精品解析：甘肃定西市渭源县第一中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. −3 B. −1 C. 0 D. 3 二．多选题（本大题有3小题，每小题6分，共8分.） 9. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 11. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则集合为 D. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若幂函数是偶函数，则实数______． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____________． 14. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 三．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 设集合 ，，全集为 ． （1）当 时，求 及 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）比较和的大小； （2）已知，，证明：． 18. 设函数，且． （1）求函数解析式和定义域； （2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． 19. 已知函数满足，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断在上的单调性； （4）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据补集的定义，从全集中排除集合的所有元素，即可求得。 【详解】根据补集的定义：若为全集，. 因为全集，集合，所以. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，当且仅当时，取等号， 当时，，但， 故“”是“”的充分不必要条件． 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得且，即，解得. 故不等式的解集为 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 故，故（负解舍去）， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域的核心规则：同一对应法则下括号内表达式的取值范围相同，列不等式求解的范围即可. 【详解】函数的定义域为，含义是对应法则作用的对象的取值范围为， 对于函数，对应法则作用的对象为， 因此 ，解得， 所以的取值范围为， 即函数的定义域为. 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，其图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又 ，且 . 因为 在 上的值域为 ， 所以区间 必须包含最小值点 ，即 ； 同时 不能大于 ，否则 ，值域会超出 . 所以当 时， 在 上的最大值为 ，最小值为 ，值域为 . 即实数 的取值范围为 . 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减．若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质将不等式化为，再结合函数在上单调递减的性质求解. 【详解】由， 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意得在上单调递减，则有在上单调递减， 所以，解得. 8. 设函数是定义域为的奇函数.若，则（ ） A. −3 B. −1 C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且，所以. 二．多选题（本大题有3小题，每小题6分，共8分.） 9. 已知正实数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A项直接利用平方和不等式求解；B项和C项均通过基本不等式放缩，但B项需注意等号成立条件与题意矛盾，C项连续两次使用基本不等式且等号可同时成立；D项先利用消元化简，再通过“1”的代换结合基本不等式求得最值. 【详解】对于A选项，因为且，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B选项，因为且，所以， 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 因为，等号无法取到，所以 （即2不是最小值），故B错误； 对于C选项，由基本不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 又因为，且，由基本不等式可得：， 当且仅当 时取等号， 所以，所以， 因为两次使用基本不等式取等号的条件均为，条件一致， 所以最小值可以取到8，因此的最小值是8，故C错误； 对于D选项，， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故的最小值为，故D正确. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由一元二次不等式的解集确定，且是方程的两根，利用韦达定理得到，，再代入各选项验证判断. 【详解】因为的解集为， 所以， 则是方程 的两根， 则，解得，即， 因为，所以，，故选项A正确； ，故选项B正确； 将代入，得到， 解得，即， 因为，所以，即，故选项C错误； 将代入，得到， 解得， 因为，所以，即， 解得，故不等式的解集是，故选项D正确. 11. 下列说法错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知，，若，则集合为 D. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法可判断B；化简集合，结合，可判断C；先分离常数，再结合反比例函数的图象性质，可判断D. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 而函数的定义域为， 两函数定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故选项A错误； 对于B选项，由函数的定义域为，可得， 所以，即，解得， 即函数的定义域为，故选项B正确； 对于C选项，由集合，解方程得或， 即， 当时，集合，满足，所以集合中必定有， 故选项C错误； 对于D选项，函数， 因为函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减， 根据反比例函数的性质，可得，解得，故选项D正确. 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若幂函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先依据幂函数的定义求出的所有可能取值，再逐一验证函数的偶性，筛选出符合条件的值. 【详解】由幂函数的系数必须为，可得 ，整理得， 即，解得或， 当时，，定义域为，对任意，，该函数为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为， 对任意，，该函数为偶函数，符合题意； 综上，实数. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】定义在上的奇函数满足：当时，， 则. 14. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况，利用函数的单调性及函数的值域，结合基本不等式分析即可得实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以， 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，， 此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，， 故，即， 综上所述，实数的取值范围为． 三．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 设集合 ，，全集为 ． （1）当 时，求 及 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当 时，. 由 ，得 . 又全集为，则 ，所以. 【小问2详解】 由""是""的必要不充分条件，知 是的真子集（即 且 ）. 由 ，，要使 ，需满足 解得 . 又 为开区间、 为闭区间，二者不可能相等，故 恒成立. 所以实数 的取值范围为 . 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），或，，或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集和交集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，即. 所以，或， ，或 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集. 当时，即当时，显然是集合的真子集； 当时，即当时，则有， 又当，次方程组无解，即上面不等式组等号不能同时成立， 又，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 17. （1）比较和的大小； （2）已知，，证明：． 【答案】（1）； （2）由题意知：，，故，， 两不等式均当且仅当时取等号， 故，即得. 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可得证； （2）利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）由题意得： ， 所以； （2）略. 18. 设函数，且． （1）求函数解析式和定义域； （2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】（1），定义域为 （2）设， 则 ，， 在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）用条件代入函数表达式求出参数m，再根据分式分母不为 0 写出定义域; （2）用定义证明单调性，在区间内任取两个自变量，作差变形为因式乘积的形式，判断差的符号，得到函数增减性. 【小问1详解】 由，得，解得：，故， 的定义域为 【小问2详解】 略 19. 已知函数满足，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断在上的单调性； （4）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）偶函数 （3）在上单调递增，在上单调递减 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可. （2）根据函数奇偶性的定义判断即可. （3）根据单调性的定义及偶函数的性质判断即可. （4）根据函数的单调性及奇偶性，将不等式化为，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为， 又， 所以为偶函数； 【小问3详解】 任取，则，， 则， 所以在上单调递减， 又为偶函数，所以在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减； 【小问4详解】 由，得. 因为在上单调递减，且为偶函数， 所以，则， 整理得，即，解得或， 故不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $