31.4 位似-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

31.4 位以 新知解读0 在日常生活中，我们经常见到借助一点对图形进行放大、缩小的现象.例如， 放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上等.这样的图形变化， 是一种特殊的相似.本节我们就来对此进行研究. Q探究 如图31.4-1，在△ABC与△A'B'C中，直线 AA,BB,CC相交于-点O,且OA'=OB' OA OB OC' Oc =k.这两个三角形相似吗？如果相似， 图31.4-1 △A'BC与△ABC的相似比是多少？ 因为LAOB=∠A0B,0A=OB=k,所以△OAB'∽△OAB.可得 OA OB A'B'=OA'=k. 注意：如果两个图形是 位似图形，那么这两个 AB OA 图形一定是相似图形， 同理可得 但两个相似图形不一定 是位似图形. BC =OB=k,AC OC =ke. BC OB AC OC 于是 A'B'_B'C'=A'C'=k. AB BC AC 所以△A'B'C'∽△ABC,相似比为k. 一般地，如图31.4-2，如果一个图形上所有的点A,B,C, D,…,P,…与另一个图形上所有的点A',B,C,D,…, P',…分别对应，直线AA',BB,CC,DD',…,PP, 相交于一点O,且 04=0B=OC=OD==0P OA OB OC OD 图31.4-2 第三十一章相似 27 那么这两个图形叫作位似图形(homothetic figures),点O叫作位似中心， >只有一个 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到 与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形. 利用位似，可以把一个图形放大或缩小，的西组对应点，这两组对应点所病 确定位似中心的方法：连接位似图形 定的直线的交点即为位似中心 例如，要把四边形ABCD按相似比)缩小.可以在四边形ABCD外任取一点O (图31.4-3)，分别在线段0A,0B,0C0D上取点心，B,CD,使04= OA OB=OC=OD=L,连接A'B,BC,CD,DA,所得四边形AB'CD'就是所 OB OC 0D2 要求的图形 o 利用信息技术工 具，可以方便地将图形 放大或缩小，进而探索 图31.4-3 位似的性质. 位似图形的性质： (1)位似图形具有相似图形的所有性质； (2)位似图形的对应点所确定的直线相交于一点，这个点即为位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行（或在同一条直线上）； （4)位似图形的任意一对对应点到位似中心（在不重合的情况下)的距离的 Q探究比等于相似比. 对上述四边形ABCD及点O,如果分别在OA,OB,OC,OD的反向延长 线上取点A,B,C,D八，使01=0B=OC=0D=,四边形ABCD OA OB OC OD 2 与四边形ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出 得到的四边形A'B'CD.位似. 位似 练习 1.如图，△OAB与△OCD位似，AB与CD平行吗？为什么？ B 1.平行.理由略 B B (第1题) B （第2题) 2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的三角形的边长为 原来三角形边长的3倍.你能画出几个这样放大的三角形？ )新图形与原图形的相似比为3 2.2个，如图. 28 教材笔记数学九年级下册RJ 我们已经研究过平移、轴对称、中心对称等图形变化中对应点的坐标之间的 关系.类似地，我们来研究位似中对应点的坐标之间的关系. Q探究 如图31.4-4(1)，在平面直角坐标系中，线段AB的端点的坐标分别为 A(6,3),B(6,0).以原点0为位似中心，按相似比3把线段AB缩小：观 察对应点坐标的变化，你有什么发现？ （1) (2) 图31.4-4 如图31.4-4(2)，△A0C三个顶点的坐标分别为A（4,4),0(0,0), C(5,0).以点0为位似中心，按相似比2把△A0C放大.观察对应点坐标 的变化，你有什么发现？ 在图31.4-4（1)中，把AB缩小后，A,B的对应点分别为A'(2,1), B(2,0)或A"(-2,-1),B"（-2,0). 0 在图31.4-4(2)中，把△A0C放大后，A,0,C 用不同方法放缩图 的对应点分别为A'（8,8),0(0,0),C(10,0)》 形得到的图形坐标是不 同的. 或A"(-8,-8),0(0,0),C"(-10,0). 般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形 与原图形的相似比为飞，那么与原图形上的点（x,y)对应的位似图形上的点的 坐标为(x,y)或（-kx,-y). 位似图形在原点同侧 位似图形在原点异侧 第三十一章相似 29 例1如图31.4-5，△AB0三个顶点的坐标分别 为A（-2,4),B(-2,0),0(0,0).以原点0为 似中心，画出一个三角形，使它与△AB0的相似比 为 分析：由于要画的图形是三角形，因此关键是 B'B 确定它的各顶点坐标.根据前面总结的规律，点A的 -20 对应点N的坐标为（-2×弓，4×多人即(-3， 图31.4-5 6).类似地，可以确定其他顶点的坐标. 解：如图31.4-5，利用位似中对应点的坐标的变 0 还可以画出其他三 化规律，分别取点'（-3,6)，B(-3,0),0(0, 角形吗？，自己试一试 0).连接A'B,B'O,OA',所得△A'B'O就是要画的一 若以原点为位似中心，则变换前后两个图形 个图形. 可以，画图略 对应点的横坐标（或纵坐标）之比的绝对值 等于相似比. 练习 1.如图，把△AOB缩小后得到△COD.求△COD与△AOB的相似比. 1.△C0D与△A0B的相似比为2 YA yA 2 B D (第1题) （第2题) 2.如图，△AB0三个顶点的坐标分别为A（4,-5),B(6,0),0（0, 0).以原点0为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得到△A'B'O 写出△A'BO三个顶，点的坐标. 2.A'(8,-10),B(12,0),0(0,0)；或A'(-8,10),B(-12,0),0(0,0). 30 教材笔记数学九年级下册RJ 习题31.40 复习巩固 1.如图，虚线图形与实线图形是位似图形.求它们的相似比并找出位似中心. 1相似比分别为)，2,4和图，位以中心分别为0,0,0 (第1题)》 P 2.如图，以点P为位似中心，将五角星按相似比号缩小.2略. 3.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6, 4).以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF,使△DEF (第2题) 与△ABC对应边的比为1：2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？ 3.△DEF各个顶点的坐标分别为D(1,1),E(2,1),F(3,2)；或 D(-1,-1),E(-2,-1),F(-3,-2). 综合运用 4.如图，正方形EFGH、正方形L都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似 中心 (1)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比. (2)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 4(1)是.相似比为3 （2)相似比为2. 2 2 2 H 2 D B G 2 (第4题) 第三十一章相似 31 5.如图，矩形AOBC各顶点的坐标分别为A（0,3),0(0,0),B（4,0),C(4, 3).以原点0为位似中心，将这个矩形按相似比2缩小，写出新矩形各顶点的坐标. YA 4 4 0 B (第5题) 5新矩形各顶点的坐标分别为A(0,),0(0,0),B(2,0),C(2,): 或4r(0,-3),00,0),B(-2,0),C(-2,- 6.如图，图中的图案与“A”字图案（虚线图案)相比，发生了什么变化？对 应点的坐标之间有什么关系？ (2,8) 6 6 4「(2,4)4,4) (2,4 2 8龙 （1) （2) (第6题) 6.（1)图案的宽变为原来的2倍，高不变.对应点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， (2)图案的宽不变，高变为原来的2倍.对应点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 拓广探索 7.如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的 相似比为子的个图形.1意。 画位似图形的一般步骤： (1)定点：确定位似中心，并我出原图形的关键点； (2)连线：分别连接原图形各关键点与位似中心； (3)取点：根据相似比，在位似中心与各关健点所连 线段（或延长线）上取点，确定新图形的关键点； (第7题) (4)构图：顺次连接新图形的关键点，得到位似图形 32教材笔记数学九年级下册RJ