专题08 28类题型期中专项训练（范围：第1章～第4.2章 ））

专题08 期中复习高频与压轴28类题型归纳 （考试范围：第1章-第4.2章 ） 【人教版A版】 题型归纳 【单选题】 2 【题型 1集合概念、元素五异性、子集与交并补运算】 2 【题型 2充分、必要条件判断】 3 【题型 3.全称/特称命题否定】 4 【题型 4不等式性质、一元二次不等式求解】 4 【题型 5基础基本不等式求最值】 5 【题型 6函数、复合函数定义域】 7 【题型 7函数解析式、单调性、奇偶性简单判定】 8 【题型 8分段函数求值】 10 【题型 9.二次函数简单区间最值】 13 【题型 10幂函数的大小比较】 14 【多选题】 15 【题型 11不等式性质正误辨析】 15 【题型 12二次函数图像、零点、性质综合判断】 17 【题型 13基本不等式条件、结论辨析】 18 【题型 14函数单调性、奇偶性综合结论判断】 19 【题型 15分段函数单调性、参数范围多结论 21 【题型 16函数奇偶、周期、对称性综合】 22 【题型 17恒成立、能成立命题辨析】 24 【填空题】 26 【题型 18集合子集个数、含参集合范围】 26 【题型 19基本不等式配凑、1·的代换求最值】 26 【题型 20二次函数动轴定区间最值、已知最值求参】 27 【题型 21函数周期、对称性求值】 28 【题型 22恒成立分离参数求范围】 30 【解答题】 30 【题型 23集合综合·+充分必要条件求参数】 30 【题型 24一元二次不等式、含参不等式讨论】 31 【题型 25基本不等式应用题、最值证明】 34 【题型 26二次函数区间最值、恒成立与能成立】 35 【题型 27函数奇偶性、单调性证明·+抽象不等式求解】 38 【题型28 函数实际应用综合】 45 【单选题】 【题型 1集合概念、元素五异性、子集与交并补运算】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而， 所以． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以. 【题型 2充分、必要条件判断】 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】充分性：，充分性成立， 必要性：取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 【题型 3.全称/特称命题否定】 5．命题：，，则它的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题：，，则它的否定为，. 故选：A 6．命题“”的否定形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来判断. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题得， 命题“”的否定形式是. 故选：B. 【题型 4不等式性质、一元二次不等式求解】 7．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 化简得，即，解得或， 所以不等式的解集是． 8．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知一元二次不等式的解集，结合韦达定理得到与的关系，代入所求不等式化简后即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 9．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 【题型 5基础基本不等式求最值】 10．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】基本不等式中“1”的妙用，直接用展开结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 11．若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【详解】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 12．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 13．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 【题型 6函数、复合函数定义域】 14．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 15．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 【题型 7函数解析式、单调性、奇偶性简单判定】 17．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 18．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 19．以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 20．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【详解】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 21．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 【题型 8分段函数求值】 22．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数及反比例函数的性质求解即可. 【详解】∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ； 又函数在上单调递减， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 23．设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于是定义在上的偶函数，故，结合单调性即可求解. 【详解】由于是定义在上的偶函数，故, 那么，又，在上单调递增， 所以在上单调递减，， 即，同理的解集为或； 由，得 或 ， 即 或， 解得 或，所以不等式的解集是. 24．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得到是增函数，分析出要使函数在上单调递增，须满足，解不等式组即可得解. 【详解】由函数对且，都有， 可知函数在定义域上是增函数. 已知函数的对称轴为， 在上单调递增，且； 要使反比例函数在时单调递增，须满足. 所以，要使函数在上单调递增， 须满足，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故选：D 25．若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 26．若函数在上是单调函数，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在上是单调函数需满足每段上都是增函数且当时，即可. 【详解】当时，为增函数，所以当时，也为增函数，所以，解得.故的最大值为， 故选：B. 【题型 9.二次函数简单区间最值】 27．若命题“”是假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题：为假命题， 可得命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为在上恒成立，符合题意； 当时，则满足，即，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B 28．对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由因式分解解不等式得到解集，由题意列不等式求出的范围，根据充分条件、必要条件的定义得到答案. 【详解】整理得， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 又∵不等式恒成立， ∴，即，∴. 选项中仅有“”是“” 的充分不必要条件， 故选：B. 29．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 【题型 10幂函数的大小比较】 30．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A 31．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 【多选题】 【题型 11不等式性质正误辨析】 32．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】BCD 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 33．（多选）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】ABD 【分析】已知正实数满足且先确定，A用基本不等式求得最大值为不等于4，B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为不等于4，C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，D中表达式的值恒为负数，其最小值不可能为4，因此不正确的是ABD. 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 【题型 12二次函数图像、零点、性质综合判断】 34．（多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（     ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 35．（多选）若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，方程的两根是，1，B正确； 显然，即，，A正确； 不等式，即的解集为或，C错误； 不等式，即的解集是，D正确. 故选：ABD 【题型 13基本不等式条件、结论辨析】 36．（多选）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用作差法判断ACD，取特殊值判断B. 【详解】A选项：由，因为，所以，所以，即，故A正确； B选项：当时，，故B错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项正确. 故选：ACD 37．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用作差法即可判断. 【详解】对于A，因，所以， 则， 所以，故A正确； 对于B，因，所以， 则，所以，故B错误； 对于C，因，则， 所以，所以，故C正确； 对于D，因，则， 所以，则，故D正确. 故选：ACD 【题型 14函数单调性、奇偶性综合结论判断】 38．（多选）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．为上的减函数 D．在上的最大值为6 【答案】ACD 【详解】令可判断A选项；令，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；任取、且，结合函数单调性的定义可判断C选项；利用函数单调性和奇偶性可判断D选项. 【分析】取，则，所以，故A正确. 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数，故B不正确； 任取、且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以. 故为上的减函数，故C正确； 因为函数为上的减函数，则在上的最大值为， 因为， 所以，故在上的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 39．（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 【答案】BC 【分析】根据题意，利用高斯函数的定义算出的值，即可判断A项的正误；由高斯函数的定义，证出，即可判断出B项的正误；由B项的分析可知是周期为1的周期函数，然后分析在上的解析式，即可判断C项的正误；通过举反例加以说明，即可判断D项的正误． 【详解】对于A，由题意得，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，由，可知是周期为1的周期函数， 在上的值域就是在上的值域， 当时，；当时，， 可知在上的值域为，即的最小值为0，所以C正确； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误． 故选：BC． 40．（多选）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D. 【详解】对于A，由题意知，是奇函数， 当时，则，所以， 故此时，A错； 对于B，因为是上的奇函数，所以，B正确； 对于C，由上述可知时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 【题型 15分段函数单调性、参数范围多结论 41．（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据二次函数和一次函数的性质，结合最值的定义、单调递减函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD 42．（多选）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数，结合偶函数的意义、一元二次不等式分段探讨逐项判断. 【详解】对于A，当时，，则；当时，， 则，即，，因此为偶函数，A正确； 对于B，当时，，当时，，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，当时，，不等式， 对且，恒成立；当时，，不等式， ，对且，恒成立，D正确. 故选：ABD 【题型 16函数奇偶、周期、对称性综合】 43．（多选）已知是定义在上的偶函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在区间上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】首先的取值无法确定，可判断A的真假，结合和，可判断B的真假，结合函数的单调性和对称性，可判断C的真假，结合函数的周期性和单调性，可判断D的真假. 【详解】的取值无法确定，故A错误； 由知是定义在上的偶函数，则，且， 又的图象关于对称，则，所以，故B正确； 由为偶函数，且时，单调递减，则其在单调递增， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相同， 即在区间上单调递增，故C正确； 由，则， 故，且， 在区间上的单调性与在区间的单调性相同，即单调递增， 故，所以，故D错误． 故选：BC 44．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据图象变换可得的对称性，进而得出周期性，再逐一赋值计算. 【详解】因为为奇函数，所以关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以关于对称， 因为，， 则，， 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 因为，， 所以，即， 则，得，即是的一个周期， 则，故D正确. 故选：ABD 45．（多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 【答案】AD 【分析】由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断AD；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以函数图象关于点成中心对称，且①， 因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称， 由①②可得，，则，所以的一个周期为4. 在①中令有， 因为时，，所以，，故， 所以，， 所以，故AD正确； 由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数， 因为的周期是4，所以是上的减函数，故B错误； 因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4， 所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误； 故选：AD. 【题型 17恒成立、能成立命题辨析】 46．（多选）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断. 【详解】由对恒成立可得， ①当时，成立； ②当时，，解得； 故对恒成立时，的取值范围是， 则是的真子集，且是的真子集； 故选：CD 47．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 【填空题】 【题型 18集合子集个数、含参集合范围】 48．设集合，，若，则________． 【答案】1 【详解】因为，，且，所以或， 当时，，则，，此时不满足，所以舍去， 当时，，则，，符合题意，综上得. 49．已知，，的子集个数为_______ 【答案】 【详解】因为， 所以，, 所以的子集个数为个. 【题型 19基本不等式配凑、1·的代换求最值】 50．已知，，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是. 51．已知，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题条件是带交叉项的等式，目标求的最小值，已知，，适合用基本不等式（均值不等式）求解，首先观察式子，不能直接套不等式，需要先对等式配凑因式，把原式变形为两个正数相乘等于定值的形式，再把也用这两个因式表达，就可以利用“一正二定三相等”求最小值；方法二选择消元思路用表示，代入整理成对勾函数形式，再用基本不等式求解． 【详解】解法一：由得， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由得， 得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为． 【题型 20二次函数动轴定区间最值、已知最值求参】 52．关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】 【分析】由题可知是方程的两个根，即可求出，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以是方程的两个根，且， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 53．函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程， 解得或， 解方程， 解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或， 此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型 21函数周期、对称性求值】 54．已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______. 【答案】 【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增， 由可得： ，解得. 所以满足的的取值范围是 故答案为： 55．已知函数，对任意，总存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______________. 【答案】或或 【分析】确定在上单调递增，得到最小值为1，题目转化为对恒成立，构造，代入数据计算得到答案. 【详解】在上单调递增，故，的最小值为1， 任意，总存在，使不等式成立， 即对于所有的恒成立，即对恒成立， 令，只要，或或. 故答案为：或或. 56．定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为______________ 【答案】 【分析】依据条件得出对称轴，结合单调性列出绝对值不等式，求解即可. 【详解】因为函数满足，则函数关于对称； 又因为当时，单调递增， 所以，即，两边平方得：，解得：. 所以解集为：. 故答案为：. 57．定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】结合题干所给的信息赋值证明函数的单调性和奇偶性，再利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令，得， 令，得， 函数是定义在上的奇函数， ，令，得， 任取，则， 当时，，当 时，，即， 函数是定义在上的单调递增函数， . 故答案为：. 【题型 22恒成立分离参数求范围】 58．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解最值即可. 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 故答案为：． 【解答题】 【题型 23集合综合·+充分必要条件求参数】 59．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， （2）当时，满足，此时：，解得， 当时，由知或解得或， 综上所述，实数y的取值范围为 60．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，. （2）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 因为，所以恒成立，所以集合， 所以，解得， 当时，，此时集合是集合的真子集； 当时，，此时集合是集合的真子集. 故实数的取值范围为． 【题型 24一元二次不等式、含参不等式讨论】 61．已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 【答案】(1)，，不等式解集为 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据不等式解集的端点值为对应方程的实数根，结合韦达定理即可求出的值，进而求出不等式的解集；（2）由（1）知，，可将不等式化为，再对1和进行大小讨论，分别求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得，则， 即的解集为. （2）由（1）得：，又， 当时，，则 ， 当时，，则不等式无解， 当时，，则 ， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 62．已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集 (2)若，解这个关于的不等式 (3)，恒成立，求的范围． 【答案】(1)； (2) 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； (3)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求的最大值. 【详解】（1）时， ， 则所求不等式的解集为：； （2）当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； （3）， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 【题型 25基本不等式应用题、最值证明】 63．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【答案】(1)7.5万元 (2)该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益 【分析】（1）直接代入函数解析式求函数值即可； （2）根据投资总额为5万元，将总收益表示为分段函数形式，再利用基本不等式以及一元二次函数求分段函数在不同区间上的最值，最后再比大小即可. 【详解】（1）由题可知，，，故获得的收益为万元； （2）设该个体户向B商品投入万元，则向A商品投入万元，设总收益为. ①当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即当时，最大收益为万元； ②当时，， 由二次函数的性质可知，当时，取到最大值，即当时，最大收益为10万元. 因为，故该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益. 64．某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和． (1)求的表达式： (2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值． 【答案】(1) (2)当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元. 【分析】（1）由已知得当时，，代入可得，则； （2）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由已知得当时，，代入可得，解得， 所以， 所以总费用； （2）由（1）得， 所以（万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元. 【题型 26二次函数区间最值、恒成立与能成立】 65．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求，的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 【答案】(1)， (2)当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：. 【分析】（1）由题意得： 和 是方程 的根，利用二次方程的根与系数关系可得答案； （2）利用含参一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】（1）由题意得： 和 是方程 的根，且 ， 由二次方程的根与系数关系： ，解得：， 故 ，. （2）由，得： ， 化简得：， 因式分解得：， 分情况讨论： 当时，不等式的解为：； 当时，不等式的解为：； 当时，不等式化为：， 解为. 综上，不等式 （) 的解集为： 当时，解集为：； 当时，解集为：； 当时，解集为：. 66．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 67．已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将已知条件代入求出即可求解； （2）由（1）可知，则解不等式即可求解； （3）将不等式转化为恒成立，因为开口向上，根据即可求解. 【详解】（1）由函数，满足， ，解得， 故函数的解析式为：. （2）由（1）知，即不等式转化为， 则， 所以不等式的解集或. （3）不等式转化为恒成立， 因为开口向上， 可得，解之可得， 所以实数的取值范围是. 【题型 27函数奇偶性、单调性证明·+抽象不等式求解】 68．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 69．已知是定义在上的奇函数，且. (1)求m，n的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 在上单调递增.证明如下： 由（1）得，设任意满足， 则 ， 由，得， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数，可得m值，将条件代入，可求得t值. （2）利用单调性的定义，证明即可. （3）根据为奇函数且在上单调递增，可得，，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 由，得，解得. 此时，满足函数为奇函数， 所以. （2）略 （3）由，得， 由（2）得在上单调递增，所以， 即，所以， 因为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 又由，解得， 综上，该不等式的解集为. 70．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． (1)求函数f（x）的解析式； (2)判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1)函数的解析式为：  ； (2)函数在上单调递增; (3)不等式的解集为：. 【分析】根据函数是定义在上的奇函数的定义与性质，解答函数单调性的定义证明，再利用函数的奇偶性与单调性解抽象函数不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，奇函数的性质，分、、三种情况求解， 当时，已知函数， 当时，因为函数是上的奇函数，所以， 当时，令，则， 由奇函数性质，得： ， 综上，的解析式为：   . （2）任取，且， 有： 因为，指数函数单调递增，所以， 又因为，，故分母， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则原不等式化为： ，即：， 因为函数在上是增函数，且是奇函数， 所以函数在上是增函数， 所以，整理得：， 即，解得： 或 ， 所以，不等式的解集为：. 71．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点中心对称，且当时，（其中），若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）方法一：设函数图象的对称中心为，由代入化简计算求得，即得对称中心；方法二：根据函数定义域的对称性求得，依题判断为奇函数，利用求得，再验证函数奇偶性即得； （2）利用函数的单调性定义证明其单调性即可； （3）将问题转化成函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）易得在上的值域为，进而由函数的单调性和对称性，判断在上单调递增， 从而求得的值域为，依题解不等式即得参数的取值范围. 【详解】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得， 即，也即， 因可取不为的所有实数，故有， 解得，故的图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为， 因为的定义域为，所以， 则由题意可知为奇函数， 设， 由，可得，解得. 则，经检验是奇函数，所以， 所以函数图象的对称中心为. （2）函数在上单调递增. 证明如下：任取且， 则， 因为且，所以且， 所以，即， 故函数在上单调递增. （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 又，则函数的图象恒过点， 因，，则 在上单调递增， 由图象对称性知，在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 由，可得，解得； 故实数的取值范围是. 72．已知结论：设函数的定义域为，，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然.特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数.设定义在上的函数. (1)计算的值，证明的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) ，， ； 根据题设结论，， 故的图象是一个中心对称图形，并且的图象关于对称中心，则的对称中心为； (2) 函数在上是单调递减函数； 证明如下： ， 在上任取两个数，且， ，则，， ，， ，， 在上是单调递减函数； (3). 【分析】（1）由求出，计算，根据题设结论，可得到的图象是一个中心对称图形，并得到中心对称点. （2）在上任取两个数，且，计算与0的大小，根据单调性的定义得解； （3）由第（1）问得到，解得代入所求的，进行计算整理，利用在上是单调递减函数得到的不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由第（1）问可知，则有， 解得， ，， ，， 在上是单调递减函数， ，，， ，， 不等式的解集为. 【题型28 函数实际应用综合】 73．随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：） 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，② (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.设耗电量关于速度的函数为，求的函数解析式，说明该电动汽车能否到达地. （函数在上单调递减，在上单调递增，） (3)已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），确保电动车能从A地到达B地的前提下，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】(1)选择函数模型①，理由为： 与的函数关系，在定义域内单调递增， 由增长速度越来越快可知，选择函数模型①， 由题意有：， 解得 所以. 经检验，题设中的与的其他数据都符合此函数解析式. (2)， 该车不能到达地. (3)小时. 【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型①，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）计算行驶耗电量，判断是否需要充电； （3）表示出总时间，利用基本不等式求所用时间的最小值. 【详解】（1）略 （2）设耗电量为，则， 由题意得在上单调递减，在单调递增. 又因为，所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不能到达地. （3）又设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，若能到达B地， 则初始电量+充电电量=消耗电量≥保障电量， 即， 解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达地的最少用时为小时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中复习高频与压轴28类题型归纳 （考试范围：第1章-第4.2章 ） 【人教版A版】 题型归纳 【单选题】 2 【题型 1集合概念、元素互异性、子集与交并补运算】 2 【题型 2充分、必要条件判断】 3 【题型 3.全称/特称命题否定】 3 【题型 4不等式性质、一元二次不等式求解】 3 【题型 5基础基本不等式求最值】 4 【题型 6函数、复合函数定义域】 4 【题型 7函数解析式、单调性、奇偶性简单判定】 4 【题型 8分段函数求值】 5 【题型 9.二次函数简单区间最值】 6 【题型 10幂函数的大小比较】 6 【多选题】 6 【题型 11不等式性质正误辨析】 6 【题型 12二次函数图像、零点、性质综合判断】 7 【题型 13基本不等式条件、结论辨析】 7 【题型 14函数单调性、奇偶性综合结论判断】 7 【题型 15分段函数单调性、参数范围多结论 8 【题型 16函数奇偶、周期、对称性综合】 8 【题型 17恒成立、能成立命题辨析】 9 【填空题】 9 【题型 18集合子集个数、含参集合范围】 9 【题型 19基本不等式配凑、1·的代换求最值】 9 【题型 20二次函数动轴定区间最值、已知最值求参】 10 【题型 21函数周期、对称性求值】 10 【题型 22恒成立分离参数求范围】 10 【解答题】 10 【题型 23集合综合·+充分必要条件求参数】 10 【题型 24一元二次不等式、含参不等式讨论】 11 【题型 25基本不等式应用题、最值证明】 11 【题型 26二次函数区间最值、恒成立与能成立】 12 【题型 27函数奇偶性、单调性证明·+抽象不等式求解】 13 【题型28 函数实际应用综合】 14 【单选题】 【题型 1集合概念、元素互异性、子集与交并补运算】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【题型 2充分、必要条件判断】 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 4．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【题型 3.全称/特称命题否定】 5．命题：，，则它的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．命题“”的否定形式是（    ） A． B． C． D． 【题型 4不等式性质、一元二次不等式求解】 7．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 9．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【题型 5基础基本不等式求最值】 10．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 12．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【题型 6函数、复合函数定义域】 14．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型 7函数解析式、单调性、奇偶性简单判定】 17．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 19．以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 20．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 21．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【题型 8分段函数求值】 22．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 24．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 26．若函数在上是单调函数，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型 9.二次函数简单区间最值】 27．若命题“”是假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 29．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【题型 10幂函数的大小比较】 30．已知，则（   ） A． B． C． D． 31．若，则（    ） A． B． C． D． 【多选题】 【题型 11不等式性质正误辨析】 32．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 33．（多选）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【题型 12二次函数图像、零点、性质综合判断】 34．（多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（     ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 35．（多选）若函数的图象与x轴的两个交点是，，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程的两根是，1 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【题型 13基本不等式条件、结论辨析】 36．（多选）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型 14函数单调性、奇偶性综合结论判断】 38．（多选）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．为上的减函数 D．在上的最大值为6 39．（多选）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（   ） A． B． C．的最小值为0 D．是R上的增函数 40．（多选）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 【题型 15分段函数单调性、参数范围多结论 41．（多选）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 42．（多选）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 【题型 16函数奇偶、周期、对称性综合】 43．（多选）已知是定义在上的偶函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在区间上单调递增 D． 44．（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，，则（   ） A． B． C．为奇函数 D． 45．（多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数的一个周期为4 【题型 17恒成立、能成立命题辨析】 46．（多选）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（    ） A． B． C． D． 47．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【填空题】 【题型 18集合子集个数、含参集合范围】 48．设集合，，若，则________． 49．已知，，的子集个数为_______ 【题型 19基本不等式配凑、1·的代换求最值】 50．已知，，若，则的最小值是_____． 51．已知，，，则的最小值是________． 【题型 20二次函数动轴定区间最值、已知最值求参】 52．关于x的不等式的解集是，则实数__________. 53．函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 【题型 21函数周期、对称性求值】 54．已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______. 55．已知函数，对任意，总存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______________. 56．定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为______________ 57．定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为__________. 【题型 22恒成立分离参数求范围】 58．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【解答题】 【题型 23集合综合·+充分必要条件求参数】 59．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数y的取值范围. 60．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【题型 24一元二次不等式、含参不等式讨论】 61．已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 62．已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集 (2)若，解这个关于的不等式 (3)，恒成立，求的范围． 【题型 25基本不等式应用题、最值证明】 63．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计， 投资万元经销A商品获得的收益为万元，投资万元经销B商品获得的收益为万元.已知，． (1)若该个体户对A商品投资1万元，对B商品也投资1万元，求获得的收益． (2)如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 64．某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和． (1)求的表达式： (2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值． 【题型 26二次函数区间最值、恒成立与能成立】 65．已知函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求，的值； (2)求关于的不等式（其中）的解集. 66．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 67．已知函数，满足 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型 27函数奇偶性、单调性证明·+抽象不等式求解】 68．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 69．已知是定义在上的奇函数，且. (1)求m，n的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集. 70．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． (1)求函数f（x）的解析式； (2)判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； (3)解关于m的不等式． 71．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点中心对称，且当时，（其中），若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 72．已知结论：设函数的定义域为，，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然.特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数.设定义在上的函数. (1)计算的值，证明的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集. 【题型28 函数实际应用综合】 73．随着全球对环保和可持续发展的日益重视，电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：） 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择： ①，② (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.设耗电量关于速度的函数为，求的函数解析式，说明该电动汽车能否到达地. （函数在上单调递减，在上单调递增，） (3)已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），确保电动车能从A地到达B地的前提下，求该电动汽车从地到达地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $