专题01 三角函数的基础计算（题型专练）数学新教材浙教版九年级下册
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内容正文：
专题01 三角函数基础计算
（题型突破·举一反三）
▌题型01 锐角三角函数的计算
【典例1】
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴．
【变式1-1】
【答案】D
【详解】解：，
的相反数为．
【变式1-2】
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键．
求出扩大前后的值即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴．
如果把的各边都扩大为原来的4倍，
∴，
∴的值不变．
故选：A．
【变式1-3】
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【典例2】
【答案】
【详解】解：
．
【变式2-1】
【答案】
【详解】解：
【变式2-2】
【答案】
【详解】解：
．
【变式2-3】
【答案】+3
【详解】解：
=1 + 2 + 3
=+3
▌题型02 网格与坐标系中的三角函数
【典例1】
【分析】（1）①由已知条件可得出，，即可证明．
②过点A作，交的延长线于点F，则，由已知条件可得出，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再根据勾股定理求即可．
（2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再由等边三角形的性质得，，，然后由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：①证明∶∵由全等的含角的小菱形组成的网格，，
∴，，
∴是等边三角形．
②如图，过点A作，交的延长线于点F，
则，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
即线段的长为
（2）解：如上图，连接，
由题意可知，．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由(1)可知，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，．
∴，
∴．
【变式1-1】
【答案】B．
【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题．
【详解】解：作于点，
由图知，，，
，
，
即，解得，
，
的值为，
故选：B．
【变式1-2】
【答案】B
【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答．
【详解】解：如图过点作交的延长线于点，
则,,
∴,
∴．
【变式1-3】
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点；
（2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点．
【详解】（1）解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底，
如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为，
而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高，
代入面积公式正好可以得到，满足面积要求．
如取点在线段的中点正下方格的格点位置，
那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为，
也可以得到，满足面积要求．
综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一．
（2）解：先计算线段的长度，
横向跨度为，纵向跨度为，
．
在上方或下方选取合适的点，使得，，
可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点，
此时，，符合题目要求．
综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一．
▌题型03 同角与余角的三角函数关系化简.
【典例1】
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可先画出图形，然后根据三角函数可进行求证
【详解】已知：如图，在中，，为锐角，对边，邻边，斜边；
求证：．
证明：在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
【变式1-1】
【答案】
【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答
【详解】解：作，其中，，
如图，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
即．
【变式1-2】
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：在中，，，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【变式1-3】
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
故，
将代入，原式．
故答案为：．
【变式1-4】
【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：1，1，1；
由上面运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（2）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，
；
（3）解：，
，
，
，
．
【典例2】
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据所给等式总结即可；
（2）根据（1）中结论计算即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴；
；
（2）解：∵，
∴
．
【变式2-1】
【答案】
【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∵α为锐角，
∴．
【变式2-2】
【答案】B
【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【变式2-3】
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）成立，
∵，，
∴，结论成立；
（2）成立，理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴．
▌题型04 三角函数值与锐角大小的关系
【典例1】
【答案】②③④
【分析】逐个判断四个说法，利用三角形内角性质、勾股定理及其逆定理和三角函数定义逐一验证即可．
【详解】解：逐个判断四个说法：
① 若是等腰三角形，不一定有，例如，，此时，，，故①错误；
②∵是锐角三角形，
∴，得，
∵，正弦在随角度增大而增大，
∴，故②正确.
③如图，在中，，过点C作于点D，
∴，
故，
∴，是直角三角形，故③正确.
④∵，设角的对边分别为，
∴，，得，
由勾股定理得，
∵，且，
∴，
∵，展开得，
∴，
即，
∴，
因此，故④正确．
【变式1-1】
【答案】A
【详解】解：∵为锐角，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】
【答案】D
【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴原方程化为，
当时，∵，
∴，，
∴，方程无解；
当时，，
∴方程有两个不相等的实根，
∵两根之积为，
∴方程有一正一负两个实根，
∴正根为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，符合条件．
综上所述，．
▌题型05 直接解直角三角形
【典例1】
【答案】，，
【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出
【详解】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，，，
【变式1-1】
【答案】
【分析】设，在中根据正弦定义用含的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可
【详解】解：设，在中，，根据正弦定义得
，
则，
由勾股定理，得
，
代入，，，得
，
解得（负值已舍去），
即．
【变式1-2】
【答案】（1），；（2），，．
【分析】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形．
（1）利用及其正弦值和正切值，即可求出和的长；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用正余弦即可求出直角三角形的另外两个角的度数．
【详解】（1）解：在中， ，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∵，，
∴， ．
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专题01 三角函数基础计算
（题型突破·举一反三）
题型01 锐角三角函数的计算
题型02 网格或坐标系中三角函数
题型03同角与余角三角函数关系化简
题型04三角函数值与锐角大小的关系
题型05 解直角三角形
▌题型01 锐角三角函数的计算
1.锐角三角函数的定义
正弦：；
余弦：；
正切：.
注意：三角函数是比值，只与角的大小有关，与边长无关.锐角三角函数值都是正实数，并且，.
2. 特殊角的三角函数值
1
【典例1】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【变式1-3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）计算：
【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：．
【变式2-2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：；
【变式2-3】（2025·浙江金华·模拟预测）计算．
▌题型02 网格与坐标系中的三角函数
1.坐标表示：，横坐标，纵坐标.
2.两点之间的水平距离：，竖直距离：.
3.两点之间的距离公式.
【典例1】（2025·浙江衢州·二模）如图，这是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，点，在格点上，线段与相交于点，连结．
(1)若．
①求证：为等边三角形；
②求线段的长．
(2)求的值．
【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）
(1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点．
(2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点．
▌题型03 同角与余角的三角函数关系化简
1.基本关系：
（1）同角关系：；.
（2）余角关系：，
2.常用找等角的关系：
（1）两直线平行，同位角相等，内错角相等.
（2）同角或等角的余角相等.
（3）全等、相似三角形的对应角相等.
【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）证明：一个锐角的正弦和余弦的平方和等于1．（画出图形，写出已知、求证、证明过程）
【变式1-1】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________．
【变式1-2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）在中，，若，则的值为_______．
【变式1-3】（25-26九年级下·全国·单元复习）已知 (为锐角)，则 ___________
【变式1-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
____ ；________；___．
(1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ；
(2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想；
(3)若，且，求的值．．
【典例2】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式：
①，；②，；③，．
(1)根据上述规律，计算 [注：]．
(2)求的值
【变式2-1】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知α为锐角，，则____．
【变式2-2】（2026九年级下·全国·专题练习）设，则用a可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
▌题型04 三角函数值与锐角大小的关系
若都是锐角：
1.正弦：角度越大，正弦值越大（递增）
2.余弦：角度越大，余弦值越小（递减）
3. 正切：角度越大，正切值越大（递增）
【典例1】（26-27江苏省苏州九年级上学期数学10月学情测）下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）．
【变式1-1】（26-27江苏省苏州中学校伟长班2026-2027学年九年级上学期数学10月学情测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（26-27九年级上学期·苏州·阶段检测）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
▌题型05 直接解直角三角形
1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素（边或角），求出所有未知的边和角.
2.三大基础关系:
（1）三边关系（勾股定理）
，c为斜边，，为直角边；
（2）锐角关系：两锐角互余，.
（3）边角关系：
；
；
.
【典例1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形．
【变式1-1】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长．
【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在中，，，，求和的长；
（2）在中，，，，解这个直角三角形．
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专题01 三角函数基础计算
（题型突破·举一反三）
题型01 锐角三角函数的计算
题型02 网格或坐标系中三角函数
题型03同角与余角三角函数关系化简
题型04三角函数值与锐角大小的关系
题型05 解直角三角形
▌题型01 锐角三角函数的计算
1.锐角三角函数的定义
正弦：；
余弦：；
正切：.
注意：三角函数是比值，只与角的大小有关，与边长无关.锐角三角函数值都是正实数，并且，.
2. 特殊角的三角函数值
1
【典例1】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴．
【变式1-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
的相反数为．
【变式1-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的倍
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键．
求出扩大前后的值即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴．
如果把的各边都扩大为原来的4倍，
∴，
∴的值不变．
故选：A．
【变式1-3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【典例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）计算：
【答案】
【详解】解：
．
【变式2-1】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：．
【答案】
【详解】解：
【变式2-2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：；
【答案】
【详解】解：
．
【变式2-3】（2025·浙江金华·模拟预测）计算．
【答案】+3
【详解】解：
=1 + 2 + 3
=+3
▌题型02 网格与坐标系中的三角函数
1.坐标表示：，横坐标，纵坐标.
2.两点之间的水平距离：，竖直距离：.
3.两点之间的距离公式.
【典例1】（2025·浙江衢州·二模）如图，这是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，点，在格点上，线段与相交于点，连结．
(1)若．
①求证：为等边三角形；
②求线段的长．
(2)求的值．
【分析】（1）①由已知条件可得出，，即可证明．
②过点A作，交的延长线于点F，则，由已知条件可得出，，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再根据勾股定理求即可．
（2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再由等边三角形的性质得，，，然后由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：①证明∶∵由全等的含角的小菱形组成的网格，，
∴，，
∴是等边三角形．
②如图，过点A作，交的延长线于点F，
则，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
即线段的长为
（2）解：如上图，连接，
由题意可知，．，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由(1)可知，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，．
∴，
∴．
【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题．
【详解】解：作于点，
由图知，，，
，
，
即，解得，
，
的值为，
故选：B．
【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 本题考查正弦函数的定义，勾股定理求直角三角形第三边，解题的关键是能构造直角三角形．过点作交的延长线于点，利用勾股定理求的长，再用正弦函数的定义解答．
【详解】解：如图过点作交的延长线于点，
则,,
∴,
∴．
【变式1-3】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）
(1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点．
(2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点；
（2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点．
【详解】（1）解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底，
如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为，
而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高，
代入面积公式正好可以得到，满足面积要求．
如取点在线段的中点正下方格的格点位置，
那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为，
也可以得到，满足面积要求．
综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一．
（2）解：先计算线段的长度，
横向跨度为，纵向跨度为，
．
在上方或下方选取合适的点，使得，，
可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点，
此时，，符合题目要求．
综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一．
▌题型03 同角与余角的三角函数关系化简
1.基本关系：
（1）同角关系：；.
（2）余角关系：，
2.常用找等角的关系：
（1）两直线平行，同位角相等，内错角相等.
（2）同角或等角的余角相等.
（3）全等、相似三角形的对应角相等.
【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）证明：一个锐角的正弦和余弦的平方和等于1．（画出图形，写出已知、求证、证明过程）
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可先画出图形，然后根据三角函数可进行求证
【详解】已知：如图，在中，，为锐角，对边，邻边，斜边；
求证：．
证明：在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
【变式1-1】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：__________．
【答案】
【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答
【详解】解：作，其中，，
如图，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
即．
【变式1-2】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）在中，，若，则的值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可．
【详解】解：在中，，，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【变式1-3】（25-26九年级下·全国·单元复习）已知 (为锐角)，则 ___________
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
故，
将代入，原式．
故答案为：．
【变式1-4】（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
____ ；________；___．
(1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ；
(2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想；
(3)若，且，求的值．．
【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键．
（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；
（2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证；
（3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：1，1，1；
由上面运算结果即可猜想在中，，都有，
故答案为：1；
（2）证明：在中，，，，的对边分别是，，，
由勾股定理即可得到，
，
；
（3）解：，
，
，
，
．
【典例2】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式：
①，；②，；③，．
(1)根据上述规律，计算 [注：]．
(2)求的值
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据所给等式总结即可；
（2）根据（1）中结论计算即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴；
；
（2）解：∵，
∴
．
【变式2-1】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知α为锐角，，则____．
【答案】
【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∵α为锐角，
∴．
【变式2-2】（2026九年级下·全国·专题练习）设，则用a可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【变式2-3】（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有．
(1)当，时，验证是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系．
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
（2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论．
【详解】（1）成立，
∵，，
∴，结论成立；
（2）成立，理由如下：
在中，，且，
∴，故结论成立；
（3）解：，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴．
▌题型04 三角函数值与锐角大小的关系
若都是锐角：
1.正弦：角度越大，正弦值越大（递增）
2.余弦：角度越大，余弦值越小（递减）
3. 正切：角度越大，正切值越大（递增）
【典例1】（26-27江苏省苏州九年级上学期数学10月学情测）下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）．
【答案】②③④
【分析】逐个判断四个说法，利用三角形内角性质、勾股定理及其逆定理和三角函数定义逐一验证即可．
【详解】解：逐个判断四个说法：
① 若是等腰三角形，不一定有，例如，，此时，，，故①错误；
②∵是锐角三角形，
∴，得，
∵，正弦在随角度增大而增大，
∴，故②正确.
③如图，在中，，过点C作于点D，
∴，
故，
∴，是直角三角形，故③正确.
④∵，设角的对边分别为，
∴，，得，
由勾股定理得，
∵，且，
∴，
∵，展开得，
∴，
即，
∴，
因此，故④正确．
【变式1-1】（26-27江苏省苏州中学校伟长班2026-2027学年九年级上学期数学10月学情测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为锐角，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】（（26-27九年级上学期·苏州·阶段检测））若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴原方程化为，
当时，∵，
∴，，
∴，方程无解；
当时，，
∴方程有两个不相等的实根，
∵两根之积为，
∴方程有一正一负两个实根，
∴正根为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，符合条件．
综上所述，．
▌题型05 直接解直角三角形
1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素（边或角），求出所有未知的边和角.
2.三大基础关系:
（1）三边关系（勾股定理）
，c为斜边，，为直角边；
（2）锐角关系：两锐角互余，.
（3）边角关系：
；
；
.
【典例1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出
【详解】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，，，
【变式1-1】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长．
【答案】
【分析】设，在中根据正弦定义用含的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可
【详解】解：设，在中，，根据正弦定义得
，
则，
由勾股定理，得
，
代入，，，得
，
解得（负值已舍去），
即．
【变式1-2】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）在中，，，，求和的长；
（2）在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】（1），；（2），，．
【分析】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形．
（1）利用及其正弦值和正切值，即可求出和的长；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用正余弦即可求出直角三角形的另外两个角的度数．
【详解】（1）解：在中， ，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∵，，
∴， ．
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