专题31.4 位似（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题31.4 位似 （新教材人教版） 知识点一、位似变换 2 知识点二、作图-位似变换 2 【题型1 位似图形相关概念辨析】 2 【题型2 位似图形的识别】 4 【题型3 判定位似中心】 5 【题型4 求两个位似图形的相似比】 6 【题型5 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 7 【题型6 求位似图形的对应坐标】 8 【题型7 在坐标系中画位似图形】 9 【题型8 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 11 【题型9 在坐标系中画位似中心】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 19 知识点一、位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点二、作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【题型1 位似图形相关概念辨析】 【例1】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【变式1-1】下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【变式1-3】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 位似图形的识别】 【例2】下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-2】小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（    ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B．线段中点与线段中点的连线不一定经过点 C．∽ D．蜡烛火焰长 【变式2-3】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【题型3 判定位似中心】 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型4 求两个位似图形的相似比】 【例4】如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 【变式4-1】如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式4-2】如图，点是与的位似中心，若，，则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 【例5】如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式5-2】如图，四边形和是以点P为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比为（    ） A． B． C．2：3 D．3：2 【变式5-3】如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 【题型6 求位似图形的对应坐标】 【例6】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型7 在坐标系中画位似图形】 【例7】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【变式7-1】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式7-3】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型8 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形．已知点的对应点为，若，则的长为（   ） A．10.5 B．12 C． D．14 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型9 在坐标系中画位似中心】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-3】如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 【课后检测】 1．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 4．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 5．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（     ） A．与的相似比为 B． C． D． 7．如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 10．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题31.4 位似 （新教材人教版） 知识点一、位似变换 2 知识点二、作图-位似变换 2 【题型1 位似图形相关概念辨析】 2 【题型2 位似图形的识别】 5 【题型3 判定位似中心】 8 【题型4 求两个位似图形的相似比】 12 【题型5 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 14 【题型6 求位似图形的对应坐标】 17 【题型7 在坐标系中画位似图形】 19 【题型8 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 23 【题型9 在坐标系中画位似中心】 25 【探究式学习】 29 【课后检测】 33 【复盘笔记】 40 知识点一、位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点二、作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【题型1 位似图形相关概念辨析】 【例1】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 【变式1-1】下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形． 【变式1-2】如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 【点睛】 【变式1-3】如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项正确，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 【题型2 位似图形的识别】 【例2】下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：经过对应顶点的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 【变式2-1】已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】解：以原点为位似中心的位似图形，对应点的横、纵坐标均乘以同一个常数． A、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； B、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； C、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； D、与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘；与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘，符合题意． 【变式2-2】小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（    ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B．线段中点与线段中点的连线不一定经过点 C．∽ D．蜡烛火焰长 【答案】B 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解，位似图形的识别等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，结合，可得，从而可判断C； 根据相似三角形的性质列出比例式，即可得出蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，从而可判断A； 将已知线段的长代入比例式，可求得，从而可判断D； 先证明，再证明、、三点共线，从而可判断B． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∴， ∴蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形， 故A正确； ∵，，蜡烛火焰倒立像， ∴， ∴， ∴蜡烛火焰长， 故D正确； ∵，， ∴， 取的中点，的中点，如图， 则，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴线段中点与线段中点的连线一定经过点O， 故B错误， 故选：B． 【变式2-3】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 【题型3 判定位似中心】 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查求位似中心坐标，涉及正方形性质、图形与坐标、平行线性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记位似图形定义及位似中心的作法是解决问题的关键． 【变式3-2】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 【题型4 求两个位似图形的相似比】 【例4】如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：∵和是位似三角形，， ∴， ∵的周长为6， ∴， 解得：， 即的周长为18． 【变式4-1】如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 【变式4-2】如图，点是与的位似中心，若，，则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 与是位似图形， ， ∴， ， ， 解得：． 【变式4-3】如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比），根据相似比计算即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，， ∴，， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形】 【例5】如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到，再将绕着原点逆时针旋转，得到的，若点是对应点，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题； 【详解】解：如图，即为所求． 观察图象可知： 故选D． 【变式5-1】如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 【变式5-2】如图，四边形和是以点P为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比为（    ） A． B． C．2：3 D．3：2 【答案】B 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比即可解答． 【详解】解：∵四边形和是以点P为位似中心的位似图形， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形和的周长比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似变换的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【变式5-3】如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 【答案】C 【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，连接AO并延长于点G 根据题意，得： 以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的 当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D 当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G 故选：C． 【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解． 【题型6 求位似图形的对应坐标】 【例6】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 【变式6-2】如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 【变式6-3】如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，， ，， ， ． ， ， ． 四边形为正方形， ， ． 四边形为正方形， ， ， 点的坐标为． 【题型7 在坐标系中画位似图形】 【例7】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 【变式7-1】如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的异侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段DF的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4）， ∴AB＝2，BC＝2， 由勾股定理得：AC＝＝， ∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2， ∴线段DF的长度为AC＝， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【变式7-3】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【题型8 在坐标系中求位似图形的相似比、周长比、面积比】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，由可得，代入计算即可． 【详解】解：∵，轴， ∴，， 根据题意可得，， ∴，即， 解得． 【变式8-1】如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形．已知点的对应点为，若，则的长为（   ） A．10.5 B．12 C． D．14 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可得，推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵点的对应点为，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形位似，位似中心是原点，点，的对应点分别是点，，点，，的坐标分别为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点、的坐标利用勾股定理求出的长，再根据点、的坐标求出位似比，最后利用位似图形的性质求解即可 ． 【详解】解； 在中，由勾股定理得 四边形与四边形位似，位似中心是原点，且 位似比为 ． 【变式8-3】如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴ ∴与的位似比为， ∴， ∴． 【题型9 在坐标系中画位似中心】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 【变式9-1】如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 【变式9-2】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则它们位似中心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点、作直线，点、作直线，点、作直线，三条直线相交于一点，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求，    故选：D． 【点睛】本题考查了作图位似变换，点的坐标，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 【变式9-3】如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解． 【详解】解；连接DG并延长交x轴于M， ∵点D与点G是一对对应点， 则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M， 设直线DG解析式为； ， 将，代入得： ， 解得： ， ∴直线DG解析式为 ， 令y=0，可得： ， 即位似中心的坐标是． 故选A． 【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键． 【探究式学习】 1．综合与实践 【发现并提出问题】 在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？ 【分析并解决问题】 探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系 （1）以正方形的顶点O为坐标原点，，所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为，再以正方形的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形，使它与正方形位似，且相似比为，然后按图2的方式将正方形纸片沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子． 请在图1中画出正方形，此时盒子的高h为______； 探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系 （2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形中，若，，则盒子的高为______；（用含a的代数式表示） 【推广并创新应用】 探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系 （3）如图6，矩形硬纸片中，，，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高．（用含有m，n的代数式表示） 【答案】（1）如图1， 正方形即为所求； 1； （2）； （3）PQ＝ 【分析】本题考查了图形的位似，正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形等； （1）按要求作出位似图形，即可求解； （2）由位似的性质得，解和，即可求解； （3）四个阴影部分四边形是四个全等的正方形，由正方形的性质得，设，则，，由盒子得底部面积和盖子面积可得，即可求解； 掌握位似图形的画法，正方形的性质、菱形的性质，能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， 正方形即为所求； 正方形与正方形相似比为， ， ， 点B的坐标为， ， 盒子的高h为1； 故答案为：1； （2）如图2，过作交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）如图3， 由题意得， 四个阴影部分四边形是四个全等的正方形， ， 设， 则，， 由盒子得底部面积和盖子面积可得， ， ， 【课后检测】 1．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 3．如图，与位似，位似中心为O，且，则与面积的比值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的面积比等于位似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：∵与位似，且， ∴与的面积比为. 4．在平面直角坐标系中，将一个图形以原点为位似中心，经过位似变换，使其扩大为原来的3倍，则该图形上各点坐标可能的变化是（     ） A．横、纵坐标分别加3 B．纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍 C．横、纵坐标分别乘3 D．横、纵坐标分别变为原来的 【答案】C 【分析】以原点为位似中心，将图形扩大为原来的3倍，则图形上各点的横、纵坐标都要乘3；平移是坐标做加减，只改变横坐标或只改变纵坐标不是位似变换，乘是缩小为原来的，据此判断选项即可． 【详解】解：A、横、纵坐标分别加3属于平移变换，不是位似变换，此选项不符合题意； B、纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，不是原点为位似中心的位似变换，此选项不符合题意； C、横、纵坐标分别乘3，是以原点为位似中心扩大到原来的3倍的坐标变化，此选项符合题意； D、横、纵坐标分别变为原来的，图形会缩小为原来的，此选项不符合题意． 5．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 与位似， ， ∴， ， 的面积为18， ． 6．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（     ） A．与的相似比为 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴、与的相似比为，该选项正确，不符合题意； 、由上可得：，该选项错误，符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意． 7．如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出位似比，进而根据点的坐标可知点的坐标． 【详解】解：∵长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，， ∴长方形与的位似比是， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是即． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）根据位似的性质解题． 【详解】（1）略 （2）解：由位似的性质知，，相似比为， ∴周长比为． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，，并分别延长，相交于点P，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，运用位似比即可解答； （3）取格点，连接交于点，可得，则． 【详解】（1）解：如图，连接，，并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为； （2）略 （3）略 10．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 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