31.1 图形的相似-【教材笔记】2026-2027学年九年级下册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

31.1 图形的相以 新知解读 (1)至少有两个图形；(2)图形的形状完全一样；（3)图形的 大小可以相同，也可以不同 图31.1-1中大小不同的足球、大小不同的中国结、排版印刷时使用不同字 号排出的相同文字，都给我们以形状相同的形象.我们把形状相同的图形叫作相 似图形(similar figures).只与形状有关，与图形的大小和位置无关 相似图形 相似图形 相似图形 相似图形 图31.1-1 在两个相似图形中，一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小 得到.例如，把计算机上的图形投影到大屏幕上，图形就放大了，得到的图形与 原图形相似；用绘图软件可以把图形放大或者缩小，得到的图形与原图形相似. 思考 在图31.1-2的各对相似图形中，其中一个图形是由另一个图形怎样变化 得到的？按一定比例放大或缩小得到. 图31.1-2 下面我们学习特殊的相似图形一相似多边形. 0 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等， 对于四条线段a,b, 角的对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边 c,d,如果其长度的比 满足a=c(即ad= 形(similar polygons).相似多边形对应边的比叫作相 b d bc),我们就说线段a,b, 似比(similarity ratio）.相似用符号“∽”表示，读作“相 似于”。这个比值与两个多边形的前后顺序有关 c,d成比例 2 教材笔记数学九年级下册RJ 例如，在四边形ABCD与A'B'CD'中（图31.1-3)，如果∠A=∠A',∠B= ∠B,∠C=2C、D=∠D,月8C品=，那么四边形 ABCD∽四边形A'B'CD',相似比为k.同时，四边形A'B'CD'∽四边形ABCD,相 似比为行 相似，因为它们的边数相同，角分 别相等，角的对应边成比例. D 大小不同的两个正 方形相似吗？矩形呢？ 菱形呢？ >不一定相似. 图31.1-3 〉相似多边形的性质 由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例： 例如图31.1-4，四边形ABCD∽四边形EFGH.求∠G,∠D的度数和边 EH的长. E 21 D /118° A 24 18 B78。 83△c 图31.1-4 解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH,所以它们的对应角相等.由此可得 ∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118°. 在四边形ABCD中， )根据四边形的内角和等于360°求解 ∠D=360°-(78°+83°+118°)=81°. 因为四边形ABCD∽四边形EFGH,所以它们的对应边成比例.由此可得 ADAB 根据相似多边形的性质求边长的 EH EF, 一般步骤： (1)设出多边形的未知边的长； 即 (2)根据相似多边形的对应边 21=18 成比例列出方程； EH 24 (3)解方程，求出多边形的未 知边的长. 解得EH=28. 第三十一章相似 练习)相似.理由略 (2)不一定相以：不一定相似.理由略 1.（1)两个边数相同的正多边形相似吗？为什么？ (2)角分别相等的两个多边形相似吗？边 4 成比例的两个多边形呢？为什么？ 2 B'0105° E 2.如图，五边形ABCDE∽五边形 789 A'B'CD'E.求∠A',∠B的度数， 以及边CD',DE的长 2.∠A=78,∠B=105o,CD'=2,DE=号 (第2题) 习题31.1 复习巩固 1.如图，△ABC~△DER求，y的值.Lx=6,y=子 D B 8 (第1题) (第2题) 2.如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形.你用的是什么方法？与同 学交流一下，2.答案不唯一.如图，将原图形的各边都扩大为原来的2倍， 综合运用 3.如图，矩形草坪长40m,宽30m,沿草坪外围有1m宽的环形小路， 小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由.要使小路内外 边缘的两个矩形相似，应该怎样设计环形小路？ 3.不相似.理由略.要使小路内外边缘的两个矩形相似，应设计小路在长边 (第3题) 方向增加的宽度与在宽边方向增加的宽度之比为4：3. 拓广探索 4.如图，将一张矩形纸片沿着较长边的中点所在直线对 折，如果得到的两个矩形都和原来矩形相似，那么原 来矩形相邻两边的比是多少？将这张纸片如此再对折 (第4题) 下去，得到的矩形都相似吗？ 4原来矩形的长与宽的比是2：1；都相似. 4 教材笔记数学九年级下册RJ