，所以从S点计时运动的最短时间为 （3）所有粒子在第一、四象限中的运动轨迹经过的区域面积，如图所示 上边界是以（d，d）为圆心，半径为d的半圆，下边界是以（0，d）为圆心，半径为2d的四分之一圆，所以面积为 （二)带电粒子在磁场中运动磁场面积的极值问题 【典型例题1】（多选）如图所示，直角三角形abc区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是（    ） A．粒子运动的速率可能为 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．bc边界上有粒子射出的区域长度最大为 D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为 【答案】BCD 【解析】A．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，根据几何知识可得半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 同理若粒子从c点射出，则速度 则粒子的速度不可能为，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期为 当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为 故B正确； CD．根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在cb上的点到c点的距离最大，即 所以打在bc边界上有粒子射出的区域长度最大为，有粒子经过的磁场区域的面积最大为 故CD正确。 故选BCD。 【典型例题2】如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求: (1)vm的大小; (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间; (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 【答案】(1)　(2)　(3)L2 【解析】　(1)粒子的运动轨迹如图所示。设粒子A在磁场中做圆周运动的半径为rm，由几何关系得rm＝L 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvmB＝m 解得vm＝。 (2)粒子做匀速圆周运动，则有qvB＝m 周期为T＝ 解得T＝ 由运动轨迹可知，粒子A经过磁场后的偏转角为120°，则粒子A在磁场中运动的时间t＝T＝T 解得t＝。 (3)由几何关系可知三角形PO1Q的面积S1＝sin 120°＝L2 120°圆心角对应的扇形面积S2＝πL2 磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积ΔS＝S2－S1＝L2。 【变式训练5-2-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。 (1)(4分)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小； (2)(5分)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q( m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t； (3)(7分)若磁场为一矩形区域，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝2m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。 【答案】　(1)0.01 T　(2)×10－6 s　(3) m或 m 【解析】　(1)根据几何关系可知，轨迹圆半径R＝1 m，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m，解得B＝0.01 T。 (2)作出粒子的运动轨迹，如图所示， 根据几何关系有r2＝x2＋(r－L)2，sin θ＝，根据圆周运动的规律，时间t＝，解得t＝×10－6 s。 (3)由于磁场方向未知，因此要分两种情况讨论，如图甲、乙所示，假设甲图的轨迹圆半径为R1，乙图轨迹圆半径为R2。 甲图中，最小矩形磁场区域面积S＝2R1·R1＋2R1·R1＝(2＋，乙图中，最小矩形磁场区域面积S＝(R2－R2)·R2＝(－1)，分别解得R1＝ m，R2＝ m。 【变式训练5-2-2】如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第一象限内一圆形区域中存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)。一带正电粒子从x轴上的P点以速度v0沿与x轴负方向成45°角的方向射入第二象限内的匀强磁场中，恰好从M点垂直于y轴射入第一象限，在第一象限内经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，已知O、P之间的距离为L，O、N之间的距离为2L，不计粒子重力，求： (1)该粒子的比荷； (2)第一象限内圆形匀强磁场区域的最小面积S。 【答案】　(1)　(2)πL2 【解析】　(1)根据题意，粒子在第二象限中的运动轨迹如图甲所示 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m 由几何关系可得r=L 解得= (2)根据题意，当圆形匀强磁场区域面积最小时，粒子运动轨迹如图乙所示 在圆形匀强磁场区域中，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m 解得r'=L 磁场圆的最小半径为R=r'=L 所以磁场的最小面积为S=πR2=πL2。 C级　培优加强练 （三）带电粒子在磁场中运动速度的极值问题 【典型例题】如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长。一个粒子源在点将质量为、电荷量为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】带电粒子垂直进入磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。要使带电粒子在磁场运动的时间最长，带电粒子需以平行于ab方向的速度射入磁场，并从ac边射出。由牛顿第二定律可得 得带电粒子射入磁场的速度为 即要使速度最大，粒子运动的轨道半径最大，即轨迹既与ab边相切，又与bc边相切，如图所示 由几何关系可得，此时带电粒子做圆周运动的半径为 则速度的最大值为 故选B。 【变式训练5-3-1】（多选）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间 B．打在收集板上的粒子的最大速率 C．整个过程中位移最小的粒子速率 D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间 【答案】AD 【解析】A．如图甲所示，设出射点为，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，根据几何关系有 粒子射到M点时，最小，最大，粒子在磁场中运动的时间最长，由几何关系可知 因为周期 所以 则 故A正确； B．设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，根据几何关系有 粒子射到N点时，打在收集板上的粒子速度最大 根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 故B错误； C．整个过程中粒子位移大小为P到直线MN上的点的距离，点到直线垂线最短，如图乙所示，设位移最短时打在Q点，PQ⊥MN，根据几何关系有 ，，， 位移最小的粒子的速率 又 故位移最小的粒子运动的时间 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练5-3-2】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。 （1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求的大小； （2）若粒子带正电，使粒子能从ad边射出磁场，求的最大值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）带电粒子带负电，其轨迹如图 由图可知 据牛顿第二定律 则 （2）带电粒子带正电，当最大值恰好和ab边相切，轨迹如图 由几何关系得 得 据牛顿第二定律 则 （四）带电粒子在磁场中运动距离的极值问题 【典型例题】（多选）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 【答案】　ACD 【解析】　根据题意可知粒子垂直x轴离开磁场，由左手定则可知粒子带正电，A正确;当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，粒子运动的半径为r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力qvB＝m，解得粒子入射速率v＝。若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误，C正确;粒子离开磁场距离O点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图丙，根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋，解得xm＝3L，D正确。 【变式训练5-4-1】（多选）如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 【答案】　AD 【解析】　要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子刚好不离开磁场，速率最大，满足r＝，由几何关系知r＝lsin 60°＝，则v＝，故A正确，B错误;粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2r＝lsin 60°＝l，故C错误，D正确。 【变式训练5-4-2】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【解析】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确； 故选D。 【变式训练5-4-3】人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O点在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子会被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的其他影响。 (1)求O、K间的距离; (2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求M、O间的距离; (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点，求打开磁场开关的时刻。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　(1)当速率为v0的粒子经过O点时打开磁场开关，根据左手定则可判断粒子将沿逆时针方向做匀速圆周运动，设半径为r，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝ 由于该粒子会被收集，则作出该粒子的运动轨迹如图甲所示，由几何知识有 OK＝2r＝。 (2)当速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集， 作出其运动轨迹如图乙所示 由洛伦兹力提供向心力有4qv0B＝ 设M、O之间的距离为d，由几何知识有 ＝(r1－2r)2＋d2 联立解得d＝。 (3)速度为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍经过K点，则N点在O点右侧，作出t时刻打开磁场开关后粒子的运动轨迹如图丙所示 设打开磁场开关时O、N间的距离为l，则由几何关系可得＝(r1－2r)2＋l2 解得l＝2r 则打开磁场的时刻为t＝。 （五）带电粒子在磁场中运动磁场强度的极值问题 【典型例题】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　由题意可知，电子在匀强磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，由牛顿第二定律得evB＝m，可得B＝，则速度一定时，电子的轨迹半径越大，对应的磁感应强度越小，由于电子被限制在实线圆内运动，当电子的运动轨迹与实线圆相切时，电子的轨迹半径最大，轨迹如图所示，△O1O2M为直角三角形，由几何关系可得＝(3a－rmax)2－a2，解得rmax＝a，则磁感应强度最小为Bmin＝，故C正确。 