31.2.3 相似三角形的性质 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级下册

31.2.3 相似三角形的性质 素养目标 1.知道相似三角形对应线段(中线、高线、角平分线)的比与相似比之间的关系. 2.知道相似三角形的周长比和面积比与相似比之间的关系. 3.能灵活运用相似三角形的判定和性质解决简单的问题,提高分析、推理能力. 重点 探索并掌握相似三角形的性质,并进行简单的应用. 【自主预习】 预学思考 知识点一 相似三角形对应线段的比与相似比的关系 阅读课本本课时开始至“相似三角形对应线段的比等于相似比”的内容,补全下列新知要点: 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于　　　　　　　    　.  相似三角形的周长比等于 .  知识点二 相似三角形的面积比与相似比的关系 阅读课本本课时“进一步地,……”至结束的内容,补全下列新知要点: 相似三角形面积的比等于 .  自学检测 1.已知△ABC∽△EDF,且相似比为2∶5.若△ABC的面积为4,则△EDF的面积为 ( ) A.6　　　　 B.8　　　　 C.9　　　　 D.25 2.若两个相似三角形的面积比是1∶9,则它们对应中线的比为 ( ) A.1∶9　　　　 B.3∶1 C.1∶3　　　　 D.1∶81 【合作探究】 题型精讲 题型1 相似三角形对应线段比的应用 例1　如图,已知△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应的中线.求证: ==k. 【方法归纳交流】此类问题常将对应中线、高、角平分线等线段的 ,转化为已知的 ,直接建立线段间的比例关系求解未知量.  变式训练　已知△ABC∽△A'B'C',对应角平分线的比是1∶,且BC边上的高是3,则B'C'边上的高是 .  题型2 相似三角形的周长比的应用 例2　已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的周长. 变式训练　 1.如图,已知DE∥BC,且AD∶BD=1∶2,则△ADE与△ABC的周长比为　　　　.  2.两个相似三角形的相似比是1∶2,其中较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为 .  题型3 相似三角形的面积比的应用 例3　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的, AB=5,PB=2,求△ABC的面积. 变式训练　 1.两个相似三角形的相似比为2∶3,面积之差为25 cm2,则这两个三角形的面积分别是 .  2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,则的值为　　　　.  课堂检测 1.如果两个相似三角形的面积比为4∶9,则这两个相似三角形对应边的比为 ( ) A.2∶3　　　　 B.3∶2 C.4∶9　　　　 D.9∶4 2.若两个相似三角形的周长比是1∶2,且其中一个三角形的面积是3,则另一个三角形的面积是 .  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 相似比　相似比 知识点二 相似比的平方 自学检测 1.D　2.C 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 证明:∵△ABC∽△A'B'C', ∴==k,∠B=∠B'. ∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的中线, ∴B'D'=B'C',BD=BC, ∴====k, ∴△ABD∽△A'B'D', ∴==k. 方法归纳交流　 比　相似比 变式训练　 9 题型2 例2　 解:∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30, ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3, ∴另两条边的长分别为6×3=18,8×3=24, ∴△A'B'C'的周长为18+24+30=72. 变式训练　 1. 2.12 cm 题型3 例3　 解:∵∠C=∠QPB,∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA. 又∵=, ∴S△BPQ∶S△BCA=1∶5,∴=. ∵AB=5,∴QB=. ∵PB=2,∴QP==1, ∴△BPQ的面积=×2×1=1,∴S△BCA=5. 变式训练 1.20 cm2和45 cm2 2. 课堂检测 1.A 2.或12 学科网（北京）股份有限公司 $