专题03 三角函数与几何图形（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题三 三角函数与几何图形
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、圆中的弦、弧长与切线
题型二、圆与四边形的综合
题型三、正多边形与拼接图中的全等转化
题型四、矩形与正方形的折叠旋转
题型五、菱形中的对称、动点与最值
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题几何综合核心是抓性质、寻等变、转化线段：熟练运用圆、特殊四边形、正多边形的基础性质，遇到折叠、旋转优先锁定全等与等线段、等角，借助对称转化路径，从动点轨迹入手分析最值，把分散条件集中到可解的三角形中推导计算。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 仰角俯角看错，把视线与竖直方向的夹角当成与水平方向的夹角；
2. 方位角从错误的方向起算（规范是从正北或正南起算）；
3. 坡度 i 与坡角α混用，忘记 i＝tanα 而不是 sinα；
4. 两次测量求差时，把两个仰角的正切直接相减。
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型一、圆中的弦、弧长与切线
典例1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点．
(1)若圆的半径为，，求的长．
(2)如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点．
(3)如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，
①求证：；
②若，求的半径长．
【答案】(1)
(2)证明：如图所示，连接，延长交于点，
∵，
∴，
由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴为半圆弧的中点．
(3)①证明：如图所示，连接、、、、、、，
由（2）可得：，，
在中，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
②
【分析】（1）连接，利用是直径得出，再由，即可求出；
（2）连接，延长交于点，由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线，得出，进而得出，利用圆周角定理可得，从而证明为半圆弧的中点；
（3）①连接、、、、、、，先证明得出，再证明得出，最后证明得出，得出是的垂直平分线，即可证明；
②过点作于，连接、、、、、、，由（2）得：，，由题意可得四边形是正方形，利用正方形的性质可得出的半径长与相等，还可证明得出，证明得出，，进而得出，最后在与中利用勾股定理即可求出的半径长．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵圆的半径为，
∴，
∴．
（2）略
（3）解：①略
②如图所示，过点作于，连接、、、、、、，
由（2）得：，，
∴，
∴，
由①可得：，
∴，
∴，
∴，
由①可得：是的垂直平分线，
又∵是的垂直平分线，即与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即的半径长为．
解题模板
1.见切线连过切点的半径得垂直；见弦作弦心距，用垂径定理平分弦;
2.求三角函数值必须有直角三角形：连直径造直角或作弦心距;
3.弧长、扇形面积公式中圆心角用度数，不要混用弧度。
变式1-1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)连结交于点，若的半径为5．
①若，求的长．
②若，求的周长．
③若，求的面积．
【答案】(1)证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点，是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)①②③
【分析】（1）利用切线与直径垂直、直径所对圆周角为直角推导等角，结合弧三等分的等角关系，通过内错角相等证明．
（2）设、，由弧三等分推得且，在中用勾股定理求，进而计算．
（3）①由弧三等分得，结合垂径定理得长度，在中用勾股定理求，再通过线段差计算．
②先由勾股定理求与，通过三角形相似求出，得到的长度，分段求和得到的周长．
③设，结合线段关系与相似三角形列方程解得，再利用相似三角形的面积比求出的面积．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵，
设、，
∴
∵点，是的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理有，即
∴
（3）解：①如图，连接，
∵点，是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵半径为5，
∴在中，由勾股定理有，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
②如图，连接，过点H作交于点T，
∵且半径为5，
∴，，
∵，
∴，即，
∴在中，由勾股定理有，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则有，
∴设、，
∴，
∴在中，由勾股定理得，即，
解得、，
∵，即，
∴不符合题意舍去，
∴，
∴在中，由勾股定理有，即，
∵、，
∴，
∴，即，解得，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
∴，
故的周长为．
③如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点，是的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵半径为5，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴，
在中有，
∴，
∴，
∴，
由可得，
∴，
∵、，
∴，
∴，即，
解得、，
∵，即，，
故不符合题意舍去，
∴，即，
∴，
∴在中，由勾股定理有，即，
∵点C、点G分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，解得，
故的面积为．
变式1-2 （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）为半圆的直径，半径交弦于点，已知．
(1)如图1，连接，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径．
【答案】(1)①证明：∵，
∴，
∵；
∴，
∴；
②
(2)半圆的半径为
【分析】（1）①由可得，则，即可解答；
②容易证明，则，代入求值即可；
（2）连接，过点作于点，由（1）可得，则，从而证明，则，进一步可得，结合，可得，因此是等腰直角三角形，则，利用三角函数和勾股定理计算出和，从而得到．
【详解】（1），，
①证明略
②解：由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，即半圆的半径为．
变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E．
(1)求证：．
(2)作于点F，于点G．若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据相切可知，即可判定全等三角形；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型二、圆与四边形的综合
典例2 （2026·浙江衢州·一模）如图1，已知内接于，．弦于点E，连结，交于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，连结．若，求的值．
(3)当，时，求的半径．
【答案】(1)
证明：延长交于点，连结，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于点，连结，可得，，再根据，得到，推出，即可证明结论；
（2）设，求出，，，，易证，可得，即，求出，由（1）知，由，即求出，即可求解；
（3）延长交于点，连结，过点作于点，先证明，设，求出，证明，推出，，在中，，得到则，求出，，进而得到，，，，再证明，推出，则，根据垂径定理得到，再证明，推出即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
由（1）知，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长交于点，连结，过点作于点，
由（1）知，则，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在中，，
则，
得，整理得，
由得，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，解得，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即的半径为．
解题模板
1.圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，这是搬角的钥匙;
2.证切线两条路：有公共点就连半径证垂直，无公共点就作垂线证等于半径;
3.求线段长优先用相似（弦切角、同弧所对圆周角），再用勾股收尾。
变式2-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知等腰中，，为边上一点，以为直径的圆恰好经过点，与边交于点．
(1)求证：；
(2)连结，若平分，请直接写出的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明：，
，
是圆的直径，、都在圆上，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
，
；
(2)
(3)
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补证明即可；
（2）结合平分想到连接，进而可得，，然后利用得到的等量关系即可求解；
（3）根据要求的结论，同时结合已知条件，尝试构造与相关的三角形，故连接，，进而可得再借助即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：，理由：
如图1，连接，
设,
，
，
又平分，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，即，
整理，得．
设，代入，得
，即．
解得（舍去），
，即．
（3）解： 如图2，连接，，
设，
由，则不妨设， ，
，
在和中，
，即．
为直径，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得 .
在中，则有
【点睛】解决与圆相关的几何问题时，要掌握一些常见的作辅助线的方法，如连接半径，作垂直等．
变式2-2 （2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，点为边上的一个点，已知，连结，作于点，过，，三点的交于点，交于点M，连结，则的值是_________．
【答案】
【分析】连接，则得四边形是矩形，，易得三点共线；由，设，由三角函数知识可求得，；由等腰三角形的性质、直角三角形的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴是圆的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线；
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
变式2-3 （2026·浙江杭州·二模）如图1，已知内接于圆O，，D是上一动点，C，D两点在两侧，以，为邻边作平行四边形，其中直线交于点F．
(1)若直线恰好经过圆心O，如图1，
①求证：；
②当，时，求的值．
(2)如图2，直线与交于点H，当直线恰好经过的中点G时，求的值．
【答案】(1)①证明：∵直线恰好经过圆心O，
∴延长，交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②
(2)
【分析】（1）①根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，最后根据等腰三角形的判定可以证明结论；
②过点F作于点M，根据勾股定理求出，证明，得出，分别求出，，根据三角函数定义求出，证明，即可得出答案；
（3）连接，，延长，交于点M，根据点G是的中点，是直径，得出，根据圆周角定理得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据中位线性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）①略
②过点F作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）解：连接，，延长，交于点M，如图所示：
∵点G是的中点，是直径，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴点H为的中点，
∵点O为的中点，
∴，
∴．
题型三、正多边形与拼接图中的全等转化
典例3 （2026·浙江舟山·一模）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是_________ ．
（2）若，则的值是_______．
【答案】 3
【分析】（1）首先得到，然后结合求出，进而求解即可；
（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）设，
∵，
∴可设，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
，
∵四边形对角互补，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴．
解题模板
1.正多边形先算中心角 与内角，再拆成 n 个全等的等腰三角形;
2.拼接图（赵爽弦图、七巧板）找全等三角形，把分散的边集中到一个三角形里;
3.求比值时设边长为 1 或设小边为 x，减少未知量。
变式3-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________．
【答案】
【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积．
【详解】解：如图所示，连接．
六边形是正六边形，边长为2，
，
．
又在中，，，
为等腰三角形，即，
，
同理可得，．
又在与中，
，，
，
．
在中，
，
，
．
，
，
，
，
．
变式3-2 （2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴设，，则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得或（不合题意，舍去）；
在中，；
故选A．
变式3-3 （2025·浙江杭州·一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，
设正六边形的边长为，则，
，
正六边形的一个内角为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
题型四、矩形与正方形的折叠旋转
典例4 （2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作于点，连接交于点，设，则，在中，由勾股定理求得，再求得，据此求解即可．
【详解】解：作于点，连接交于点，设，则，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
由折叠的性质知，垂直平分，
∴，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴．
解题模板
1.折叠：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分，对应边、对应角相等;
2.旋转：旋转角相等、对应边相等，先找旋转中心再标对应点;
3.设未知边为 x，把折叠后重合的边用同一个 x 表示，列勾股方程。
变式4-1 （2026·浙江·模拟预测）如图，E为矩形对角线上一动点，．连接，将绕点A逆时针旋转后并延长，交射线于点F，交射线于点G．已知，则当时，__________．
【答案】或
【分析】在中，可得，，当点F在线段上时，连接交于点，不妨设，那么，则，证明，可得，再证明，可得，再通过算得，即可得出答案；当点F落在射线上，证明，得到，，再证明，得到，得解．
【详解】解：当点F在线段上时，连接交于点，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
∵，
∴不妨设，那么，则，
∴，，
∵将绕点A逆时针旋转后并延长，交射线于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点F落在射线上，如图：
∵，
∴不妨设，，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述：当时，或．
变式4-2 （2026·浙江丽水·二模）如图，将边长为的正方形纸片对折，使与重合，折痕为（如图①），展开后，再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点（如图②），则的长为_______．
【答案】/0.75
【分析】由正方形得到，，由折叠可得，，，，．设，在中根据勾股定理构造方程，求得，则，，因此在中，，根据同角的余角相等得到，因此在中，，从而，根据设，（），由勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为6，
∴，，
由折叠可得，，，，
设，则，
∵在中，，
即，解得，
∴，，
∴在中，．
∵，
，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴设，（），
∵，即，
解得，
∴．
变式4-3 （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，则的面积为________．
【答案】/
【分析】连接，交于点W，过G点作，交于点H，先求出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定求出四边形为菱形，求出，，再求出，的长，再根据正弦求出的长，最后根据三角形面积公式可得答案．
【详解】解：如下图，连接，交于点W，过G点作，交于点H，
四边形为平行四边形，
，
为的中点，，
，
由折叠的性质，得，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
的面积为．
题型五、菱形中的对称、动点与最值
典例5 （2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且，
(1)求的长．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
解题模板
1.菱形对角线互相垂直平分，且平分一组对角，这是现成的直角工具;
2.动点最值用对称转化：作对称点，把"两点到定点距离之和"化成一条线段;
3.取最值的时刻通常三点共线，最后回到直角三角形用勾股或三角函数求。
变式5-1 （2026·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点是线段上的一动点（点不与，重合），连接交于点，作的垂直平分线分别交，于点，．连接，．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若菱形的边长为5，，当取最小值时，求的长．
【答案】(1)3
(2)证明：过点分别作于，于，连接，
，
四边形是菱形，
、，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
；
(3)1
【分析】（1）利用菱形的性质证明，进而证明；
（2）过点分别作于，于，证明，设，则，进而求出，根据等腰三角形的性质求出，从而得出结论；
（3）根据菱形的性质结合（2）中的结论得到，则，
由（1）知，，则，根据得到，利用勾股定理求出长，当时，最小，即最小，在中，利用勾股定理求出长，据此求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
、，
在和中，
，
，
；
（2）略；
（3）解：四边形是菱形，
，
由（2）知，，
，
，
由（1）知，，
，
垂直平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
当时，最小，即最小，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
变式5-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，平分，连接．
(1)求证：．
(2)若，的面积为，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了菱形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质与判定以及三角函数．
（1）利用菱形的性质可得，再根据已知条件，平分，从而可以判定三角形全等；
（2）根据菱形的性质可知，，以及利用的面积为，则可求出高，即可求出的值．
【详解】（1）证明：在菱形中，，
，
．
平分，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
在菱形中，，，
的面积为，
，
，，
，，
．
变式5-3 （2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
【答案】(1)5
(2)，
【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可．
（2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可．
根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．
【详解】（1）解：在菱形中，
∴，
∴．
（2）①如图1，延长交于点，
由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
②解 ：如图2，．
∵，
∴最小时，也最小，要想最小，只需最小．
∵为定角，
∴当时，有最小值为，
此时，
∴的最小值为
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作于点G，作于点H，连接，则，设，则，由得，可证，进而得出，，证明得，求出，证明得，从而，然后根据勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：作于点G，作于点H，连接，则，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦与弦相交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
3．（2024·浙江温州·一模）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
先根据正方形的性质证明可得，可判断A选项；再根据直角三角形的斜边比直角边长可得，从而判定B选项；然后再运用等量代换可得可判定C选项，根据同角的余角相等可得，然后根据正切的定义以及等量代换可判定D．
【详解】解：∵中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
在和中
，
∴，
∴，即选项A说法正确，不符合题意；
在中，，
∴，即选项B说法正确，不符合题意；
∵，，
∴，即选项C说法不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，即：，
∴即，
∴，即选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
4．（2024·浙江杭州·二模）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设交于点，过点作，根据，不妨设，则，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，三角函数求出的长，再求出的长，利用正切的定义求解即可．
【详解】解：设交于点，过点作，
大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，，，
∴，，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．（2024·浙江温州·二模）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正切的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
设，由正切的定义可得；再根据全等三角形的性质可得、,再证，依据相似三角形的性质列方程求解可得，再运用线段的和差及勾股定理可得、、、；再证明、，依据相似三角形的性质列方程求解可得，最后根据三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：如图：设，
∵，
∴，
∵，
∴，,
∴,
∴,
∴，即,解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，,
∴，
∴,即，解得：，解得：，
∵的面积为7，
∴,即，解得：（舍弃负值），
∴．
故选：D．
6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，折叠，勾股定理，平行线的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据矩形的性质，设，，，再根据折叠和平行线的性质等，可求出，，最后利用勾股定理，求出的值即可．
【详解】解：矩形，
设，，，
由折叠可得，，，，，，
，
，，
，
，
同理可得，，则，
，
，
的延长线恰好经过点，
，
，，
，
，
，
在中，，
则，化简得，
、均大于0，
，
在中，．
故选：B．
7．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________．
【答案】
【分析】设，根据题意表示出的长度，在中利用勾股定理求出，由圆的性质得，过点作于点，证明 ，求出的长，进而求出，再过点作交的延长线于点，构造矩形，求出的长，最后在中利用正切定义求解
【详解】解：四边形是矩形
∴
设
为中点
在中，由勾股定理得
以为半径作半圆，在圆上
过点作于点
又
即
过点作交的延长线于点
四边形是矩形
在中，
8．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，为的直径，C是半圆上的一点，D为弧的中点，点P在半径上，且，连结，，．若，则________．
【答案】/0.75
【分析】连结交于点，连结，根据弧中点的定义得到，则有，，根据等腰三角形三线合一性质得到，，则有，设，，在中利用余弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的内接三角形，，，，则的半径__________．
【答案】/
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点作交于点，延长交圆于点，连接，设，根据勾股定理求出和，由进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，延长交圆于点，连接，
∵，，，
设，则，
∵，，
∴，
即，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
故答案为：
10．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________．
【答案】
【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
【详解】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
11．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，是圆的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．若，则的值是______．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理，锐角三角函数定义和垂径定理等知识，连接，则，得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，，可得，从而可求出的值．
【详解】解：连接，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
12．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点C是上一点，且半径为2，，，点D在上运动，连接交于点E，则的最大值＝______．
【答案】
【分析】作圆心O，连接，与交于点F，先说明是等边三角形，再作，可得，即可知，然后得出，再分析最大，此时的长等于半径减去的高，接下来连接，可求，进而得出答案．
【详解】如图所示，
作圆心O，连接，与交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
过点D作，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
当最大时，最大，此时的长等于半径减去的高，
连接，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，正弦，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，，，为的外接圆．取上一点D，连接交于点F，在射线上取一点E，连接，且满足，则______，当取最大值时，则等于______．
【答案】 /
【分析】证明，求得，利用正切函数的定义求解即可；作于点，连接，证明，求得，得到当取得最大值时，取得最大值，当共线时，取得最大值，据此计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
作于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，最大值为，
∴当共线时，取得最大值，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（2024·浙江·模拟预测）如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是__________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质及勾股定理对图中数据进行标记，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N，可得，则，故，由题意得，，则，由题意得，，，则，故，，由得，则．
【详解】解：如图1，在正方形中，，
设，
则在中，由勾股定理得，
则由题意可将图中线段作出标记数据，
如图2，过点B作的平行线，延长与之交于交于点M，N，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则_____________（结果用含,代数式表示）．
【答案】
【分析】根据平移的性质可得，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答．
【详解】解：由图形变换可知，在图2中，四边形为矩形，,
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∵,
∴即：，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
16．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝________．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径
正六边形的一个中心角为
所以正六边形的边长等于其外接圆的半径
过作
则可得
由多边形内角和得
设正六边形的边长为，则
即
在直角中，，
故答案为：．
17．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________．
【答案】或
【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可．
【详解】解：连接，如图：
四边形是矩形，，，是的中点，
，，，，
由旋转的性质可得，，，
，，，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
点在边上
，
在中，，
在中，，
，
点落在上，
是的中点，
在中，，
在中，，
由旋转性质可知，
，
是的中点，
，即，
点在上，
，
，
，
，
，
即，
解得，．
【点睛】解题核心是利用旋转性质与全等三角形转化线段，结合等腰三角形“三线合一”和三角函数建立方程，将几何关系转化为代数问题求解．
18．（2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，点B关于的对称点F恰好落在线段上，连接，则_____．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得，，，，设，则，，连接，由对称的性质可得，，，设，则，由勾股定理可得，结合正切的定义求出，，，，作于，则，证明，求出，，从而可得，最后由正切的定义计算即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵，
∴设，则，，
连接，
由对称的性质可得，，，
设，则，
由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，，，
∴，
作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
19．（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________．
【答案】
【分析】由轴对称的性质、折叠的性质可得、、、；如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，四边形是矩形；进而得到是等腰直角三角形，即；同理可得：；再利用含30度直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差可得，进而得到，最后利用矩形的性质以及线段的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形，，，
∴，，
又∵将沿折叠得到，
∴，，
如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴在四边形中，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为．
20．（2026·浙江台州·二模）如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度（），则支撑窗扇的杆子长为_________．
【答案】
【分析】根据题意，作，在中求出，利用勾股定理求，则得到长，利用勾股定理即可求出长．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，，
，
，
，
，
．
（2026·浙江杭州·一模）
21．（2025·浙江金华·二模）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点顺时针旋转，旋转得矩形，继续旋转使得点的对应点落在上，连结，则___________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，，根据旋转的性质得出，，，证明点B、、在以点A为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理得出，证明，设，则，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
根据旋转可知：，，，
∴点B、、在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴B、A、在同一直线上，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角函数定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
22．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____．
【答案】/
【分析】证明，得出，设，则，即可得出，求出，，根据，得出，求出x的值，最后根据三角函数定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可得：，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但，不符合题意，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一个角正切值，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
23．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则_____°；若（如图②），则 _____．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．图①中，先证四边形是平行四边形，再结，得四边形是菱形，则，得即可；图②中，设，先证四边形是平行四边形，得，再证得，最后在中，由勾股定理得，即，化简可得即可．
【详解】解：图①中，点重合
点在同一直线上
四边形是矩形
由折叠的性质知，
即
又矩形中，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
；
图②中，设,
四边形是矩形
由折叠的性质知，
即
又矩形中，
四边形是平行四边形
由折叠的性质知，
在和中
是等腰的中线
在中，由勾股定理得
化简得
．
故答案为：．
24．（2023·浙江绍兴·三模）如图，在中，，点D为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A，C重合时，连接．作点A关于直线PD的对称点，连接，．设点P的运动时间为t秒，且，则t的值是______．
【答案】或
【分析】分两种情况：点P在边上时；点P在时，利用等角的三角函数值相等即可求解．
【详解】解：当时，即点P在边上时，如图；
过点P作于E；
由折叠性质得：，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得：，
∵点D为中点，
∴；
而，
∴，
即，
解得：；
当时，即点P在边上时，如图；
延长交于点F，
由折叠知，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
而，
∴运动时间为；
综上，当运动时间为或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，灵活运用这些知识是关键，注意分类讨论．
25．（2022·浙江宁波·二模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________．
【答案】 /
【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点K在以为直径的圆O上运动，
∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合，
∴，
当点C为的内心时，
，，分别平分，和，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点B、C、F共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线．
26．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，．由四边形是菱形，结合已知条件可以推出菱形的高为，即为梯形的高，由于已知上底，所以要想求得梯形的面积，只需求出下底的长．根据和关于对称，可以得到，，，，通过证明得到，设，结合已知角度的三角函数关系，可以用含的代数式分别表示出的长度，进一步根据对称性，推出，则，在中，利用解出的值，即可得到的长，最后将和高的值代入梯形面积公式，求出梯形的面积．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，．
四边形是菱形，，
，，，
菱形的高，与梯形的高相等．
和关于对称，
，，，，，
设，则，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，，
，
又即，，
四边形是矩形．
为菱形的高，
，
，
和关于对称，
，
，
在中，，
代入，，
解得，即．
．
27．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，将菱形（）绕点A逆时针旋转得到菱形，使得点E落在边上，与相交于点H．设，则__________（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】熟练掌握旋转的性质、菱形的性质、相似三角形性质和判定、余弦定义并灵活运用是解此题的关键．
分别延长交于点M，作于N．证明，推出，根据菱形性质证明，设，结合相似三角形性质推出，结合等腰三角形性质推出，再证明，利用相似三角形性质推出，进而得到，最后根据余弦定义求解，即可解题．
【详解】解：分别延长交于点M，作于N．
设菱形的边长为x，
由旋转的性质得，，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
，
∴．
设，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
28．（2025·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为_____，的值为_____．
【答案】 4
【分析】连结，利用直线平行的性质证明，从而得到，进而可求；作于点，作于点，利用等面积法求出，利用进行求解．
【详解】解：如图，连结，
点关于的对称点在上，
，
∵四边形是菱形，
．
，
，
，
．
作于点，作于点，则，
，
，
，
，
，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、正弦等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
29．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，点为延长线上的一个动点，连接交于点，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或15
【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识．连接交于点，由菱形的性质得，，，，则，求得，则，所以，再分两种情况讨论，一是，则，所以，则，求得，，再证明，得，所以；二是，则，求得，，则，所以；而，且，所以不存在的情况，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
，
，
，
，
如图1，为直角三角形，且，则，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
如图2，为直角三角形，且，则，
，，
∵，，
，
，
；
，且，
，
不存在为直角三角形，且的情况，
综个所述，的长为或15，
故答案为：或15．
30．（2026·浙江·一模）如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若为中点，，，求弧的长度．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
∵与圆相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由得，由等腰三角形的性质可得，则，结合对顶角相等可得，因此；
（2）设圆的半径为，由可得，则，利用三角函数计算出，．根据题意可得，解得，最后利用扇形的弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，设圆的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，解得，
∴弧的长度为．
31．（2026·浙江杭州·二模）如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）．
(1)若，求．
(2)延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H．
①若，直径，求的长．
②求证：．
【答案】(1)
(2)①；
② 证明：∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得根据圆周角定理可得，进而求得；
（2）①根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
②先证明得出，进而可得， 证明得出，进而得出，再求比值，即可求解．
【详解】（1）解：连接，因为是的切线，
，
（2）①∵是直径
∴
∵在中，，
设，
∴
∴
解得：
∴，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
解得：；
②略.
32．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D．
(1)如图1，连接，若，，
①求的度数；
②若又满足，，求的长．
(2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：．
【答案】(1)①；
②
(2)
证明：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【分析】（1）①根据等边对等角得到，根据圆周角定理，等边对等角得到，再根据角的和差计算即可；
②延长交于点M，由角的和差可得，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到，由此即可求解；
（2）如图，连接，设，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形是平行四边形，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，延长交于点M，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）略
33．（2026·浙江温州·一模）如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，若恰好经过点．
①求的值．
②求的长．
【答案】(1)
是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
(2)①；②
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，再根据同角的余角相等得到；
（2）①先求出，，再根据，得到，接着证明，则；
②由，设作于点，则，先求出，再证明，得到，代入整理得到，证明，得到，代入解得，则，最后根据计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
34．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)
证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）连结，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算求出，根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连结，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求正弦值，掌握垂径定理是解题的关键．
35．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点．
(1)连结，求证：．
(2)求证：．
(3)当时，求的正弦值．
【答案】(1)
证明：如图，
是弧的中点，
，
，
又是的直径，
，
；
(2)
证明：，
，
；
(3)
【分析】本题考查圆的性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质及三角函数计算，需结合圆的弧、直径性质，利用平行、相似、角度关系逐步推导．
（1）要证，需结合“弧中点”的性质（弧中点与弦的垂线关系）和“直径所对圆周角为直角”的性质，通过证明同位角（或内错角）相等，推导两直线平行；
（2）要证，先利用小问（1）的推导，再结合相似三角形的边长比例，将转化为，最后结合的定义完成推导；
（3）已知，需结合圆的弧中点性质推导等腰三角形，再通过设角度、利用相似三角形的比例关系，结合三角形内角和定理求出角度，最终计算的正弦值．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，连接、，
，
，
，
，
是弧的中点，
，
，
，
是等腰三角形，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
在中，，
，
则，
设，，则，
则，
解得：，（舍去），
．
36．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，为的直径，在线段上取一点，过点作（点在直径上方），连接并延长交于点，过点作于点，交直径于点．
(1)求证：；
(2)设，，求关于的函数关系式；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)；
(3)的值为或．
【分析】（）由垂直定义可知，，则，，又，所以，得到，即可证明结论；
（）由（）知，，则有，证明，根据直角三角形两锐角互余即可得到；
（）连接，求出，，分点在线段上和点在线段上两种情况进行 解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴关于的函数关系式为；
（3）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当点在线段上，时，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴；
当点在线段上，时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上可知：的值为或．
【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，列函数关系式，等角的余角相等，解直角三角形等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
37．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记．
(1)用含有的代数式表示．
(2)若，当时，求的值．
(3)如图，若，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：设，则，
∵，
，
∵，，
∴，
．
【分析】（）由圆周角定理得，即得，即可求解；
（）过点作于点，设，则，利用三角形面积可得，即得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得，再证明即可求解；
（）设，则，由得，进而证明即可求证．
【详解】（1）解：是直径，
，
，
∴；
（2）解：如图，过点作于点，则，
设，则，
，
，
∴，
，
∴，
又，
，
，
，
，
∴，，
∴，
∵，
，
又，
∴，
；
（3）略
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
38．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，，，求的直径．
【答案】(1)
证明：连接，如图所示：
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)的直径为20
【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后问题可求解；
（2）连接，由题意易得，，则有，，然后可得，进而根据三角函数及垂径定理可进行求解．
【详解】（1）略
（2）解：连接，如图所示：
∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得，
解得：，
∴的直径为20．
39．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰中，，，点为边上的动点，连接，过点作的垂线，交的外接圆于点．
(1)求证：；
(2)如图2，作直径，交于点，连接；
①若四边形中的一组对边比为，求的长；
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
；
，
；
，
，
，
；
(2)①或；②
【分析】（1）连接，易得为直径，则可得，从而得；
（2）①证明，则有；分两种情况考虑：；，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
②过点G作于H，设，则；设，可得，从而，即，则得；由，则可表示出t，根据，即可求得a的值，进一步求得结果．
【详解】（1）略
（2）解：①为等腰直角三角形，且，
；
四边形是圆内接四边形，
，
,
，
为直径，
，
，
；
分两种情况考虑：
当时；
则，
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：或（舍去）；
当时，
则；
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去）；
综上，或；
②如图，过点G作于H，
设，则；
∵，,，
∴，则，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
四点共圆，
∴，
，
，
；
，
，
；
，
，
，
，
解得：（舍负），
即，
．
40．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点是以为直径的圆上一点，连接，在上截取，连接并延长交圆于点，连接，设．
(1)如图1，若时，求度数；
(2)如图2，过点作，证明：；
(3)如图3，若，连接并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
证明：连接，如图所示：
，，
，
，，
，，
，，，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解；
（2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明；
（3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答．
【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示：
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2）略
（3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示：
，
，
，
由（2）知：，
，
是的直径，
，
，
，
设，，，
，
，
在中，，则，
，
是直径，
，
，
，
，
即．
41．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图1，内接于，是的直径，过点B作交于点D（点D与点B不重合）．
(1)求证：．
(2)如图2，过点C作交的延长线于点E，连结交于点F．
①若，求的长；②若是直角三角形，求的值
【答案】(1)见详解
(2)①1；②
【分析】（1）利用平行线的性质得出，根据等边对等角可得出，等量代换可得出，即可得出．
（2）①连接，设交于点H，利用圆周角定理，平行线的性质，垂径定理得到
；利用矩形的判定与性质得到，利用正弦的定义得出含角的直角三角形，由含角的直角三角形的性质，圆周角定理和等边三角形的判定与性质得到，再利用等腰三角形的三线合一的性质求得，则结论可求；
②利用分类讨论的思想方法得到，利用直角三角形的性质和等角的余角相等的性质和等腰三角形的性质得到；设、、，则，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质分别表示，进而得到x，y的方程，解方程求得x，y的关系式，代入化简运算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．，
∴．
（2）解：连接，设交于点H，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
②∵是直角三角形，
当时，点F在外，由于为弦，这与交于点F不符；
当时，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点D在外，这与题意不符．
∴只有．则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
设、、，
则，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
∴，
∴，
∴(负数不合题意，舍去)
∴，
∴，
即
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦值求角，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
42．（2024·浙江杭州·一模）如图，为外接圆，点、分别为、中点，连结、、，分别与、交于点、．已知．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形．
(3)在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
【答案】(1)
证明：如图：
∵分别为 、中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)
证明：∵分别为 、中点，
，
∴，，
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
(3)①，②．
【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由分别为 、中点，，由圆周角定理可得，进而得到即可求证；
（2）过点作于点，先证明，得到，即可求证；
（3）①过点作于点，由三角函数得到，再证明，根据勾股定理可得，再由即可求解；
②由可得设则，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵，
∴为等边三角形，
过点作于点，如图：
∵，
∴
∴
∴，
由（1）知，，，
∴，
∴即
∴，
，
；
，，
∴为等边三角形，
又∵ 为等边三角形，
∴，
∴ ，
设则，
，
，
，
∴．
43．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F．
(1)若，求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：如图，过点B作，交延长线于点M，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形或相似三角形．
（1）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求出即可；
（2）先证明；再在中，，在中，，可得，从而可得结论；
（3）过点B作，交延长线于点M，首先证明，得到，进一步推导出，进而得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，且是的直径，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
在中，，
∴，
∴；
（3）略．
44．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，是边上的高，以为直径的交于点F，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)若，的直径为5，，求的长．
【答案】(1)
证明：如图，连接，
∵以为直径的交于点F，
∴，
∴，
在中，是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理：
（1）根据圆周角定理求出，结合直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可得解；
（2）连接，根据等腰直角三角形的判定与性质求出，根据勾股定理求出，，根据锐角三角函数及勾股定理求出，结合圆周角定理求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍）．
45．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的两条直线，与轴正半轴分别交于、两点，与轴分别交于点、两点，已知点坐标为，在轴负半轴，以为直径画，与轴的另一个交点为．
(1)求点坐标；
(2)如图，若经过点．
①判断与轴的位置关系，并说明理由；②求弦的长；
(3)如图，若与直线的另一个交点在线段上，求的值．
【答案】(1)
(2)①相切，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）求出直线的表达式为，即可求解；
（2）①证明为等腰三角形，得到轴，即轴，即可求解；②利用相似三角形求得点，进而求出，则圆的半径为，进而求解；
（3）证明，在中，解直角三角形得，从而求得，于是即可得解．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，将点、的坐标代入上式得
，
解得，
故直线的表达式为，
令，解得，
∴点；
（2）解：①相切，理由：
连接、，过点作于点，
∵点、、，
∴点是的中点，
∵是圆的直径，
∴，
∴，即为等腰三角形，
∴平分，即，
∵，故，
∴轴，
∴，
∵轴轴，
∴
∴轴，
∴与轴的位置关系是相切；
②∵点，点，
∴，，
∵轴轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
∵，
∴，
∴圆的半径为，
∵轴轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：连接，则，过点作于点，作于点，连接，则轴，则点，
∵点，点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可证，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，则，
在中，，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及圆周角定理和垂径定理，熟练掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
46．（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径作，交、上的点为D、E，连接、，线段与线段交于点Q．
(1)①求证：；
②如果，求的正切值：
(2)如果，，求的面积．
【答案】(1)①见解析； ②2
(2)
【分析】（1）①证明即可证明；
②设，根据等腰三角形“三线合一”表示出，即可利用求出答案；
（2）连接，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理求出，即可利用面积公式求出面积．
【详解】（1）①证明：∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆的性质的应用，等腰三角形性质、勾股定理的性质的应用,三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，求三角函数值，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
47．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，点是以为直径的上一点，过的中点作于点，交于点，连接与相交于点．
(1)如图1，若也是的直径，已知，求的长．
(2)如图2．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①如图：连接，则,
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∴
∴，即，
∴．
②
【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．
（1）如图：连接，则是的中位线，即，然后根据相似三角形的性质可得，再求出，得到，；最后根据勾股定理和垂径定理即可解答；
（2）①如图：连接，先证明可得，再结合并整理即可解答；②过点作于点，设，，，再根据相似三角形的判定与性质可得、；进而得到，则，然后说明，再结合运用勾股定理和正切的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵,，
∴是的中位线，
∴,，
∵，
∴
∴，
∵
∴，．
∵，
∴，
∵
∴,
∵,
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴．
（2）解：①略
②如图：过点作于点，
设，，，
∵，
∴,
∴，即，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
由①，
∴．即．
∴，解得．
∴．
48．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，是的直径，弦，垂足为点E，连接．连接并延长交于点G，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，若，设，．
①用含有x的代数式表示的长；
②求y关于x的函数关系式．
【答案】(1)
证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
(2)；
(3)①；②．
【分析】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程等知识点，能正确构建方程，利用换元法解方程是解本题的关键．
（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到结论；
（2）如图1，连接，先根据垂径定理得：，根据三角函数可得的长，设，则，利用勾股定理列方程可得的长，最后根据三角形中位线定理可得的长；
（3）①如图2，连接，解直角三角形即可得到结论；
②根据圆周角定理得到根据平行线的性质得到根据相似三角形的性质得到求得得到如图3，连接，推出根据三角函数的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）略
（2）解：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴．
（3）解：①如图2，连接，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图3，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即 ，
两边同时除以，得： ，
设，则原方程变形为：，
，
，
∴（舍），，
∴，
∴，
∴．
49．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______．
(2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②的值为______
【答案】(1)2
(2)①证明：如图连接、，
为直角三角形，
的外接圆圆心在中点上，
设的半径为，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
是的切线．
的外接圆是某一条边上的伴随圆；
②
【分析】（1）本题利用勾股定理，求出的长度，即可解题．
（2）①本题因为的外接圆圆心在，且过的顶点，要证的外接圆是的边上的伴随圆， 即证与的外接圆相切，连接、，通过证明，结合题干的条件得到，推出，利用全等的性质得到，即可解题．
②本题通过相似三角形和勾股定理求得，结合，其锐角三角函数也相等，得出线段、，即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，
为圆的直径．
边上的伴随圆的半径为2．
故答案为：2．
（2）①略
②如图设圆的半径为，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查题干概念伴随圆的理解、勾股定理的运用、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数和切线的判定，解题的关键在于对概念的理解和对性质的灵活运用．
50．（2023·浙江杭州·三模）如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的值；
②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）①先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
②在中，，，解得，，证明，得到，则，求出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）解：①解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
在中，，
即；
②在中，，，
∴
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
51．（2023·浙江宁波·一模）如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．
(1)求证：．
(2)连结，当为的直径时，
①求证：．
②连结，若∥，求的值．
③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②；③
【分析】（1）证明即可；
（2）①利用圆周角定理证明，进而证明，则可得，即可得证；
②利用圆周角定理，平行线的性质等证明，，再证明，得出，进而得出，可求出，即可求；
③连结，令，利用圆周角定理和三角形外角的性质可得，再证明得出，从而得出，利用等角对等边得出，设设，，可求，，利用勾股定理可求，再证明，得出即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）解：①证明∵为直径，
∴
∵由（1）知
，∴，
∴，
∴
②连结．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
③
过程如下：
连结，
令，
∵，
∴，
∴
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴为直径，
∴，
在中：
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
又，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适的辅助线找出所求问题需要的条件是解题的关键．
52．（23-24九年级下·浙江·阶段检测）如图，内接于为直径，为上的点，连结并延长交于点为上的点，连结交于点，已知．
(1)用含的代数式表示的大小．
(2)求证：．
(3)连结并延长交于点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
证明：∵
．
又，
．
(3)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理 相似三角形的判定与性质，三角函数的计算，
（1）由直径所对的圆周角是直角得求出，由等腰三角形的性质得从而可得结论；
（2）证明，得再进行等量代换可得结论；
（3）证明得求出，得到得，过作于点，则求出故可得结论
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴
又
，
（2）略
（3）解：，即
，
，
．
过作于点，
则
，
53．如图1是某公园五环标志按一定比例缩小后的平面图形，它由五个完全一样的圆（颜色、粗细等均忽略）排列而成，且它是一个轴对称图形．小滨发现两个等圆重叠部分均相同；小江发现五环标志有大有小，但都是相似图形．为此小滨、小江对相邻两圆展开了研究．
如图2，连结，过的中点E作垂线，交两圆于C，D两点，且．
小滨：测得，．
(1)求其中一个圆的半径．（结果精确到个位）
54．求的长与该圆的周长的比值．
55．小江：现需要设计一个圆的半径为6的五环标志，求此时相邻两圆（有重叠部分）圆心之间的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：，）
【答案】(1)9
(2)
(3)10.4
【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形的应用，圆的性质，能够将圆的性质和三角形结合起来列式是解题的关键．
（1）根据题目信息，利用勾股定理列式即可求解；
（2）由（1）可得，则，利用垂径定理可推得，利用弧长公式即可求解；
（3）根据相似的性质可得，利用锐角三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，设圆心为，连接，
为中点，
，
，
，
，
在中，设半径为，，
解得；
（2）解：连接，
由（1）得，中，，，
，
，
，
，
则的长与该圆的周长的比值为；
（3）解：设两圆的圆心分别为,，
由于五环图形都相似，，为中点，则，
，
，
两圆的半径相等，
．
56．（2026·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，且，过点B作的平行线，分别交于点E、交延长线于点F，连接并延长交于点G，已知．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)若，求证：．
【答案】(1)证明：连接，
，，
，则，
又四边形内接于，
，
，
，即
，
又，
，
又，
即，
；
(2)
(3)证明：由（1）知，
，
，
，
由（2）知，则，
，
即．
【分析】（1）连接，根据平行线的性质及圆周角定理可得，进而可得，然后可证；
（2）先求得，利用勾股定理求出，再由进行计算即可；
（3）先证，则，结合（2）知，再求证等式即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，，
设，
，
，则为的中点，
，，
又，
，
，
；
（3）略
57．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．
(1)求证：．
(2)已知，，且．
①求证：；
②当时，求的周长．
【答案】(1)证明：是的外角，
，
又四边形内接于，
（同弧所对的圆周角相等），
．
(2)①证明：由题知是的外角，
，
．
四边形内接于，
（同弧所对的圆周角相等）
（同弧所对的圆周角相等），
，
，
．
，
．
②
【分析】（1）根据三角形外角的性质得，因同圆中同弧所对的圆周角相等，得，即可得出结论．
（2）①根据三角形外角的性质得，同弧所对的圆周角相等得，得出，根据三角形相似的判定定理：，根据三角形相似的性质：，得出结论．
②作辅助线如下图，根据三角形外角的性质和同弧所对的圆周角相等得出，由题意，，求出，，由已知，得出，，，又根据，得，根据平行线的判定定理：，又得，即，进而得出结论．
【详解】（1）证明：略
（2）① 证明： 略
②解：如图，过点作交于点，过点作交于点．
是的外角，
，
（同弧所对的圆周角相等），
．
由题知，，
设：，则，
根据勾股定理得：，
即：
解得
，．
设，则．
由（2）①知：，即．
在中，，即，解得，（舍去），
，，，
又，设，
，，
根据勾股定理:
解得
．
，
弧弧，
，
，
，
．
．
弧=弧，
弧=弧，
（在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等），
，
．
58．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点．
(1)如图1，若，．
①求的度数．
②求证：．
(2)如图2，，点为中点，若，，求的长．
【答案】(1)①；
②证明：连接、、、、，
，
，
为的直径，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
(2)
【分析】（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可；
②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论；
（2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可．
【详解】（1）①解：连接、、，
，，
、，
，
即，
，
，
，
；
②略
（2）解：连接、、、，
四边形是平行四边形，
、，
为的中点、为的中点，
、，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形，
、，
，
，
、，
，
，
，
，
，
，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设、，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
、，
在中，，
，
解得，
、、，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形与菱形的判定与性质、垂径定理、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
59．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G．
(1)如图2，若经过点O．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)若，，，求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)
①证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
②2.5
(2)或
【分析】（1）①证明，运用证明可得结论；
②连结，得到，证明得出，由得，．求出．令，则．，由勾股定理得，求出．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，证明和均为等腰直角三角形．分别求出和,即可求出．
【详解】（1）解：①略
②连结，
∵，经过点O，
∴．
∴垂直平分，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴在中，．
∴．
令，则．．
∴在中，．
解得．
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴和均为等腰直角三角形．
∴．
由①得．
∵，
∴．
∴，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴．
②当点E靠近点B时，
同理可证和均为等腰直角三角形，
令，
∴，，
∴，
∴．
∴综合所述可得：或．
60．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，连接并延长交于点E，交弦于点F．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)的半径为
(2)证明：连接，记与的交点为，
∵，
∴，
∴直径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
(3)的长为．
【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角，结合，可得，即可得的半径；
（2）连接，由，可得，可得，由，可得，可得，即可证得结论；
（3）由，可得，设与相交于点H，可得，，连接，根据勾股定理可得，，连接交于点G，连接，可得，可得，由，可得，由等腰三角形的性质，可得，即可得的长．
【详解】（1）解：连接，
由是的直径得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的半径为；
（2）略
（3）解：∵，
∴．
设与相交于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，连接，．
∴．
连接交于点G，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
∵，
∴，
又，．
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数，垂径定理推论，等弦所对的圆周角相等，等角的余角相等，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．
61．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知四边形内接于，为直径，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作的垂线交于点，交于点．
①若，求的值；
②求证：．
【答案】(1)证明：连接，设，则．
是直径
(2)解：①；
②证明：设，，则．
由①可得，
在中，
即
【分析】（1）连接，设，得到，根据圆周角定理和三角形的内角和定理求出，即可得证；
（2）①设，则，，证明，推出，证明，即可得出结果；②设，，则，由①可得，解，得到，进而推出，即可.
【详解】（1）略
（2）解：①∵，
∴设，则，．
是直径
，
②略
62．（2023·浙江宁波·一模）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．
(1)设为，请用表示的度数．
(2)如图1，当时，
①求证：．
②当时，求半径的长．
(3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．）
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而证明，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出，即可求解．
（2）①连接．证明，，根据全等三角形的性质即可求解；
②过点作，垂足为．根据，同弧所对的圆周角相等得出，则，，进而求得，，．由可得，由勾股定理得．
（3）连接交于点．得出为的中位线，可得，得出，根据，则，令，则，，继而求得，即可求解．
【详解】（1）为直径，
，
又，，
．
，
，
．
（2）①连接．
，，，
，
，．
，
，
又，，
，
，，
．
②过点作，垂足为．
，，
，，
，，
．
由，得．
．
，
，
∵
∴．
由勾股定理得．
（3）解：如图所示，连接交于点，
，，
，
为直径，
．
为中点．
为的中位线，
，．
，
，
，
．
，
，
令，则，，
，，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，求函数表达式，综合运用以上知识是解题的关键．
63．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且．
(1)如图1，若为直径．
①求的值；
②求四边形的面积．
(2)如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据圆周角定理得出，根据为直径，得出，根据，得出；
②过点A作于点E，连接，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，，证明垂直平分，根据，得出点O在上，证明，得出，求出，得出，求出，最后求出四边形的面积即可；
（2）证明，得出，，，求出，得出，证明，得出，求出，得出，设，则，，求出，证明，得出，即，求出x的值即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴；
②过点A作于点E，连接，如图所示：
∵，，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，负值舍去，
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法．
64．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】(1)
解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
(2)
①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）略
（2）：①略
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
65．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．
(1)如图1，求边上的高的长．
(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．
①如图2，当点落在射线上时，求的长．
②当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)8
(2)①；②或
【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；
（2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；
②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．
【详解】（1）在中，，
在中，．
（2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，
作交延长线于点，则，
∴．
∵
∴．
由旋转知，
∴．
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
②由旋转得，，
又因为，所以．
情况一：当以为直角顶点时，如图2．
∵，
∴落在线段延长线上．
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
情况二：当以为直角顶点时，如图3．
设与射线的交点为，
作于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得，
∴．
情况三：当以为直角顶点时，
点落在的延长线上，不符合题意．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．
66．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，两个正方形与，与的中点都是O．
(1)如图1，点D与G重合．
①求的值；
②连结，求的值．
(2)如图2，若，在正方形绕点O旋转过程中，以E，C，H为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，求出该三角形面积；若不能，说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)9或18或27或．
【分析】（1）①设，则，代入计算即可．
②设，则，过点H作，证明，根据三角函数计算根据定义计算的值．
（2）分类计算，根据勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质等知识计算即可．
【详解】（1）①∵两个正方形与，与的中点都是O，
∴，，，
设，
∴，
∴．
②过点H作，交，于M，N，
则四边形是矩形，
∴，，
∵两个正方形与，与的中点都是O，
∴，，，
∴，
设，
∴，
∴．
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴．
（2）如图，当时，
设与交于点M，
∵两个正方形与，与的中点都是O，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
如图，当，且正方形与时，
∴；
如图，当，与不重合时，
设与交于点T，连接，延长交于点W，
∵两个正方形与，与的中点都是O，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
整理，得，
解得（舍去），
∴；
如图，当，与不垂直时，
过点C作垂足为M，过点O作垂足为N，连接，
∵两个正方形与，与的中点都是O，，，
∴四边形是矩形，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，三角形的面积为9或18或27或．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角函数的计算，直角三角形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，正切的计算，勾股定理是解题的关键．
67．（2022·浙江温州·三模）如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明：四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质可知，，，
，
，
四边形是平行四边形；
(2)四边形的面积为
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，推出，结合折叠的性质可推出，得到，即可得证；
（2）根据矩形和折叠的性质可得，，根据求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据，得到，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：四边形是矩形，
，
由折叠可得，，，
，
，即，
，
，
，
，即
，
四边形的面积为．
68．（2026·浙江·二模）在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比．
(3)已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值．
【答案】(1)120°
(2)
(3)
【分析】（1）根据菱形性质，三角形内角和计算即可．
（2）根据菱形性质，三角形相似求解各边，分别计算出三角形面积即可．
（3）利用三角形相似和三角函数表示出，再进行求解即可．
【详解】（1）解：菱形，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴四边形和四边形也关于直线对称，如图，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：当点与对应点重合时，与关于直线对称
∴为垂直平分线，
∴，和为直角三角形，
∴，
∴，，
∵，设，
∴，
∴，，
在中，，，根据勾股定理得，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
在,,，根据勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
连接菱形对角线交于点，如图，
∴，，，
在中，，，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴菱形面积，
∴面积，
∴与菱形的面积之比．
（3）解：设，
∵，，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，过点作交于点，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
设，，
∴，整理得 ，
，整理得关于的一元二次方程，
∵要有最大值，方程要有实数根，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，即，
∴，
∴，
∴不符合题意舍去，
∴，
∴最大值为．
69．（2026·浙江宁波·二模）已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长．
(3)如图3，连结，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值为
【分析】（1）过点F作于点H，利用正弦的定义结合三角形面积公式即可求得结果；
（2）延长，相交于点G，过点E作于点M，先证明，求得相关线段的长度，利用勾股定理得出的长度，通过角度和差关系得出，进而证得，从而求得结果；
（3）过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，根据（1）的结论证得，利用菱形的性质得出当O，P，D三点共线时，取到最小值，从而得解．
【详解】（1）解：如图1，过点F作于点H，
∵，，
，
∵的面积为，
∴，即，
．
（2）解：如图2，延长，相交于点G，过点E作于点M，
在菱形中，，点E是的中点，
在和中，
，
∴，
，
，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点E作于点N，连接，，取的中点O，连接，，
可得，，，
在中，，
，，
，
由（1）知，，
，即，
，
，
，
．
在菱形中，，，
，
，
，
，
，
∴当O，P，D三点共线时，取到最小值，最小值为．
70．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到；
②根据题意得出点P一定在线段的延长线上，由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，设交于点，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，连接，设交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②∵菱形，
∴点A与点C关于对称，
当点E与点D重合时，此时点F与点C、P重合，
∵E是延长线上的一点，
∴点P一定在线段的延长线上，
在中，由勾股定理得
∵，
∴
，
∵，
∴要使的值最小，则要最大，
∴要有最小值，
又∵的值随着的值增大而增大，
∴的值随着的值增大而增大，
∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，
∴当有最小值时，有最小值；
如图所示，过点B作于H，于T，
∵，
∴，
∴由轴对称的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可知，
∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，
∴，
∴．
71．（2023·浙江温州·三模）如图，在菱形中，，点E为上一点（），连接，作交于F．连接，．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)记菱形的面积为，菱形DEBF面积为．若，，．求的长．
【答案】(1)见解析．
(2)．
【分析】（1）如图，连接，由菱形知，,，求证，进一步证得，所以四边形为菱形；
（2）如图，由菱形面积公式及性质可得，，结合，推出；中，推出，于是；由勾股定理，中，中．
【详解】（1）如图，连接，交于点O，
∵四边形是菱形
∴,
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴四边形为菱形
（2）如图，
∵
∴
∴
中，
∴
∴
中，
∴，解得
∴，
∴中，．
【点睛】本题考查菱形的性质和判定、全等三角形，勾股定理；灵活利用题干条件，根据面积公式、三角函数定义确定线段间的数量关系是解题的关键．
72．（2023·浙江衢州·一模）如图，四边形是菱形，其中，点E在对角线上，点F在射线上运动，连接，作，交直线于点G．
(1)在线段上取一点T，使，
①求证：；
②求证：；
(2)图中，．
①点F在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线的轴对称点为点N．若点N落在的内部（不含边界），求的取值范围．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①最小值为，最大值为，②
【分析】（1）①先证明是等边三角形，说明，再证明是等边三角形，得出，，根据，，证明即可；
②根据证即可得证结论；
（2）①先证明点F在线段上时，是等边三角形，确定周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出的长，进而求出周长即可；
②找出点N落在上时，求出的长，当N落在上时，求出的长，从而确定的取值范围即可．
【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，
同（1）可得，，
∵，
∴是等边三角形，
同理可得，当点F在边上时，均是等边三角形，
当时，最短，如下图，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作于H，
则，，
∴，
在中， ，
∴此时的周长最大，最大值为：，
∴的周长最小值为，最大值为；
②当点N在上时，如下图，
作于M，点F关于的对称点N在上，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
当点N在上时，如下图，
连接，
∵点N与点F关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论．
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专题三 三角函数与几何图形
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、圆中的弦、弧长与切线
题型二、圆与四边形的综合
题型三、正多边形与拼接图中的全等转化
题型四、矩形与正方形的折叠旋转
题型五、菱形中的对称、动点与最值
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题几何综合核心是抓性质、寻等变、转化线段：熟练运用圆、特殊四边形、正多边形的基础性质，遇到折叠、旋转优先锁定全等与等线段、等角，借助对称转化路径，从动点轨迹入手分析最值，把分散条件集中到可解的三角形中推导计算。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 仰角俯角看错，把视线与竖直方向的夹角当成与水平方向的夹角；
2. 方位角从错误的方向起算（规范是从正北或正南起算）；
3. 坡度 i 与坡角α混用，忘记 i＝tanα 而不是 sinα；
4. 两次测量求差时，把两个仰角的正切直接相减。
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型一、圆中的弦、弧长与切线
典例1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点．
(1)若圆的半径为，，求的长．
(2)如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点．
(3)如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，
①求证：；
②若，求的半径长．
解题模板
1.见切线连过切点的半径得垂直；见弦作弦心距，用垂径定理平分弦;
2.求三角函数值必须有直角三角形：连直径造直角或作弦心距;
3.弧长、扇形面积公式中圆心角用度数，不要混用弧度。
变式1-1 （26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
(3)连结交于点，若的半径为5．
①若，求的长．
②若，求的周长．
③若，求的面积．
变式1-2 （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）为半圆的直径，半径交弦于点，已知．
(1)如图1，连接，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径．
变式1-3 （2026·浙江温州·二模）如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E．
(1)求证：．
(2)作于点F，于点G．若，求的值．
题型二、圆与四边形的综合
典例2 （2026·浙江衢州·一模）如图1，已知内接于，．弦于点E，连结，交于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，连结．若，求的值．
(3)当，时，求的半径．
解题模板
1.圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，这是搬角的钥匙;
2.证切线两条路：有公共点就连半径证垂直，无公共点就作垂线证等于半径;
3.求线段长优先用相似（弦切角、同弧所对圆周角），再用勾股收尾。
变式2-1 （2026·浙江温州·三模）如图，已知等腰中，，为边上一点，以为直径的圆恰好经过点，与边交于点．
(1)求证：；
(2)连结，若平分，请直接写出的值；
(3)若，求的值．
变式2-2 （2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，点为边上的一个点，已知，连结，作于点，过，，三点的交于点，交于点M，连结，则的值是_________．
变式2-3 （2026·浙江杭州·二模）如图1，已知内接于圆O，，D是上一动点，C，D两点在两侧，以，为邻边作平行四边形，其中直线交于点F．
(1)若直线恰好经过圆心O，如图1，
①求证：；
②当，时，求的值．
(2)如图2，直线与交于点H，当直线恰好经过的中点G时，求的值．
题型三、正多边形与拼接图中的全等转化
典例3 （2026·浙江舟山·一模）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是_________ ．
（2）若，则的值是_______．
解题模板
1.正多边形先算中心角 与内角，再拆成 n 个全等的等腰三角形;
2.拼接图（赵爽弦图、七巧板）找全等三角形，把分散的边集中到一个三角形里;
3.求比值时设边长为 1 或设小边为 x，减少未知量。
变式3-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________．
变式3-2 （2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式3-3 （2025·浙江杭州·一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______．
题型四、矩形与正方形的折叠旋转
典例4 （2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1.折叠：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分，对应边、对应角相等;
2.旋转：旋转角相等、对应边相等，先找旋转中心再标对应点;
3.设未知边为 x，把折叠后重合的边用同一个 x 表示，列勾股方程。
变式4-1 （2026·浙江·模拟预测）如图，E为矩形对角线上一动点，．连接，将绕点A逆时针旋转后并延长，交射线于点F，交射线于点G．已知，则当时，__________．
变式4-2 （2026·浙江丽水·二模）如图，将边长为的正方形纸片对折，使与重合，折痕为（如图①），展开后，再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点（如图②），则的长为_______．
变式4-3 （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，则的面积为________．
题型五、菱形中的对称、动点与最值
典例5 （2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且，
(1)求的长．
(2)求的值．
解题模板
1.菱形对角线互相垂直平分，且平分一组对角，这是现成的直角工具;
2.动点最值用对称转化：作对称点，把"两点到定点距离之和"化成一条线段;
3.取最值的时刻通常三点共线，最后回到直角三角形用勾股或三角函数求。
变式5-1 （2026·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点是线段上的一动点（点不与，重合），连接交于点，作的垂直平分线分别交，于点，．连接，．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若菱形的边长为5，，当取最小值时，求的长．
变式5-2 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，平分，连接．
(1)求证：．
(2)若，的面积为，求的值．
变式5-3 （2026·浙江·模拟预测）在菱形中，
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转．
当时，求的值．
如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（）
A． B． C． D．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，为的直径，弦与弦相交于点E，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·一模）已知中，，以，为边分别向外作两个正方形，正方形，，，分别交边，于点，，下列说法不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·二模）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江温州·二模）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（ ）．
A． B．3 C． D．
6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________．
8．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，为的直径，C是半圆上的一点，D为弧的中点，点P在半径上，且，连结，，．若，则________．
9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的内接三角形，，，，则的半径__________．
10．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________．
11．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，是圆的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．若，则的值是______．
12．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点C是上一点，且半径为2，，，点D在上运动，连接交于点E，则的最大值＝______．
13．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在中，，，，为的外接圆．取上一点D，连接交于点F，在射线上取一点E，连接，且满足，则______，当取最大值时，则等于______．
14．（2024·浙江·模拟预测）如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结与的夹角为，则的值是__________．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则_____________（结果用含,代数式表示）．
16．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，三个正六边形如图摆放，则＝________．
17．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________．
18．（2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，点B关于的对称点F恰好落在线段上，连接，则_____．
19．（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________．
20．（2026·浙江台州·二模）如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度（），则支撑窗扇的杆子长为_________．
21．（2025·浙江金华·二模）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点顺时针旋转，旋转得矩形，继续旋转使得点的对应点落在上，连结，则___________．
22．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____．
23．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则_____°；若（如图②），则 _____．
24．（2023·浙江绍兴·三模）如图，在中，，点D为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A，C重合时，连接．作点A关于直线PD的对称点，连接，．设点P的运动时间为t秒，且，则t的值是______．
25．（2022·浙江宁波·二模）如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________．
26．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______．
27．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，将菱形（）绕点A逆时针旋转得到菱形，使得点E落在边上，与相交于点H．设，则__________（用含a的代数式表示）．
28．（2025·浙江·模拟预测）如图，在菱形中，点为边上一点，连结，点关于的对称点在上．若，则的长为_____，的值为_____．
29．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，点为延长线上的一个动点，连接交于点，若为直角三角形，则的长为______．
30．（2026·浙江·一模）如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若为中点，，，求弧的长度．
31．（2026·浙江杭州·二模）如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）．
(1)若，求．
(2)延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H．
①若，直径，求的长．
②求证：．
32．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D．
(1)如图1，连接，若，，
①求的度数；
②若又满足，，求的长．
(2)如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：．
33．（2026·浙江温州·一模）如图1，已知的高，点是边上的动点，以为直径作圆，交边于，交线段于，交线段于．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，若恰好经过点．
①求的值．
②求的长．
34．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求．
35．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点．
(1)连结，求证：．
(2)求证：．
(3)当时，求的正弦值．
36．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，为的直径，在线段上取一点，过点作（点在直径上方），连接并延长交于点，过点作于点，交直径于点．
(1)求证：；
(2)设，，求关于的函数关系式；
(3)当时，求的值．
37．（2025·浙江·一模）如图，内接于，为直径，点在上运动，于点，交于点，连结，交于点，记．
(1)用含有的代数式表示．
(2)若，当时，求的值．
(3)如图，若，求证：．
38．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，，，求的直径．
39．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰中，，，点为边上的动点，连接，过点作的垂线，交的外接圆于点．
(1)求证：；
(2)如图2，作直径，交于点，连接；
①若四边形中的一组对边比为，求的长；
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
40．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知点是以为直径的圆上一点，连接，在上截取，连接并延长交圆于点，连接，设．
(1)如图1，若时，求度数；
(2)如图2，过点作，证明：；
(3)如图3，若，连接并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示．
41．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图1，内接于，是的直径，过点B作交于点D（点D与点B不重合）．
(1)求证：．
(2)如图2，过点C作交的延长线于点E，连结交于点F．
①若，求的长；②若是直角三角形，求的值
42．（2024·浙江杭州·一模）如图，为外接圆，点、分别为、中点，连结、、，分别与、交于点、．已知．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形．
(3)在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
43．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E，的延长线交于点F．
(1)若，求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
44．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，是边上的高，以为直径的交于点F，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)若，的直径为5，，求的长．
45．（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的两条直线，与轴正半轴分别交于、两点，与轴分别交于点、两点，已知点坐标为，在轴负半轴，以为直径画，与轴的另一个交点为．
(1)求点坐标；
(2)如图，若经过点．
①判断与轴的位置关系，并说明理由；②求弦的长；
(3)如图，若与直线的另一个交点在线段上，求的值．
46．（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径作，交、上的点为D、E，连接、，线段与线段交于点Q．
(1)①求证：；
②如果，求的正切值：
(2)如果，，求的面积．
47．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，点是以为直径的上一点，过的中点作于点，交于点，连接与相交于点．
(1)如图1，若也是的直径，已知，求的长．
(2)如图2．
①求证：；
②若，求的值．
48．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，是的直径，弦，垂足为点E，连接．连接并延长交于点G，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)如图2，若，设，．
①用含有x的代数式表示的长；
②求y关于x的函数关系式．
49．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为______．
(2)如图②，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②的值为______
50．（2023·浙江杭州·三模）如图是的直径，A是上异于C、D的一点，点B是延长线上的一点，连接，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的值；
②作的平分线交于点P，交于点E，连接，若，求的值（用含k的代数式表示）．
51．（2023·浙江宁波·一模）如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．
(1)求证：．
(2)连结，当为的直径时，
①求证：．
②连结，若∥，求的值．
③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．
52．（23-24九年级下·浙江·阶段检测）如图，内接于为直径，为上的点，连结并延长交于点为上的点，连结交于点，已知．
(1)用含的代数式表示的大小．
(2)求证：．
(3)连结并延长交于点，若，求的值．
53．如图1是某公园五环标志按一定比例缩小后的平面图形，它由五个完全一样的圆（颜色、粗细等均忽略）排列而成，且它是一个轴对称图形．小滨发现两个等圆重叠部分均相同；小江发现五环标志有大有小，但都是相似图形．为此小滨、小江对相邻两圆展开了研究．
如图2，连结，过的中点E作垂线，交两圆于C，D两点，且．
小滨：测得，．
(1)求其中一个圆的半径．（结果精确到个位）
(2)求的长与该圆的周长的比值．
55．小江：现需要设计一个圆的半径为6的五环标志，求此时相邻两圆（有重叠部分）圆心之间的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：，）
56．（2026·浙江温州·三模）如图，四边形内接于，且，过点B作的平行线，分别交于点E、交延长线于点F，连接并延长交于点G，已知．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)若，求证：．
57．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点．
(1)求证：．
(2)已知，，且．
①求证：；
②当时，求的周长．
58．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点．
(1)如图1，若，．
①求的度数．
②求证：．
(2)如图2，，点为中点，若，，求的长．
59．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G．
(1)如图2，若经过点O．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)若，，，求y关于x的函数表达式．
60．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，连接并延长交于点E，交弦于点F．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
61．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图1，已知四边形内接于，为直径，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作的垂线交于点，交于点．
①若，求的值；
②求证：．
62．（2023·浙江宁波·一模）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．
(1)设为，请用表示的度数．
(2)如图1，当时，
①求证：．
②当时，求半径的长．
(3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．）
63．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知等腰三角形内接于，点为上一点（不与点重合），连接，且．
(1)如图1，若为直径．
①求的值；
②求四边形的面积．
(2)如图2，在上取一点，使，连接，交于点，若，求的长度．
64．（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
65．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．
(1)如图1，求边上的高的长．
(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．
①如图2，当点落在射线上时，求的长．
②当是直角三角形时，求的长．
66．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，两个正方形与，与的中点都是O．
(1)如图1，点D与G重合．
①求的值；
②连结，求的值．
(2)如图2，若，在正方形绕点O旋转过程中，以E，C，H为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，求出该三角形面积；若不能，说明理由．
67．（2022·浙江温州·三模）如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
68．（2026·浙江·二模）在菱形中，点在上，且，如图1，过点的直线，交对角线于点，与关于直线对称，点的对应点在的延长线上，分别交对角线、边于点、．
(1)当时，求的度数．
(2)如图2，当点与对应点重合时，求与菱形的面积之比．
(3)已知，与的长度随的变化而变化，求的最大值．
69．（2026·浙江宁波·二模）已知菱形的边长为8，，的面积为，，点E是边的中点，点F是边上一动点．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，当E，P，D三点在同一条直线上时，求的长．
(3)如图3，连结，求的最小值．
70．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，．
(1)如图1，求的值．
(2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接．
①当时，求的长．
②求的最小值．
71．（2023·浙江温州·三模）如图，在菱形中，，点E为上一点（），连接，作交于F．连接，．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)记菱形的面积为，菱形DEBF面积为．若，，．求的长．
72．（2023·浙江衢州·一模）如图，四边形是菱形，其中，点E在对角线上，点F在射线上运动，连接，作，交直线于点G．
(1)在线段上取一点T，使，
①求证：；
②求证：；
(2)图中，．
①点F在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线的轴对称点为点N．若点N落在的内部（不含边界），求的取值范围．
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