第32章 数学活动&小结-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

数学活动 活动 利用测角仪测量高度 把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制 成一个简单的测角仪（图1)，利用它可以测量仰角或俯角，进而测量物 体的高度 a 图1 图2 可由tana= BC 求出BC AC 对于底部能够到达的物体，例如测量一棵树的高度，可以按以下方式 进行测量（图2)：将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的 过C >己过AC 直径刚好到达树的最高点，得出仰角α的度数，再量出你到树的底部的距 离，结合你的身高，就可以计算出这棵树的高度 对于底部不能到达的物体，例如测量一座塔 的高度，可以按以下方式测量（图3)： (1)在塔前的平地上选择一点A,用测角仪 测出由点A看塔顶的仰角a; (2)在点A和塔之间选择一点B,测出由点 图3 B看塔顶的仰角B: >B>a,离物体越近， 7仰角越大 (3)量出A,B两点之间的距离； (4)计算塔的高度 在有条件的情况下，你还可以利用带有测角功能的 激光测距仪（图4)测量高度，例如，利用激光测距仪 测量图3的塔高时，不仅可以测量仰角α，还可以直接 测量出测距仪和塔顶之间的距离，因此可以更加快速、 准确地求出塔的高度· 图4 64 教材笔记数学九年级下册RJ 小结 一、本章知识结构图 正孩、余弦、正切 如测高、测距等应用题 直角三角形中 的边角关系 锐角三角函数 解直角三角形 实际问题 回顾与思考 本章我们学习了锐角三角函数，它反映了直角三角形中边与角之间的 关系.无论Rt△ABC的大小如何，只要给定锐角A,根据相似三角形的性 质，LA的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比就随之确定.利用 小正核 余核卫 正切 锐角三角函数，结合勾股定理等，就可以解决各种与直角三角形度量有关 的问题. 若只给两个锐角只能确定形状 )无法确定大小，不能唯一确定 直角三角形 由直角三角形全等的判定方法可知，/一个直角三角形可以由它的三条 边和两个锐角这五个元素中的两个（至少有一个是边）唯一确定.有了锐 角三角函数知识，结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可由这 两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形.解直角三角 形过程中的运算、推理，能加深我们对三角形的边、角、高、面积等度量 的认识和理解，增强几何直观，提升运算能力、推理能力及灵活应用知识 解决问题的能力· 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧· 1.锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写 出直角三角形中两个锐角的三角函数， 2.两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已 知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？ 3.你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角)，归纳相 应的解直角三角形的方法吗？ 4.锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明吗？ 第三十二章锐角三角函数 65 复习题320 复习巩固 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2,c=6.求sinA,cosA和tanA的值. 1 在△ABC中，LC=90P,coA,AC=43,求BC的长 2.4. 3.求下列各式的值： (1)J2cos45°-tan45°； (2)3sin60°+tan60°-2cos230° 3(1)原美-万×三-1-0(2)原式=月×号+后-2x()广5。 2 4.用计算器求下列各式的值： 4.（1)原式≈0.5377. (2)原式≈0.4273. (1)c0s76°39'+sin17°52'； (2)sin57°18'-tan22°30'； (3)原式≈7.2673. (4)原式≈-0.0371. (3)tan83°6-cos4°59'； （4)tan12°30'-sin15°. 5.已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数： 5.(1)∠A≈40.08°. (2)∠A≈69.12°. (1)cosA=0.7651; （2)sinA=0.9343; (3)∠A≈88.38°. (4)∠A≈35.26°. (3)tanA=35.26; (4）tanA=0.707. 6.等腰△ABC的底角是30°，腰长为23.求它的周长. 6.如图，在△ABC中，AB=AC=23,∠B=∠C=30°， 过点A作AD⊥BC于点D,∴.BD=DC.在Rt△ABD中， c0sB=BD,BD=AB·cosB=23×3=3, AB 2 .BC=2BD=6,.△ABC的周长为2AB+BC=43+6. B 7.从一艘船上测得海岸上高为42m的灯塔顶部的仰角为33°时，船离海岸多远 (结果取整数)？ 7.如图，设船所在位置为点A,灯塔所在位置为点B,依题意得，B ∠A=33°，BC=42. 在Rt△ABC中，：iamA=BC AC AC= -≈65， tan A tan 33 即船离海岸约65m. 33A 66教材笔记数学九年级下册RJ 综合运用 8.如图，两座建筑物的水平距离BC为32.6m，从点A测得点D的俯角a为 35°12'，测得点C的俯角B为43°24'.求这两座建筑物的高度（结果保留小数点 后一位). C -LV45 E 3.40m D 】30° B 32.6m C 5.00m (第8题) (第9题) 8.AB约为30.8m,CD约为7.8m.提示：如图，过点D作DE⊥AB于点E,构造直 角三角形，根据锐角的正切即可求解 9.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AC,BD和AB的长（结果 保留小数点后两位) 9.AC≈7.07m,BD≈5.77m,AB≈1.29m.提示：过点D作DF⊥AB,交BA的 延长线于点F,过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E.在Rt△ACE中，根据 cosLECA=CE求得AC,在Rt△BDF中，根据c0s∠BDF=DF求得BD,进而求得 AC BD BF,根据AB=EF+BF-AE即可求得AB的长 10.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 a一般要满足50°≤a≤75.现有一架长6m的梯子B=6 (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ 10.（1)当∠BAC=75·时，梯子能安全使用且它的顶端最高.在Rt△ABC中， sim∠BAC=BC,BC=AB·sinLBAC=6×sin75≈5.8故使用这架梯 AB 子最高可以安全攀上约5.8m高的墙 (2)当梯子底端距离墙面2.4m时，α等于多少度（结果取整数）？此时人是否 能够安全使用这架梯子？ (2)在Rt△4BC中，c0s∠BAC=AC=0,4,∠BAC≈66°.：50°<66°<75°， AB ·此时人能够安全使用这架幕 (第10题) 第三十二章锐角三角函数 67 11.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.已知折痕AE= 55m,且mLEFC=子 A (1)△AFB与△FEC有什么关系？ (2)求矩形ABCD的周长. B (第11题) L(1)△MFB△FEC(2)36em是示：在△FEC中，由LBrC=子，可得8 CF 3,则可设CE=3k,CF=4k,由勾股定理得EF=DE=5k.继而求得BF与BC,设法 建立方程求得k的值，由矩形ABCD的周长=2(AB+BC)求得结果 12.在□ABCD中，已知AB,BC及其夹角∠B(∠B是锐角)，能求出□ABCD的面 积S吗？如果能，用AB,BC及其夹角∠B表示S 12.能求出☐ABCD的面积，S=BC·ABsin∠B.提示：如 图，在□ABCD中，作AE⊥BC于点E,则∠AEB=90°.在 Rt△ABE中，sin∠B=AE,AE=AB·sin∠B,S= AB BC·AE=BC·ABsin∠B 拓广探索 13.已知圆的半径为R. (1)求这个圆的内接正n边形的周长和面积； →周长为2 nRsin180°，面积为nR'sin180 -cos 1800 n (2)利用(1)的结果填写下表 内接正n边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 内接正n边形的周长 6R 24Rsin15° 48Rsin 7.5 内接正n边形的面积 33R2 12R2sin15°. 24Rsin7.5°· 2 c0s15° c0s7.59 观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎 样的变化趋势？与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论？ 随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长也随之变大， 周长逐渐接近圆的周长2πR,面积逐浙接近圆的面积πR」 14.如图，已知锐角△ABC. (1)探究A品日加c之间的关系。 b (2)设△ABC的外接圆的直径为1，则sinA=a,sinB= a b,sinC=c.为什么？ (第14题) inAsin BsinC·提示：作△ABC的外接围，我直角三角形即可得证，(2)略. 14.(1)a 68教材笔记数学九年级下册RJ