第三十二章 锐角三角函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十二章 锐角三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，均为锐角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A． B．2 C． D．4 8．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 9．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则锐角________． 12．如图，菱形ABCD的边长为15，，则对角线BD的长为_________． 13．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 14．如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 15．眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 16．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)． (2)． 18．在中，已知，解这个直角三角形． 19．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得与的面积比为． 21．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 22．观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 23．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 24．如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 25．如图1，在中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． (1)则______，______； (2)设长为，求的长（用含的代数式表示）； (3)如图2，若恰好落在边上，求的长； (4)若正方形与公共部分的面积为6时，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十二章锐角三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.cos60°的值等于() √3 2 A.2 B.√2 C.2 D 2.在R1△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则C0sA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 3.在R△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下列等式中成立的是() a A.sin=b c B.tan4=d C.tanB=b D.CosB=B c 4.在△ABC中，若∠A'∠B均为锐角，且 in4、V3 +1-tanB=0,则∠c的度数是（） 2 A.45° B.60° C.65 D.75 5.如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是() 3V10 1 1 √10 A.10 B.2 C.3 D.10 6.如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高l5cm,宽25cm,拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A, 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜坡的起点为C,现设计斜坡BC的坡比i=1:4,则AC的长度为() 25 15 Ci77111T17771711777 A A.96cm B.130cm C.140cm D.180cm 7.如图，在A4BC中，AB=5’∠ACB=135°，siB、2 =5,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D: 则AC的长是() A v2 B.2 C.22 D.4 3 8.如图，B为正方形ABCD内一点，∠ABD=90,sin∠EMD 5,连接AC,若DE=3,则AC的长为 E B A.5V2 B.10 C.6 D.4V2 9.如图，在A4BC中，∠B=90°， m4=2,被以下步骤作国：①以点C为四心，BC的长为半径面驱， 交AC于点D:②以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E,若AE=mAB,则m的值为() 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E创 B 5 3-5 5-1 5+1 A.2 B.2 C.2 D.2 10、如图所示，菱形ABCD的周长为20cm'DE1HAB,垂足为B,siA 5,下列结论正确的是() ①DE=3cm,②BE=1cm.③S菱形=7.5cm2,@cos∠CDB=V10 10 D E B A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 3 11.者cosB- 2,则锐角∠B= 12,如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= ,则对角线BD的长为： R D 13.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和45°，如果这时气球的高度CD为 100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为米（结果保留根号）. 里.-50不45ò从 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14如图，点4、B分别在反比例西数月>0，⅓-女< 8 的图象上，若O11OB.6m4= 2 则k= B 15.眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑.