第31章 小结-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

小结 一、本章知识结构图 平行线分线段成比例 相似图形 相似多边形 三角形相似的判定 应 相似三角形 用 相似三角形的性质 位似图形 对应边（角）、周长、面积的性质 回顾与思考 相似是一种图形变化，变化前后的图形形状相同.在本章中，我们从 生活实例出发，认识了相似图形，并了解了相似多边形的特征·在此基础 上，学习了三角形相似的判定和相似三角形的性质，并用相关知识解块简 单的实际问题.最后学习了具有特殊位置关系的图形相似一位似，并用 位似进行图形的放大与缩小. 对于三角形相似的判定，我们以平行线分线段成比例这一基本事实为 基础，类比判定三角形全等的研究思路，从边、角两方面探索了三角形相 似的判定方法，并进行了证明，对于相似三角形的性质，我们从对应线段 (如高、中线、角平分线人面积等的数量关系的角度进行了研究.对这些 内容的学习，可以进一步增强我们的几何直观和提升我们的推理能力. 在本章中，我们还经历了应用相似三角形等知识解决实际问题的过程， 这可以提升我们发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧. 1.相似图形与全等图形有什么关系？ 2.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段有什么关系？ 3.判定两个三角形相似的方法有哪些？这些方法与判定两个三角形全 等的方法对应吗？为什么？ 第三十一章相似 35 4.相似三角形有哪些性质？ 5.举例说明相似三角形的简单应用， 6.举例说明什么样的两个图形是位似图形，怎样把一个图形按照一定 比例放大和缩小. 7.说一说平移、轴对称、旋转、相似等图形的变化之间的异同·用这 些图形的变化设计一些图案· 复习题31 复习巩固 1.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似.根据图中的数据，求∠D的度数 和EH的长 1.∠D=60°，EH=4 注意点与点的对应顺序 A B 135° 6 75°△G H (第1题) 2.△ABC的三边长分别为5,12,13，与它相似的△DEF的最短边长为15.求 △DEF的其他两条边长和周长。子，△D的其他两条地长分到为36， 39,周长为90. 3.根据下列图中标注的条件，判断各图中的两个三角形是否相似，并说明理 由.如果相似，求出x和y的值. 3.（1)相似，理由略x=4,y=10. （2)相似，理由略.x=124,y=33. E 22 6 F 48 32 48 2 1249 a B 8 G 72 (1) (2) (第3题) 36教材笔记数学九年级下册RJ 4.如图，在方格纸中画出一个△A'B'C,使△A'B'C∽△ABC,且△A'B'C的面 积等于△ABC的面积的4倍.4.如图，△A'B'C即为所求.（答案不唯一） △AFH∽△BFE (第4题) (第5题) 5.如图，F是口ABCD的边AB上一点，AF=2FB,H是AD的中点，HF的延 长线与边CB的延长线交于点E.求的值.5号 CE 6.在平面直角坐标系中，如果△ABC的顶点坐标分别为A(4,8),B(-2,6), C(2,-6),以原点为位似中心，把△ABC按相似比？缩小，写出缩小后三 角形三个顶点的坐标. 6.缩小后三角形三个顶点的坐标分别为A'(2,4),B(-1,3),C(1,-3); 或A'(-2,-4),B(1,-3),C（-1,3). 综合运用 7.李明与张华讨论测量树高的方法.张华说：“如图，只要测量树在阳光下的影子 长AC=m,再测量出此时垂直于地面、长为a的小木棒EF的影子长DF=n, 就可以算出树高h.”你能用含m,n,a的代数式表示出树高h吗？ 7.h=am D.6 △ACB∽△DFE △AOB∽△COD (第7题) (第8题) 8.如图，已知零件的外径为a,现用一个交叉卡钳（AC和BD相等)测量零件的内 孔直径AB.如果OA：OC=OB:OD=,且量得CD=b,求AB及零件厚度x. 8.AB=nb,x=a-nb 2 第三十一章相似 37 9.李明的座位到黑板的距离是6，老师在黑板上要写多大的字，才能使李明看 黑板上的字时，感觉与看相距30cm的教科书正文的小四号字大小相同（小四 号字大小约为0.42cm×0.42cm)?9老师在黑板上写的字的大小约为 8.4cm×8.4cm. 10.如图，△ABC的边AC,BC分别交⊙O于点E,D.你能在图中找出几对相似三 角形？请选择一对说明相似的理由· A 0 D (第10题) (第11题) 10.4对，分别为△ABC∽△DEC,△ADC∽△BEC,△AEF∽△BDF,△ABF△EDF 理由略 11.略 连接线段我直角 11.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB,垂足为P.求证：PC2=PA·PB. 12.如图，在方格纸中，以点O为位似中心，画出四边形ABCD的位似图形A'BCD', 使四边形ABCD与ABCD的相似比为？.你有几种画法？ 12.两种，如图 (第12题) (第13题) 13.如图，△ABC表示一块直角三角形木板，两条直角边AC,BC的长分别为 90cm,120cm.现要在其上裁出一块矩形木板EFGH,使矩形的一边EF在 斜边AB上，其余两个顶点G,H分别在BC,AC上.怎样裁才能使得到的 矩形木板面积最大？ 13.当H,G分别是AC,BC的中点时，先沿△ABC的中位线HG横向裁剪，得到梯形 ABGH,再分别沿点H,G垂直向下裁剪，得到矩形EFGH,此时得到的矩形木板面积最大 14.已知正五边形的边长为1. 14.（1)路. (1)求证：正五边形的对角线相等. (2)1+5 2 (2)求正五边形对角线的长 38教材笔记数学九年级下册RJ 拓广探索 15.如图，为了求出海岛上的山峰高度AB,在D处和F处树立标杆CD和EF, 标杆的高都是3丈（1丈=10尺)，D,F两处相隔1000步(1步=6尺)， 并且AB,CD和EF在同一平面内.从标杆CD后退123步的G处，可以看 到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可 以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上.山峰的高度AB及它和标杆CD 的水平距离BD各是多少步？ (第15题) (本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算 经》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表 与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参 合.从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合.问岛 高及去表各几何.) 15.山峰的高度AB为1255步，它和标杆CD的水平距离BD为30750步. 16.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2倍的三角形？若存在，证明你的结论.若不存在，请说明理由. 16.存在.证明略」 第三十一章相似 39