【变式训练5-5-1】如图所示，一粒子源位于一边长为a的正三角形ABC的中点O处，可以在三角形所在的平面内向各个方向发射出速度大小为v、质量为m、电荷量为q的带电粒子，整个三角形位于垂直于△ABC平面的匀强磁场中，若使沿任意方向射出的带电粒子均不能射出三角形区域，则磁感应强度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，带电粒子不能射出三角形区域的最大轨迹半径是，由得，最小的磁感应强度.选项D正确 【变式训练5-5-2】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。 (1)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小; (2)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q( m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t; (3)若在第一象限加垂直纸面向里的矩形磁场，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝2 m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。 【答案】(1)0.01 T　(2)×10－6 s　(3) m 【解析】　(1)根据几何关系可知，轨迹半径r1＝R＝1 m 根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m 解得B＝0.01 T。 (2)作出粒子的运动轨迹，如图甲所示，根据几何关系有r2＝x2＋(r2－L)2 解得r2＝2 m，sin θ＝，则θ＝ 运动时间t＝ 解得t＝×10－6 s。 (3)如图乙所示，假设乙图的轨迹圆半径为r3，最小矩形磁场区域面积为 S＝·r3＝ 解得r3＝ m。 1.如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（　　）    A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是 B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是 C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是 D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是 【答案】D 【解析】A．要想让电子沿bc方向经过c点，可能的轨迹如图所示    也可以转奇数个圆弧后到c，根据洛伦兹力充当向心力，有 可得 根据以上分析则有 （n＝0，1，2…） 解得 （n＝0，1，2…） 故A错误； B．要想让经过d点，可能的轨迹如图所示    可知，，解得 或者先顺时针转磁场的半个周期，之后逆时针转，从ad方向经过d    这种情况下 解得 故B错误； C．要想让电子经过f点，轨迹可能如图所示    由几何关系可得 解得 只要满足运动时间即可；或者如图所示    圆周周期，每一次转过120°圆心角 解得 故C错误； D．要想让电子垂直bc边过g点，经过偶数次偏转，每一次转过60°圆心角，圆周周期，则有 解得 故D正确。 故选D。 2.如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【答案】B 【解析】C．粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远说明MN是粒子做圆周运动的轨迹直径，故从N点射出的粒子运动方向偏转了180°，故C错误； A．根据几何关系可知 得粒子在磁场中运动的半径为，故A错误； B．由粒子所受洛伦兹力提供粒子做圆周运动所需的向心力，有 解得粒子的比荷为，故B正确； D．由几何关系可知从M点射入的所有粒子在磁场中轨迹所能达到的区域面积应大于轨迹圆的半圆面积，则必大于，故D错误。 故选B。 3.如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、为半圆直径的两个端点，点为半圆的圆心，为圆的半径。现有带电粒子、分别以不同的速度从点和点沿半径方向同时进入磁场，并同时从点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知，则粒子、（　　） A．做圆周运动的半径之比为 B．运动的速率之比为 C．比荷之比为 D．运动的角速度之比为 【答案】C 【解析】A．令点为原点，直线为轴，设半径为，又，则点坐标，点坐标，点坐标 粒子、均沿径向射入，因此也将沿径向射出，则过做圆的切线，与过的垂线交点即为圆心，与过的垂线交点即为圆心，设半径、，轨迹圆心角、，则、 根据几何关系有，，， 解得， 因此，故A错误； BCD．由可得 又可得 又，粒子、同时到达点，则 不计粒子的重力，联立可得，，，故BD错误，C正确。 故选C。 4.如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ） A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场 B. 磁场方向垂直AOC平面向里 C. CD间的距离为 D. 粒子从C点到D点时间为 【答案】BD 【解析】A．若粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场，到达D点时的速度一定与AC边垂直，A错误； B．根据左手定则，磁场方向垂直AOC平面向里，B正确； C．根据题意，该粒子在磁场中的偏转角度为 设轨道半径为R，根据牛顿第二定律得 CD间的距离为 解得 C错误； D．粒子从C点到D点的时间为 解得 D正确。 故选BD。 5.如图所示，在竖直平面内有两个同心圆，圆心在O点，小圆内部区域Ⅰ和两圆之间的环形区域Ⅱ均存在匀强磁场（图中未画出），Ⅰ、Ⅱ区域磁场磁感应强度大小分别为、2B，已知Ⅰ区域磁场方向垂直竖直平面向外，带正电的粒子a从O点竖直向上射出，粒子a质量为m、电荷量为q、速度大小为v，粒子a射出小圆区域时，速度方向斜向上且与水平方向的夹角为30°，不计粒子重力和粒子间相互作用。P点为过O点的水平直径与小圆的右侧交点。下列说法正确的是（　　） A．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 B．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 C．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，粒子a从O点射出能回到O点且速度方向竖直向下，此过程中的轨迹长度最短为 D．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，且粒子a始终不会飞出大圆，则粒子a从O点射出到第二次经过P点所用时间为 【答案】ACD 【解析】AB .设粒子在Ⅰ区域中运动的轨迹半径为，有 解得 画出粒子在Ⅰ区域的运动轨迹如图甲所示 根据几何关系知粒子在Ⅰ区域中运动轨迹所对应的弦与水平方向的夹角为，则 即可得 设在Ⅱ区域做匀速圆周运动的半径为，有 有 若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，设大圆半径为，画出粒子运动轨迹如图乙所示 由几何关系得 此时大圆半径最小值为 若Ⅰ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，设大圆半径为，画出粒子运动轨迹如图丙所示 由几何关系得 此时大圆半径最小值为 故A正确，B错误； CD．粒子在Ⅰ区域做圆周运动的周期为，在Ⅱ区域做圆周运动的周期为，如图丁所示 粒子从点竖直向上出发回到点且速度方向竖直向下所经过的最短时间为 解得 则运动的弧长为 粒子a从O点射出到第二次经过P点所用时间为 解得 故CD正确； 故选ACD。 6.平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 【答案】(1)（，0） (2) (3)，， 【解析】（1）粒子以最小速度进入第四象限的最远点在x轴上的截距为直径，由于，A点的横坐标为，则C点的横坐标为 故A点的坐标为（，0） （2）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过A点，如图所示，需满足 由此可知，通过A点的粒子的竖直分速度为 由于通过A点的粒子的速度满足 与y轴正方向的夹角满足 故到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围是 （3）设粒子进入第一象限时与y轴正方向的夹角为、速度大小为时通过C点，同理可得 可得 因此通过点的粒子的速度满足 与轴正方向的夹角满足，故 两粒子相遇，必有（其中、取，，） 即 由于是第一次相遇，则取最小的自然数，取， 因此粒子第一次在轴上相遇的位置： 由于粒子在两磁场中的运动具有周期性，且粒子做圆周运动的周期均为，因此从、两点出发运动时间最短的粒子最快到达相遇点。 由分析知，粒子相遇时的时间 其中， 代入，可得到，到达第一次相遇位置的粒子，满足 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 由此可知，当时相遇的时间最短，即，的粒子最先相遇； 因此，粒子第一次在轴上相遇的时刻为 即相遇时刻 7.如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）质子能打到y轴上时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示 由周期公式 又由几何关系可知 则粒子在磁场中运动的最长时间 （2）当质子轨迹与PQ相切时，如图1所示，设此时初速度为，轨迹半径为R，由几何关系可得 又 解得 当粒子运动轨迹与磁场边界相切时，如图2所示， 设此时初速度为，轨迹半径为，由几何关系可得 又 解得 综上可得 8.如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）粒子运动轨迹半径设为，如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子从轴上之间射出，设点纵坐标为为轨迹圆的直径，如图所示，由几何关系得 解得 可知轴上有带电粒子穿过的区域范围为 （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，粒子在此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 如图所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为 解得 9.如图，在真空室内的P点，能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为，质量为m的粒子（不计重力），粒子的速率都相同。ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PC=L，Q为直线ab上一点，它与P点相距。当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的粒子可到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面，方向竖直向下的匀强电场时，水平向左射出的粒子也可到达Q点。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）粒子的发射速率； （2）匀强电场的场强大小； （3）仅有磁场时，能到达直线ab的粒子所用最短时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设粒子做匀速圆周运动的半径为R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图所示 由几何知识可得 代入数据可得粒子轨迹半径 洛仑磁力提供向心力 解得粒子发射速度为 （2）水平向左射出的粒子做类平抛运动，由运动学关系可知 与ab平方向 与ab垂直方向 其中 解得 （3）圆弧经C点，粒子转过的圆心角最小，运动时间最短，则 故 则最小圆心角 粒子在磁场中运动的周期 则最短时间 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 带电粒子在磁场中的临界值极值问题及磁聚焦磁发散 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 9 题型01：放缩圆法 9 题型02：平移圆法 21 题型03：旋转圆 28 题型04：磁发散和磁聚焦 41 题型05：带电粒子在磁场中运动的极值问题 53 （一） 带电粒子在磁场中运动时间的极值问题 53 （二)带电粒子在磁场中运动磁场面积的极值问题 56 （三）带电粒子在磁场中运动速度的极值问题 58 （四）带电粒子在磁场中运动距离的极值问题 59 （五）带电粒子在磁场中运动磁场强度的极值问题 61 巩固提升 62 1. 考查地位：高考物理磁场大题核心难点，常作为压轴小问；多选也会单独考磁聚焦模型，区分度极高。临界极值是必考思路，磁聚焦、磁发散属于经典二级结论模型。 2. 命题方向： ①临界极值：粒子轨迹圆与磁场边界相切为临界，求最大/最小速度、最大偏转角、最长/最短运动时间、磁场最小面积。会用“平移圆”法、“旋转圆”法、“放缩圆”法分析临界问题。 ②磁聚焦：平行入射→会聚一点；磁发散：一点发射→平行出射（圆形磁场专属模型）。 3. 命题特点：侧重几何作图，不只是套公式；容易混淆“什么时候用聚焦结论、什么时候不能直接套用”，很多学生忽略模型前提直接硬套结论丢分。 4. 分 值：临界极值一般4–6分；磁聚焦单独设问3–5分。 1. 识别临界标志词：最大、最小、刚好飞出、刚好打不到、范围；能抓住相切是核心临界。 2. 掌握两类极值：速度极值（半径变化）、时间极值（圆心角大小）。 3. 熟记磁聚焦、磁发散的模型条件、结论，清楚适用前提。 4. 会画图：平移圆法、旋转圆法、放缩圆法，快速找到临界轨迹。 5. 能区分普通有界磁场临界和圆形磁场聚焦模型，不混用结论。 知识点一：带电粒子在磁场中的临界值极值问题 1.临界问题的分析重点是临界状态 临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。 2.极值问题 所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。　　　　　　　　　　 3.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 知识点二：判断临界问题的三种常用模型： （一） 放缩圆模型 1. 适用条件： 带电粒子入射方向固定、速度不同 粒子源发射方向一定、速度大小不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。 2. 轨迹特点：轨迹圆圆心在同一条直线上 如图所示，假设粒子带正电，速度越大，轨迹圆的半径也越大，又出发位置相同，这些带电粒子射入磁场后，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 上，相当于将轨迹圆的半径以入射点 为定点，所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹圆就叫放缩圆。 3. 放缩圆轨迹变化特征： 轨迹半径随速度放大缩小，用来找刚好穿出/不穿出磁场边界的临界速度。 4. 寻找临界条件 以入射点 为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹， 从而找到临界圆。 5.核心操作步骤 ①找圆心轨迹 过入射点作初速度的垂线，‌这条垂线就是所有放缩圆的圆心所在直线‌，不用每个圆单独找圆心。 ②放缩找临界 从最小半径（速度接近0）开始，逐步放大半径画圆，‌临界情况一定是轨迹刚好和磁场边界相切‌，记住：相切就是极值点，直接找相切的圆即可。 ③几何算半径 根据相切的几何关系，用勾股定理/三角函数算出临界半径，再代入公式，就能直接得到临界速度或磁感应强度。 （二）平移圆模型 1. 适用条件： 速度大小一定，方向一定，入射点不同，且为直线边界。 粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等，方向相同。但入射点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。 2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上。 如图所示， 假设粒子带负电， 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上， 该直线与入射点的连线重合。 3. 平移圆模型特征：轨迹圆整体平移，用来分析粒子出射位置的分布规律。 4.寻找临界条件 将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移， 从而找到粒子运动的临界圆。 5.核心操作步骤（三步法） ①算固定半径，确定圆心轨迹 先根据速度大小算出固定轨迹半径r，由于速度平行，所有圆心都在‌垂直于速度方向、过入射点的同一条直线‌上，也就是圆心共线，直接确定圆心所在直线即可。 ②平移圆找临界 沿着圆心所在直线平移这个固定半径的圆，‌临界情况是轨迹刚好与磁场边界相交/相切‌，找到刚好接触边界的两个临界位置： 刚好不能穿出磁场：轨迹与右边界相切，是入射速度最小的临界； 刚好从边界端点穿出：轨迹经过端点，是偏转角最大的临界。 ③ 几何关系计算参数 根据临界位置的相切/过端点条件，用勾股定理、三角函数算出对应半径，再推导速度、磁感应强度或偏转范围。 （三） 旋转圆模型 1. 适用条件： 粒子出发地点相同，速度大小一定， 但方向不同。 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。 2. 轨迹特点： 轨迹圆的圆心在同一个圆上 如图所示， 假设粒子带正电， 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 为圆心、半径 的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”， 相当于将最外侧的轨迹圆以入射点 为定点进行顺时针旋转， 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型就是旋转圆模型。 3. 旋转圆模型特征：轨迹圆绕入射点旋转，用来找粒子打在磁场边界的最大范围； 4. 寻找临界圆 以入射点 为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的粒子的轨迹，结合边界条件， 从而找到临界圆。 5.核心操作步骤（三步法） ①定基础圆 先根据速度大小算出固定轨迹半径 ( )，确定旋转的基础圆大小。 ②旋转找临界 以入射点为定点，旋转这个半径固定的圆，临界情况是轨迹刚好与磁场边界相切/刚好过边界端点，旋转过程中找到第一个接触到边界和最后一个接触到边界的圆，就是两个临界位置。 ③几何算参数 根据临界位置的几何关系，计算偏转角、圆心角，进一步推导速度范围、打在接收屏上的区域长度等问题 知识点三：磁发散和磁聚焦 磁发散和磁聚焦是圆形匀强磁场的特殊结论：适用于分析当带电粒子轨迹圆半径等于圆形磁场半径时 带电粒子的运动轨迹变化 1.磁发散定义：从磁场边界同一点入射的粒子，偏转后会变成平行出射； 磁感应强度为B的有界圆形磁场区域的圆心为O，从圆形磁场区域的边界P 点有若干电荷量为+q、质量为m的带电粒子（不计重力），它们均以相等大小的速度v朝各个方向进入磁场区域，若圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些粒子射出磁场时速度的方向平行，如图1所示。 2.磁聚焦定义：平行入射的粒子，偏转后会全部汇聚到磁场边界的同一点； 若干速度大小相同的同种带正电的粒子，如果平行进入圆形磁场区域，并且圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，如图2所示。 3.磁发散磁聚焦的条件：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。 4.磁发散磁聚焦的原理（以磁发散为例）： 如下图，前提：磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径。A是边界圆上粒子的入射点，cd是A点的切线，B是粒子的出射点，O1是磁场边界圆的圆心，O2是粒子轨迹圆的圆心，连接AO1BO2，由于磁场边界圆的半径等于粒子轨迹圆的半径，则AO1BO2一定是菱形，因而AO1平行于BO2，因为出射粒子的速度方向垂直于BO2，也就垂直于AO1，从而平行于AO1的切线cd。 5.磁聚焦和磁发散是相反的过程,满足运动的可逆性。 6.带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论： (1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1所示。 (2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的延长线的夹角，如图2所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。 (3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图3所示。 (4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4所示。 知识点四：几种常见的求极值情况 1.时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 2.磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 一：临界极值三类模型 1. 放缩圆（速度v变化，半径r变，入射点、入射方向固定） 圆心在速度垂线上，圆放大缩小；相切位置就是临界半径。 ①相切于边界→对应临界速度； ②圆心角越大，运动时间越长。 2. 旋转圆（v大小不变，r不变，入射点固定，速度方向转动） 圆心在以入射点为圆心、r为半径的圆周上旋转； 最远出射点、最大弦长由此找；弦越长，圆心角越大，时间越长。 3. 平移圆（速度大小方向都不变，入射点平移） 轨迹圆整体平移，多用于条形、矩形磁场边界。 时间极值结论：t＝T，T不变，圆心角θ决定时间；弦长越长，圆心角越大。 二：磁聚焦 &磁发散（圆形磁场） 模型条件：磁场圆半径R = 粒子轨迹圆半径r 1. 磁聚焦 平行等速粒子射入圆形磁场 → 全部会聚到磁场圆上的同一点（焦点）。 2. 磁发散 从圆形磁场边界上一点向磁场内各个方向发射等速粒子 → 离开磁场时速度互相平行。 易错：只有 r=R 才成立！半径不等，不能用聚焦结论。 三:高频易错点 1. 看到圆形磁场直接套磁聚焦，忽略 r=R 这个前提。 2. 旋转圆中，误以为速度反向就是最远点，没有画轨迹找相切临界。 3. 求最短时间错用弦长，忘记：最小圆心角对应最短时间。 4. 分不清：磁聚焦是平行进汇聚出；磁发散是一点进平行出。 5. 临界值写不等号写反（大于、小于搞反）。 四：速记口诀 放缩变径找相切，旋转定角看弦长； 平行入射会一点，同径圆场才聚焦。 题型01：放缩圆法 【典型例题】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率对准圆心O沿着方向射入磁场，其运动轨迹如图，若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（　　） A．a粒子受洛伦兹力最大 B．c粒子运动速率最小 C．c粒子在磁场中运动时间最短 D．它们做圆周运动的周期 【典型例题2】如图，半径R＝2 m的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点。已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为(　　) A.(3π－2) m2 B.(2π－2) m2 C.3π m2 D.2π m2 【典型例题3】如图所示，正三角形ABC内有垂直纸面向外的匀强磁场，O点为AB中点，M点为OB中点，N点为BC中点，P点为NC中点。一束质子以不同的速率从O点垂直于磁场沿图中方向射入磁场后，分别从M、N、P点射出磁场，质子重力不计。则它们在磁场中的运动时间、、的关系为（     ） A． B． C． D． 故选D。 【典型例题4】　一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc=135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重力。以下说法正确的是(　　) A.从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B.若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长 C.粒子在磁场中最长运动时间不大于 D.粒子在磁场中最长运动时间不大于 【典型例题5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（　　） A． B． C． D． 【典型例题6】（多选）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是（　　） A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合 D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同 【典型例题7】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是（　　） A.所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0＜t＜t0，则它一定从ab边射出磁场 【典型例题8】（多选）在矩形abcO区域内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为4l，ab边长为3l。带正电的粒子从O点沿Ob方向以不同速率射入，已知粒子的质量为m、电荷量为q，粒子所受重力及粒子间的相互作用均忽略不计。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．垂直边界ab射出时，粒子的速度大小为 D．垂直边界ab射出时，粒子的速度大小为 【变式训练1-1】如图所示，ab边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab边界上c点距圆形边界圆心O的距离为2R；一束质量为m、电荷量为q的负电粒子，在纸面内从c点沿垂直边界ab方向以不同速率射入磁场。不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v的粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（　　） A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为 B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为 C．速率为v的粒子在Ⅰ区域的运动时间为 D．速率为v的粒子在Ⅱ区域的运动时间为 【变式训练1-2】如图所示，竖直平面内一半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一束质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子沿平行于直径MN的方向以不同速率v0从P点进入匀强磁场，入射点P到直径MN的距离，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为 B．若粒子恰好能从N点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 C．若粒子恰好能从K点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为 D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为 【变式训练1-3】如图所示，直角三角形区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知边长为L，，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A点沿方向射入磁场，则（　　） A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短 B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C点射出的 C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长 D．粒子在磁场中运动的最长路程为 【变式训练1-4】如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间不可能小于 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若 粒子在磁场中的运动时间为 【变式训练1-5】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde为矩形。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及重力，在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-7】如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为1：2 B．速度之比为2：1 C．时间之比为2：3 D．周期之比为2：1 【变式训练1-8】一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q四点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间最长时的速率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-9】如图2所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量均为m、电荷量均为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子重力和粒子间的相互作用。则下列分析中正确的是(　　) 图2 A.粒子带负电 B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率 C.从M点射出粒子在磁场中所用时间一定小于从N点射出粒子所用时间 D.所有粒子中射出磁场时所用的最短时间为 【变式训练1-10】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A. B. C. D. 【变式训练1-11】如图所示，等腰梯形ABCD区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB＝0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O为DC边上一点，AO⊥DC，O点处有一粒子源，能沿垂直AD边的方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣9C，粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．从A点飞出的粒子速度大小为32cm/s B．AB边与CD边可飞出粒子的区域长度之比为1：2 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．BC边会有部分区域有粒子飞出 【变式训练1-12】（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-13】（多选）如图所示，矩形边界ABCD内存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，AB、CD边足够长，AD边长为L。现有质量为m、电荷量为q的不同速率的带正电粒子，从AD的中点E射入磁场且速度方向与AD成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.粒子在磁场中运动的最长时间为 B.从AB边射出粒子的最小速度为 C.从CD边射出粒子的最小速度为 D.AB边上有粒子射出的区域长度为L 【变式训练1-14】（多选）如图所示，矩形ABCD为某匀强磁场的边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。AB、AD边长分别为和a，D点处有一粒子源，沿DC方向发射带正电粒子。观测发现：粒子只从AB边向外射出磁场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，忽略电荷间相互作用和粒子受到的重力，则发射粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-15】（多选）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 【变式训练1-16】（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【变式训练1-17】（多选）如图所示，在直角坐标系的第一象限内有一段以坐标原点为圆心、半径为的四分之一圆弧，为圆弧上的一点，且，圆弧内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。现有一批质量均为、电荷量为的带电粒子，从原点沿轴正方向以不同速率射入磁场，不计粒子重力与粒子间相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子从圆弧射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 B．粒子从射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短 C．从点射出的粒子，进入磁场时的速度大小为 D．从点射出的粒子和从点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1 【变式训练1-18】（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-19】（多选）一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc足够长，，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（　　） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从a点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长 C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于 【变式训练1-20】（多选）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图9，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) 图9 A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r 【变式训练1-21】（多选）如图所示，足够大的ABCDE虚线区域内存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，DE是半径为R的四分之一圆弧，圆心为O，其中A、E、O在同一条直线上，位于F点的粒子源垂直AE射出各种速度大小不等的带电粒子，粒子在磁场的作用下向右偏转。已知粒子质量均为m、电荷量均为q，F点到E点的距离为，则从圆弧DE射出的粒子，运动的可能时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-22】如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。 【变式训练1-23】平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 题型02：平移圆法 【典型例题1】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB边长度为d，，现垂直AB边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是 B．粒子在磁场中运动的速度一定是 C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是 D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC边射出磁场 【典型例题2】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量均匀分布在ab边的同种带电粒子（质量为m，电荷量为+q）以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果有一半的粒子从bc边射出。已知bc边长为L，bc与ac的夹角为60°，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 D．若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射出bc，则粒子的入射速度至少为 【典型例题3】如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源 从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，O为地球球心、R为地球半径，地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m，电荷量均为q。不计粒子的重力及相互作用力。则（　　） A．粒子无论速率多大均无法到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域 【典型例题5】（多选）如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A.粒子在磁场中运动的半径为 B.粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C.粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 【变式训练2-1】一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　) 【变式训练2-2】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d；，现垂直于AB边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为，下列判断正确的是（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时的速度大小为 【变式训练2-3】如图所示，在等腰三角形ABC内充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为l，∠A＝∠C＝30°。一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子垂直BC边射入磁场，已知从AB边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而在AB边射出的粒子，在磁场中运动最长的时间为（不计粒子重力和粒子间相互作用）。下列判断正确的是（　　） A．粒子可以从CB边射出 B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 C．粒子从AB和AC边出射的范围其长度之比为2：3 D．粒子进入磁场速度大小为 【变式训练2-4】如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为（　　） A．40% B．47.3% C．52.7% D．60% 【变式训练2-5】如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC区域范围内（包含边界）存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为＋q的粒子可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为，D、E是AO边界上的两点（图中未画出），AD＝EO＝0.5d，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场做圆周运动的半径为2d B．粒子距A点处射入，恰好不从AC边界出射 C．从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 D．从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为 【变式训练2-6】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（　　）    A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ 【变式训练2-7】如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-8】（多选）如图所示，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为，为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【变式训练2-9】（多选）如图所示的直角三角形区域ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场(含边界)，∠B=90°、∠C=30°，AB=L，在BC边的某部分区域内有一线状粒子发射源，发射源能在纸面内垂直BC边向磁场区域发射一系列比荷均为k、速率相等的粒子，最终粒子均从AB边离开磁场。粒子在磁场中运动的最短时间为t0，且该粒子刚好垂直AB边离开磁场；粒子在磁场中运动的最长时间为t0，且轨迹与AC边相切。忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.粒子带负电 B.磁感应强度大小为 C.粒子射入磁场的速率为 D.发射源的长度为 【变式训练2-10】（多选）如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为+q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【变式训练2-11】（多选）如图8所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5× 103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　) 图8 A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m B.C点有粒子射出 C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(－1)m处入射 【变式训练2-12】（多选）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【变式训练2-13】如图所示的环形区域中存在垂直于纸面向外的匀强磁场，已知外圆半径是内圆半径的倍，内圆半径为R。MN为磁场外圆边界的直径，一群均匀分布、质量为m、带电荷量为＋q的粒子垂直MN以速度v平行射入磁场区域，粒子入射范围的宽度等于MN的长度。已知正对圆心O入射的粒子恰好没有射入内圆，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求： （1）磁场的磁感应强度大小； （2）若某粒子可以垂直射入内圆，则该粒子从进入磁场到内圆所需的时间； （3）从M点射入的粒子第一次在环形磁场中速度偏转角的余弦值。 题型03：旋转圆 【典型例题1】如图所示，直角三角形abc中∠a＝30°，ac＝L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为（k为粒子的比荷）的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是（ ） A．ab边上有粒子到达区域的长度为 B．ac边上有粒子到达区域的长度为 C．从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 【典型例题2】如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 【典型例题3】（多选)如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为和，坐标为的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在磁场中顺时针运动 B.若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C.若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D.若v＝，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过 【典型例题4】（多选)如图为一种新型粒子装置， 粒子源放置在水平面上长为、宽为的矩形的中心， 矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为的带正电粒子，速度大小限制在到之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 B．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 C．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 D．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 【典型例题5】（多选)如图所示，有一粒子源位于棱长为L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为v0，质量为m，电荷量为+q的带电粒子。整个空间（包含正方体内、外空间）内存在竖直向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度忽略粒子重力及粒子间相互作用。则（　　） A．粒子做圆周运动半径r=2L B．粒子运动到正方体侧面的最短时间为 C．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 D．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 【典型例题6】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。 （1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径； （2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。 【变式训练3-1】如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（    ） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中运动的最短时间为 C．边有粒子射出的区域长度为 D．从边射出的粒子速度最大偏转角为 【变式训练3-2】如图所示，三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，∠C=30∘，∠D=45∘，AO垂直于CD，OA长度为L。O点有一电子源，在ACD平面内向磁场内各个方向均匀发射速率均为v0的电子，速度方向用与OC的夹角表示，电子质量为m，电荷量为−e，且满足v0＝。下列说法中正确的是（　　） A．从AC边射出的电子占总电子数的 B．从AD边射出的电子中，速度方向与OC的夹角的取值范围为45°<<135° C．从CD边（含OC、OD段）射出的电子中，最长运动时间为 D．所有从AC边射出的电子中，当=30∘时，所用的运动时间最短 【变式训练3-3】如图所示，半径为的圆形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子以相同的速率在纸面内从点沿不同的方向射入磁场，粒子的出射点到点的最大距离为。已知磁感应强度大小为，带电粒子的质量为、电荷量为，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则粒子运动的速率大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-4】如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　) A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【变式训练3-5】如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为足够长的离子接收板，到MN垂直距离为h的O点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量为m、带电量为的粒子，粒子速率均为，则（     ） A．接收板接收到离子的区域长度为2h B．能被接收的离子占总离子的 C．粒子的半径都为2h D．被接收的粒子运动最长时间 【变式训练3-6】（多选）如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为 B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为 【变式训练3-7】（多选）如图所示，在坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在点有一粒子源，点坐标为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带正电的粒子，粒子质量为，电荷量为，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，点坐标为，则下列说法正确的是（　　） A．从轴射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从之间射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达轴的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．打在轴的长度为 【变式训练3-8】（多选）如图所示，xOy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为B。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为v，质量为m、电荷量为q的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度B应满足 B．若磁感应强度大小为，粒子在磁场中运动的最长时间为 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【变式训练3-9】（多选）如图所示，PQ为磁感应强度为B＝1×10－2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，磁场中的O点有一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为v＝1×104 m/s、比荷为＝1×107 C/kg的带正电的粒子。已知O点与PQ的距离为10 cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的三分之一 B.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的四分之一 C.PQ上有粒子飞出的区域长度为20 cm D.飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的4.5倍 【变式训练3-10】（多选）如图1甲所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106 m/s、质量为m＝1×10－15 kg、带电荷量为q＝1×10－9 C的同种带电正粒子。在x轴上距离原点1 m处垂直于x轴放置一个长度为1 m、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板P上立即被接收)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为(　　) 图1 A.1.1×10－6 s B.1.4×10－6 s C.2.5×10－6 s D.4.6×10－6 s 【变式训练3-11】（多选）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N两点的坐标分别为(－，0)和(，0)，坐标为(0，)的P点存在一粒子源，可以在xOy平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在磁场中顺时针运动 B.若v＝，则打在挡板上的粒子数占总数的 C.若v＝，则挡板上有粒子打到的线段长度为 D.若v＝，将挡板撤去，则MN之间各处均有粒子通过 【变式训练3-12】（多选）如图所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 B.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 C.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 D.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 【变式训练3-13】（多选）如图所示，在矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。已知边长为，边长为。、分别为、边的中点。在点有一粒子源，可以在纸面内向磁场区域任意方向发射同种带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，初速度大小均相同。沿与方向成角的方向发射的粒子恰好从点射出磁场。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角可能大于 【变式训练3-14】（多选）如图1所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场。则粒子(　　) 图1 A.带负电 B.运动速率v＝ C.在磁场中运动的最长时间tm＝ D.在磁场中运动的最长时间tm＝ 【变式训练3-15】（多选）如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 【变式训练3-16】（多选）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（     ） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 【变式训练3-17】（多选）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x，y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（　　） A．粒子做圆周运动的半径为2L B．粒子做圆周运动的半径为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【变式训练3-18】（多选）如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD为圆的直径，O为圆心。某时刻从最低点S向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q的粒子。已知磁感应强度大小为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R B．在直径CD上有粒子射出的区域长度为R C．从S射入磁场的粒子中可以从直径CD上射出的粒子占比为 D．从直径CD上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为 【变式训练3-19】（多选）如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 【变式训练3-20】（多选）某个粒子分析装置的简化示意图如图7所示，在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)中，有一圆心为O、半径为R的圆形无磁场区域，在圆形边界的P点处有一α粒子发射源，可在图示∠GPH＝90°范围内沿纸面随机向磁场区域发射速度大小相同的α粒子，在圆经过P点的直径上，固定一长度为2R的荧光挡板， α粒子击中荧光挡板后被吸收并发出荧光。已知PG与直径QP延长线的夹角为30°，α粒子的质量为m，电荷量为q。不计α粒子的重力和粒子间的相互作用，当α粒子的速度为v＝时，下列说法正确的是(　　) 图7 A.所有进入圆形区域的α粒子均垂直击中荧光挡板 B.荧光挡板上α粒子打到的区域长度为R，且击中荧光挡板的α粒子的位置均匀分布 C.α粒子在磁场中运动的最长时间为 D.α粒子在无磁场区域运动的最长时间为 【变式训练3-21】（多选）如图，xOy平面内有大量质子从原点O在180°的范围内连续以相同速率v0向y轴右侧发射，右侧足够远处放置与x轴垂直且足够大的荧光屏，O在荧光屏上的投影点为O′。现在第Ⅰ象限和第Ⅳ象限一定范围内分别施加一个垂直于xOy平面的区域匀强磁场（磁场大小相同、方向不同），使得所有质子都垂直打在荧光屏上CC′范围内，已知O′C＝O′C′＝R。忽略质子间的相互作用，已知质子质量为m、电荷量为e，求： （1）磁场在第Ⅰ象限的方向和大小； （2）在Ⅰ、Ⅳ象限所加磁场的最小总面积。 【变式训练3-22】（多选）如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收，若粒子速率v＝，则挡板上被粒子打中区域的长度是　　　　　　(不计粒子的重力和粒子间的相互作用)。 题型04：磁发散和磁聚焦 【典型例题1】如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（ ） A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心 B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短 C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场 D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直 【典型例题2】如图所示，长方形abcd中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（　　） A．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子其出射点全部分布在ab边 D．从ad边射入的粒子其出射点均为b点 【典型例题3】（多选）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直平面向里。以圆形边界磁场最低点为原点建立直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿轴负方向再次通过坐标原点，不计粒子重力。则（　　） A．粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动半径为 B．粒子在匀强磁场Ⅰ中的速度偏转角为150° C．粒子从点到第二次经过点的运动时间为 D．矩形磁场区域的最小面积为 【典型例题4】（多选）如图所示，坐标原点O处有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力及粒子间相互作用)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场右侧有一点A(2R，R)，已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x轴的正方向，则(　　) A.初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点 B.初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点 C.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 D.经过A点的粒子在磁场中运动时间为 【典型例题5】（多选）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过O点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到O点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(　　) A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里 B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里 C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2) D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为 【典型例题6】（多选）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形abcd边长为L，一束相同的正离子以相同的速度v垂直ab边射入，如果在abcd的某区域内存在着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从c点射出，不计离子的重力和离子间的相互作用，则(　　) A.磁场方向垂直纸面向里 B.离子的比荷为 C.磁场区域的最小面积为 D.离子在磁场中运动的最长时间为 【典型例题7】（多选）如图所示，上部半圆下部矩形组成的平面区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，由点A向圆心O方向连续发射相同速率的同种带电粒子，最终粒子从B点离开磁场区域，不计粒子所受重力，粒子间的相互作用及空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．该种粒子一定带负电，且在B点沿OB方向离开磁场 B．若在A点增大粒子入射速率，方向不变，则粒子在磁场中的运动时间增加 C．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，则BC间无粒子射出 D．若在A点调整粒子入射方向，速率不变，从AB弧射出的粒子的出射方向均与OB平行 【典型例题8】带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为+q）以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r2）。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 【变式训练4-1】带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一、磁聚焦原理如图，真空中一半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的带电粒子流射入该磁场后汇聚于坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。则磁感应强度的大小应为（　　） A．   B． C． D． 【变式训练4-2】如图所示，半径为 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，、是两条相互垂直的直径。在磁场内点有一放射源，能在纸面内向磁场中各个方向以相同的速率射出相同的带电粒子，所有粒子均从之间射出磁场 点有粒子射出。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的半径为 C．粒子的比荷为 D．若仅将粒子的速率变为，则所有粒子射出磁场时的方向都相同 【变式训练4-3】磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R B．粒子从P点射入磁场的速度大小为 C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为 D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为 【变式训练4-4】如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为B、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为e、质量为m．电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点．下列说法错误的是（    ）． A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 【变式训练4-5】（多选）如图所示，半径为R的图形区域内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场（圆形区域上半圆半径略小于下半圆半径）。一群质量为m、电荷量为+q的带电粒子从A点沿平行于纸面的任意方向射入磁场，粒子射入磁场的速度大小为，不计粒子重力及粒子间相互作用，则（   ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．粒子离开磁场时，速度方向一定相同 D．粒子离开磁场时，动量变化量一定相同 【变式训练4-6】（多选）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则(　　) A.粒子速度大小为 B.所有粒子均能垂直射在光屏上 C.能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为 D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135° 【变式训练4-7】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R的粒子源，M、N为粒子源两端点，M、N连线垂直于x轴，粒子源中点P位于x轴上，粒子源持续沿x轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)、速率为v的粒子。已知从粒子源中点P发出的粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y轴负半轴的交点Q处沿y轴负方向射出磁场，不计粒子重力及粒子间相互作用力，则(　　) A.带电粒子在磁场中运动的半径为R B.匀强磁场的磁感应强度大小为 C.在磁场中运动的带电粒子通过的路程最长为 D.带电粒子在磁场中运动的最短时间为 【变式训练4-8】（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【变式训练4-9】（多选）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【变式训练4-10】（多选）如图所示，在半径为2R的半圆形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场；方向垂直纸面向内，圆弧PQ上覆盖有一层厚度不计的收集板（未画出）。另有一半径为R的圆形磁场区域与直径PQ相切于圆心O点，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向内。一束宽度为2R，均匀分布的电子束，以速度v沿着与直径PQ平行的方向，射向圆形磁场区域。电子的电荷量为e，质量为m，最终所有电子均从圆心O进入半圆形磁场区域。不计电子间的相互作用以及重力影响，则下列说法中正确的是（　　） A．圆形区域内磁场的磁感应强度大小为2B B．收集板上有电子接收的范围占整个收集板的 C．收集板接收到的电子数占所有电子的80% D．沿QP方向向左移动圆形磁场区域，可以增大收集板上有电子接收的范围 【变式训练4-11】（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，过（－2R，0）点垂直x轴放置一线型粒子发射装置，能在0<y<R的区间内各处沿x轴正方向同时发射出速度均为v、带正电的同种粒子，粒子质量为m，电荷量为q。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转恰好击中y轴上的同一点，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子击中点距O点的距离为R B．磁场的磁感应强度为 C．粒子离开磁场时速度方向相同 D．粒子从离开发射装置到击中y轴所用时间t的范围为＜t< 【变式训练4-12】（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是(　　) A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短 B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长 C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上 D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于 【变式训练4-13】如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。两个半径为r的圆形区域内有与x0y平面垂直的匀强磁场（包括圆形区域边界），宽度为2r的带电粒子流（粒子的质量为m、电荷量为+q）沿x轴正方向以速度v0射入圆心为A（O，r）、半径为r的圆形匀强磁场B1中，带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，经过圆心为C（O，-r）、半径为r的圆形匀强磁场B2后，沿x轴正方向射出，不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用。求： （1）这两个圆形匀强磁场的磁感应强度B1、B2的大小和方向； （2）带电粒子在这两个圆形匀强磁场中运动的最长时间； （3）增大带电粒子射入的速度，使正对圆心A（0，r）射入的粒子恰好不经过下方的磁场，求粒子射入的速度大小。 【变式训练4-14】如图4所示的直角坐标系，在横轴下方有一半径为R的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点。在－R＜y＜0的范围内沿y方向均匀分布着大量质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，它们以平行于x轴的相同初速度射入圆形磁场区域，均恰能由O点射入第一象限的矩形磁场区域OPQN内，矩形磁场区域的长度为其宽度的2倍。已知在矩形磁场区域内运动时间最长的粒子转过的圆心角为，两磁场区域的磁感应强度大小均为B，不计粒子重力。求： 图4 (1)粒子的初速度v0； (2)矩形磁场区域的宽度a； (3)从PQ边射出的粒子数与射入磁场的总粒子数的比。 【变式训练4-15】“太空粒子探测器”由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化为如图所示。辐射状的加速电场区域I边界为两个同心平行的网状金属扇形弧面，O1为圆心，圆心角θ为120°，外圆弧面AB与内圆弧面CD间的电势差为U0，M为外圆弧的中点。在紧靠O1右侧有一圆形匀强磁场区域Ⅱ，圆心为O2，半径为L，磁场方向垂直于纸面向外且大小为B＝。在磁场区域下方相距L处有一足够长的收集板PNQ。已知MO1O2和FNQ为两条平行线，且与O2N连线垂直。假设太空中漂浮着质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB弧面并经电场从静止开始加速，然后从O1进入磁场，并最终到达PNQ板被收集，忽略一切万有引力和粒子之间作用力。求： （1）粒子经电场加速后，进入磁场时的速度v的大小； （2）粒子在磁场中运动的半径R； （3）粒子到达收集板沿PQ方向的宽度。 题型05：带电粒子在磁场中运动的极值问题 （1） 带电粒子在磁场中运动时间的极值问题 【典型例题1】如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 【典型例题2】如图所示，在空间中有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内(包括坐标轴上)充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为3B，方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。边界上的P点坐标为(L，L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，忽略粒子重力。 (1)若粒子不能从x轴出射，则粒子运动速度的最大值; (2)若粒子垂直于y轴离开磁场，则该粒子在磁场中运动的最短时间; (3)若粒子从O点离开磁场，则该粒子在磁场中运动的速度的可能值? 【变式训练5-1-】如图，空间分布着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。关于O点对称的薄板MN的长度为3a，O点到MN的距离为a。O点有一粒子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为m、电荷量为q的正电粒子。已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则被MN吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练5-1-2】如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【变式训练5-1-3】如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【变式训练5-1-4】（多选）如图所示，空闻有半径为R的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O为处有一粒子源，时刻沿纸面内的任意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的半径为，则（　　） A．粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为 B．粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为 C．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 D．时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为 【变式训练5-1-5】如图所示，平面的第一象限存在一圆形匀强磁场区域，与轴、轴分别相切于、点，其圆心为，半径为，磁感应强度大小为、方向垂直平面向里。一带电粒子从点沿方向以速度射入磁场区域，该粒子恰好经过点。现使大量此种带电粒子从点沿不同方向以速度射入磁场区域，其速度方向均处于与方向夹角不超过的范围内，且均在平面内。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)该带电粒子的比荷； (2)粒子在第一象限内运动的最长时间（结果可保留根号）； (3)圆形磁场区域内，有粒子经过的区域的面积。 【变式训练5-1-6】带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。如图所示，在直角坐标系xOy第二象限的圆形区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其圆心A的坐标为（-d，d），半径为d，y轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。宽度为2d的带电粒子流以相同的速度沿y轴负方向垂直匀强磁场入射进圆形区域，经过圆形磁场后汇聚到y轴上S（0，d）处进入第一象限，在y轴S点下方固定一能吸收粒子的收集板。已知粒子的质量为m、电荷量为q，圆形磁场和第一、四象限匀强磁场的磁感应强度大小均为B，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。求： (1)粒子通过x轴时，与坐标原点的最远距离OP； (2)运动轨迹经x轴的粒子中，从S点计时运动的最短时间； (3)所有粒子在第一、四象限中的运动轨迹经过的区域面积。 （二)带电粒子在磁场中运动磁场面积的极值问题 【典型例题1】（多选）如图所示，直角三角形abc区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是（    ） A．粒子运动的速率可能为 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．bc边界上有粒子射出的区域长度最大为 D．有粒子经过的磁场区域的面积最大为 【典型例题2】如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求: (1)vm的大小; (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间; (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 【变式训练5-2-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。 (1)(4分)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小； (2)(5分)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q( m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t； (3)(7分)若磁场为一矩形区域，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝2m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。 【变式训练5-2-2】如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第一象限内一圆形区域中存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)。一带正电粒子从x轴上的P点以速度v0沿与x轴负方向成45°角的方向射入第二象限内的匀强磁场中，恰好从M点垂直于y轴射入第一象限，在第一象限内经磁场偏转后从N点垂直x轴射入第四象限，已知O、P之间的距离为L，O、N之间的距离为2L，不计粒子重力，求： (1)该粒子的比荷； (2)第一象限内圆形匀强磁场区域的最小面积S。 （三）带电粒子在磁场中运动速度的极值问题 【典型例题】如图所示，在直角三角形区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，，，边长。一个粒子源在点将质量为、电荷量为的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-3-1】（多选）如图所示，竖直平面内半径为R、圆心为O的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的收集板。三角形MON为等腰直角三角形，，从圆形磁场最高点P沿PO方向向圆形区域内射入大量速率不同的同种粒子，粒子所带电荷量均为q、质量均为m且带正电。忽略粒子之间的相互作用力和粒子重力，关于打在MN区域的粒子，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间 B．打在收集板上的粒子的最大速率 C．整个过程中位移最小的粒子速率 D．整个过程中位移最小的粒子运动的时间 【变式训练5-3-2】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。 （1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求的大小； （2）若粒子带正电，使粒子能从ad边射出磁场，求的最大值。 （四）带电粒子在磁场中运动距离的极值问题 【典型例题】（多选）如图，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则(　　) A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 【变式训练5-4-1】（多选）如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子，不计重力。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 【变式训练5-4-2】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【变式训练5-4-3】人设计了一粒子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O点在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子会被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的其他影响。 (1)求O、K间的距离; (2)若速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求M、O间的距离; (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时零点，求打开磁场开关的时刻。 （五）带电粒子在磁场中运动磁场强度的极值问题 【典型例题】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【变式训练5-5-1】如图所示，一粒子源位于一边长为a的正三角形ABC的中点O处，可以在三角形所在的平面内向各个方向发射出速度大小为v、质量为m、电荷量为q的带电粒子，整个三角形位于垂直于△ABC平面的匀强磁场中，若使沿任意方向射出的带电粒子均不能射出三角形区域，则磁感应强度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5-2】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。 (1)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小; (2)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q( m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t; (3)若在第一象限加垂直纸面向里的矩形磁场，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝2 m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。 1.如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（　　）    A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是 B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是 C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是 D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是 2.如图所示，在半径为R的圆形区域内分布着磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子发射源，能平行于纸面向磁场内各个方向发射速率为的同种粒子。已知在粒子离开磁场的所有位置中，N点距M点最远且∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的半径为R B．粒子的比荷为 C．由M点射入再从N点射出的粒子速度方向偏转了120° D．从M点射入的所有粒子在磁场中所能达到的区域面积为 3.如图所示，半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，、为半圆直径的两个端点，点为半圆的圆心，为圆的半径。现有带电粒子、分别以不同的速度从点和点沿半径方向同时进入磁场，并同时从点射出磁场，不计粒子的重力和粒子间相互作用。已知，则粒子、（　　） A．做圆周运动的半径之比为 B．运动的速率之比为 C．比荷之比为 D．运动的角速度之比为 4.如图所示，直角三角形AOC，，AO右侧某区域存在垂直于AOC平面的匀强磁场（图中未画出），其磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v从C点垂直于AC进入磁场，该粒子经磁场偏转后平行于CO射到AC边上的D点（图中未画出），粒子重力不计。下列说法正确的是（ ） A. 粒子从C点射入磁场，在到达D点前始终未离开磁场 B. 磁场方向垂直AOC平面向里 C. CD间的距离为 D. 粒子从C点到D点时间为 5.如图所示，在竖直平面内有两个同心圆，圆心在O点，小圆内部区域Ⅰ和两圆之间的环形区域Ⅱ均存在匀强磁场（图中未画出），Ⅰ、Ⅱ区域磁场磁感应强度大小分别为、2B，已知Ⅰ区域磁场方向垂直竖直平面向外，带正电的粒子a从O点竖直向上射出，粒子a质量为m、电荷量为q、速度大小为v，粒子a射出小圆区域时，速度方向斜向上且与水平方向的夹角为30°，不计粒子重力和粒子间相互作用。P点为过O点的水平直径与小圆的右侧交点。下列说法正确的是（　　） A．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 B．若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，为使粒子a能回到O点，大圆半径最小值为 C．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，粒子a从O点射出能回到O点且速度方向竖直向下，此过程中的轨迹长度最短为 D．若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，且粒子a始终不会飞出大圆，则粒子a从O点射出到第二次经过P点所用时间为 6.平面直角坐标系xOy的第一、第四象限充满匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反，坐标原点处有一粒子源，该粒子源可向与x轴夹角为区域各方向发射速率范围在的带正电粒子，粒子质量均为m、电荷量均为q，如图所示。粒子进入第一象限后，A点为速率最小的粒子首次进入第四象限通过x轴的最远点，，为已知量，不计粒子重力、粒子间的碰撞及相互作用，已知。 (1)求A点坐标； (2)求能够到达A点的粒子的初速度方向与y轴正方向的夹角范围； (3)若首次通过A点进入第四象限的粒子和首次通过C点进入第四象限的粒子会在x轴上相遇，以粒子同时离开A、C为计时起点（时刻），求粒子第一次在x轴上相遇的位置及时刻。 7.如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场含边界，磁场方向与xOy平面垂直。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大小不同但初速度方向都与x轴正方向成角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏质子打到荧光屏上不再反弹，P、Q两点的坐标分别为，。已知质子比荷，。求：结果均可用分数表示 （1）质子在磁场中运动的最长时间是多少; （2）如果让荧光屏PQ发光长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取值范围是多少。 8.如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 9.如图，在真空室内的P点，能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为，质量为m的粒子（不计重力），粒子的速率都相同。ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PC=L，Q为直线ab上一点，它与P点相距。当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的粒子可到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面，方向竖直向下的匀强电场时，水平向左射出的粒子也可到达Q点。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）粒子的发射速率； （2）匀强电场的场强大小； （3）仅有磁场时，能到达直线ab的粒子所用最短时间。 1 学科网（北京）股份有限公司 $