精品解析：湖北武汉市钢城第四中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

钢城四中2026-2027（上）10月练习（二） 学科：数学　年级：高一　时间：120　分数：150 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 函数的图象与轴的交点个数（ ） A. 至少有1个 B. 至多有1个 C. 有且仅有1个 D. 有1个或2个 【答案】B 【解析】 【详解】根据函数的定义，定义域中的一个值只能对应一个值， 若函数定义域中有，则函数的图象与轴有一个交点， 若函数定义域中没有，则函数的图象与轴没有交点， 因此，函数的图象与轴的交点个数至多有1个． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合并集运算求解，注意区别各集合的元素． 【详解】，则 故选；A． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则 解得， ∴， 又，， ∴即. 故选：B. 6. 对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由因式分解解不等式得到解集，由题意列不等式求出的范围，根据充分条件、必要条件的定义得到答案. 【详解】整理得， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 又∵不等式恒成立， ∴，即，∴. 选项中仅有“”是“” 的充分不必要条件， 故选：B. 7. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 即成立，所以在上是单调递减的， 则，即. 8. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. 4052 B. 4048 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将条件变形为 ，令 ，把抽象函数问题转化为求 . 【详解】令 ，则 . 由 得 . 对正整数 ，由 逐次递推，得 . 所以 ，从而 . 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质得，A对； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若，，则， 故，C对； 对于D选项，若，，由不等式的基本性质得，D对. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据解析式，代入计算，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据函数的单调性，分析判断，可求得a的范围，即可判断B的正误；将关于x的方程有3个不等实数根，转化为与图象有3个不同交点，作出图象，可得m的范围，即可判断C的正误；设，将条件转化为所以与图象有4个不同交点，作出图象，根据韦达定理，可得，的表达式，代入所求，根据t的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则， 所以，故A正确； 选项B：当时，在上单调递增，符合题意， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上a的取值范围是，故B错误； 选项C：若，则，则， 当时，，所以当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 因为关于x的方程有3个不等实数根， 所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示： 由图象可得或，故C错误； 选项D：若时，设， 即有4个不同的实根， 所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示： 因为为方程，即的根，所以， 为方程，即的根，所以， 所以， 根据C中结论及图象可得， 所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况解方程即可. 【详解】因为函数， 当时，由，此时不存在； 当时，由，解得，符合题意. 故答案为：. 13. 若正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将转换成只有分母有未知数的形式，再利用基本不等式中的乘1法求解即可. 【详解】化简得. 当且仅当时取得最小值，结合正实数，满足可得，符合题意. 14. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定的定义域为，可得有两个不等实数根，结合二次函数的零点的分布列出相应的不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 且在定义域上单调递增， 又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根， 即有两个不等实数根， 设两根为，且， 令， 则，即， 解得， 故实数m的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【详解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 16. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：因为 ，且，              则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得，                               所以所求实数的范围是. 17. 为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. （1）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】（1） （2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【解析】 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入，利用二次函数的符号判断不等式的解集；（2）将不等式分解因式，按的取值及两根的大小关系分类求解；（3）分别求在上的最小值和在上的最大值，比较两者即可． 【小问1详解】 当时，，二次项系数小于，判别式 因此对任意均成立，不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得即 当时，，故，解集为． 当时，原不等式化为，解集为． 当时，原不等式等价于 ①若，则，故或，解集为． ②若，则，原不等式等价于，解集为． ③若，则，故或，解集为． 【小问3详解】 因为，函数的图象开口向上，对称轴为，所以 又在上单调递减，所以 题设要求对任意、均有，等价于 解得，且符合． 所以的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，时，求在上的值域； （3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数在上恒成立，可得二次函数开口向上，且，进而求出参数的取值范围； （2）按，两种情况分别求解函数的值域，进而将两段值域取并集即可求解. （3）按，，三种情况分类讨论，分别求解函数在及时的最小值.进而求得，最后再根据的解析式求解的最小值. 【小问1详解】 要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足， 由此可得：，解得. 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 已知，时，. 当时，，由于函数开口向上且关于对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 由此可得：函数在上的值域为. 当时，，由于函数开口向上且关于轴对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 由此可得：函数在上的值域为. 综上可得：函数在上的值域为. 【小问3详解】 已知，，则， 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在上的值域为. 综上可得：当时，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 综上所述可得：， 当时，的最小值为 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 综上可得的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钢城四中2026-2027（上）10月练习（二） 学科：数学　年级：高一　时间：120　分数：150 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 函数的图象与轴的交点个数（ ） A. 至少有1个 B. 至多有1个 C. 有且仅有1个 D. 有1个或2个 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. 4052 B. 4048 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数在上的值域为 11. 已知函数，则以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D. 若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知函数，若，则________. 13. 若正实数，满足，则的最小值为__________． 14. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 16. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 17. 为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. （1）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （2）若，时，求在上的值域； （3）若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $