专题06 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 内容概览 目常考题型精推突破 题型1解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 题型2解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 题型3解直角三角形应用与菱形的综合问题 题型4解直角三角形应用与矩形的综合问题 题型5解直角三角形应用与正方形的综合问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性 某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度， 方案设计： 如图，观察员在地面上的点C处进行观察，并测得琉璃塔顶部点A的仰角为5°，向前行进4m到达假山的 坡底点D处，并测得琉璃塔顶部点A的仰角为32°，斜坡BD的坡度=} 8 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点C,D,E在同一条直线上，AB与水平地面垂直.请根据上述数据， 计算四美琉璃塔的高度AB.(结果精确到1m;参考数据：sin25e≈0.42，cos25≈0.91，tan25°≈0.47， 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin32≈0.53，cos32≈0.85，tan32°≈0.62) B E 水平地面 2.项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成.某校课 外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动 报告 项 目 天幕帐篷中的数学 主 题 天 天幕布AD=AE=2米，支撑杆AF可伸缩，且AF⊥BC于点F;两根长度相同的 幕 拉绳DB和EC分别固定于地面上点B和点C处，点A,D,B共线，点A,E,C共 概 线：地面固定点B与点C之间的距离BC=6米，∠BAC=120°. 述 测 量 皮尺：测量水平距离 具 方 支撑杆由AF伸长至OF(点F位置不变，点A升高到点O);固定点B,C分别移 案 动至点M,N,BM=CN=1米，且点B,M,F,N,C在同一条直线上；在这个过 说 程中，拉绳长度保持不变 明 0 示 A 意 图 F B M F N C 图1 图2 图3 请你根据以上信息，完成下列任务：（√2≈1.41,3≈1.73，结果精确到0.1米） 2/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求拉绳DB的长度： (2)求支撑杆伸长后的高度OF. 3.综合与实践 【课题背景】 在陕北黄土高原地区，箍窑是当地特色非遗民居建筑，依托山崖夯土修筑而成.研学小组实地勘测一处箍 窑窑洞深度，受场地限制只能在窑外平地测量，借助测角仪与卷尺完成测算。 【测量工具】电子测角仪（仪器高度忽略不计）、钢卷尺。 【测量过程与示意图】 ①测角仪放在窑外平地A处，对准窑壁竖杆顶端B,测得仰角∠BAO=15°： ②测角仪位置不变，对准窑洞底部C,测得俯角∠CAO=53°： ③卷尺测得竖杆OB=2.0米，B、O、C三点在同一条竖直线上，C0⊥AO B 图1 图2 【任务目标】 求箍窑的洞深OC(结果保留1位小数)参考数据：tan15°≈0.27，tan53≈1.33 4.综合与实践 【课题背景】如图1，位于陇西县的威远楼是陇上著名古建筑，巍峨壮丽，气魄非凡.因其年代久远和构 造精妙，成为陇西悠久历史和灿烂文化的象征.某校学生开展了“测量威远楼高度”的综合与实践活动. 测量示意图如图2，点A为威远楼最顶端，点B为威远楼底部，位于水平地面 图1 图2 【测量工具】皮尺，测角仪 【测量过程】①测量者在点C处，利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为387°： ②测量者在点D处（点B,C,D在同一条直线上，AB⊥BC)，利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰 角为42°； 3/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③测量者利用皮尺测得CD的距离为3.6米. 注：测角仪高度忽略不计 【任务目标】根据上述测量数据，求威远楼AB的高度（结果保留整数，参考数据：sin38.7°≈0.63， cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90.) 5.妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西75公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完 整的五代大型砖塔.某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下 方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 D O D B B 在点D处用距离地面 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子 测量方案与测 1.6m的测角仪CD测出妙 反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A, 量数据 乐寺塔顶端A的仰角 CD=1.6m,BD=27m,B=53° a=55°. sin55≈0.82， 参考数据 c0s55°≈0.57， Sin53e≈4，cos53≈，tan53≈4 3 tan55≈1.43. 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③ 备注 AB,CD均与地面BD垂直. ()数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果.”你认 为 组的测量报告存在问题，并提出修改建议： (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到1m), ◆题型2解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 6.某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具一一界尺，它在界画绘制时用以作出平行线.图1为界尺 的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构.受此启发，越越同学制作了如图2的简易作 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行线工具(AB,BC,CD,DA的宽度忽略不计)，已知连杆AB‖CD,AB=CD=l6cm,在某次 绘制时，测得∠DCB=42°.求这次绘制的两条平行线AD与BC间的距离.（结果精确到0.1Cm)(参考 数据：sin42°0.67，cos42≈0.74) 图1 图2 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=5,对角线AC⊥AB于点A.点P是折线DC-CB上的 一点（不与点B重合），过点P作PE⊥AB,交射线BA于点E,连结BP. A D (1)线段AC的长是 (②)当点P为线段CD的中点时，求∠PBE的正切值： (3)当PC=1时，求△BPE的面积： (4)当点P到直线AD的距离是点E到直线AD的距离的3倍时，直接写出AE的长. 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,O为AB边的中点.点D在线段AB上运动， 且点D不与点O重合，作点D关于点O的对称点E,过点D作DF⊥AB交折线AC-CB于点F.连结EF, 以EF、FD为邻边构造口DFEG, B T B 备用图 (I)求tanA的值： (2)连结FG,则线段FG长度的最小值是_： (3)当△ADF与△ABC相似，直线DG恰好将△ADF的面积平分时，求DE的长： (④)当∠DFE=∠A时，直接写出DE的长. 9.平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.∠AOC=45°，OA=2,OC=V2,则点B 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的坐标为 VA ◆题型3解直角三角形应用与菱形的综合问题 10.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E,F,CE=1,连接CF. C (①)求证：△ABF△CBF: (2)求点E到AB的距离和tan∠DCF的值. l1.如图，△ABC中，∠ACB=9O°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E,在直线DE上 截取DF,使DP=ED,连接AE、AF、BF. D E B (I)求证：四边形AEBF是菱形： 日￥ms∠EBF-Br=5,连接CD,求CDg张。 12.如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在BC,AC边上，且BD=AE,连接AD,BE交于点F, 将△ABF沿AB翻折得到△ABG. D (1)求证：四边形AFBG是菱形： 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=6,且AB:BD=2:1,求四边形AFBG的周长. ◆题型4解直角三角形应用与矩形的综合问题 13.图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢ABCD为矩形，对角线AC,BD交于点O,车架 大梁BE与地面平行，且点B与地面的距离BG=1.2m,卸货时，货厢绕B点处的转轴旋转.B点与对角线 交点O的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线AC为4.2m.假设该车在水平地面上进行卸货作业， ∠DBE=53°. 图1 图2 (1)求OB的长： (2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由.（参考数据：sin53°≈0.80， cos53°≈0.60，tan53≈1.33) 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点B与地面的距离时，会发生车辆倾覆 事故 14.如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4.2m.卸货时，货厢绕A点处的转 轴旋转，货厢底部A,B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i,A点处的转轴与后车轮转轴（点 M处)的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为0.7m.货厢对角线AC,BD的交点G可视为货 厢的重心，测得∠ACB=66.4°.假设该车在平地上进行卸货作业（即AN为水平线）. 4.2m M ⊙…⊙ 0.7m (1)求货厢对角线AC的长： (2)卸货时发现，当A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故.若1=1：1，该货车会发 生上述事故吗？试说明你的理由.（参考数据：sin66.4≈0.92，cos66.4≈0.40，cos68.6°≈0.36 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan68.6°≈2.55，结果精确到0.1m) 15.如图(1)是一种自卸货车，图(2)是该货车的示意图，货厢侧面ABCD是矩形， AB=4m,BC=2m,初始状态下，点A,B,F在同一水平线上，此时货厢底部AB离地面的距离为 1.3m.卸货时货厢绕着点A旋转. B 0.7m 图(1) 图(2) (1)当∠BAF=37°时，求货厢最高点C离地面的距离. (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E)的水平距离叫做安全轴距，己知该车的安全轴距为0.7m,货 厢对角线AC,BD的交点G是货厢的重心.卸货时，如果A,G两点间的水平距离小于安全轴距，那么 车辆会倾覆.当∠BAF=45°时，该货车是否会倾覆？请说明理由.（参考数据： sin37≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，V2≈1.414) 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作EF‖BD, DE⊥EF于点E,BF⊥EF于点F,DG⊥AB于点G. B G D E (1)求证：四边形BDEF是矩形： Q若BC3,tam乙BAC求BF的长 I7.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中 心O处，若AB=23,则BE的长是() 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8V3 A. 3 B.4 c.6 D.4V3 ◆题型5解直角三角形应用与正方形的综合问题 8,如图，在边长为的正方形ABCD中，分别以点A,D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交 于点P,Q,连接PQ交AD于点E,连接BE,沿BE折叠△ABE,点A落在点A处，连接AD,则AD的 长为( D X E B V5 10 V10 5 A.10 B.10 c. D.5 19.小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方形 (图1)，再将其向左“推倒”为含60°角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描述正确的是 () 向左推 图1 图2 A.内角和增加180° B.周长变大 C.面积不变 D.两条对角线的和变小 20.已知正方形ABCD,连接AC,点E是直线CD上一点，连接AE,以AE为直角边作等腰Rt△AEF, ∠AEF=90°，过F作FG⊥BC交直线BC于点G. 9/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② 图③ O当点五在线段CD上时（如图），正明CE+FG兰AC, (②)当点E在线段DC的延长线上时（如图②），探究线段CE,FG,AC之间的数量关系，并加以证明： (3)当点E在线段CD的延长线上时（如图③），直接写出线段CE,FG,AC之间的数量关系（不用证 明). G AE=EF∠AEF=90° 由旋转的性质知 正方形ABCD, ∴.∠BCD=∠D=90°，∠DAC=45°， .AD=AC.cos45-ZAC. 2 .∠D=∠H=∠AEF=90° ∴.∠DAE=90°-∠AED=∠HEF, .△DAE≌△HEF AAS, ∴AD=EH=CE+CH, .FH⊥DC,FG⊥BC, ∴.∠GCH=∠H=∠FGC=90°， ∴，四边形CGFH为矩形， ∴.CH=FG, AC: ..AD=CE+FG=2 10/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B AE=EF∠AEF=90° AI由旋转的性质知 ,正方形ABCD ∴.∠BCD=∠D=90°，∠DAC=45°， AD=AC.cos 45-2 ,∠D=∠H=∠AEF=90°， .∠DAE=90°-∠AED=∠HEF, ∴.△DAE≌△HEF AAS, ∴.AD=EH=CH-CE, FH⊥DC,FG⊥BC, ∴.∠GCH=∠H=∠FGC=90°， ∴四边形CGFH为矩形， ∴.CH=FG, ..AD=FG-CE= 82 AC; 21.【问题呈现】小旺在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在正方形ABCD中，AB=10 点P是射线CB上一动点，点M是AP中点，连接CM,将CM绕点M逆时针旋转9O°得到NM,连接AN. 求AN最小值. M B P B P 图1 图2 【问题分析】 (I)小旺通过作图发现，点N随着点P的运动而运动，他想找到点N的运动路径，如图2，连接DN,DM, 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长CM交DA延长线于点Q.以下是小旺的部分证明过程： .'点M是AP的中点， .'MA=MP ,'四边形ABCD是正方形 .AD‖BC ∴.∠Q=∠MCP 又.∠AMQ=∠PMC .△AMQ△ PMC ∴.MQ=MC 以下证明过程缺失 ∴.MD=MC ∴.∠MCD=∠MDC .CM绕点M逆时针旋转90°得到NM '.∠CMN=90°，MC=MN .∴.MD=MN '.∠MDN=∠MND 在四边形NMCD中 ∠MCD+∠MDC+∠MDN+∠MND+∠CMN=360° .∠NDC=∠MDC+∠MDN=① .∠NDA=② 即可证明点N的运动路径是一条射线， 请你补全缺失的证明过程. 【问题解决】 (2)通过以上分析可知AN的最小值为 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,把矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG,当点E落在 边AD上时，∠AEB的度数为() 12/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D G A.50° B.60° C.75° D.80° 2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB的中点，连接CE,则CE的长为() C A.3V3 B.3V7 C.9 D.6V2 3.在全国人民抗击“新型冠状病毒引起的肺炎疫情”中，武汉迅速修建“雷神山医院”和“火神山医 院”，修建过程中，一架小型无人机在空中点C处，对下方的两座医院修建情况进行监测.如图，此时在 建筑物AB的顶部点A处测得点C的俯角∠MAC=45°，在点B处测得点C的仰角∠NBC=75°，已知图中 各点都在同一平面内，且AB=40/6,则无人机到建筑物的距离CD为() M------ D B N77 A.20(V6+9V2) B.20(V6-V2) c.40(V6+V2) D.40(6-2) 4.如图，斜坡AB长40米，其坡度i=1:0.75,BF⊥AF,斜坡AB正前方一座建筑物ME上悬挂了一幅巨 型广告，小明在斜坡AB的中点C测得广告顶部M点的仰角为26.6°，他沿坡面CA走到坡脚A上，然后向 大楼方向继续沿直线行走10米来到D处，在D处测得广告底部N点的仰角为50°，此时小明距大楼底端E处 20米.己知B、C、A、D、M、N在同一平面内，F、A、D、E在同一条直线上，则广告的高度MN是 （)(精确到1米)（参考数据：sin50°≈0.70，tan50°≈1.19，sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50） 13/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M N A E A.12 B.13 c.14 D.15 二、填空题 5.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点 A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE,CF,若∠CEF=o,∠CFE=β，则tana·tanβ=· E 6.如图，在高度是21m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D的俯角为45°，则这个 建筑物的高度CD=m.(结果精确到0.1m,V3≈1.73) 田 777777777777才7777777777777 B 7.如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部0的竖直距离为2.5m.观 测地面上点B时，镜头俯角为45°；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为30°，则地面上的B,C两点之间 的距离约为 m. (精确到0.1m.参考数据：3≈1.73) O B C 三、解答题 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，某中学九年级数学活动小组选定“测量湖面对岸柯岩云骨高度”的项目化学习内容，他们在斜 坡上D处测得云骨顶端B的仰角是30°，沿着斜坡FA向下走14米到达坡底A处，在A处测得云骨顶端B的 仰角是45°，已知斜坡FA的坡比i=1:3 F D30 45° E A里C (1)求点D到水平面AE的距离： (2)求柯岩云骨BC的高度.（结果保留一位小数，V3取1.73） 9.凤翔城墙遗址公园的核心景观为唐末凤翔节度使李茂贞所筑古城墙遗址，某数学兴趣小组在老师的指 导下，用学过的数学知识测量该古城墙遗址的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量凤翔古城墙遗址的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 如图，小组成员甲 在C处利用测角仪 测得该古城墙遗址 顶端点A的仰角 ∠ACB的度数， 测量过程及示意图 小组成员乙在D处 利用高为DE的测 角仪测出该古城墙 遗址顶端点A的仰 角∠AEF的度 数 DE=2m,CD=5m,∠ACB=45°，∠AEF=28°，AB⊥BD 测量数据及图形说 DE⊥BD,点B、C、D在同一直线上，图中所有的点在同一平 明 面内 参考数据 sin28°≈8 7, C0s28°%≈15 17 tan28≈8 15 15/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请你根据以上活动报告，求出凤翔古城墙遗址的高度AB 10.某项高铁工程需要打通一段隧道，如图，工程队利用无人机勘探隧道的长度，无人机飞行高度为 200m,在C处测得隧道一边端点A的俯角为37°，然后沿着平行于AB的方向飞行了500m,在D处测得 隧道另一边端点B的俯角为53°（已知A，B,C,D,E五点在同一平面上），求隧道两端A、B之间 的距离.（结果精确到0.1m,参考数据：sin37°=cos53°≈0.60，cos37°=sin53°≈0.80， tan37°x0.75,tan53°≈1.33) 11.小明想测扬州大运塔的高度.他在点C处测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了30米至点F处，测得 此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮他求出塔AB的高度.（参 考数据：sin37s 5’c0s374 ,tan37≈3 ） y37 5⊙E1D B F C 12.如图，周末小明和小亮准备去公园做义务安全员，A,B,C,D,E为同一平面内的五个景点，已知 景点C位于景点A的正北方向，景点D位于景点C的南偏东75°方向且距离C处400米处，景点E位于景点C 的正西方向，景点D位于景点A的东北方向，景点B位于景点A的正西方600米处.（参考数据： 96≈2.449) 北 西个东 E 南 75° D 45 B (1)求景点A到景点C的距离：（结果保留到小数点后一位） (2)小明从景点C出发，沿正西方向巡视，小亮从景点B出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到 16/17 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 达P处时，小亮刚好到达BA边上的Q处，此时，P处到景点A的距离与Q处到景点A的距离相等，求AQ的 长度 17/17函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 内容概览 目常考题型精推突破 题型1解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 题型2解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 题型3解直角三角形应用与菱形的综合问题 题型4解直角三角形应用与矩形的综合问题 题型5解直角三角形应用与正方形的综合问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1.6m 2.(1)拉绳DB的长度为1.5米 (2)支撑杆伸长后的高度0F为2.8米. 3.约为9.9米 4.威远楼AB的高度为26米 5.(1)甲；应测量出BD的距离 (2)妙乐寺塔的高度约为34m ◆题型2解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 6.10.7cm 7.(1)4 暗 698 (④或1 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(1)4 (2)6 9.3,1 ◆题型3解直角三角形应用与菱形的综合问题 10.(1)证明：四边形ABCD是菱形， .BA=BC,∠ABF=∠CBF, .BF=BF ∴.△ABF△ CBF SAS: 53 3V3 (②点B到AB的距离为2：tan∠DCF 11.(1)证明：，点D为AB边中点， .AD=BD. .DF=ED, ∴.四边形AEBF是平行四边形， EF⊥AB ∴四边形AEBF是菱形. (22V5 12.(①)证明：，'△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△BAE中， BD=AE ∠ABD=∠BAE, AB=BA ∴.△ABD≌△BAESAS, ∠ABF=∠BAF, .∴.AF=BF, 由翻折的性质可知：AG=AF、BG=BF, .AF=BF=AG=BG, 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.四边形AFBG是菱形 (2)8V3 ◆题型4解直角三角形应用与矩形的综合问题 13.(1)2.1m (2)不会，理由见解析 14.(1)4.6m: (2) 解：不会发生上述事故，理由如下： 作GK⊥AN,垂足为K, 4.2m G 】 SM⊙·⊙V 0.7m .i=1:1, .∠BAN=45°， ∠CAB=90°-∠ACB=90°-66.4°=23.6°， ∴.∠CAK=45°+23.6°=68.6°， ,四边形ABCD是矩形， GA-AC-23m. ,在Rt△AGK中，∠AKG=90°，∠GAK=68.6°， :c0s∠GAK=0s68.6=AK0.36, AG .AK≈2.3×0.36=0.828≈0.8m, .0.8>0.7, 该货车不会发生上述事故。 15.(1)货厢最高点C离地面的距离约为5.3m (2)该货车不会倾覆， 理由是：过点G作GO⊥AF,垂足为O,过点C作CM⊥AF,垂足为M,交AB于点I,过点B作 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BN⊥AF,垂足为N,过点B作BK⊥CM,垂足为K, 2m 4m 0.7m 图2 则四边形BNMK为矩形， .BN=KM, 在Rt△ABN中，BN=ABsin45°=4× 2=22m, 2 ..BN =KM=22m. .BK AN, ∴.∠BAN=∠KBA=45° .∠CBK=∠CBA-∠KBA=90°-45°=45°， 在Rt△BCK中，BK=BCcos45=2× 2-2m, 2 ..BK=CK=2m, 在Rt△BKI中， .∠KBA=45° ..BK=KI=V2(ml, ∴.IM=KM-KI=V2m, 在Rt△AMI中， .∠BAF=45°， ..IM=AM=(m), .CM‖GO AG_AO CG OM .AG=CG, :A0=OM=号AM= 2≈0.71m, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0.71>0.7, 不会发生安全事故 l6.(1)证明：DE⊥EF于点E,BF⊥EF于点F, .∠DEF=∠BFE=90°， ..EF BD. ∴.∠BDE=180°-∠DEF=90°， .∠BDE=∠DEF=∠BFE=90°， ∴.四边形BDEF是矩形： 17.B ◆题型5解直角三角形应用与正方形的综合问题 18.D 19.D 20.(1) 证明：作FH⊥DC交DC的延长线于点H, D G AE〧EF∠AEF=90° 由旋转的性质知 ,正方形ABCD ∴.∠BCD=∠D=90°，∠DAC=45°， .AD=AC.cos45"=AC. 2 ,∠D=∠H=∠AEF=90°， ∴.∠DAE=90°-∠AED=∠HEF, ∴.△DAE≌△HEF AAS, .AD=EH=CE+CH, FH⊥DC,FG⊥BC, .∠GCH=∠H=∠FGC=90°， 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴四边形CGFH为矩形， ∴.CH=FG, 32 AC: AD=CE+FG=2 (2)FG-CE AC. 2 理由如下： 作FH⊥DC交DC的延长线于点H, B AE=EF∠AEF=90° 9 AI由旋转的性质知 ,正方形ABCD ∴.∠BCD=∠D=90°，∠DAC=45°， AC :.AD=AC·c0s45=2 .∠D=∠H=∠AEF=90°， ∴.∠DAE=90°-∠AED=∠HEF, ∴.△DAE≌△HEF(AAS, .AD=EH=CH-CE, FH⊥DC,FG⊥BC, ∴.∠GCH=∠H=∠FGC=90°， ∴，四边形CGFH为矩形， ∴.CH=FG AD-FG-CE-AC: 2 (3)CE-FG= 2 AC 21.(1)135:45 (25RV2 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.C 2.B 3.B 4.B 5 6.33.1 7.1.8 8.(1)7米 (2)33.1m 9.10m 10.隧道两端A、B之间的距离约为383.7m. 11.91.2米 12.(1)约为489.8米 (2)500米 717 专题06 解直角三角形应用与特殊几何图形的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 题型2 解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 题型3 解直角三角形应用与菱形的综合问题 题型4 解直角三角形应用与矩形的综合问题 题型5 解直角三角形应用与正方形的综合问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1解直角三角形应用与特殊三角形的综合问题 1．项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性．某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度． 方案设计： 如图，观察员在地面上的点处进行观察，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，向前行进到达假山的坡底点处，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，斜坡的坡度． 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上，与水平地面垂直．请根据上述数据，计算四美琉璃塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点，则，设，则，，解直角三角形表示出，，然后列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 根据题意，得，， ，斜坡的坡度， ， 设，则，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 解得． ，． ． 答：四美琉璃塔的高度约为． 2．项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． 【答案】(1)拉绳的长度为米 (2)支撑杆伸长后的高度为米. 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； （2）解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. 3．综合与实践 【课题背景】 在陕北黄土高原地区，箍窑是当地特色非遗民居建筑，依托山崖夯土修筑而成．研学小组实地勘测一处箍窑窑洞深度，受场地限制只能在窑外平地测量，借助测角仪与卷尺完成测算． 【测量工具】电子测角仪（仪器高度忽略不计）、钢卷尺． 【测量过程与示意图】 ①测角仪放在窑外平地处，对准窑壁竖杆顶端，测得仰角； ②测角仪位置不变，对准窑洞底部，测得俯角； ③卷尺测得竖杆米，、、三点在同一条竖直线上，． 【任务目标】 求箍窑的洞深（结果保留1位小数）参考数据：， 【答案】约为米 【分析】在中，，则，在中，，将代入即可求出． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ （米）． 4．综合与实践 【课题背景】如图1，位于陇西县的威远楼是陇上著名古建筑，巍峨壮丽，气魄非凡．因其年代久远和构造精妙，成为陇西悠久历史和灿烂文化的象征．某校学生开展了“测量威远楼高度”的综合与实践活动．测量示意图如图2，点A为威远楼最顶端，点B为威远楼底部，位于水平地面． 【测量工具】皮尺，测角仪 【测量过程】①测量者在点C处，利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ②测量者在点D处（点B，C，D在同一条直线上，），利用测角仪测得威远楼最顶端A处的仰角为； ③测量者利用皮尺测得的距离为3.6米． 注：测角仪高度忽略不计． 【任务目标】根据上述测量数据，求威远楼的高度（结果保留整数，参考数据：，，；，，．） 【答案】威远楼的高度为米 【分析】据题意得：，设，利用正切函数得出，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 设， ， 解得：， 故威远楼的高度为米． 5．妙乐寺塔位于焦作市武陟县城西7.5公里处，始建于唐代，是中国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔．某数学兴趣小组开展测量妙乐寺塔高度的课外实践活动，甲、乙两组分别设计了如下方案： 课题：测量妙乐寺塔的高度 甲组的测量报告 乙组的测量报告 测量示意图 测量方案与测量数据 在点D处用距离地面的测角仪CD测出妙乐寺塔顶端A的仰角． 在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到妙乐寺塔的顶端A，，，． 参考数据 ，，． ，，． 备注 图上所有点均在同一平面内；②B、O、D三点在同一直线上；③均与地面垂直． (1)数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为_______组的测量报告存在问题，并提出修改建议______； (2)请根据正确的测量报告计算出妙乐寺塔的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲；应测量出的距离 (2)妙乐寺塔的高度约为 【分析】（1）甲的报告没有边长的数据，无法解直角三角形，建议加一个边长相关的数据即可； （2）先在直角中利用正切函数求出的长，然后求出的长，最后在直角中，利用正切函数求出的长即可． 【详解】（1）解：甲的测量报告存在问题： 建议：应测量出的距离，才能利用求出的长，进而求出的高； （2）解：由题意可知， 在直角中，， ∴（）， ∴， 在直角中，， ∴． 答：妙乐寺塔的高度约为． ◆题型2解直角三角形应用与平行四边形的综合问题 6．某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】 【分析】通过 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定是平行四边形，确定，将平行线间的距离转化为到的垂线段长；再在直角三角形中，利用正弦函数计算出该垂线段长度，即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与间的距离为， 在中， ∵，， ∴ ∴与间的距离约为． 7．如图，在平行四边形中，，对角线于点．点是折线 上的一点（不与点重合），过点作，交射线于点，连结． (1)线段的长是__________； (2)当点为线段的中点时，求的正切值； (3)当时，求的面积； (4)当点到直线的距离是点到直线的距离的3倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）根据题意求出的长，再利用正切的定义计算即可； （3）分当点在线段上和点在线段上时，结合相似三角形的性质及三角形面积公式求解； （4）分当点在线段上和点在线段上时，结合相似三角形的性质求解． 【详解】（1）， （2）当点为线段的中点时，， ，， ，， 又四边形是平行四边形， ，则， 四边形为矩形， ，，， ； （3）当点在线段上时， 同（2）可知，， ，， ； 当点在线段上时，如图： 则， ，， ，， ， ，即， 解得：， ； 综上，的面积为或； （4）当点在线段上时，过作，过作，设， 则，，， ， ，由， ， ，即， 解得， 即的长为； 当点在线段上时，过作，延长交于，设， 则， 四边形是平行四边形， ， 则点到直线的距离等于，， ，则， 又， ， ，即， 解得， 即的长为； 综上，的长为或． 8．如图，在中，，，，为边的中点．点在线段上运动，且点不与点重合，作点关于点的对称点，过点作交折线于点．连结，以、为邻边构造． (1)求的值； (2)连结，则线段长度的最小值是 ； (3)当与相似，直线恰好将的面积平分时，求的长； (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理和的定义求出的值； （2）根据的对角线互相平分得到，根据点F的位置不同进行分类讨论，结合垂线段最短得到：当或时，最小，即线段长度最小，在中，根据勾股定理和的值得到答案，再将两种答案比较大小，取最小值，即为线段的最小值； （3）当直线恰好将的面积平分时，即直线经过线段的中点，根据对边平行得到两组相等角，进而证明，得到，最后根据相等列方程求出的长； （4）根据和的值得到和、、的线段长，根据点D和点F的位置不同进行分类讨论，根据相等列方程求出的长． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴； （2）当点F在线段上时， ∵点和点关于点对称， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 当时，最小，即线段长度最小， ∵为边的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， 此时，； 当点F在线段上时， ∵， ∴当时，最小，即线段长度最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 此时，； ∵， ∴线段长度的最小值为6； （3）∵直线恰好将的面积平分， ∴， 设的边上的高为h， ∴， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵四边形为平行四边形，点和点关于点对称， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （4）第一种：点D在线段上， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∵， ， ∴， 解得：， ∴． 第二种：点D在线段上且点F在线段上， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∵， ， ∴， 解得：， ∴． 此时， ， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ， 即， 与点F在线段上矛盾， ∴舍去； 第三种：点D在线段上且点F在线段上， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数解直角三角形、勾股定理、垂线段最短、相似三角形的判定与性质、一元一次方程，解题关键是数形结合、分类讨论． 9．平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，，则点B的坐标为_______________． 【答案】 【分析】过点B作于点E，利用锐角三角函数求出、的长，进而得到的长，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点B作于点E， ∵平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴点的坐标为：． ◆题型3解直角三角形应用与菱形的综合问题 10．如图，在菱形中，，，分别交于点E，F，，连接． (1)求证：； (2)求点E到的距离和的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； (2)点E到的距离为； 【分析】（1）根据菱形的性质结合证明即可； （2）作于H，先由求出，然后解斜即可；过点作交延长线于点，解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点F作于H， ∵四边形是菱形，，， ，，， ， ∴， ， ， ，， 和是等边三角形，， ， ， ∴， ， ， ； 过点作交延长线于点， ∵ ∴ ∴， 即点E到的距离为． 11．如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据、可得四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接，过点作于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，是的中点， ∴． 12．如图，为等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点，将沿翻折得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，且，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 由翻折的性质可知：、， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，进而得到，由翻折的性质易证明，从而得出结论； （2）根据等边三角形的性质结合，易得到、E分别是、的中点，在中， ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，， ， ， ， 、， 、E分别是、的中点， 是等边三角形， 、， ， 在中，， ， 菱形的周长为： ． ◆题型4解直角三角形应用与矩形的综合问题 13．图1和图2是一辆自卸式四轮车及其示意简图，货厢为矩形，对角线，交于点，车架大梁与地面平行，且点与地面的距离，卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点与对角线交点的水平距离叫作安全轴距，测得货厢的对角线为．假设该车在水平地面上进行卸货作业，． (1)求的长； (2)根据小贴士的资料，该四轮车是否会发生倾覆事故？说明理由．（参考数据：，，） 小贴士车辆使用说明特别警告，当安全轴距小于点与地面的距离时，会发生车辆倾覆事故． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】（1）根据矩形对角线相等且互相平分的性质，先得出，，再代入的长度即可求出的长； （2）过点作于点，即为题目中的安全轴距，在中利用三角函数求出长，再将其与比较大小，根据警示规则即可判断是否会发生倾覆事故． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点，即为题目中的安全轴距， ∴， 在中， ， ∴， ∵，， ∴，即安全轴距大于点与地面的距离， ∴该四轮车不会发生倾覆事故． 14．如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． (1)求货厢对角线的长； (2)卸货时发现，当两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】(1)； (2) 解：不会发生上述事故，理由如下： 作，垂足为K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴该货车不会发生上述事故． 【分析】（1）在中，利用三角函数，求出长即可； （2）求出的度数，根据矩形的性质得到，在中，利用三角函数，求出长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：货厢对角线的长为； （2）略 15．如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．    (1)当时，求货厢最高点C离地面的距离． (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据： ） 【答案】(1)货厢最高点C离地面的距离约为 (2)该货车不会倾覆， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【分析】（1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米； （2）略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16．如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据“有三个角为直角的四边形为矩形”，即可证明结论； （2）首先利用三角函数解得，由角平分线的性质定理可得；设，则，证明，由相似三角形的性质解得的值，易得，进而由勾股定理解得的长度；证明，由相似三角形的性质求的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，即，解得， ∵平分，，于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 17．如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中心对称和轴对称的性质可得是等边三角形，则，最后使用计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，点是矩形的对称中心， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，． ◆题型5解直角三角形应用与正方形的综合问题 18．如图，在边长为1的正方形中，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，连接交于点E，连接，沿折叠，点A落在点处，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，，连接交于点F，由折叠的性质，得，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由作图可知，直线垂直平分线段， ∴， ∴， 如图，连接交于点F， 由折叠的性质，得，， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描述正确的是（    ） A．内角和增加 B．周长变大 C．面积不变 D．两条对角线的和变小 【答案】D 【分析】设1根木棒的长度为，如图①，连接，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可. 【详解】解：设1根木棒的长度为，如图①，连接，， ∴正方形的内角和为，周长为4a， 面积为； ， 如图②，菱形的内角和为，周长为4a， 连接与交于点， ∵四边形是菱形，， 是等边三角形， 和是菱形的对角线， 与互相垂直且平分， 在中，， ， ，， ， ， ， ∴菱形的面积小于正方形的面积， ， ∴菱形对角线的和小于正方形对角线的和. 20．已知正方形，连接，点E是直线上一点，连接，以为直角边作等腰，，过F作交直线于点G． (1)当点E在线段上时（如图），证明； (2)当点E在线段的延长线上时（如图②），探究线段之间的数量关系，并加以证明； (3)当点E在线段的延长线上时（如图③），直接写出线段之间的数量关系（不用证明）． 【答案】(1) 证明：作交的延长线于点， 由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； (2)， 理由如下： 作交的延长线于点， AI由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）作交的延长线于点，求得，利用证明，得到，再证明四边形为矩形，推出，据此证明结论成立； （2）（3）同（1）的方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 作于点， 由旋转的性质知，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 21．【问题呈现】小旺在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，点是中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．求最小值． 【问题分析】 (1)小旺通过作图发现，点随着点的运动而运动，他想找到点的运动路径．如图2，连接，，延长交延长线于点．以下是小旺的部分证明过程： 点是的中点， 四边形是正方形 又 以下证明过程缺失 绕点逆时针旋转得到 ， 在四边形中 ① ② 即可证明点的运动路径是一条射线． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 (2)通过以上分析可知的最小值为________． 【答案】(1)135；45 (2) 【分析】（1）根据四边形内角和定理以及等边对等角即可填写①；再减去即可填写②； （2）根据垂线段最短可得，当时，最小，再解即可． 【详解】（1）解：点是的中点， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ，即点是的中点， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 在四边形中， ， 即可证明点的运动路径是一条射线． （2）解：∵点的运动路径是一条射线 ∴当时，最小， ∵正方形中，， ∴， ∴的最小值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，在矩形中，，，，由旋转的性质得，，在中，得出，即可得，根据，得出，根据，得出 ，根据，得出． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在矩形中，，，， 由旋转的性质得，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等腰三角形， ∴ ， ∵， ∴． 2．如图，在边长为6的菱形中，，E是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，， E是的中点，得到， 如图，过点作交的延长线于点，求出， 解直角三角形求出， ，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 是的中点， ， 如图，过点作交的延长线于点， ， 在中，， ， ， 在中，． 3．在全国人民抗击“新型冠状病毒引起的肺炎疫情”中，武汉迅速修建“雷神山医院”和“火神山医院”，修建过程中，一架小型无人机在空中点处，对下方的两座医院修建情况进行监测．如图，此时在建筑物的顶部点处测得点的俯角，在点处测得点的仰角，已知图中各点都在同一平面内，且，则无人机到建筑物的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质将俯角转化为内错角，构造等腰三角形，利用含角的直角三角形的性质建立方程求解．由得，在上取一点，连接，使，由题意知，所以，在直角三角形中，设，则，在直角三角形中，根据列方程即可求解． 【详解】解：如图，， ， 在中， ， 是等腰直角三角形， ， 设,则， 在上取一点,连接,使， 由题意知， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 4．如图，斜坡长米，其坡度，，斜坡正前方一座建筑物上悬挂了一幅巨型广告，小明在斜坡的中点测得广告顶部点的仰角为，他沿坡面走到坡脚上，然后向大楼方向继续沿直线行走米来到处，在处测得广告底部点的仰角为，此时小明距大楼底端处米．已知、、、、、在同一平面内，、、、在同一条直线上，则广告的高度是（   ）（精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由坡度和勾股定理求出斜坡的垂直、水平高度，再作辅助线构造矩形，利用中点性质得到观测点的水平、垂直距离，最后通过两个仰角的正切值分别求出广告顶部和底部距地面的高度，作差得到广告高度． 【详解】解： 长米，坡度， ， 设，， ，解得， 米，米， 米，米， （米）， 如图，过点作，交于点，交于点， ， 四边形为矩形， 米，， 为中点，， ∴， ∴， 米，米， （米）， ，，， ，解得米， （米）， ，，， ，解得米， （米）． 二、填空题 5．如图，在矩形中，，将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A落在矩形的边上，连接，若，则___． 【答案】 【分析】过C点作，交于M，交于N，由旋转的性质可得，由勾股定理可求，由锐角三角函数可求的长，即可求的长，由题意可证四边形是矩形，可求的长，即可求解． 【详解】解：过C点作，交于M，交于N， 由旋转的性质得，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 6．如图，在高度是的小山A处测得建筑物顶部C处的仰角为，底部D的俯角为，则这个建筑物的高度______．（结果精确到，） 【答案】33.1 【分析】根据题意得，，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， 在中，， 在中，， ． 7．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为__________．（精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 三、解答题 8．如图，某中学九年级数学活动小组选定“测量湖面对岸柯岩云骨高度”的项目化学习内容，他们在斜坡上处测得云骨顶端的仰角是，沿着斜坡向下走14米到达坡底处，在处测得云骨顶端的仰角是，已知斜坡的坡比． (1)求点到水平面的距离； (2)求柯岩云骨的高度．（结果保留一位小数，取） 【答案】(1)7米 (2) 【分析】（1）过作于点，由坡比的定义求出，即可解决问题； （2）过作于点，证是等腰直角三角形，则，设米，则米，米，再由锐角三角函数定义得，即，解方程即可． 【详解】（1）解：过作于点， ，斜坡的坡比，米， ， （米）， 答：点到水平面的距离为7米； （2）解：过作于点， 则米， 由（1）可得：（米）， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米，米， 在中，， ， ， 即， 解得：， 答：柯岩云骨的高度约为米． 9．凤翔城墙遗址公园的核心景观为唐末凤翔节度使李茂贞所筑古城墙遗址，某数学兴趣小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量该古城墙遗址的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量凤翔古城墙遗址的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用测角仪测得该古城墙遗址顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用高为的测角仪测出该古城墙遗址顶端点的仰角的度数． 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，， 请你根据以上活动报告，求出凤翔古城墙遗址的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，证明四边形是矩形，得出，然后在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点， ∵ 则四边形是矩形， ∴，， ，， ， 则 四边形是矩形，， ，， 在中，， ，， ， 解得， ∴凤翔古城墙遗址的高度是． 10．某项高铁工程需要打通一段隧道，如图，工程队利用无人机勘探隧道的长度，无人机飞行高度为，在处测得隧道一边端点的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行了，在处测得隧道另一边端点的俯角为（已知五点在同一平面上），求隧道两端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， ） 【答案】隧道两端之间的距离约为． 【分析】分别过两点作于点于点，四边形为矩形，可得，解，可得，解，可得，即可得之间的距离． 【详解】解：分别过两点作于点于点，则， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴隧道两端之间的距离约为． 11．小明想测扬州大运塔的高度．他在点处测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请聪明的你帮他求出塔的高度．（参考数据：） 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形， 所以米，米， 在中，，则．设米， 在中，， 则，即， 解得：， 所以米， 则（米）． 答：这座高塔的高度为米． 12．如图，周末小明和小亮准备去公园做义务安全员，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的正北方向，景点位于景点的南偏东方向且距离处米处，景点位于景点的正西方向，景点位于景点的东北方向，景点位于景点的正西方米处．（参考数据：） (1)求景点到景点的距离；（结果保留到小数点后一位） (2)小明从景点出发，沿正西方向巡视，小亮从景点出发，沿正东方向巡视，两人速度相同，当小明到达处时，小亮刚好到达边上的处，此时，处到景点的距离与处到景点的距离相等，求的长度． 【答案】(1)约为米 (2)米 【分析】（1）过点作于，根据三角形内角和定理求出，利用的正弦函数求出米，利用的正弦函数求出的长即可； （2）根据速度相同得出米，可得米，利用勾股定理求出的值，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意可知，，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：景点到景点的距离约为米． （2）解：如图所示：由题意可知，米，， ∵两人速度相同， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴的长度为米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $