期中综合测评卷2026-2027学年北师大版九年级上册数学

北师大版九年级上册数学期中综合测评卷

（范围：第1~4章   满分：150分　　时间：120 分钟）

班级：__________　　姓名：__________　　得分：__________

一、单选题（共36分）

1．（本题3分）如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ）

A．2 B．4 C．6            D．8

2．（本题3分）方程的根为（     ）

A． B． 

C．， D．

3．（本题3分）用配方法解方程，配方后所得的方程正确的是（     ）

A． B． 

C． D．

4．（本题3分）已知是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（     ）

A．3 和 5 B．和 

C．3和 D．和5

5．（本题3分）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法，可知四边形ADBC一定是菱形，判定四边形ADBC是菱形的依据是（    ）

A．对角线互相平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．四条边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是菱形

6．（本题3分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（　　）

A．9米 B．9.6米          C．10米          D．10.2米

7．（本题3分）如图，在中，，，，若的面积为8，则的面积为（    ）

A．12 B．15 C．16          D．18

8．（本题3分）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

9．（本题3分）固态电池被视为下一代动力电池的核心方向．假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为(     )

A． B．

C． D．

10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的位似比为．若点A的坐标是，则对应点的坐标是（   ）

A． B．          C．          D．

11．（本题3分）如图，在四边形中，对角线于点，，，，分别为四边的中点，连接，，，，若，，则四边形的面积为（     ）

A．10 B．12 C．14          D．15

12．（本题3分）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ）

A． B．          C．          D．

二、填空题（共16分）

13．（本题4分）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为________．

14．（本题4分）已知点为线段的黄金分割点，且，则线段的长为________．

15．（本题4分）设，是方程的两个实数根，则的值为________．

16．（本题4分）如图，在矩形中，，点E是边上一点，点H是边上一点，点G、F在对角线上，四边形是正方形，则的长为___________．

三、解答题（共98分）

17．（本题12分）解一元二次方程

(1)；              (2)；

 

 

(3)  ．

 

 

 

 

 

 

18．（本题8分）如图，已知点E为的边上的一点，且．

  

(1)尺规作图：作的角平分线，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)连接，若，求证：四边形是菱形．

 

 

 

 

 

 

 

19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值．

20．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________．

(2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为．

(3)在线段上找一点使得．

21．（本题10分）如图，中，，于，过点作，边上的中线延长线交于点．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

 

 

 

22．（本题12分）某数学兴趣小组在校园内按照如图方案开展综合与实践活动．记录如下：

实施过程	1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量，两点间的距离； 5．测量到地面的高度．
测量数据	1．；2．；3．
备注	1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．

请你计算树的高度．

 

 

 

23．（本题12分）阅读材料解答下列问题

观察下列方程：①，②，③……

⑴按此规律写出关于x的第n个方程为____________________，此方程的解为____________．

⑵根据上述结论，求出的解．

 

 

24．（本题12分）根据表中的素材，探索完成任务．

素材1	随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2	该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
	问题解决
任务一	求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率．
任务二	为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
任务三	该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由．

 

 

 

25．（本题14分）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．

【问题发现】

(1)如图1，当四边形是矩形时，且于G，，，则______；

【拓展研究】

(2)如图2，若四边形是平行四边形，且时，求证：；

请写出完整证明过程，以下思路仅供参考：

思路一：在的延长线上取点M，使得……

思路二：在线段上取点N，使得……

【解决问题】

(3)如图3，若，，，于G，求的值．