第31章 ·相似 复习课件 -2026-2027学年人教版九年级数学下册

初中数学 · 教材解析 人教版数学 · 九年级下册 · 2026—2027 学年 第31章复习·相似 人教版数学九年级下册 教材原文逐段解析　·　思路点拨 共 21 页 · 18 个学习环节 本课导航 初中数学 · 教材解析 02 / 21 01 本章知识结构 P03 02 回顾与思考（1—4） P04 03 回顾与思考（5—7） P05 04 复习巩固（1） P06 05 复习巩固（2、3） P07 06 复习巩固（4、5） P08 07 复习巩固（6） P09 08 综合运用（7、8） P10 09 综合运用（9） P11 10 综合运用（10、11） P12 11 综合运用（12、13） P13 12 拓广探索（14、15） P14 13 数学活动·利用相似设计图案 P15 14 全章易错清单：这几处最容易丢分 P16 15 综合训练：一道题串起判定、性质与应用（1） P17 16 综合训练：一道题串起判定、性质与应用（2） P18 17 分层作业 P19 18 课堂小结 P20 共 21 页 · 建议按序号推进，每页先自己想一想，再点开点拨 一、本章知识结构 初中数学 · 教材解析 03 / 21 相似图形 → 相似多边形（角分别相等、对应边成比例）→ 相似三角形 判定：平行线分线段成比例（基本事实与推论）、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、斜边和一直角边成比例 性质：对应线段（高、中线、角平分线）的比 = 相似比；周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方 应用：测高、测距、内接图形；位似图形：位似中心、放大与缩小、坐标规律 方法点拨　全章的“根”是一条基本事实：平行线分线段成比例；其余判定定理都由它推出. 想一想　你能把上面的结构画成一张图吗？ 二、回顾与思考（1—4） 初中数学 · 教材解析 04 / 21 1. 相似图形与全等图形有什么关系？ 2. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段有什么关系？ 3. 判定两个三角形相似的方法有哪些？这些方法与判定两个三角形全等的方法对应吗？为什么？ 4. 相似三角形有哪些性质？ 回顾要点　全等是相似比为 1 的特殊情形；判定方法一一对应（SSS/SAS/AA/HL），只是“相等”换成“成比例”. 性质则从“线段比 = k”到“面积比 = k²”. 三、回顾与思考（5—7） 初中数学 · 教材解析 05 / 21 5. 举例说明相似三角形的简单应用. 6. 举例说明什么样的两个图形是位似图形，怎样把一个图形按照一定比例放大和缩小. 7. 说一说平移、轴对称、旋转、相似等图形的变化之间的异同. 用这些图形的变化设计一些图案. 方法点拨　四种变化的分水岭：平移、旋转、轴对称都“保形保大小”（全等变换），只有相似（含位似）“保形不保大小”. 四、复习巩固（1） 初中数学 · 教材解析 06 / 21 1. 如图，四边形与四边形相似. 根据图中的数据，求的度数和的长. （第1题） 思路点拨　相似 → 对应角相等（求⁠）、对应边成比例（求⁠）；四边形内角和 360° 是求角的依据. 五、复习巩固（2、3） 初中数学 · 教材解析 07 / 21 2. 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的的最短边长为 15. 求的其他两条边长和周长. 3. 根据下列图中标注的条件，判断各图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 如果相似，求出和的值. （1） （2） 六、复习巩固（4、5） 初中数学 · 教材解析 08 / 21 4. 如图，在方格纸中画出一个⁠，使 ∽ ⁠，且的面积等于的面积的 4 倍. （第4题） 5. 如图，是的边上一点，⁠，是的中点，的延长线与边的延长线交于点⁠. 求的值. （第5题） 思路点拨　4. 面积 4 倍 → 相似比 2；5. 由∥得相似，把与的比转化为已知比. 七、复习巩固（6） 初中数学 · 教材解析 09 / 21 6. 在平面直角坐标系中，如果的顶点坐标分别为⁠，⁠，⁠，以原点为位似中心，把按相似比缩小，写出缩小后三角形三个顶点的坐标. 思路点拨　⁠：同向取⁠，反向取——注意有两组答案. 八、综合运用（7、8） 初中数学 · 教材解析 10 / 21 7. 李明与张华讨论测量树高的方法. 张华说：如图，只要测量树在阳光下的影子长⁠，再测量出此时垂直于地面、长为的小木棒的影子长⁠，就可以算出树高⁠. 你能用含⁠，⁠，的代数式表示出树高吗？ （第7题） 8. 如图，已知零件的外径为⁠，现用一个交叉卡钳（和相等）测量零件的内孔直径⁠. 如果⁠，且量得⁠，求及零件厚度⁠. （第8题） 九、综合运用（9） 初中数学 · 教材解析 11 / 21 9. 李明的座位到黑板的距离是 6 m，老师在黑板上要写多大的字，才能使李明看黑板上的字时，感觉与看相距 30 cm 的教科书正文的小四号字大小相同（小四号字大小约为 0.42 cm×0.42 cm）？ 思路点拨　“感觉大小相同”→ 视角相同 → 字的大小与距离成正比：（单位统一为 m）. 十、综合运用（10、11） 初中数学 · 教材解析 12 / 21 10. 如图，的边⁠，分别交于点⁠，⁠. 你能在图中找出几对相似三角形？请选择一对说明相似的理由. （第10题） 11. 如图，是的弦，是直径，且⁠，垂足为⁠. 求证：⁠. （第11题） 思路点拨　10. 同弧所对圆周角相等；11. 连⁠、⁠，证 ∽ ⁠. 十一、综合运用（12、13） 初中数学 · 教材解析 13 / 21 12. 如图，在方格纸中，以点为位似中心，画出四边形的位似图形⁠，使四边形与的相似比为⁠. 你有几种画法？ （第12题） 13. 如图，表示一块直角三角形木板，两条直角边⁠，的长分别为 90 cm，120 cm. 现要在其上裁出一块矩形木板⁠，使矩形的一边在斜边上，其余两个顶点⁠，分别在⁠，上. 怎样裁才能使得得到的矩形木板面积最大？ 思路点拨　设矩形一边为⁠，用相似表示另一边，面积写成二次函数求最值. 十二、拓广探索（14、15） 初中数学 · 教材解析 14 / 21 14. 已知正五边形的边长为 1.（1）求证：正五边形的对角线相等.（2）求正五边形对角线的长. 15. 如图，为了求出海岛上的山峰高度⁠，在处和处树立标杆和⁠，标杆的高都是 3 丈（1 丈=10 尺），⁠，两处相隔 1000 步（1 步=6 尺），并且⁠，和在同一平面内. 从标杆后退 123 步的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退 127 步的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上. 求山峰高度及它到处的水平距离⁠. 十三、数学活动·利用相似设计图案 初中数学 · 教材解析 15 / 21 活动 2·利用相似可以设计美丽的图案. 例如，是等边三角形，按逆时针顺序，分别取三边的第一个三等分点⁠，⁠，⁠，依次连接它们得到⁠. 类似地重复进行下去，就得到一个视觉上三角形逐渐远去的图案. 每次画出的三角形和原三角形相似吗？每次画出的三角形和上一个三角形的面积比是多少？ 如图，以点为中心，把线段逆时针旋转 30°，得到射线⁠，过点作⁠，垂足为⁠，得到⁠. 类似地重复进行下去，就得到一个美丽的螺旋图形. 图中所有的三角形都相似吗？以和为例，证明你的结论. 十四、全章易错清单：这几处最容易丢分 初中数学 · 教材解析 16 / 21 判定用错 把“两边成比例且一角相等”当成判定，必须是夹角 只看两组边成比例就下结论，三边要全配齐 对应关系搞反 相似比写成⁠，前后不一致 求线段时把对应边配错，答案差一个倍数 面积比当相似比 面积比等于相似比的平方，不能直接开方当边长比用 “面积扩大 4 倍”对应相似比为 2，不是 4 位似概念混淆 相似不一定位似，位似必须对应点连线共点 位似比为负时，图形在位似中心另一侧 十五、综合训练：一道题串起判定、性质与应用（1） 初中数学 · 教材解析 17 / 21 如图，在中，⁠，于⁠，于⁠. 已知⁠，⁠. （1）求⁠、⁠、的长；（2）求的长；（3）求⁠. 思路点拨　先找“母子型”相似： ∽ ∽ ⁠；再在内用一次“平行截相似”或再看一组相似求⁠. 2. 一块三角形余料⁠， mm，高 mm，要把它加工成正方形零件，一边在上，其余两个顶点在⁠、上. 求正方形的边长. 十六、综合训练：一道题串起判定、性质与应用（2） 初中数学 · 教材解析 18 / 21 思路点拨　设边长为⁠，用“正方形的上边截出的小三角形与原三角形相似、对应高之比等于相似比”列方程. 3. 在中，⁠，⁠，点在上，⁠. 在上取点⁠，使与相似，求的所有可能值. 思路点拨　对应关系有两种：对或对⁠，两种都要算. 十七、分层作业 初中数学 · 教材解析 19 / 21 基础题·课本复习题 31 第 1—6 题. 做完对照本课“易错清单”自查一遍. 提高题·在中，是的中点，在上，⁠，与交于⁠. 求⁠. 拓展题·自编一道“用相似三角形测高度”的题，给出数据、解答和易错点提示，与同学交换做. 思路点拨　提高题提示：过作∥交于⁠，把转化为⁠，再用中点条件. 十八、课堂小结 初中数学 · 教材解析 20 / 21 1. 一条基本事实串起全章：平行线分线段成比例 → 判定定理 → 性质 → 应用. 2. 判定相似的四把钥匙：平行、两角、两边夹角、三边（直角三角形另有 HL 型）. 3. 性质两个层次：对应线段比 = k；面积比 = k². 4. 位似是特殊的相似，坐标规律／⁠. 5. 应用的核心动作：把“不可测”转化为“可测的相似比”. 数学史话　从泰勒斯测金字塔、刘徽《海岛算经》的重差术，到欧几里得《原本》卷Ⅵ的相似理论，人类用“相似”丈量世界已有两千多年. 本章所学的每一个判定定理，都是这条漫长测量史上的一个节点. 课时自评：会了没有 初中数学 · 教材解析 21 / 21 合上课本，先自己判断 30 秒，再把“还不确定”的那一条写进错题本. 01 已经会了 能不看课本，把关键的“为什么”讲给同桌听. □ 说清定义与条件的来由 □ 独立完成 2 道同类题 □ 能指出易错点在哪 02 还差一步 思路对，但算到一半卡住或单位、符号出错. □ 公式会写但代入易错 □ 作图缺标注 □ 步骤跳跃说不完整 03 需要再讲 这一步没听懂，必须请老师再讲一遍. □ 定义中有不理解的字 □ 证明找不到入口 □ 不会把文字变图形 本课一句话记牢： 系列：初中数学 · 教材解析　|　共 21 页 · 18 个学习环节 $