如图，某校学生测 量其高度AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°，再由点C走8米到点B处， 测得其坛顶端A的仰角为45°.己知B、卫、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD=EF=1.5米.则天下 第一菹坛的高AB为 (参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保 留整数) 16.在矩形ABCD中，CE平分∠BCD交直线AD于点E,若CD=3,AE=l,连接AC,则tan∠ACD的值 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： (1)2sin230°+c0s245+sin60°tan45 (2V2-+V8-6sin45°+(-1)01 18.在Rt△ABC中，己知∠C=90°，c=128,∠B=60°，解这个直角三角形. 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19如图，在BD中，B⊥BD:B是边BD上一点，使∠ME:∠ADB:且m∠ADB 2， -5 (1)求BD的长： ②过点B作BC/D,交4柜延长线于点C,若BC=v5,求CD的长 20.图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△4BC的顶点均在格点上，只用 无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹。 B 图① 图② (I)在图①中的AC边上确定一点E,连接BE,使得 os∠EBC=V2 (2)在图②中的AC边上确定一点F,连接BF,使得△ABF与△BCF的面积比为2：3 21.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且∠BEF=90°，AB=4,AE=3. (I)求证：△ABE∽△DEF; 2)若DF=9 4,求tan∠EBF的值。 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.观察下列等式： sin30= sin60°= 2； sin45°=s 2, cos45°=V2 ；③ 0s30=V3 2 cos60°= 2 根据上述规律，计算sna+sim(9o-a)=注：sima=(6i血aj1 (2)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值 23.中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个 打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向 且在C的北偏西45°方向，DC=2W2千米，BC=1千米. 北 D 西→东 南 45 307 A (1)求AB的长度：（结果保留根号） (2)小中和小国分别从D、B打卡点同时出发，小中以4km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打 卡点，小国以2m/h的速度从B打卡点沿B→A方向跑步至A打卡点，请通过计算说明，小中出发多少 千米后恰好与小国相距2,5干米？结果保留小数点后两位，参考数据。 2≈1.41V5≈1.73 24.如图，AB为⊙0的直径，BC与⊙0切于点B,连接OC,OC交⊙0于点D,CD:OA=2:3. E E 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠BC0的正切值： 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，CE为⊙O的切线，E为切点，连接AE,求证：AE∥OC: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在弧BE上，连接EF、BF,EF=AE,CE=8,求BF的长. 3 25.如图L,在Rt△ABC中，AD是BC边上的高，siB =5,AC=6,动点P沿线段AD从点A向点D运 动，过点P作EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方形EFGH, E E H B H D G 图1 图2 (I)则BC=,AD= (2)设AP长为x,求EF的长（用含x的代数式表示）； 3)如图2，若GH恰好落在边BC上，求AP的长： (4)若正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，直接写出AP的值. 717可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十二章锐角三角函数基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案■ D ⊙ A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.30°130度 12.18 13.(100W3+100 14.-6 15.15米/15m 16.3政3 24 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 115 =2×二+ 422 =1,1,V5 一十 一十 222 1 2;3分 1+22-6x5-1=1+22-3N2-1=-5 (2)解：原式 2 6分 18 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：∠C=90°，c=128,∠B=60° 六∠A=90°-∠B=30,smB-2sB=g .b=128×5-645,a=128×64 1 2 .:a=64,b=64V3,∠A=30° 6分 ch 19. 【详解】c解，“∠BAB=∠ADB:am∠ADB 2 :an∠BAE={nBE1 2,即AB2 .'AB=2BE, “AB=A8+BB,4E=5 :(35-2Bsr+e 解得配、3 (负值己舍去)，即B=3: 1 ,tan∠ADB= 2 AB131 BD2,即BD2,解得：BD=6:3分 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F .BC∥AD, ∴.∠DBC=∠ADB」 ·an∠DBC=CF-1 BF=2,即BF=2CF, ..BC2 BF2+FC2, ()=(2FcY+rc 解得FC=1(负值已舍去)， ∴.BF=2,DF=BD-BF=4, CD-VCR2+DR- ，6分 20.(1)如图①，点E即为所求. G 3分 B C 图① (2)如图②，点F即为所求. H .6分 B C 图② 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21. (①)四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90° ∴.∠ABE+∠AEB=90° 又：∠BEF=90°， ∴.∠AEB+∠DEF=180°-∠BEF=90° ∴.∠ABE=∠DEF. 又：∠A=∠D=90° .△ABE∽△DEF.4分 (2)解：连接BF, D 在Rt△ABE中，∠A=90,AB=4,AE=3, 由勾股定理： BE=VAB2+AE2=V4+32=V16+9=V25=5. 由(I)得△ABE∽△DEF, :AE、BE “DFEF· 53 把AB=3,DF=号，BE=5,代入得F9 15 解得EF= 4, ∠BEF=90°， △BEF是直角三角形， 在RtABEF中，tan∠EBF=EE BE 15 548分 代入EF15,BE=5：am<EBF=43 22. 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：①：sin30°= ,sin60°=sin(90°-30r)=5 m6w-0-（9-1,一2分 ②：.sin45° 2 :s5m45°=sin(90-459）=2 2, mwo4-93- ..sin2a+sin2(90-a)=1 ;4分 (2)解：sna+sin2(90°-a)=1 ,sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =(sin21°+sin289°）+(sin22°+sin288）+…+(sin244°+sin246o）+sin245 =1+1+…+1+ =1+1++1+2 89 2、8分 23. 【详解】(I)解：如图，过D作DH⊥AB于H,过C作CE⊥DH于E, 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 西个东 南 459 30° E时 Ai H B .∠B=90° ∴.四边形BCEH是矩形， BC=EH=I千米，CE=BH, 根据题意，得∠DCE=90°-45°=45°，∠DAH=90°-30°=60°， :DC=2W2千米， ∴.CE=DE=DC·sin∠DCE=2千米， BH=CE=2千米，DH=DE+EH=2+1=3(千米)， 在RL△AFHD中，∠DAH=60°， AH =DH 3 tan60°3 5千米， :AB=BH+4H=(2+)千米， 答：B的长度为2+v3)干米，…4分 (2②)解：如图，设出发”小时后，小中到达点M,小国到达点N,他们之间的距离W=2 千米，则 DM=4x千米，BN=2x千米， 连接MN,过点M作MF⊥AB于点F, 北 D 西个东 南 M 459 30% A B 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=4-5-25 由()可得 cos60°1 千米， 1 2 :4M=D-DM=25-4)千米， :4F=M60=(5-2刘千米，MF=4M-s血60-(6-25✉千米. :N=B-4F-N=2+5-(5-22x=2千米， 在Rt△MFN中，：MF2+FW2=MW2, (3-23x+22=(22, 整理，得12r2-123x+5=0 解得专3 5V5 x2= 6, 6, 当tg x=G时=(5-2-65525<0 33,不符合题意，舍去， :DM=4x=4x 2≈1.15 (千米) 1.15 v 答：小中出发千米后恰好与小国相距 2千米.8分 24. 【详解】(1) C D 3x 3x O 3x 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设OA=3x,则CD=2x,OB=3x, OC=OD+CD=3x+2x=5x, :BC是⊙O的切线， ∴.OB⊥BC,即∠OBC=90 :在RtAOBC中，有OB2+BC2=OC2 :.BC=V0C2-0B2-V（5x)}-(3x}=4x :tan∠BCo=OB=3x_3 BC4x4;3分 (2)证明：如图，连接OE, E B CE为⊙O的切线，E为切点， ∴.∠OEC=90° BC是O0的切线， :.OB⊥BC,即∠OBC=90° 在RtAOBC和Rt△OEC中 又：0B=OE,OC=0C :RtOBC≌RtOEC(HL) 六∠EOD=∠BOD,即∠BOD=号∠EOB 在O0中有∠EAB=)∠EOB 2 .:.∠EAB=∠BOD ∴.AE∥0C.7分 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3),CE、CB为⊙O的切线， .BC=CE=8, 由(1)知BC=4x,即4x=8,解得x=2, .0A=3×2=6,0C=5×2=10: 过0点作OH1E于H则仙=A号， P .'∠OAE=∠BOC, .cos∠0AE=cos∠BOC=OB-6_3 0C-105: 在Rt△MOH中，cos∠OAH=4L OA, ..AH =OA. 6x318 055, ·E=2AH=36 : B 连接AF交OE于点G,连接OF, .EF=AE,OA=OF. .OE垂直平分AF,即AG=GF,OE⊥AF, ,O是AB的中点，G是AF的中点， .OG是△ABF的中位线， 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BF =20G, 设r-1剥0G=,BG=0B-0G=6-, ,AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°， :4F-V4R2-BF-2-F=1144- 、—之 2, 在Rt△AEG中，有勾股定理AG+EG=AE2, 代入得： j 144-t2 展开得： +36-6t+ .21296 4 425 整理得：72-61= 1296 25 6t=、504 25, 解得1=芳 84 即BF的长为25.12分 25. 【详解】(I)解：在R1△ABC中，∠BAC=90°. :sinB=AC、3 BC 5,AC=6 .BC=10. 由勾股定理得： 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=VBC2-AC2=V102-6=V64=8 :AD是BC边上的高， CC:AD AB·AC=BC·AD代入数值：8×6=10AD 4D=48_24 105· .BC=10 AD=24 .3分 (2)解：EFlIBC, △AEFP△ABC :AD⊥BC,EFIIBC, AP⊥EF,AP是△AEF对应边上的高. 根据相似三角形对应高的比等于相似比， EF AP BC-AD. 己知BC=10, AD-24 ,AP=x,代入： EF x 10=24.EF5x 5’1024 ∴EF 2 12.6分 (3)解：~四边形EFGH是正方形， .EF=FG,且FG⊥EF. :EFI/BC,AD⊥BC, .FG平行于AD,FG就是EF与BC之间的距离. ∴.PD=FG PD=AD-AP:AD=24 5，AP=X, PD=24 5 x 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又FG=EF=2 12*, 2524 x= :列方程：12=5 -x 两边同乘60去分母： 125x=288-60x,185x=288」 t288 185, 即AP-288 185.9分 (4)解：分两种情况讨论： 正方形边长EF 25 12 288 ①正方形完全在AABC内部，此时0<x≤ 185， 公共部分就是正方形. S =6 625x=6.￥-864 1441 625, x>0 x=126 25. 28<xs24 ②正方形部分伸出。4BC外部，此时185 ,公共部分是矩形 矩形的长为EF 7,是形的商为0天 化商：台曾=6,1音-6侧边同元以 120x-25x2=72 25x2-120x+72=0 整理 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用一元二次方程求根公式： x=120±1202-4×25×72_120±1400-7200_120±7200_120±60212±6N2 2×25 50 50 50 5. ts24 288 检验范围185 5: x=12+6v2 5，符合范围： 5=12-6V2 288 5,小于185，舍去. 综上，P-12612+63 25或5..12分 13/13 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第三十二章 锐角三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2．在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 3．在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意 ． 4．在中，若，均为锐角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质和特殊角的三角函数值． 由等式成立可知每个非负项均为零，从而根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和求． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 故选：D． 5．如图，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，，利用勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接并延长，过点作交延长线于点， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，， 同理，在中，由勾股定理可知，， 设， 则在中， 由勾股定理可知，； 同理，在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即， ∵， ∴， ∴， 6．如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意求出台阶的总高度与台阶的总水平宽度，利用坡比定义求出的长，最后根据计算． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得：，， 斜坡的坡比， ， ， ． 7．如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，包括锐角三角函数的定义与等腰直角三角形的判定及性质．先在中利用正弦函数求出的长度，再由推出，判定为等腰直角三角形，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 在中，，， 为等腰直角三角形， ． 故选：C． 8．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，设，则，，根据，解答即可． 本题考查了正切函数的定义，勾股定理，比值的计算，熟练掌握正切函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 设， 则，， 根据题意，得， 故， 由，得． 故， 故选：C． 10．如图所示，菱形 的周长为，，垂足为E，，下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，解直角三角形的计算及勾股定理，解题的关键是先根据菱形性质求出边长，再根据三角函数求出相应边，最后根据勾股定理计算．根据菱形性质可得 ，结合即可求出、即可判断①②③，再根据勾股定理求解，进一步即可判断④． 【详解】解：由题意可得， ∵菱形 的周长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴ ， ∴，故②正确 ∴菱形的面积为③错误； ∴， ∴，故④正确， 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则锐角________． 【答案】/30度 【详解】∵为锐角，且， ∴． 12．如图，菱形ABCD的边长为15，，则对角线BD的长为_________． 【答案】18 【分析】根据菱形性质得，，再根据正弦定义即可得，代入数据即可求出，进而可得菱形的对角线的长． 【详解】解：如图， 记相交于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，菱形的边长为15， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的对角线的长为18． 13．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为______米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴建筑物A、B之间的距离为米． 14．如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【答案】 【分析】先证得，根据相似三角形的性质得出，，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点在第二象限， ． 15．眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】米/ 【分析】过点作于点，证明四边形，四边形和四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，， ∵， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴米，米， ∴ ∴三点共线， 在中， ， ∴ 在中，∵，， ∴, 即，解得（米） ∵米 ∴（米） 即天下第一菹坛的高为米． 16．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 【答案】或 【分析】点在直线上，分两种情况讨论，结合矩形性质和角平分线性质得到，再根据锐角三角函数定义计算结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在边上时，如图1： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当点在的延长线上时，如图2： 同理可得， ∵， ∴， 在中，； 综上，的值为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 18．在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 19．如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得与的面积比为． 【答案】(1)如图①，点即为所求． (2)如图②，点即为所求． 【分析】（1）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （2）在点的正右方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：作图依据： ∵，， ∴， ∴． （2）解：作图依据： ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)四边形是矩形， ， ． 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，得，只需再证明即可得证； （2）利用三角形的相似，求得，再根据正切函数的定义，计算即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接， 在中， ， 由勾股定理： 由（1）得， ． 把 ，代入得， 解得， ， 是直角三角形． 在中， 代入：  ． 22．观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 23．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 24．如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵为的切线，为切点， ∴ ∵是的切线， ∴，即 在和中 又∵， ∴ ∴，即 在中有 ∴ ∴ (3) 【分析】(1) 由，设，，，由勾股定理得，再由正切的定义求解即可； (2) 连接，由得，再得，即，再由同弧的圆周角等于圆心角的一半得，最后由同位角相等得两直线平行； (3) 由，得，的长度；过点作于，求出；连接交于点，连接，得垂直平分；由为的中位线，得；设，由勾股定理建立方程，解方程得的长即可 . 【详解】（1） 解：设，则，， ， ∵是的切线， ∴，即 ∵在中，有 ∴ ∴； （2）略； （3）∵、为的切线， ∴， 由（1）知，即，解得， ∴，； 过点作于，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 连接交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分，即，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，有勾股定理， 代入得：， 展开得：， 整理得：， ， 解得． 即的长为． 25．如图1，在中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． (1)则______，______； (2)设长为，求的长（用含的代数式表示）； (3)如图2，若恰好落在边上，求的长； (4)若正方形与公共部分的面积为6时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2) (3) (4)或 【分析】（1）在直角中，由，求出，再用勾股定理算出，利用三角形面积相等，代入数值求出高． （2）由得到，相似三角形对应高之比等于相似比，代入，，，列出比例式化简求出． （3）当落在上时，正方形边长，，结合列方程，解方程得到． （4）分正方形全部在三角形内部、正方形部分伸出三角形外两种情况，第一种直接用正方形面积公式列方程，第二种公共部分为矩形，用矩形面积公式列方程，求解并舍去不符合取值范围的根，得到的值为或． 【详解】（1）解：在中，． ， ． ， 由勾股定理得： ． 是边上的高， ， 代入数值： ． ，． （2）解：， ， ，， ，是对应边上的高． 根据相似三角形对应高的比等于相似比， ． 已知，，，代入： ，， ． （3）解：四边形是正方形， ，且． ，， 平行于，就是与之间的距离． ． ，，， ． 又， 列方程：． 两边同乘 60 去分母： ，． ， 即． （4）解：分两种情况讨论： 正方形边长． ①正方形完全在内部，此时，公共部分就是正方形． ． ，， ， ． ②正方形部分伸出外部，此时，公共部分是矩形． 矩形的长为，矩形的高为． ． 化简：，两边同乘 12： ，整理：， 用一元二次方程求根公式： ． 检验范围： ，符合范围； ，小于，舍去． 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $