32.2.2应用举例（第2课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等概念，引导学生运用解直角三角形知识解决实际问题。课堂导入通过“温故”复习旧步骤，“合作探究”以无人机测楼高、海轮航行等问题引入，追问引导分析已知条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 该导学案以生活实例为载体，问题设计层层递进，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。追问引导逻辑推理，典例与中考真题结合强化应用意识，帮助学生掌握构造直角三角形的方法，提升解决实际问题的能力。

32.2.2应用举例（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解方位角、仰角、俯角、坡角、坡度。 2.会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题，体会数形结合和数学模型思想。 学习重点： 把实际问题转化为解直角三角形的问题。 学习难点： 在复合型图形中添加辅助线构造直角三角形，综合运用解直角三角形知识解决实际问题。 二、学习过程 （一）复习引入 温故 解直角三角形解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 答： 问题2 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时， 无人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼底部C的俯角β为60°，A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)? 追问1 A处与楼的水平距离为120 m→ . 追问2 在 Rt△ABD中， 和 已知，利用解直角三角形的知识可以求出 . 类似地可以求出 ，进而求出 . 解： 问题3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处 . 这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 追问1 结合题目中的条件，可以确定哪些线段和角？ 答： 追问2你能写出解题过程吗？ 解： 问题4 如图，如何描述斜坡AB的倾斜程度？ 答： 问题5 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB坡度i=1:1.5，斜面CD坡度i=1:3 ，根据图中数据，求： （1）坡角α和β的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 主要步骤 （三）典例分析 例1 如图，建筑物BC上有一避雷针AB，从与BC相距40 m的D处观测避雷针顶部A的仰角为50°，观测避雷针底部B的仰角为45°.求避雷针的长度(结果保留小数点后一位). 追问 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ 答： 例2 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险? 追问1 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ 答： 追问2 如何理解“没有触礁的危险”？ 答： 解： 例3 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，求滑梯的长． 解： （四）巩固练习 1．（2026年黑龙江绥化）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（      ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 2．（2025年江苏镇江）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（    ）． （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年湖北武汉）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是______（结果取整数，参考数据：，，）． 2．（2026年湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 3．（2026年四川内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 4．（2026年四川凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． （七）布置作业 1.必做题：习题32.2 第3，4，5题. 2.探究性作业：习题32.2 第11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 32.2.2应用举例（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解方位角、仰角、俯角、坡角、坡度。 2.会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题，体会数形结合和数学模型思想。 学习重点： 把实际问题转化为解直角三角形的问题。 学习难点： 在复合型图形中添加辅助线构造直角三角形，综合运用解直角三角形知识解决实际问题。 二、学习过程 （一）复习引入 温故 解直角三角形解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 问题1 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 答：三种：重叠、向上和向下． 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 问题2 如图，在用无人机测量一栋楼的高度时， 无人机的探测器显示，从A处看楼顶部B的仰角α为30°，看楼底部C的俯角β为60°，A处与楼的水平距离为120 m. 这栋楼有多高(结果取整数)? 追问1 A处与楼的水平距离为120 m→ AD=120 m，AD⊥BC . 追问2 在 Rt△ABD中， α 和 AD 已知，利用解直角三角形的知识可以求出 BD . 类似地可以求出 CD ，进而求出 BC . 解：如图，由题意知，α=30°，β=60°，AD=120. 在Rt△ABD 中， ∵tanα= ， ∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120× =40 . 同理，在Rt△ACD中， CD=AD·tanβ=120×tan60°=120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277. 因此，这栋楼高约为277m. 问题3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处 . 这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)? 追问1 结合题目中的条件，可以确定哪些线段和角？ 答：AP=80 n mile；∠PCA=∠PCB=90°；∠PAC=65°；∠B=34°；∠APC=25°；∠BPC=56°. 追问2你能写出解题过程吗？ 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA·cos∠APC=PA·cos(90°-65°) =80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB= ， ∴PB= ≈ ≈130. 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时， 它距离灯塔P大约130 n mile. 问题4 如图，如何描述斜坡AB的倾斜程度？ 答：用坡角或坡度来描述. 坡面和水平面形成的夹角叫作坡角(α). 坡面的垂直高度与水平宽度的比值叫作坡度(i).坡度又叫作坡比. 坡度与坡角的关系：i=tanα= . 注意：坡度习惯写成1∶m的格式. 问题5 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB坡度i=1:1.5，斜面CD坡度i=1:3 ，根据图中数据，求： （1）坡角α和β的度数； （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）． 解：(1)∵tanα=1:1.5= ，tanβ=1:3= ，∴α≈34°，β≈18°. (2)如图，在Rt△AFB中，AF=6 m， BF= = =9 (m). 由勾股定理得：AB= ≈10.8 (m). 所以斜坡AB的长约为10.8 m. 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题. (画出平面图形，转化为解直角三角 形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. （三）典例分析 例1 如图，建筑物BC上有一避雷针AB，从与BC相距40 m的D处观测避雷针顶部A的仰角为50°，观测避雷针底部B的仰角为45°.求避雷针的长度(结果保留小数点后一位). 追问 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ 答：CD=40 m ；AC⊥CD；∠ADC=50°；∠BDC=45°. 解：由题意得：CD=40 m，AC⊥CD，∠ADC=50°，∠BDC=45°. 如图，在Rt△BCD中， BC=CD·tan∠BDC=CD·tan45°=40×1=40. 在Rt△ACD中， AC=CD·tan∠ADC=CD·tan50°≈40×1.1918≈47.67. ∴AB=AC-BC=47.67-40≈7.7. 因此，避雷针的长度约为7.7 m. 例2 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达点D，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险? 追问1 结合题目中的条件，可以得到哪些信息？ 答：BD=12 n mile；α=60°；β=30°. 追问2 如何理解“没有触礁的危险”？ 答：点A到直线BD的距离大于8 n mile. 解：过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点E. 由题意得：BD=12 n mile，α=60°，β=30°. ∴∠ABD=90°-α=30°，∠ADE=90°-β=60°， ∴∠BAD=∠ADE-∠ABD=30°， ∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=12. 在Rt△ADE中， AE=AD·sin∠ADE=AD·sin60°=12×=6. ∵6 ≈10.392>8， ∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险. 例3 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，求滑梯的长． 解：由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． （四）巩固练习 1．（2026年黑龙江绥化）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（  A   ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 2．（2025年江苏镇江）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ D  ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ A  ）． （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年湖北武汉）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 2．（2026年湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 解：一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 3．（2026年四川内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的 处，测得雕像顶端的仰角为，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点 处，测得雕像顶端的仰角为 ．雕像底端与观测点 、 在同一条水平直线上，且 ，求孔子雕像的高度．（结果保留根号） 解：设， ∵， ∴； 在中，， ∴； 在中，， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， 答：孔子雕像的高度为． 4．（2026年四川凉山州）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 解：（1）由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． （七）布置作业 1.必做题：习题32.2 第3，4，5题. 2.探究性作业：习题32.2 第11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $