32.2-1 解直角三角形课件-2026-2027学年人教版九年级数学下册

32 32.2-1 解直角三角形 第三十二章 锐角三角函数 一、从引言的问题说起 我们知道，对于直角三角形，已知它的一些边、角（如一条斜边和一个锐角），这个三角形的形状、大小就确定了，即它的其余边、角也就确定了. 如何由已知的一些边、角求出其余边、角呢？本节就来借助锐角三角函数研究这个问题，并运用得到的结论解决一些实际问题. 图 32.2-1 如图 32.2-1，在 Rt中，⁠，则⁠，因此⁠. 这样，根据测得的距离和仰角就可以计算出⁠，进而得到高程 二、什么叫解直角三角形 在上面解决问题的过程中，我们由直角三角形的斜边和一个锐角，求出了这个锐角所对的直角边. 实际上，在 Rt中，我们还可以求出其余的边和角. 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 探究　在直角三角形中，知道除直角外五个元素中的几个，就可以求其余元素？ 想一想　五个元素中只知两个角，三角形的大小并不确定——所以两个元素中至少有一个是边. 三、五个元素之间的关系 如图 32.2-2，在 Rt中，为直角，⁠，⁠，所对的边分别为⁠，⁠，⁠，那么除直角外的五个元素之间有如下关系： （1）三边之间的关系　（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系　⁠； （3）边角之间的关系 归纳　上述（3）中的都可以换成⁠，同时把⁠，互换. 知道其中两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素. 四、例 1 例 1　如图 32.2-3，在 Rt中，⁠，⁠，⁠，解这个直角三角形. 图 32.2-3 解　⁠， ⁠， ⁠， ⁠. 方法点拨　已知两边解直角三角形：先用勾股定理求第三边，再用正切（或正弦）求出一个锐角，最后用两锐角互余求另一个锐角. 五、练习（P51） 1. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠，解这个直角三角形. 2. 在 Rt中，⁠，根据下列条件解直角三角形： （1）⁠，⁠；　　（2）⁠，⁠；　　（3）⁠，⁠. 思路点拨　1. 由得⁠，再求与⁠；2. 三小题都要先把第三边用勾股定理算出，再求角. 想一想　解直角三角形时，选择哪个三角函数关系式，就看“已知谁、要求谁”：已知的两条边与所求边都在同一个比值里，计算最简. 六、参考答案：练习（P51）（1） 1. 解：⁠；⁠，所以⁠，⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 2.（1） 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. （2） 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 七、参考答案：练习（P51）（2） （3） 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 八、例 2 例 2　如图 32.2-4，在 Rt中，⁠，⁠，⁠，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）. 图 32.2-4 解　⁠. ⁠， ⁠. ⁠， ⁠. 你还有其他方法求出吗？　也可以先由求出⁠，再用勾股定理求⁠；还可用直接求⁠. 九、例 3 例 3　如图 32.2-5，在 Rt中，⁠，⁠，⁠，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）. 图 32.2-5 解　⁠. ⁠， ⁠. ⁠， ⁠. 方法点拨　已知一锐角与斜边：用正弦、余弦把两条直角边分别表示成“斜边 × 函数值”，再用两锐角互余求另一角. 十、练习（P52） 1. 在 Rt中，⁠，根据下列条件解直角三角形： （1）⁠，⁠；　　（2）⁠，⁠. 2. 在 Rt中，⁠，根据下列条件解直角三角形（结果保留小数点后一位）： （1）⁠，⁠；　　（2）⁠，⁠. 思路点拨　1（1）是等腰直角三角形，两直角边相等；（2）先求⁠，再由求⁠. 2. 已知一锐角，另一锐角直接用互余求；边用正弦、余弦、正切分步求. 辨析　同样是“已知两元素”，若给的是两个角，则三角形只有形状没有大小，不能解——这也说明两元素中至少要有一条边. 十一、参考答案：练习（P52）（1） 1.（1） 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠. （2） 解：⁠；⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 2.（1） 解：⁠；⁠，⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 十二、参考答案：练习（P52）（2） （2） 解：⁠；⁠，⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 十三、问题引导：六个元素，知道几个就够 直角三角形有三条边、两个锐角、一个直角，共 6 个元素. 要确定它的大小形状，至少要知道几个？ 已知两个锐角，能不能确定一个直角三角形？为什么？ 已知一条边和一个锐角，或者已知两条边，是不是都能把其余元素求出来？ 思路点拨　关键看“能不能定住大小”：只给角定不了大小，必须至少给一条边. 十四、五元素关系：一张关系网打通全章 三边关系　（勾股定理）. 两锐角关系　⁠. 边角关系　⁠，⁠，⁠. 思路点拨　解题时按“已知什么、求什么”选公式：已知两边用勾股与三角函数，已知一边一角用三角函数. 十五、变式训练：已知一边一角（1） 1. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 解这个直角三角形. 思路点拨　先求⁠，再用⁠、（或⁠）. 2. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 解这个直角三角形. 思路点拨　时两直角边相等，直接用等腰直角三角形的性质更快. 十六、变式训练：已知一边一角（2） 3. 在 Rt中，⁠，⁠， cm. 解这个直角三角形（精确到 0.1）. 思路点拨　是的邻边，求对边用正切，求斜边用余弦. 4. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 求与（精确到 0.01）. 思路点拨　注意是的对边，别把正弦余弦用反. 十七、参考答案：变式训练：已知一边一角（1） 1. 解：⁠；⁠，⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 2. 解：等腰直角三角形，⁠，⁠，⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 3. 解：⁠；⁠；⁠. 答： cm， cm，⁠. 十八、参考答案：变式训练：已知一边一角（2） 4. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠. 十九、变式训练：已知两边（1） 1. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 解这个直角三角形. 思路点拨　先用勾股定理求⁠，再用三角函数求角（可查表或用计算器）. 2. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 解这个直角三角形. 思路点拨　由得⁠，属于特殊角，不必用计算器. 3. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 求与（精确到⁠）. 二十、变式训练：已知两边（2） 思路点拨　先用勾股求⁠，再用求角. 4. 一个直角三角形的斜边是 15，一条直角边是 9. 求另一条直角边和两个锐角. 思路点拨　勾股求出 12，是 的倍数；再用反三角函数求角. 二十一、参考答案：变式训练：已知两边（1） 1. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 2. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠，⁠. 3. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠. 二十二、参考答案：变式训练：已知两边（2） 4. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，两锐角分别约为与⁠. 二十三、当堂检测：独立完成（1） 1. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 求⁠、⁠. 思路点拨　⁠，⁠. 2. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 则＿＿. 思路点拨　⁠，是特殊角. 3. 判断：已知两个锐角就能解直角三角形.（　） 二十四、当堂检测：独立完成（2） 思路点拨　只有角没有边，图形可以任意放大缩小，解不出具体长度. 4. 在 Rt中，⁠，⁠，⁠. 求（精确到 0.01）. 思路点拨　⁠，所以⁠. 5. 一根旗杆在离地 3 m 处拉了一根钢索固定，钢索与地面成角. 求钢索的长度（精确到 0.1 m）. 思路点拨　旗杆与地面垂直，钢索是斜边，3 m 是角的对边. 二十五、参考答案：当堂检测：独立完成（1） 1. 解：⁠；⁠. 答： ⁠，⁠. 2. 解：⁠. 答： ⁠. 3. 答： 错. 只有两个锐角时，三角形只有形状没有大小，解不出边长；两个元素中至少要有一条边. 二十六、参考答案：当堂检测：独立完成（2） 4. 解：⁠. 答： ⁠. 5. 解：钢索是斜边， m 是角的对边，钢索长⁠. 答： 钢索约 m. 二十七、解的取舍：为什么有时会有两个答案 已知两边求角　通常唯一，因为锐角三角函数在—上单调. 已知两边及其中一边的对角（SSA）　可能有两解，要用“大边对大角”或图形判断取舍. 实际问题　长度、角度都要符合实际意义，负数、超过的锐角都要舍去. 思路点拨　算出结果后养成两个习惯：一看是否符合题意，二看是否在合理范围内. 二十八、分层作业 基础题　课本习题 32.2 第 1 题，四个小题各解一次，写清“已知什么、用了哪个关系”. 提高题　在 Rt中，⁠，⁠，的周长为⁠，求三边的长. 拓展题　自己编一道“解直角三角形”的实际问题（如测楼高、算斜坡），给出数据并写出解答. 思路点拨　提高题提示：设⁠，则⁠、⁠，用周长列方程. 二十九、参考答案：分层作业 基础题·参考要点 每小题按“已知谁、要求谁”选关系式：给两边先勾股再求角；给一边一角先用互余求另一角，再用正弦、余弦或正切求边. 提高题·解 设（角的对边），则⁠，⁠. 周长⁠，得⁠. 答： 三边长分别为 ⁠、⁠、⁠. 拓展题·参考要点 示例：楼高测量——在离楼米处测得楼顶仰角⁠，则楼高（为测角仪高）. 编题时数据要使三角形可解（至少已知一条边），并检查结果符合实际. 三十、课时小结 1. 解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程，除直角外共有五个元素. 2. 三组关系：⁠；⁠；⁠，⁠，⁠. 3. 可解的条件：已知两个元素，且其中至少有一个是边. 4. 选式原则：所求的边（或角）与两个已知量落在同一个三角函数关系式里. 数学史话　“解三角形”在西方叫“三角术”（trigonometry），词源是希腊语 trigonon（三角形）与 metron（测量）. 我国古代《周髀算经》用“勾股各自乘，并而开方除之”处理直角三角形的边，刘徽又以“出入相补”给出证明；而把边与角用函数联系起来，则要等到古希腊的弦表与后来的正弦表. 今天写在纸上的一个⁠，背后是两千多年“量天测地”的积累. $