31.4位似（第1课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“位似（第1课时）”，引导学生了解位似图形概念，掌握利用位似放缩图形的方法，通过放映幻灯片等生活实例引入，从相似三角形探究入手，构建从一般相似到特殊位似的知识脉络，提供情境感知、推理探究、作图实践等学习支架。 这份导学案突出数学与现实的联系，情境引入培养学生用数学眼光观察世界的意识，合作探究通过推理过程发展数学思维，作图与信息技术体验提升几何直观和空间观念，习题分层且融入中考题，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升应用能力。

31.4位似（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 2.掌握位似与相似的联系与区别，体会从一般到特殊的研究思路。 学习重点：了解图形的位似并利用位似对图形进行放缩。 学习难点：利用位似对图形进行放缩。 二、学习过程 （一）情境引入 在日常生活中，我们经常见到借助一点对图形进行放大、缩小的现象.例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上等.这样的图形变化，是一种特殊的相似.本节我们就来对此进行研究. （二）合作探究 探究 如图，在△ABC与△A'B'C'中，直线AA'，BB′，CC′相交于一点O，且 = = = k，这两个三角形相似吗？如果相似，△A'B'C'与△ABC的相似比是多少？ 分析： = = k. = = k. = = k. 解：△A'B'C'∽△ABC，相似比为k.理由如下： ∵∠A'OB′=∠AOB， = = k， ∴△OA'B'∽△OAB. ∴ = = k . 同理可得： = = k ， = = k . ∴ = = = k . ∴△A'B'C'∽△ABC，相似比为k. 位似图形及其相关概念 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 = = = = ⋯ = = ⋯， 那么这两个图形叫作位似图形，点O叫作位似中心. 位似多边形 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形. 追问：为什么要有“与其不重合的对应顶点”这一限定条件？ 欣赏 利用位似，可以把一个图形放大或缩小. 作图 把四边形ABCD按相似比缩小. 作法：1.在四边形ABCD外任取一点O， 2.分别在线段OA，OB，OC，OD上 取点A′，B′ ，C′，D′，使， = = = = ， 3.连接 A'B′，B′C′，C'D′，D′A′， 所得四边形A'B'C′D′就是所要求的图形. 探究 对上述四边形ABCD及点O，如果分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使 = = = = ，四边形A′B'C′D′与四边形ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出得到的四边形A′B'C′D'. 答：四边形A′B'C′D′与四边形ABCD关于点O位似，相似比为 . 体验 利用信息技术工具，可以方便地将图形放大或缩小，进而探索位似的性质. （三）典例分析 例1 如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（ A ） A． B． C． D． 例2 如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（  B  ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 例3 如图，△OAB与△OCD位似，AB与CD平行吗？为什么？ 解：AB与CD平行，理由如下： ∵△OAB与△OCD位似， ∴△OAB∽△OCD， ∴∠OAB=∠OCD， ∴AB∥CD. 例4 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的三角形的边长 为原来三角形边长的3倍.你能画出几个这样放大的三角形？ 答：可以画出无数个这样放大的三角形. （四）巩固练习 1．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ D  ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 2．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ A   ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是______． 解： 和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， . 4．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． 解：(1)所求图形，如图所示； (2)所求图形，如图所示． （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2025年广东）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 2．（2025年四川眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（ B  ） A． B． C． D． 3．（2023年四川遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（  A  ） A． B． C． D． 4．（2025年安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 解：(1)如图所示，点D即为边的中点，点D的坐标为． (2)如图所示，即为所求作的三角形． （七）布置作业 1.必做题：习题31.4 第1，2，4题. 2.探究性作业：习题31.4 第7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.4位似（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 2.掌握位似与相似的联系与区别，体会从一般到特殊的研究思路。 学习重点：了解图形的位似并利用位似对图形进行放缩。 学习难点：利用位似对图形进行放缩。 二、学习过程 （一）情境引入 在日常生活中，我们经常见到借助一点对图形进行放大、缩小的现象.例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上等.这样的图形变化，是一种特殊的相似.本节我们就来对此进行研究. （二）合作探究 探究 如图，在△ABC与△A'B'C'中，直线AA'，BB′，CC′相交于一点O，且 = = = k，这两个三角形相似吗？如果相似，△A'B'C'与△ABC的相似比是多少？ 分析： = . = . = . 解：△A'B'C'∽△ABC，相似比为k.理由如下： ∵∠A'OB′=∠AOB， = = k， ∴△OA'B'∽△OAB. ∴ . 同理可得： ， . ∴ . ∴△A'B'C'∽△ABC，相似比为k. 位似图形及其相关概念 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 = = = = ⋯ = = ⋯， 那么这两个图形叫作 ，点O叫作 . 位似多边形 对于两个多边形，如果 ，并且 ，那么这两个多边形就叫作位似多边形. 追问：为什么要有“与其不重合的对应顶点”这一限定条件？ 欣赏 利用位似，可以把一个图形放大或缩小. 作图 把四边形ABCD按相似比缩小.作图： 作法： 探究 对上述四边形ABCD及点O，如果分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使 = = = = ，四边形A′B'C′D′与四边形ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出得到的四边形A′B'C′D'. 体验 利用信息技术工具，可以方便地将图形放大或缩小，进而探索位似的性质. （三）典例分析 例1 如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（ ） A． B． C． D． 例1图 例2图 例2 如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 例3 如图，△OAB与△OCD位似，AB与CD平行吗？为什么？ 例4 如图，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的三角形的边长 为原来三角形边长的3倍.你能画出几个这样放大的三角形？ （四）巩固练习 1．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（    ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 第1题图 第2题图 第3题图 2．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（     ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的． (2)以原点O为位似中心，在现有坐标系内，画出将三条边放大为原来的2倍后的． （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2025年广东）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2．（2025年四川眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 3．（2023年四川遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2025年安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． （七）布置作业 1.必做题：习题31.4 第1，2，4题. 2.探究性作业：习题31.4 第7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $