31.2 相似三角形-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

31.2 相以三角形 新知解读 在相似多边形中，最简单的是相似三角形 (similar triangles).如图3l.2-1,根据相似多边形的 定义，在△ABC和△A'B'C'中，如果它们的三个角 图31.2-1 分别相等，三条边成比例，即 学习相似三角形时需注意： AL,∠B=∠B,∠C=∠C中发的夜失药在对西全正秀相处时， AB-AC=BC=k, （2)顺序性：相似三角形的相似比是有顺 A'B'A'C'B'C 序的」 (3)传递性：若△ABC△A,B1C1,△AB1C1 那么△ABC∽△A'B'C',相似比为k. △AB2C2,则△ABC∽△A2B2C2 全等三角形可以看作相似比为1的相似三角形.下面我们学习三角形相似 的判定和相似三角形的性质. 31.2.1平行线分线段成比例 两个三角形是否相似，与它们的对应边是否成比例有关.为研究三角形相似 的判定，需要研究线段成比例的问题.我们先来看一般的情况，即两条直线被一 组平行线所截，所得的对应线段是否成比例· Q探究 如图31.2-2，利用信息技术工具，任意画两条 12 直线l1,2,再画三条与1,12都相交的平行线，4， A D ,三条平行线在l1上截得的线段分别为AB,BC, AC,在b2上截得的线段分别为DE,EF,DF度量 B 上述线段的长度，哪些线段成比例？ 平移l或4或，它们依然互相平行，你得到 的结论还成立吗？成立· 图31.2-2 可以发现，当6∥6时，有怒=距，般脂 BC_ EF等 DF'AC DF 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 利用口诀“上对上，下对下，全对全”可以快速我准被平行线裁得的对应线段 第三十一章相似 进一步地，平移图31.2-2中的直线12，使点D与点A重合，或者点E与点 B重合，得到如图31.2-3的两种情况. D A字形 X字形 D B(E) (1) (2) 图31.2-3 注意：（1)裁线是一组平行线，被裁直线不一定平行； (2)所有的成比例线段是指被裁直线上的线段，与这组平行线上的线段无关 在图31.2-3(1)中，把14看成平行于△ACF的边CF的直线；在图31.2-3(2) 中，把，看成平行于△BCF的边CF的直线.利用平行线分线段成比例的基本事实， 可以得到对应的线段成比例.由此得到如下推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例 >与第三边无关 溯源一 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础.早在公 元前300年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现 在卷M的命题2中. 例1图31.2-4是一座斜拉桥部分结构 设计示意图，索塔两侧的桥梁OA,OB关于索 塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索 塔上拉索最高索鞍（用于拉索穿过并固定的 B—B2B3BB 索塔装置)C到桥梁的距离OC为15m,索塔 左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40m.如果 图31.2-4 桥梁上每隔8需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍？ 解：由题意可知，穿过索塔的拉索一共需要5根.设索塔左侧第1根拉索到 第5根拉索在桥梁上的位置分别为A1,A2,A3,A4,A,索塔上索鞍的位置分别为 6教材笔记数学九年级下册RJ C1,C2,C3,C4,C. 因为所有拉索紅相平行，所以A-0胎，即8-9台，解得0G=3.由 OA OC 0A=0C及0A1=A42,可得C,C2=0C1=3. AA2 CC2 同理，C2C3=C3C4=C4C=3. 因此，只要在0C之间每隔3m安排一个索鞍即可. 练习 1.如图，AB∥CD∥EF,点C在BE上，点D在AF上，AF与 A BE相交于点G,且AG=2,CD=1,DF=5.求BC的值. CE 1.因为AG=2,GD=1,所以AD=2+1=3.因 E 为B分0∥跃，片以器品号 (第1题)》 2.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC, 交AC于点E.求证：AE=EC. 2因为DB∥BC,所以40=4g.又国为D是 DB EC B AB的中点，所以AD=DB,所以AE=EC (第2题) 思考 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似 的三角形吗？ 如图31.2-5，在△ABC中，作DE∥BC,且与AB,AC分 别相交于点D,E.我们通过相似的定义证明△ADE△ABC 在△ABC中，由DE∥BC,可知△ADE与△ABC的角分 别相等.由前面基本事实的推论，可知40=4g.若能再证 AB AC B 明DE=A巴，就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明 图31.2-5 BC AC △ADE∽△ABC. 第三十一章相似 从要证的DE=AE可以看出，除DE外，AE,AC,BC都在△ABC的边上， BC AC 因此只需先将DE平移到BC边上，如图31.2-6，使BF=DE,再证明BE=AE BC AC 就可以了.为此，过点E作EF∥A0,交Bc丁点人则配长 再由四边形 BPED是平行四边形，可得BF=DE,因此瓷-长.从而△4DE与△4BC的 BC 边成比例，进而△ADE∽△ABC. D 图31.2-6 图31.2-7 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形也 与原三角形相似.请你结合图31.2-7完成证明 由此可以得到如下定理： 平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的 三角形与原三角形相似 例2如图31.2-8，在□ABCD中，E是CD的中点，AC,BE相交于点F.求 AF的值· FC 解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB LLCD D >相似三角形的判定 .△ABF∽△CEF 瓷裙 。一)相似三角形的性质 图31.2-8 又E是CD的中点， .∴.AB=CD=2CE. .A =2. FC 8 教材笔记数学九年级下册RJ 练习 1.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AD=3,BD= 2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 1.△ADE∽△ABC.因为AB= AD+BD=3+2=5,所以 AD=3,即△ADE与△ABC AB 5 D 的相似比为3 B (第1题) (第2题) 注意：两个三角形的先后顺序不同，相似比也不同 2.如图，D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点，DE∥AB.延长DE到点 F,使DF=AB,连接BF.求证：△BFE∽△CDE.2.证明略. 31.2.2三角形相似的判定 在学习三角形全等的判定时，我们通过减少条件，重点研究了它们的三个 元素（两边一角、两角一边、三边和三角）分别相等的情况，得到了SAS、 ASA、AAS、SSS等判定方法.全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，有没 有与三角形全等类似的判定方法呢？全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是全等图形 类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论· Q探究 直观上，如果保持一个三角形三个角的大小不变，改变这个三角形的大 小，那么这个三角形的形状不变，得到的三角形与原三角形相似.由此你能得 到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论· 在两个三角形中，如果它们的两个角分别 相等，那么它们的三个角分别相等.结合“探 究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形 相似.下面我们证明这一结论· 如图31.2-9，在△ABC和△A'B'C中，∠A= B'4 ∠A',∠B=∠B'.下面证明△ABC∽△A'B'C. 图31.2-9 第三十一章 相似 9 因为∠A=∠A',可以移动△ABC,使顶点A与A重合，顶点B,C分别落在边A'B, A'C上的点D,E处，则DE∥B'C（为什么？).于是△A'DE△A'B'C,而 △ABC≌△A'DE,从而△ABC∽△A'B'C'. 这样，我们得到如下利用两角判定两个三角形相似的定理*： 两角分别相等的两个三角形相似 例31如图31.2-10，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A=36°，BC=1, BD平分∠ABC,且交AC于点D. (1)求证：△BCD∽△ABC (2)求AC的长. 解：（1).·△ABC是等腰三角形，AB=AC,A=36°， ∠ABC=∠C=180°∠A=180°-36°=72°. 2 又BD平分∠ABC, 图31.2-10 .∴.∠ABD=∠CBD=36° :∠CBD=LA,∠BCD=∠ABC,→两角分别相等的两个 三角形相似 .△BCD∽△ABC. (2)在△BCD中， .·∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°， ∴.BD=BC=1. 0 顶角为36°的等 又∠ABD=∠A, 腰三角形常称为黄金三 .∴.AD=BD=1. 角形，它的底边与腰的 相似三角形的对应边 .△BCD△ABC,>成比例 比为5-15-1 2 2 CD=BC即BC2=CD·AB. .BCAB’ 称为黄金分割数·点D 把AC分为AD,CD两 设CD=x,可得12=x(1+x),即 段，CD与AD的比值 x2+x-1=0 为5-1 ,点D称为 解得5,1，=1,5（合去） 2 2 黄金分割点 .AC=5+1 2 *所有三角形相似判定定理的证明都是选学内容。 10 教材笔记数学九年级下册RJ 再来看两边一角的情况. ®探究 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条 件的两个三角形相似？能证明你的结论吗？ 与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应，我们猜想：两 边成比例且夹角相等的两个三角形相似.下面我们证明这个猜想. 如图31.2-1，在△ABC和△ABC中，AB AB' AC,∠A=∠A.求证：△ABC∽△ABC: A D B 证明：如图31.2-11，在△A'B'C的边A'B1 (或其延长线)上截取A'D=AB,过点D作 图31.2-11 DE∥B'C,交A'C'于点E.根据上一节的定理，可得△A'DE∽△A'B'C. ..A'DA'E ·A'BA'C 又AB=AC A'BA'CT,A'D=AB, 相似三角形具有传递性 个 A'E AC o AC=AC· △A'DE是联系 .A'E =AC. △ABC和△A'B'C'的 桥梁. 又∠A=∠A', (SAS) ..△A'DE≌△ABC .∴△ABC∽△A'B'C 这样，我们得到如下利用两边及其夹角判定两个三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相等的角必须是已知成比例的两边的夹角 利用两边和夹角判断两个三角形是否相似的方法： (1)我出这两个三角形中相等的角； (2)分别我出这两个三角形中夹这个等角的两条边，并按长短顺序排列； (3)看这两组边是否成比例，若成比例，则这两个三角形相似，否则不相似 第三十一章相似 思考 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？ 不一定相似.例如，如图，∠B'A'C=90°，∠B=∠B=30°， A(A 加=A,AC=C,所以份=C里美△MC与△DC不扫从 与三角形全等中的结论类似，两边成比例且其中一 B(B 边的对角相等的两个三角形不一定相似，请你举例说明. 练习 拓展：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形都相似· 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： 1.略. (1)△ACD∽△ABC; (2)△CBD∽△ABC. 45 54 C36,E 30 (第1题) (第2题) (第3题) 2.图中的两个三角形是否相似？为什么？ 2.相似.理由：因为BC=AC ∠ACB=∠ECD,所以△ABC∽△EDC. DC EC 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点 上，画出一个顶，点都在格点上的△DEF,使△DEF∽△ABC,且△DEF与 △ABC的相似比为2.画图的依据是什么？ 3.如图，△DEF即为所求（答案不唯一）.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 再来看三边的情况. Q探究 类比判定三角形全等的“边边边”方法，三边满足什么条件的两个三角 形相似？能证明你的结论吗？ 12 教材笔记数学九年级下册RJ 与“三边分别相等的两个三角形全等”相对应，可以猜想：三边成比例的两 个三角形相似.请你参考利用两边及其夹角判定两个三角形相似的定理的证明思 路，完成对猜想的证明. 这样，我们得到如下利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似. 根据三角形相似的判定定理可知，如果一个三角形的两角、或两边的比及其 夹角、或三边的比确定了，那么这个三角形的形状也就确定了. 例4如图31.2-12，在由相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D, E都在格点上.求证：△ABC∽△CED 分析：根据勾股定理可以求出这两个三角形的各边长，进而可以利用三边成 比例证明这两个三角形相似. 证明：设小正方形的边长为a,根据勾股定理， AB=/5a,BC=3a,AC=22a; CE=25a,ED=6a,CD=42a. 、AB=BC=AC=1 CE ED CD 2 三边成比例 .△ABC∽△CED 图31.2-12 由三角形相似的判定定理可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或 两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 利用三边判断三角形是否相似的步骤： (1)排序：将三角形的三边按长短顺序排列； (2)计算：分别计算对应边的比值； (3)判断：根据比值是否相等来判断两个三角形是否相似， 會思考 两个直角三角形全等可以用“斜边、直角边”来判定，类似地，满足斜 边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 第三十一章相似 13 事实上，这样的两个直角三角形相似.下面我们进行证明. 如图31.2-13，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90,AB AC A'C 求证：Rt△ABC∽Rt△A'BC. A 分析：在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，已经有两 边成比例，若能证明第三边的比等于已知的两边比， 则这两个三角形相似.而根据勾股定理，已知两边 B B C 可以求出第三边 图31.2-13 证明：设份怨-，则A极=R,AC=C 由勾股定理，得 BC=AB2-AC2,B'C'=JA'B2-A'C2. %-c B'C' =2A'B2-A'C B'C' =ke B'C=ke. B'C' 0 结合直角三角形相 如果直角三角形的一 AB=AC BC 个锐角或两条直角边 似的判定方法，你能说 .A'B=A'C=B'C· 的比或斜边和一直角 一说如何确定一个直角 边的比确定了，那么 三角形的形状吗？ 这个直角三角形的形 .∴.Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 状也就确定了。 这样，就得到如下利用斜边、直角边判定两个直角三角形相似的定理： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 在直角三角形中，只要有两边对应成比例， 即可判定这两个直角三角形相似 14 教材笔记数学九年级下册RJ 练习 1.在△ABC与△A'B'C'中，AB=4,BC=6,AC=8,A'B=12,B'C=18, A'C=24.这两个三角形相似吗？请说明理由.如果相似，相似比是多少？ 1.相似.理由略.相似比是 2.如果Rt△ABC的一条直角边和斜边长分别为3,5，那么一条直角边和斜 边长分别为3k和5k（k是正数)的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？ 为什么？2：相似，理由：因为两直角边的比为3张：5=3：5，所以两个直角三 角形的两直角边对应成比例且夹角相等，所以这两个直角三角形相似， 31.2.3相似三角形的性质 相似三角形的性质不 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等、对应边成比例.在三角 形中，除了边的长度和角的度数，还有其他几何量，例如，高、中线、角平分线 的长度，周长，面积等.相似三角形的这些几何量之间有什么关系？ Q探究 两个相似三角形的相似比为飞，它们对应的高、对应的中线、对应的角 平分线的比各是多少？ 如图31.2-14，△ABC∽△A'B'C,分别作它们的高AD和A'D'. .·△ABC∽△A'B'C, ∴.∠B=∠B' 又∠ADB=∠A'DB'=90°， B B'D .∴.△ABD∽△A'B'D' 有一组锐角相等 图31.2-14 的两个直角三角 AD=AB 形相似 A'D'A'B =k. 类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也都等于相 高、中线、角平分线必须是对 似比. 应边上的高、对应边上的中线、 这样，我们得到相似三角形的一个性质： 对应角的角平分线」 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 第三十一章相似 一般地，我们有： 0 相似三角形的周长 相似三角形对应线段的比等于相似比· 有什么关系？ 进一步地，根据上面的结论和三角形的面积公式， 相似三角形周长的比等于相 可以得到 似比 S AABC= BC·AD 2 BC AD =k·k=2 SAABC 2BC·A'D B'C' A'D 这样，我们得到相似三角形的另一个性质：注意：由相似比求面积比时要平方， 相似三角形面积的比等于相似比的平方，由面积比求相似比时要开方. 例51如图31.2-15，在△ABC和△DEF中，AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，它的面积为125，求△DEF的边EF上的高和它 的面积. 点被：先根据已知条件判定两个三角形相似，并求出相似比，再根据 相似三角形的性质，求出高和面积 解：在△ABC和△DEF中， AB=2DE,AC=2DF, .DE=DF=1 AB AC 2 两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似 又∠D=∠A, ..△DEF△ABC, 相似比为工 图31.2-15 :△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12J5, .△DEF的边EF上的高为1×6=3，它的面积为 2 3×125=35. 练习 1.判断题.1.(1)/.(2)× (1)一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线 也扩大为原来的5倍； (2)一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩 大为原来的9倍，应该是扩大为原来的81倍 2.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了 6cm,复印前后三角形的相似比是多少？这个三角形的面积发生了怎样 的变化？2.复印前后三角形的相似比是】这个三角形的面积扩大为原来的9倍， 16 教材笔记数学九年级下册RJ 3.如图，△ABC∽△A'B'C,AD,BE是△ABC的高，A'D',B'E'是△A'B'C 的高.求证： AD BE AD B'E 3.因为△ABC∽△A'B'C', 所以AD AB BE AB A'D'AB' B'E' A'B B 所以AD E A'DBE (第3题) 习题31.20 复习巩固 1.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m.在图纸上，这条边的长为5cm, 其他两条边的长都为4cm.求其他两条边的实际长度.1.20m,20m. 2如图.∥∥，A6=3E8=4求品和肥的值， DC 2.FC=EB=4 DF AE 3 E DF AE AE 3 DC AB AE+EB=7 (第2题) (第3题) 3.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AD=3.5,AB= 10.5,DE=4.求BC的长. 3.BC=12. 4.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C是否相似，并说明理由： (1)∠A=70°，∠B=48°；∠A'=70°，∠C=62° (2)∠A=40°，AB=8,AC=15;∠A'=40°，A'B=16,A'C=30 (3)AB=10,BC=12,AC=15;A'B=150,B'C=180,A'C'=225. 4.（1)相似.理由：△ABC与△A'BC的两角分别对应相等. (2)相似.理由：△ABC与△A'B'C的两边对应成比例且夹角相等 (3)相似.理由：△ABC与△A'B'C的三边对应成比例. 第三十一章相似 17 5.求图中x,y的值.5.x=40.5,y=98. 60 D 26 98 27 39 40 (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC: 6.路 7如图，cD是△4C的商，品=品求证：△4C是直角三 D 角形.7.略，利用勾股定理，可求得斜边长为50cm (第7题) &把两条直角边分别为30m,40cm的直角三角形按相似比号进行缩小，得到 的直角三角形的斜边长和面积各是多少？ 8.得到的直角三角形的斜边长为40cm,面积是384cm2. 综合运用 9.如图，AD是△ABC的高，DE∥CA,交AB于点E,EF⊥BC, 垂是为，0=4，w=3求那的值.9需-号 F D (第9题) 10.制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三条边长分别为 4cm,5cm和6cm,另一个三角形框架的一条边长为2cm,它的另外两条边 长分别是多少？你有几种制作方案？ 10.号外两条地长分别为25cm,3cm或1.6cm,24em或号cm,子cm有三种制作方案。 11.如图，E是矩形ABCD的边AD上的点，连接BE,过点A作AF⊥BE,垂 足为C,交CD于点R若铝=子求△DF与△B4E的面积比. A B D D (第11题)可求得△ADF∽△BAE (第12题)可求得△CEF∽△CBD. 11.SAADE AD 29 △CEF≌△C'EF S△BAE AB/-25 18 教材笔记数学九年级下册RJ 12.如图，把菱形纸片ABCD沿着平行于对角线BD的直线EF折叠，点C落在 点C处.若货-号，求△CEF与菱形ABCD的面积比. 12.如图，连接BD.由题意，得SAP=SACEF=⊥(CE)2=8 S釜形ABCD 2S△cBD 2（CB=49 13.如图，AB是⊙O的直径，AB=2r,弦CD与AB相交于点P,连接AC,BD.求证： (1)△APC∽△DPB; (2)PA·PB=PC·PD=r2-0P2. 13.略 H E 利用平行线分线段成 A (第13题) 比例解题 (第14题) 14.一架梯子如图所示，AB∥CD∥EF∥GH,AC=CE=EG,AG=BH=150cm, AB=55 cm,GH=40 cm. 14.(1)BD=50cm,DF=50cm,FH=50cm. (1)求BD,DF,FH的长； (2)CD=50 cm,EF=45 cm. (2)求CD,EF的长. 拓广探索 15.如图，△4BC的中线AD,BE相交于点F,求BE的值. FE 15.BE=2 FE D (第15题) (第16题) 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,CD是△ABC的角 平分线.求CD的长（用含a,b的代数式表示）. 16CD=2a6 a+b 第三十一章相似 19