32.2 解直角三角形及其应用-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

32.2 解直角三角形及具应用 新知解读 我们知道，对于直角三角形，已知它的一些边、角（如一条斜边和一个锐角）， 这个三角形的形状、大小就确定了，即它的其余边、角也就确定了.如何由已知 的一些边、角求出其余边、角呢？本节就来借助锐角三角函数研究这个问题，并 运用得到的结论解决一些实际问题. 32.2.1解直角三角形 回到本章引言中的问题， 如图32.2-1，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，则sina=BC,因此BC=ABsin.a这样， AB 根据测得的距离AB和仰角α就可以计算出 BC,进而得到高程 图32.2-1 hy=hy+h+AB sin a-h2. 在上面解决问题的过程中，我们由直角三角形的斜边和一个锐角，求出了这 个锐角所对的直角边.实际上，在Rt△ABC中，我们还可以求出其余的边和角. 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角.由 直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 点拔：解直角三角形时，为了厘清各边、各角，一般是先画出一个直角三角形示意图， 按照题意标明娜些元素是已知的，娜些元素是未知的，然后确定锐角，再确定它的对 边和邱边，并将直角三角形的边和角与锐角三角函数联系起来，从而迅速求解 ®探究 在直角三角形中，知道除直角外五个元素中的几个，就可以求其余元素？ y2个（至少有一个是边）. 如图32.2-2，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A, LB,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除直角∠C外的 B 五个元素之间有如下关系： a 图32.2-2 52教材笔记数学九年级下册RJ (1)三边之间的关系 a2+b2=c2（勾股定理)； (2)两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°； (3)边角之间的关系 sinA=∠A的对边=a 斜边 , c0sA=∠A的邻边_ 斜边 c' tan A=- A的对边=4 ∠A的邻边b 上述（3)中的A都可以换成B,同时把a,b互换 利用这些关系，知道其中两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余 三个未知元素. 简记为“知二求三” 例1如图32.2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=2,BC=6,解这个直角三角形. 解：：tanA=BC=6 =3, B .∠A=60°，>直角三角形的两锐角互余 6已知两直角边 ∠B=90°1∠A=90°-60°=30°， 图32.2-3 AB=2AC=22.解直角三角形的一般原则： 一是有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切)； 二是尽量选择可以直接应用原始数据的关系式； 三是尽量选择便于计算的关系式， 练习 1.mA=号-，A=30,∠B=90-∠A=60，AB2BC2 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,b=3,解这个直角三角形. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1)a=5,b=12;(2)a=2,c=3;(3)b=2,c=3 AB=13,∠A≈22.6°， (AC=J/5,∠A≈41.8°，BC=1,∠A≈35.3°， ∠B≈67.4° ∠B≈48.2° ∠B≈54.7°. 例21如图32.2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°， 20 ∠B=35°，b=20,解这个直角三角形（结果保留已知一锐角 b已知一 小数点后一位) B35 正C直角边 图32.2-4 第三十二章 锐角三角函数 53 解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. 点拨：解直角三角形时，若已知一锐角和一直 .tan B=b a, 角边，一般先用“直角三角形两锐角互余”， b 20 求出未知角的度数，然后用正弦或余弦求斜边， ∴.a= ≈28.6. tan B tan 35 用正切求另一直角边。 sin B=b 有，如c=a 你还有其他方 C Cos B a b 20 ≈34.9.下 法求出c吗？ .'c=- sin B sin35o≈34.9. c0s350 例3如图32.2-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10, 解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）. 解：∠A=90°-∠B=90°-50°=40°. .sin B=AC B ' 已知一锐角 .AC=AB·sinB=10×sin50°≈7.7. 50 10 BC 心已知斜边 .cos B=- AB' A ..BC=AB·co0sB=10×cos50°≈6.4. 图32.2-5 练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)∠A=45°，c=6; (2)∠A=60°，a=4. 1.(1)∠B=45°，AC=3/2,BC=32.(2)∠B=30,AC=43,AB=83 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形（结果保留小数 点后一位)： (1)∠B=72°，c=14; (2)∠B=65°，a=5. 