31.3 相似三角形的应用-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

31.3 相以三角形的应用 新知解读 如利用阳光下的影子测量物体的高度 相似三角形在测量和设计等活动中有着广泛的应用. 例1据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯(Thales,约公元前624一前 547)曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光 线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图31.3-1，木杆EF长2m,测得 木杆的影子FD=3m,OA=201m.求金字塔的高度B0. 如何测出OA 的长？ A(F 因为金字塔的底面是正方形，正方形的中 图31.3-1 心到正方形一边中点的距离等于正方形边 长的一半，所以先测出正方形的边长，算 解：太阳光是平行光线，因此 出其一半长，再测出塔尖影子与正方形最 →AB∥DE 近边中点的距离，二者相加可得OA的长 ∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=90°， 利用阳光下的影长测量物体高度时需注意： .∴.△ABO∽△DEF. 两角分别相 (1）建筑物与地面垂直； BO OA 等的两个三 (2)标杆的影长与物体的影长必须是同一时 ·EF-FD 角形相似 刻的 .B0=0A:EF=201×2=134 ED 3 A宇形相似三角形 因此，金字塔的高度为134m 例21如图31.3-2，左、右并排的两棵树的高分别为 AB=8m和CD=12m,两树底部的距离BD=5m,一个 人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条 水平直路1从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于或等于多少米时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ 图31.3-2 分析：如图31.3-2，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域I 和Ⅱ都看不到.当她眼睛的位置与两棵树的顶端A,C恰在一条直线上时及其之后， 就看不到右边较高树的顶端C了· 20教材笔记数学九年级下册RJ 解：如图31.3-3，假设观察者从左向右走到点F时，她眼睛的位置与两棵 树的顶端A,C恰在一条直线上.设此时观察者眼睛的位置为点E,画出观察者 的水平视线EG,分别交AB,CD于点H,K. .·AB⊥l,CD⊥L, 临界点状态：E,A,C三点共线 .AB∥CD. .△AEH∽△CEK.构造相似三角形常作的辅助 EHAH 线：平行线、垂线、延长线 EK CK 即 EH=8-1.6 B D EH+512-1.6 图31.3-3 解得EH=8. 因此，观察者从左向右前进，当她与左边树的距离小于或等于8时，由于 左边树的遮挡，她看不到右边树的顶端C, 练习 X字形相似三角形 1.在同一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m, 一栋楼的影长为60m,这栋楼的高度是多少？1.36m 2.如图，AB⊥BC,CE⊥BC,垂足分别为B,C.测得 BD=120m,DC=60m,EC=50m.求河宽AB.2.100m. (第2题) 构造相似三角形测宽度时需注意：(1)在构造的三角形中，被测对象必是其中一个三 角形的一边；(2)所构造的三角形除被测对象外其余的边应容易测量；(3)一般构造 直角三角形 例3凸透镜是芯片制造设备一光刻机中用来缩小电路图的重要零件.图 31.3-4是凸透镜缩小电路图的示意 图.根据光学原理，平行于凸透镜主 光轴BB,的入射光线AC通过凸透镜 时，其折射光线CA,经过凸透镜右 焦点F2;而经过凸透镜左焦点F,的 入射光线AD通过凸透镜时，其折射 图31.3-4 光线DA1平行于凸透镜主光轴BB1. 已知电路图物高AB、像高AB1和凸透镜CD都垂直于主光轴BB1,OF1=OF2, 第三十一章相似 21 B形：子求电路图像高A,B,与物高AB的比 解：AB,CD,AB1都垂直于BB1,DA1∥BB1, .AB∥CD∥AB1,四边形ODAB1是矩形. ∴.A1B1=OD AB∥CD, 习X宇形相似三角形 .△ABF1∽△DOF 0D=0E=3 AB BF 5 因此，这个凸透镜能将电路图缩小为原来的子 例41如图31.3-5，△ABC表示一块锐角三 角形木板，边BC=120cm,高AM=80cm.现要 在其上裁出一块正方形木板，使正方形的一条边在 BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.裁出的正 方形木板的边长是多少？正方形的另一条边平行于BC B M 分析：用正方形EFGH表示裁出的正方形木 图31.3-5 板（图31.3-6），则△AHG的高可以表示为△ABC 的高AM与正方形EFGH的边长的差.再由△AHG∽△ABC,即可找到正方形 EFGH的边长与已知条件的关系. 解：如图31.3-6，用正方形EFGH表示裁出的正 方形木板，边EF在BC上，顶点G,H分别在AC,AB 上.记HG与AM相交于点N,则AN为△AHG的高. 设正方形的边长为xcm. .HG∥BC, E M F 图31.3-6 .∴.△AHG∽△ABC. 三角形内接四边形 AN HG 相似三角形对应高的 AMBC 比等于相似比 22 教材笔记数学九年级下册RJ 即80-x=x 80 120 解得x=48. 因此，裁出的正方形木板的边长为48cm. 练习 △ADE∽△ABC 1.如图，平行于BC的直线DE分别交AB,AC于点D, E,它把△ABC分成面积相等的两部分，试确定，点 D(或E)的位置. D 1.点D到点A的距高等于AB长度的2 (或点E到点A的距B 离等于A长度的2) (第1题) 2.在图31.3-4中，已知凸透镜的焦距0F1=OF2=f,物距OB=u(u>f),像 距O8=来证：+= 2.略 习题31.3/ 复习巩固 1.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成.利用 它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉 固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚，使A, B两个尖端分别在线段L的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？ 1.AB=3CD.理由略 ④ AB (第1题)△AOB∽△DOC (第2题)△ABE∽△ACD 2.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB= 1.6m,BC=12.4m,楼高CD是多少？ 2.10.5m. 第三十一章相似 23 3.如图，为了测量池塘两端A,B的距离，在地面上取一 点C,在AC,BC上分别取点D,E,使得DE∥AB,测 量出CD=20m,AD=40m,DE=15m.求AB的长 3.45m. △CDE∽△CABG (第3题) 综合运用 4.你见过小孔成像吗？如图，根据空气中光线沿着直线传播这一原理，物体顶端A 及底端B发出的光线经过小孔沿着直线传播，分别达到成像面上的点A',B.把 物体看成一线段AB,其在成像面上的影像看作线段A'B,把点A,B,O,A',B 看成在同一平面内，投影孔到物体和物体影子的距离分别为h,',AB∥A'B.设 物体高AB=3cm. (1)用含h,的代数式表示物体的影子长A'B.4.(1)AB=3 h (2)当h,h'满足什么关系时，所成的像比真实物体高？(2)当h'>h时，所成 △OAB∽△OA'B 的像比真实物体高， 成像面 投射面 光源 (第4题) (第5题) 5.如图是一块矩形绿地，AB:AD=5:4.现要开辟两条互相垂直的小路EF,GH, 小路的总长为180m.求这两条小路的长（忽略小路的宽度) 5.GH=100m,EF=80m 拓广探索 6.如图，笔直的道路边有等高的路灯A,C,它们在地面的垂直投影分别为B, D,BD=18m.张华的身高为1.5m,她站在B与D之间的一点N处，在路 灯A,C照射下，她的影子长EN,FWN都是3m.求路灯的高h. △MNE∽△ABE, 6.6m. △MNF∽△CDF (第6题) 24 教材笔记数学九年级下册RJ ★阅读与思考大 奇妙的分形 图1和图2是两幅奇妙的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 所有的三角形都是相似三葡形 图1 图2 图1叫作谢尔宾斯基三角形，它最早由波兰数学家谢尔宾斯基(1882 1969)通过以下方法制作出来：把1个正三角形分为全等的4个小正三角形， 挖去中间的1个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法 将这种做法继续进行下去，就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基三角形（图 3).这种图形中大大小小的三角形之间有什么关系？相似 图3 若第1个图形中阴影部分的面积为1，则第5个图形中阴影部分的面积为 81 256 第n个因形中阴影部分的面职为（任》。 图2叫作雪花曲线，结合图4，你能说一说雪花曲线是怎么制作出来的吗？ 图4 边裁为3×43=192 可以发现，在上面两种图形中，存在多种相似关系，例如其中大大小小 的三角形是相似的.在数学中，这种图形的整体与局部相似的特征叫作自相 似，具有自相似性的图形叫作分形图形.分形图形具有奇特的性质.例如，如 果把图4画等边三角形的做法无限地继续下去，雪花曲线的周长可以无限长， 第三十一章相似 25 但它却可以画在一个小小的格子中；它的尖端可以无限多，布满了整个曲线， 但它们彼此却不会相交· 20世纪70年代起，一个新兴的数学分支一分形几何逐步形成.随着研 究的深入，这种通过自相似得到分形图形的思想被广泛应用于工程与艺术设 计中.图5、图6分别是利用分形思想设计的作品，它们是否美丽奇妙？对于 分形，你有什么体会？ 图5 图6 26 教材笔记数学九年级下册RJ