32.1 正弦、余弦与正切-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

32.1锐角三角函数 新知解读 在前面的学习中，我们已经知道直角三角形中角与角、边与边之间的关系，这 为解决与直角三角形有关的问题提供了基础.为解决类似章引言中的问题，还需要 研究直角三角形中边与角之间的关系. 对本章引言中提到的问题，如果距离AB和仰角α已 B 经测出，问题就转化为：已知Rt△ABC的一个锐角α的度 数和斜边AB的长，求角a的对边BC的长. 三)斜边只在直角三角形中存在，永远对着直角 图32.1-1 如图32.1-1，如果a=30°，AB=850m,那么根据“在 直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 角a的对边-BC-1 斜边 =AB=2 注意：用希腊字母a,B, 可得BC=】AB=425(m). y,…表示角时，角的符号 “上”可以省略不写 ?思考 在上面的问题中，如果a=30°，AB=1268m,那么BC的长是多少？ 9634m. 在上面求BC的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等 于30，那么无论这个直角三角形大小如向，这个角的对边与斜边的比都等于 9思考 B 如图32.1-2，任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°，∠A= 45,计算∠A的对边与斜边的比BC.由此你能得出什么结论？ AB 4 C 图32.1-2 在Rt△ABC中，∠C=90°，因为∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角 形.由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2, 第三十二章锐角三角函数 7 AB=2 BC. 因此 BC-BC-1-2 AB 2BC2 2 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这 个角的对边与斜边的比都等于巨 综上可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A等于30°和45°时，∠A的 对边与斜边的比分别等于和受，都是固定值.一般地。当∠A是任意一个确定 的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 从特殊角推广到任 意锐角 Q探究 是一个固定值 如图32.1-3，任意画Rt△ABC和 B Rt△AB'C,使∠C=∠C=90°，∠A=∠A'. B BC与BC有什么关系？为什么？ AB A'B' A' 图32.1-3 因为∠C=∠C=90°，∠A=∠A',所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C.因此 BC_AB 两角分别相等的两个三角形相似 B'C A'B 习相似三角形的对应边成比例 即 BC B'C' AB A'B' 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如 何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值 B 如图32.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把 e 斜边 对边 ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine)，记作 sinA,即 b 图32.1-4 注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的； (2)siA是两条线段的比值，没有单位，其值只与锐角A的大小有关： 42教材笔记数学九年级下册RJ sinA=∠A的对边=a. 斜边 例如，当∠A=30°时，我们有 →简记为“对比斜” sinA=sin30°=；拓展：因为直角三角形的科边 2； 大于直角边，且各边的长均为 当∠A=45°时，我们有 正数，所以对于锐角A,有0< sin A<1. sin A=sin 45=2 例1如图32.1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°.求sinA和sinB的值. 3 13 5 C☐ 4 (1) (2) 图32.1-5 解：对于图（1)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=AC2+BC2=4+32=5. ∠A的对边 0 因此 个 求sinA就是要确定 BC 3 sin A= ∠A的对边与斜边的比； AB5 求sinB就是要确定∠B ∠B的对边← 斜边 sin B=AC4 的对边与斜边的比. AB 5 习斜边 对于图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2-BC2=132-52=12. 因此 ∠A的对边 sin A= BC 5 AB13' …斜边 4B物础4C-是 AB 13 习斜边 第三十二章锐角三角函数 43 练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.求sinA和sinB的值. B Dc 5 (1) (2) (第1题)》 1.对于图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC=34, 经4，m=4北点5 因此sinA=BC=3=334 ΓAB34 34 对于图（2)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2-AC=2, 7后2，mB=4-是 因此mA=6=2=25 5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°.求sinA的值.2.B Q探究 B 如图32.1-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定 斜边 时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间 对边 其他边之间的比 的比是否也随之确定呢？为什么？ 甑之痛定· 邻边b )理由略 图32.1-6 类似正弦的情况，利用相似三角形的知识可以证明，当∠A确定时，除了对 边与斜边的比，其他边之间的比，如邻边与斜边的比、对边与邻边的比也是确定 的.请同学们自己完成证明. 如图32.1-6，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫作 LA的余弦（cosine),记作cosA,即 。 对于锐角A, c0sA=∠A的邻边。b 对于锐角A的每一 有0<c0sA< 斜边 简记为“邻此斜” 个确定的值，sinA有唯 把∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切（tangent), 一确定的值与它对应， 记作tanA,即 y对于锐角A,有tanA>0 所以sinA是∠A的函数. 同样地，cosA,tanA也 tan A ∠A的对边a 是∠A的函数. 简记为“对比外” ∠A的邻边·b ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数(trigonometric function of a0咖ne)高整不李香素产高药落《南特季字表布的清道香省略角的分 44 教材笔记数学九年级下册RJ 例2如图32.1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6.求sinA, cosA,tanA的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2-BC=102-62=8. 因此 10 sin A=BC=6=3 6 AB=10=5 图32.1-7 COsA=AC=8 4 AB=10=5 注意每一个锐角A都有确定的正孩值、 tan A= BC-6-3 余弦值、正切值 AC 84 练习 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 1.对于图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC=AB2-AC2=5, 因此sinA= 13,c0sA=12 5 ,anA=5 2 sin B=12 B=音mB: 12 3 5 对于图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理，B 13 ch 得AB=AC+BC=13, 2 (1) (2) 因此sinA=313 13，cosA=213 13 tanA=3 (第1题) sin B=2/13 ,sB=3 13 ,tanB三3 3 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的 正弦值、余弦值和正切值有变化吗？请说明理由· 2.无变化.理由略 Q探究 3个 两块三角尺（图32.1-8)中有几个不同的 锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值 各是多少？ 图32.1-8 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如表32.1-1. 第三十二章 锐角三角函数 5 表32.1-1 根据此表可得特殊角的锐角 三角函数值，反过来，已知 锐角A 一个特殊角的锐角三角函戴 锐角三角函数 值，可求出相应锐角的度裁 30° 450 60° 0 1 sinA 2 设图32.1-8中每 2 块三角尺较短的边长均 cosA 3 为1，利用勾股定理和 2 2 2 锐角三角函数的定义可 以求出这些锐角三角函 tan A 数值 3 3 例3求下列各式的值： 规律记忆法：1,2,3；3,2,1；3,9,27；弦比2， 切比3，分子根号别忘添 (1)cos260°+sin260°； 自 (2)Cos450 tan45°. 把特珠角的锐角三角函数 sin260°表示(sin60)2, sin45° 值直接代入计算即可 即(sin60°).(sin60°). 解：(1)cos260°+sin260° 锐角三角函数之间的关系： =(+() 2 (1)同一锐角的三角函数之间的关系： =1; sin'A+cos'A=1,sin4 tan A. Cos A (2)互余两锐角的三角函数之间的关系：任意一 (2) cos 450 sin45° tan 450. 个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即 sinA=cos(90°-A)或cosA=sin（90°-A). =巨2 (3)任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为 2 倒数，即tanA·tan(90°-A)=1. =0. 例4(1)如图32.1-9(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,BC=3」 求∠A的度数. (2)如图32.1-9(2)，A0是圆维的高，0B是底面半径，A0=30B.求 ∠B的度数 易知△AOB是直角三角形 6 c (1) (2) 图32.1-9 46 教材笔记数学九年级下册RJ 解：(1)在图32.1-9(1)中， BC-3-2LA的对边 0 .sin A= 当A,B均为锐角 AB 6 2 时，若A≠B,则 .∠A=45°.→斜边 sinA≠sinB, (2)在图32.1-9(2)中，∠B的对越 c0sA≠cosB, 40=30B=J5, tanA≠tanB. .tan B=- OB OB .∠B=60°.>∠B的部边 练习 1.求下列各式的值： 1.(1)原式=1-2××3-2-3 2 (1)1-2sin30°cos30°； (2)原式=3×3-1+2x3=2/3-1 3 (2)3tan30°-tan45°+2sin60°；(3)原式=1×3=3. (3)(cos230°+sin230°)xtan60° 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=7,AC=21.求LA,∠B的度数. 2在Rt△ABC中，amA=BC=7=3 AC/21 ，amB=4 =3 ∴.∠A=30°，∠B=60° 通过上面的学习，我们知道，当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以 求得这些角的锐角三角函数值.如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的锐角 三角函数值呢？ 从高位到低位输入 我们可以借助计算器求锐角三角函数值. @ 不同的计算器操作 例如求sin18°，按si键，并输入角度值18，再 步骤可能有所不同，具 按今键，就可以得到sin18°≈0.309016994. 体参见其使用说明 又如求tan30°36'，按an键，并输入角的度、分值，再按合键，就可以 得到tan30°36'≈0.591398351.因为30°36'=30.6°，所以也可以按an键，并 输入角度值30.6，再按月键，同样可以得到tan30.6°≈0.591398351. 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数. 例如，已知sinA=0.5018,可以先调用计算器中根据三角函数值求角的度 数的功能，然后输入函数值0.5018，再按今键，就得到∠A≈30.11915867° 第三十二章锐角三角函数 (这说明锐角A精确到1°的结果为30°).利用计算器的有关功能，还可以进一步 得到∠A≈3007'08.97"（这说明锐角A精确到1'的结果为30°7'，精确到1"的 结果为30°79"). 注意：用计算器求出的函数值一般是近似值，具体计算 中水须按题目要求确定近似值 练习 1.(1）sin20°≈0.3420， 1.用计算器求下列锐角三角函数值：c0s70°≈0.3420； 分析第1(1)题 (1)sin20°，cos70°； sin35°≈0.5736， 的结果，你能发现什 c0s55°≈0.5736； sin35°，cos55°； 么规律？你能解释其 sin15°32'≈0.2678， sin15°32'，c0s74°28'. 中的道理吗？ c0s74°28'≈0.2678. （2)tan38',tan8025'43r(2）tan3°8'≈0.0547， tan80°25'43"≈5.9304. 一个锐角的正弦值 2.已知下列锐角三角函数值，用 等于它的余角的余 计算器求其相应锐角的度数： 孩值.解释略 (1)sinA=0.6275,sinB=0.0547;2.（1)∠A≈38°51'57"，∠B≈3°8'8" (2)∠A≈51°18'11" (2)c0sA=0.6252,c0sB=0.1659; ∠B≈80°27'2" (3)tanA=4.8425,tanB=0.8816. (3)A≈78°19'56" ∠B≈41°23'58" 习题32.10 复习巩固 1.分别求出图中∠A,∠B的正弦值、余弦值和正切值. sin B=. 22 sinA=/10 sin A=3 ,c0sA=1 3 10 1 3/10 tan A=3. cos B=- 3 CosA= 10 B tan B=22. 6 tanA= 3·6 →2/2 6 2 ch4/26 A a210 2 sin B=- B (1) (2) sin B=3/10 (3) cos B=3 10 sinA=1 cos A= 22 3 anA 4 (第1题) cos B= /10 tan B=3. tan B=/3 10 2.在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦 值呢？正切值呢？为什么？ 2.均确定.理由如下：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，∠A的对边与斜边、邱 边与斜边、对边与邱边的比都是一个定值」 48 教材笔记数学九年级下册RJ 3.求下列各式的值： (1)sin45°+2 (2)sin45°cos60°-cos45°： 3.(1)原式=2+=2 (2)原式=巨×号巨- ×2 2 (3)cos245°+tan60°cos30° (4)1-cos30 +tan30°. sin60° (3)=号}5x-2 13 (4)原式= 2 3 3 =3-1. 4.用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值和正切值. B AB=2.5 AB≈2.94109 入1.5 2.6 -8 1.7 2 B A 2.2 sin A=0.6, ◇>AC≈1.38564 2.4 1cosA=0.8, (1) (2) tanA=0.75. (3) sinA≈0.5780，cosA≈0.8160， (第4题) sinA≈0.8462，c0s4≈0.5329， tanA≈0.7083. tanA≈1.5877. 5.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A,B的度数： (1)sinA=0.7,sinB=0.01; (2)cosA=0.15,cosB=0.8; 5.（1)∠A≈44°2537"，∠B≈3423" (2)∠A≈81°22'23"，∠B≈ (3)tanA=2.4,tanB=0.5. 36°52'12" (3)∠A≈67°22'48"，∠B≈26°33'54" 综合运用 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°， 则下列比值中不等于sinA的是(D). cosA (A) AC (B) CD CB c) (D) CB (第6题) 7.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12.求sinB的值. 7号提示：和国，过点A作 AD⊥BC于点D. D (第7题) 第三十二章锐角三角函数 49 8.如图，点P在角a的边OA上，点P的坐标为(12,5)，PE⊥x轴，垂足为E. 求sina,cosa和tana的值. A 13,c0sa=12 8.sin a=5 13,tan a=5 0P=13 2 PE =5 C 0 >0E=12E (第8题) 9在△16C中，∠1、∠B都是锐角，且血A=气，mB=1求∠C的度数。 9.由题意，得∠A=60°，∠B=45°，∴.∠C=180°-∠A-∠B=75° 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA到点D,使AD=AB. 求tan∠CBD的值. B 10.在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∴.AB=2BC A (第10题)】 tan∠BAC= BC=3,AC=3 BC..AD=AB,.AD=2BC, AC 3 六m∠CBD=CD.4C+40=3BC+2BC=/3+2 BC BC BC 拓广探索 11.用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中. 锐角A 锐角 三角函数 5 15° 25° 35° 45 55 65° 750 85° sinA 0.08720.2588 0.42260.57360.70710.8192 0.90630.96590.9962 cosA 0.99620.9659 0.90630.8192 0.70710.5736 0.42260.25880.0872 tan A 0.08750.2679 0.46630.7002 1.4281 2.14453.732111.4301 随着锐角A的度数不断增大，sinA有怎样的变化趋势？cosA呢？tanA 呢？你能解释其中的道理吗？ 随着锐角A的度数不断增大，sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断增大.解释略. 12.在Rt△ABC中，∠C=90°.∠A的正弦、余弦之间有什么关系？（提示：利 用锐角三角函数的定义及勾股定理.)12.sin2A+cos2A=1. 50 教材笔记数学九年级下册RJ ★阅读与思考大 一张古老的三角函数表 人们很早就开始研究天文学，以便通过观察天上日月星辰的位置和运行 情况，解决有关计时、历法、航海、地理等方面的许多问题.对天体的观察和 测量离不开计算，这促进了数学的发展，三角函数的产生和发展与天文学有 密切的关系. 保存至今的一张古老的三角函数表，是2世纪的 古希腊天文学家、地理学家、数学家托勒密所著的《天 文学大成》一书中的一张“弦表”.这张弦表中，把半 径为60（古巴比伦人采用60进制记数，这也影响了古 希腊人)的圆中度数是0的弧（即圆心角日所对的弧） 所对的弦长制成了表，其中日从 °到180°每隔 (兮)°依次取位. 托勒密(Ptolemaeus, 约90一168) 你可能会想，这张弦表中的弧长、弦长等与锐角三角函数有关吗？ 利用我们现在已经学习过的圆和锐角三角函数的知 识可知，半径r、圆心角0及其所对的弦长1之间的关系 为1=2n号（医1，从丙m号=分由炙可见，当7 为固定值，日，1在表中对应给出时，就可以得到sin日的 值.因此，这张弦表表面上是由弧的度数0对应弦长1，实 图1 际上隐含了与0对应的sin日的值. 托勒密在《天文学大成》一书中还介绍了他利用几何方法推导弦表的过 程，这需要进行许多严密的推理和仔细的计算.由于当时没有先进的计算工 具，因此制作这张弦表要付出艰辛的努力.托勒密编制的弦表在数学史上是值 得纪念的一大贡献，人们可以直接利用上述计算结果解决有关问题，这带来 很多便利，极大地促进了三角学在天文测量等应用方面的发展： 随着人们对数学研究的不断深入，正弦、余弦、正切等锐角三角函数进 一步发展成一般的三角函数，后来，对数的产生极大地提高了三角函数的计算 速度，微积分的出现又带来利用级数计算三角函数的方法…三角函数的计 算方法正是在这些成果的基础上不断改进而得到发展的· 第三十二章 锐角三角函数 51