2.（1)∠A=18°，BC≈4.3，AC≈13.3. （2)∠A=25°，AB≈11.8，AC≈10.7 32.2.2应用举例 解直角三角形的应用非常广泛，下面举一些例子 例41如图32.2-6，屋顶的人 字架为等腰三角形，跨度BC=30m, 18 D 30m AB￥AC 图32.2-6 54 教材笔记数学九年级下册RJ >AD⊥BC,BD=CD=1BC ∠B=18°.求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）. 解：由题意知△ABD是直角三角形 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=18°，BD=15. tanB=AD∠B的对边 运用解直角三角形的方法解决实际 BD’LB的外边 问题时，要善于将实际问题中的数 ∴.AD=BD·tanB=15×tan18°≈4.9. 量关系转化为直角三角形的边角关 系，然后进行求解. .cos B= BDLB的外边 AB’斜边 .AB= BD 15 ≈15.8. cos B cos18° 因此，中柱AD的长约为4.9m,上弦AB的长约为15.8m. 例51天宫空间站在远地点高度约399km、近地，点高度约385.6km的轨道上 PF的长 运行.如图32.2-7，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最 远点在什么位置？连接地球中心O与点F,交地球表面于点P,最远点与点P的 表面距离是多少（地球半径约为6400km,π取3.142，结果取整数）？ 图32.2-7 分析：从空间站中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时 的切点.如图322-7，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的 ⊙0的有关问题.其中点F是空间站的位置，FQ是⊙0的切线，切点Q是从空 间站中观测地球时的最远点，PQ的长就是地球表面上P,Q两点之间的表面距 离.为计算P0的长，需先求出∠POQ(即角a)的度数. 第三十二章锐角三角函数 55 解：图322-7是空间站与地球位置关系的示意图，其中⊙0的圆心为地 球中心、半径为地球半径，F是空间站运行的远地点，FQ是⊙0的切线.可以 发现，切点Q就是从空间站中观测地球时的最远点 根据切线的性质，∠OQF=90°，△F0Q是直角三角形.设∠P0Q=a, 6400 ·c0sa= 00 ≈0.9413， OF 6400+399 .∴.a≈19.73° .P0的长为 19.73元×6400≈19.73x3.142×6400≈2204(km). 180 180 由此可知，当空间站运行到远地点F时，从中观测地球表面的最远点与点 P的表面距离约为2204km. 练习 CD=5 ∠CAD=60°< 1.如图，在离地面高度5m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60° 角.求拉线AC的长及拉线下端点A与杆底D的距离（结果保留小数点后两位） 1.由题意得，△ACD是直角三角形，CD=5,∠C4D=60°，.AC= CD sin60° 5.77,4AD= CD ≈2.89.因此，拉线AC的长约为5.77m,拉线下端点A与 tan60° 杆底D的距离约为2.89m B 140° K60° 520m 509 (第2题) D (第1题) 2.如图，施工队沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另 一边同时施工.为此在AC上取一点B,使∠ABD=140°，BD=520m, ∠D=50°.那么另一边开挖，点E离D多远，正好使A,C,E三点在同一 直线上（结果保留小数，点后一位)？ 2若使A,C,E三点在同一直线上，则∠CBD=180°-∠ABD=40°， ∴.∠E=180°-∠CBD-∠D=90°，即△BDE是直角三角形， ∴.DE=BD·c0sD=520×c0s50°≈334.2. 因此，开挖点E离D约334.2m时，正好能使A,C,E三点在同一直线上， 56 教材笔记数学九年级下册RJ 例6如图32.2-8，在用无人机测量一栋楼的高度时，无 309 人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼 底部C的俯角B为60°，A处与楼的水平距离为120m.这栋楼 609 有多高（结果取整数）？ AD=120 分析：在Rt△ABD中，a和AD已知，利用解直角三角形的 知识可以求出BD.类似地可以求出CD,进而求出BC 解：如图32.2-8，由题意知，a=30°，B=60°，AD=120 图32.2-8 在Rt△ABD中， 拓展：在测量时，我们把在视线与水平线所成的角中，视线 .tan a=BD 在水平线上方的叫作仰角，视线在水平线下方的叫作俯角. D' .BD=AD·tana=120×tan30°=120× 3 =40/5. 3 同理，在Rt△ACD中， CD=AD·tanB=120×tan60°=120×/3=120/3. :.BC=BD+CD=40/3+120/3=160/3≈277. 因此，这栋楼高约为277m. 例7如图32.2-9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 北 65°方向、距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行 659 >PA=80 一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处.这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？ 解：如图32.2-9，在Rt△APC中， PC=PA·cos∠APC=PA·cos（90°-65) =80×c0s25°≈72.505. 图32.2-9 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∠B的对边 sin B=PC PB 斜边 PB=PC≈72.505 ≈130 sin B sin34° 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile. 第三十二章锐角三角函数 57 息归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的 问题； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； 常见解非直角三角形的两种模型（如图）： (4)得到实际问题的答案. 练习 >CD=40 1.如图，建筑物BC上有一避雷针AB,从与BC相距40m的D处观测避雷 针顶部A的仰角为50°，观测避雷针底部B的仰角为45°.求避雷针的长 度（结果保留小数点后一位）LADC=50 >∠BDC=45° 1.在Rt△ACD中，tan50°=AC ∴.AC=CD·tan50°≈47.67.在Rt△BCD中， CD .∠BDC=45°，∴.BC=CD=40,.AB=AC-BC≈47.67-40=7.67≈7.7， 即避雷针的长度AB约为7.7m. 459 50° 40m B (第1题) (第2题) BD=12 2.如图，海中有一个小岛A,它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西 向东航行，在，点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行l2 n mile到达 点D,这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？ 2.没有触礁的危险.提示：如图，过点A作AC⊥BD于点C,则AC的长是点A 到BD的最短距离，易得∠ADC=60°，则∠BAD=∠ABD=30°，从而AD=BD= 12,在Rt△ADC中，可根据AC=AD·sinLADC进行求解. 58 教材笔记数学九年级下册RJ 习题32.2 复习巩固 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： (1)a=7,b=24; (2)c=10,b=6; 1.（1)c=25,∠A≈16.26°，∠B≈73.74°. （2)a=8,∠A≈53.13°，∠B≈36.87°. (3)c=8,∠A=30°； (4)b=7,∠A=15 (3)a=4,b=4J3,∠B=60°. (4)a≈1.88，c≈7.25，∠B=75°. 2.如图，焊接一个高为3.5m、底角为32°的人字形（等腰三角形）钢架，需 AD⊥BC,AD=3.5>∠B=32 多长的钢材（结果保留小数点后两位)？ AB=AC 2由题意得，AD=35,∠C=LB=32°，AC=AB,AB=AC=,AD sin32° ≈6.605，BD= ,AD≈5.601，则BC=2BD≈11.202，BC+AD+AB+AC≈11.202+3.5+6605+6605= tan 320 27.912≈27.91，即约需27.91m的钢材. A 329 3.5m 1200m D C (第2题) (第3题) 3.如图，某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从 飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31'.求飞机与指挥台的距离（结果 取整数). 3.在Rt△ABC中，∠B=∠a=16°3'，AC=1200,sinB=AC AB=- 1200 in16°31' 4221,即飞机与指挥合B的距离约为4221m. 4.从高出海平面55的灯塔处收到一艘帆船的求助信号.从灯塔看帆船的俯角 为21°，此时帆船距灯塔有多远（结果取整数)？ 4.作出如下图形.在高出海平面55m的灯塔处看帆船的俯角为21°，∴.∠B=∠BAD= 21°.在R△ABC中，：AC=55m,∠B=21°，BC=AC=5543,即 tan21°tan21o 帆船距打塔约143m. D 21o B 5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树之间的水平距离)是5.5m.测得 第三十二章锐角三角函数 59 斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树之间的坡面距离（结果保留小数点 后一位) 5.如图.由题意得，在Rt△ABC中，AC=5.5,∠A=24°， AB=AC。≈60，即斜坡上相邻两树之间的坡面距离约是6.0m. C0s24° (第5题) 综合运用 6.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)已知∠A,c,写出解Rt△ABC的过程； 6.(1)∠C=90°，∠B=90°-∠A.:siA=a,cosA=b,a=csinA,b=ccosA. (2)已知∠A,a,写出解Rt△ABC的过程； (2):∠C=90°，∠B=90°-∠A.sinA=a,tanA=g, b=-a sin A tanA (3)已知a,c,写出解Rt△ABC的过程. (3)∠C=90°，.b=C-a,sinA=a,从而求出∠A的度数，则LB=90°-∠A 7.一座金字塔的示意图如图所示，金字塔的下底面是一个边长为232m的正方 形，且每个侧面与底面成51.63°角.求这座金字塔的高度（结果保留小数点后 一位) 7.这座金字塔的高度约为146.5m. B A 6km 51.63 45.54 439 116 (第7题) (第8题) ∠ARL=43° 8.如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当秋箭到达A点时，从位于地面R处 的雷达站测得AR的距离是6km,仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测 60教材笔记数学九年级下册RJ 得仰角为45.54°.这枚火箭从点A到点B的平均速度是多少（结果保留小数 点后两位)？→LBRL=45.54° 8.在Rt△ALR中，∠L=90°，.RL=AR·cos∠ARL≈4.388，AL=AR·sin∠ARL≈4.092. 在Rt△BLR中，∠L=90°，.BL=RL·tan∠BRL≈4.472，∴.AB=BL-AL≈4.472- 4.092=0.38,∴.这枚火箭从点A到点B的平均速度约为0.38km/s 9.筒车是我国古代发明的一种以水流作动力、取水灌溉的工具.明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图(1）).为了灌溉农 田和旅游观光的需要，某地根据当地一条河流的水深、流速等情况设计了 架筒车（图（2)，该筒车是以点0为圆心的圆，10个盛水筒均匀地分布在 圆周上.若两个盛水桶A,B之间的距离为5m,则该筒车的半径是多少（结 果保留小数点后两位)？ 9.约为4.25m.提示：如图，连接OA,OB,AB,过点0作OC⊥AB于点C,在Rt△4OC中， 根据锐角三角函数可求得OA的长， 水面 (2) (第9题) AF 10.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1：1.5是指坡面的铅直 高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1：3是指DE与CE的比.根 据图中数据，求： DE =1 CE 3 (1)坡角α和B的度数（结果以度为单位，保留小数点后一位)； 10(1)由题意，得ma=C==2 CE=3,a≈3.7°，B≈18.49. DE 1 BF1.59 (2)斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）. A D 注意：城度不是一个 i=1:1.5 i=1:3 度数，而是一个比值， 6m 该比值与坡角的正切 值相等，解题时不要 B F E 混淆城角与坡度 (第10题) 第三十二章锐角三角函数 61 2由(1)得=号BD=9在R△ABF中，由勾及定理，得AB=AF产+BF率 6+92=117≈10.8，即斜坡AB的长约为10.8m 拓广探索 11.海中有一小岛P,在以P为圆心、半径为16/2 n mile的圆形海域内有暗 礁.一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上， 且A,P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触 礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多 多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？ 11.若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险.轮船自A处开始沿南偏东至多 75°方向航行，才能安全通过这一海域 12.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为0，δ为此时太阳直射的纬度，p 为该地的纬度，那么这三个量之间的关系是0=90°-p-6.当地夏半 年6取正值，冬半年δ取负值.在北京地区（纬度数约为北纬40°)，如果在 栋高为h的楼房北面盖一栋新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前 面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？（提示：根据地理知识，在北京 地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最 长.因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南 回归线时的情况.) 0-0 此时处于冬半年，6≈-23.5° 太阳光 0 (第12题) 12.两楼的距离不应小于 ho tan26.5°· 62教材笔记数学九年级下册RJ ★阅读与思考大 测量山坡的高度 当我们要测量如图1所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡 面长度l,就能算出h=lsin a.但是，当我们要测量如图2所示的山高h时， 问题就不那么简单了. 图1 图2 比较这两个测量问题，你想到了什么？ 在测量大坝的高度时，由于坝坡、坝高与水平线构成直角三角形，因此 解直角三角形可得坝高.与测量坝高相比，测量山高的困难在于，山坡是“曲” 的，问题不能简单地归结为解一个直角三角形.如果能把“曲”转化为“直”， 就可能解决问题. 我们设法“化曲为直，以直代曲”.我们可以把山坡“化整为零”地划分 为一些小段，图3表示其中一部分小段.划分小段时，注意使每一小段上的山 坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l,测出相应的仰角α，这样就可以算 出这段山坡的高度h:=l,sina. 每一小段的城长对应的仰角 不一定相等，要分段单独测量、 单独计算，不能用同一个角度 套所有小段 图3 在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各 段山坡的高度h,h2,…,hn,然后我们“积零为整”，把h,h2,…,hn相 加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“先化整为零，又积零为整”“化曲为直，以直代 曲”的做法，体现了微积分的基本思想.它在数学中有重要地位，今后的学习 中你会更多地了解这方面的内容. 第三十二章锐角三角函数 63