31.3相似三角形的应用（第2课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“相似三角形的应用（第2课时）”，通过复习引入环节回顾解决实际问题的一般步骤，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握利用相似三角形解决跨学科及几何实际问题的方法。 资料特色在于跨学科融合与实际情境结合，如凸透镜光学原理、锐角三角形裁正方形等实例，通过追问设计引导推理，辅以中考真题衔接，有效培养学生模型观念与应用意识，提升用数学思维分析解决问题的能力。

31.3相似三角形的应用（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.能够利用相似三角形的知识，解决跨学科等实际问题。 2.能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念。 学习重点：利用相似三角形解决实际问题。 学习难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 二、学习过程 （一）复习引入 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 例3 凸透镜是芯片制造设备——光刻机中用来缩小电路图的重要零件.如图是凸透镜缩小电路图的示意图.根据光学原理，平行于凸透镜主光轴BB₁的入射光线AC通过凸透镜时，其折射光线CA₁经过凸透镜右焦点F2； 而经过凸透镜左焦点F1的入射光线AD通过凸透镜时，其折射光线DA₁平行于凸透镜主光轴BB₁. 已知电路图物高AB、像高A₁B₁和凸透镜CD都垂直于主光轴BB₁，OF₁=OF₂， =，求电路图像高A₁B₁与物高AB的比. 追问1 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 追问2 请选择合适的相似三角形，求出A₁B₁与AB的比. 解： 例4 如图，△ABC表示一块锐角三角形木板，边BC=120 cm, 高AM=80 cm. 现要在其上裁出 一块正方形木板，使正方形的一条边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，裁出的正方形木板的边长是多少？ 分析：用正方形EFGH表示裁出的正方形木板，则△AHG的高可以表示为△ABC的高AM与正方形EFGH的边长的差.再由 ∽ ，即可找 到正方形EFGH的边长与已知条件的关系. 解： （三）典例分析 例1 如图，平行于BC的直线DE分别交AB，AC于点D，E，它把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D（或E）的位置. 例2 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔 米． 例3 在图中，已知凸透镜的焦距OF₁=OF₂=f，物距OB=u(u>f)，像距OB₁=v.求证： + = . （四）巩固练习 1．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是 ． 第1题图 第2题图 2．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ． 3．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年四川南充）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（      ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 第2题图 第3题图 3．（2023年四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（     ） A． B． C． D． 4．（2026年广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． （七）布置作业 1.必做题：习题31.3 第4，5题. 2.探究性作业：复习题31 第13题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.3相似三角形的应用（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.能够利用相似三角形的知识，解决跨学科等实际问题。 2.能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力，发展模型观念。 学习重点：利用相似三角形解决实际问题。 学习难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 二、学习过程 （一）复习引入 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 例3 凸透镜是芯片制造设备——光刻机中用来缩小电路图的重要零件.如图是凸透镜缩小电路图的示意图.根据光学原理，平行于凸透镜主光轴BB₁的入射光线AC通过凸透镜时，其折射光线CA₁经过凸透镜右焦点F2； 而经过凸透镜左焦点F1的入射光线AD通过凸透镜时，其折射光线DA₁平行于凸透镜主光轴BB₁. 已知电路图物高AB、像高A₁B₁和凸透镜CD都垂直于主光轴BB₁，OF₁=OF₂， =，求电路图像高A₁B₁与物高AB的比. 追问1 图中含有相似三角形吗？如何证明？ 答：△ABF1∽△DOF1；△A1B1F2∽△COF2；△ACD∽△F1OD；△A1DC∽△F2OC. 利用“三角形相似的预备定理”证明两个三角形相似. 追问2 请选择合适的相似三角形，求出A₁B₁与AB的比. 解：∵ AB，CD，A₁B₁ 都垂直于BB₁，DA₁//BB₁， ∴ AB//CD//A₁B₁，四边形ODA₁B₁是矩形. ∴ A₁B₁=OD. ∵ AB//CD，∴ △ABF₁∽△DOF₁ . ∴ = = ， ∴ = . 因此，电路图像高A₁B₁与物高AB 的比为. 例4 如图，△ABC表示一块锐角三角形木板，边BC=120 cm, 高AM=80 cm. 现要在其上裁出 一块正方形木板，使正方形的一条边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，裁出的正方形木板的边长是多少？ 分析：用正方形EFGH表示裁出的正方形木板，则△AHG的高可以表示为△ABC的高AM与正方形EFGH的边长的差.再由 △AHG ∽ △ABC ，即可找 到正方形EFGH的边长与已知条件的关系. 解：如图，用正方形EFGH表示裁出的正方形木板 ，边EF在BC上，顶点G， H分别在AC，AB上 . 记HG与AM相交于点N，则AN为△AHG的高. 设正方形的边长为x cm. ∵HG//BC, ∴△AHG∽△ABC. ∴ = ， 即 = ，解得 x=48. 因此，裁出的正方形木板的边长为48 cm. （三）典例分析 例1 如图，平行于BC的直线DE分别交AB，AC于点D，E，它把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D（或E）的位置. 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∵S△ADE=S四边形DBCE， ∴S△ABC=2S△ADE. ∴()2= = ， ∴ = . 例2 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔___5___米． 例3 在图中，已知凸透镜的焦距OF₁=OF₂=f，物距OB=u(u>f)，像距OB₁=v.求证： + = . 分析：△AF1O∽△ADA1 → = △A1F2O∽△A1CA→ = . + =1. 解：连接AA1，则AA1经过点O. ∵F1O∥DA1，∴△AF1O∽△ADA1 ，∴ = ∵F2O∥AC，∴△A1F2O∽△A1CA，∴ = . ∴ + = =1， 两边同时除以f， 得： + = . （四）巩固练习 1．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 2．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____． 3．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． （1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 答：旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，解得， ∴， 答：旗杆的高度米． （5） 归纳总结 归纳 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年四川南充）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（  C   ） A． B． C． D． 2．（2024年江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 3．（2023年四川南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（  B  ） A． B． C． D． 4．（2026年广西）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． （七）布置作业 1.必做题：习题31.3 第4，5题. 2.探究性作业：复习题31 第13题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $