第十八章《分式》单元检测2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十八章《分式》单元检测2026-2027学年人教版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 4．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 5． 计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 6. 数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：． 因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数． 现有一组调和数：x，5，3（），则的值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．10 7. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是： 每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人， 整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（   ） 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 8. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A． B． C． D．2 9. 某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要延期3天完成．现两队先合做2天， 再由乙队独做，也正好按期完成．如果设规定的期限为x天，那么根据题意可列出方程： ①＝1；②；③；④； 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10. 作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题： 不难求得方程的解是，； 的解是，； 的解是，； 小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到： 关于的方程的解是，． 并尝试解关于的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12．已知，那么__________． 13.计算：_____________． 14. 若代数式和的值相等，则x＝________． 15. 若关于的方程有增根，则的值为_______． 16. 对于正数，规定，例如，， 则 =________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1)；     (2). 18．解方程： (1)； (2)． 19． 学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高， 用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个． 每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 20．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质   B．等式的基本性质  C．乘法结合律   D．乘法分配律 (2) 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值， 代入求该分式的值． 21. 分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 22. 【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求， 某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1) 求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2) 因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个， 且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍， 那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则 是“和谐分式”． (1) 下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；② ；③ ；④ (2) 将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：______ (3) 应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 24. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售， 已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克， 用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价， 每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍， 同样获得120元的利润， 需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章《分式》单元检测2026-2027学年人教版八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的概念，熟练掌握分式的概念是解决本题的关键． 根据分式的概念，即“如果A，B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式”，由此判断选项即可． 【详解】解：甲：满足分式的概念，是分式； 乙：中分子与分母都不含有字母，不是分式； 丙：满足分式的概念，是分式； 丁：满足分式的概念，是分式． 故选：B ． 2．要使分式有意义，的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义， ∵分式有意义时分母不能为， ∴， 解得：． 3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，将和替换为扩大后的数值，化简后与原分式对比即可得到结果，熟练掌握分式的化简方法是解题关键。 【详解】解：把和都扩大倍后，新分式的分子为，分母为 新分式为 分式的值缩小为原来的 4．计算：=（　　　） A．x B． C．y D． 【答案】A 【分析】根据分式乘法计算法则解答． 【详解】解：=x， 故选：A． 5．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 6. 数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：． 因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数． 现有一组调和数：x，5，3（），则的值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解调和数的定义是解题的关键．根据调和数的定义，列出分式方程，解方程即得答案． 【详解】x，5，3（）是一组调和数， ， 解得， 经检验是方程的解， x的值是15． 故选：B． 7. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是： 每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人， 整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（   ） 老师 甲 乙 丙 丁 A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】C 【分析】判断每位同学的运算是否正确，需以其承接的前一步式子为基准，验证自身运算步骤的正误． 【详解】解：∵ 甲承接原式，变形为， ∴ 甲的运算正确， ∵ 乙承接甲的式子，将变形为，，漏写负号， ∴ 乙的运算错误， ∵ 丙承接乙的式子，将因式分解为，， ∴ 丙的运算错误， ∵ 丁承接丙的式子，约分得， ∴ 丁的运算正确． 8. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，且最简公分母为， ∴令， ∴增根为， 方程两边同乘得，， 将代入得， 解得． 9. 某工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要延期3天完成．现两队先合做2天， 再由乙队独做，也正好按期完成．如果设规定的期限为x天，那么根据题意可列出方程： ①＝1；②；③；④； 其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据规定日期为x天，则甲队完成任务需要x天，乙队完成任务需要(x+3)天． 记该工程总量为“1”，根据题意，得：甲、乙的工作效率分别为、， 根据“甲乙合做的工作量+乙做的工作量＝1”，由此可列方程：，故②正确， 根据“甲的工作量+乙做的工作量＝1”，可列方程：，故③正确，①错误， 根据题意得“乙3天的工作量＝甲2天的工作量”，可列方程：，故④正确， 综上可知：②③④方程均符合题意，共3个， 故选：C． 10. 作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题： 不难求得方程的解是，； 的解是，； 的解是，； 小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到： 关于的方程的解是，． 并尝试解关于的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】 【分析】对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题． 【解答】解：， ， ， 或， ，． 故选：． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 12．已知，那么__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即． 13.计算：_____________． 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母因式分解，确定最简公分母后通分，再计算约分得到结果． 【详解】解： ． 14. 若代数式和的值相等，则x＝________． 【答案】7 【分析】根据题意列出方程=，求出方程的解即可得到x的值．由于列出的方程是分式方程，所以求出x的值后要检验． 【详解】解：根据题意得： =， 去分母得：2x+1=3x-6， 解得：x=7， 经检验x=7是分式方程的解， 故答案为7 15. 若关于的方程有增根，则的值为_______． 【答案】 【分析】增根是将分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程后的方程中算出未知字母的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， ， ∵原方程有增根， ∴最简公分母，即增根为， 把代入整式方程，得； ∴时，关于的方程有增根 故答案为：． 16. 对于正数，规定，例如，， 则 =________． 【答案】 【分析】先推导的结果，找到规律后分组计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1)；     (2). 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）原式＝－＝＝； (2)原式＝·＝－·＝－. 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得，， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 去分母得，， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 19．学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 【答案】 每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元 【详解】解：设每个种书架的价格为元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 每个种书架为元， 每个种书架为（元）． 答：每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元． 20．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … (1)小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质   B．等式的基本性质  C．乘法结合律   D．乘法分配律 (2) 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值， 代入求该分式的值． 【答案】(1)， (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； （2）解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 21. 分式化简 (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时，原式． 22. 【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱，为满足儿童对机器人玩具的需求， 某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1) 求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2) 因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个， 且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍， 那么购进A种机器人玩具多少个时花费最少？ 【答案】(1)50元，60元 (2)购进30个A种机器人玩具时花费最少 【分析】（1）先设A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据购进两种机器人玩具的数量之间的关系得出分式方程，检验可得答案； （2）设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意得出不等式，并求出解集，然后结合（1）中的单价得出，接下来根据一次函数的性质讨论得出答案． 【详解】（1）解：A种机器人玩具x元，则B种机器人玩具元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，则， 所以购进A种机器人玩具的单价是50元，B种机器人玩具的单价为60元； （2）解：设再次购进A种机器人玩具m个，所花费用为w元，则B种机器人玩具为个，根据题意，得 ， 解得． ， ∵， ∴函数值随着m的增大而减小， ∴当时，（元）， 所以购进30个A种机器人玩具时花费最少． 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则 是“和谐分式”． (1) 下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；② ；③ ；④ (2) 将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：______ (3) 应用：先化简，并回答：取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)化简结果为；． 【分析】（1）根据和谐分式定义，拆分各分式判断是否符合形式； （2）将分子配方为含分母的完全平方式，再拆分； （3）先通分化简分式，再结合整数条件分析x的取值． 【详解】（1）解：①， ∴是“和谐分式”； ②，无整式部分， ∴不是“和谐分式”； ③， ∴是“和谐分式”； ④， ∴是“和谐分式”； 综上所述，①③④是“和谐分式”； （2）解： ； （3）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， 又∵x为整数， ∴或， ∴或或或， 又∵分式要有意义， ∴且且且， ∴且且且， ∴． 24. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售， 已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克， 用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 【答案】任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克； 任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克； 任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克． 由题意，得， 解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克． 任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克． 任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克， 由题意，得， ， 若要使利润不低于9000元，则，即， 解得， 的最大值为300． 答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $