微专题01 指数与指数函数（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01指数与指数函数 题型一 指数幂的化简与求值 1 题型二 指数函数的判定与求参 6 题型三 指数型函数图象过定点问题 12 题型四 根据指数型函数解析式判断图象形状与位置关系 17 题型五 由指数型函数图象求参数取值范围 26 题型六 指数型函数定义域与值域 33 题型七 由指数型函数值域或最值求参 39 题型八 由指数型函数单调性求参 46 题型一 指数幂的化简与求值 1. 牢记分数指数幂、负指数幂的运算法则，根式与分数指数幂互相转化，统一成指数形式再运算。 2. 已知这类条件求代数式的值，常用平方变形：，整体代入，不单独求a的值。 3. 多个字母条件求值，利用指数运算法则，把目标式子用已知的幂整体表示。 4. 化简注意定义域，偶次根式开方结果为非负数，。 【经典例题】 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州第四中学吴山校区2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】. 2．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 .故选：B 3．计算= 【答案】 【详解】 ； 4．计算：. 【答案】 【来源】湖北省十堰市郧阳中学2024-2025学年高一上学期特长生招生考试数学试题A卷 【详解】 . 5．设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 6．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 7．已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【来源】陕西咸阳市永寿县中学2025-2026学年第一学期期末教学质量检测高一数学试题 【详解】由可得.故选：A. 8．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 所以，整理得，所以. 故选：B. 9．化简：____________ 【答案】 【来源】山西阳泉市2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题 【详解】原式. 10．已知，，化简：__________. 【答案】 【来源】上海市闵行交大实验学校2025-2026学年高一上学期12月学情调研数学试题 【详解】，. 故答案为：. 【巩固练习】 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西桂林市2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题 【详解】因为，故A错误；因为，故B错误； 因为，故C正确；因为，故D错误.故选：C 2．化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市蓟州区杨家楼中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题 【详解】.故选：B. 3．求值：__________. 【答案】 【来源】北京市第二中学2025-2026学年第四学段初三年级航3班学段考试数学试卷（必修1） 【详解】原式 . 4．若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】，则．故选：D． 5．已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【来源】福建省厦门第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由得，因为，所以.故选：B 6．若，则的值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】因为，所以.故选:A. 7．若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【来源】云南昭通一中教研联盟2025-2026学年第一学期高一年级期末考试数学试题（B卷） 【详解】，所以.故选：C. 8．若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 9．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【来源】山东省滨州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】由，得.故选：C 10．已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省宝鸡市陈仓区天王高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】.故选：B. 题型二 指数函数的判定与求参 1. 指数函数判定：严格满足，系数必须为1，指数只能是单独自变量x，底数大于 0 不等于 1。 2. 求参数：对照指数函数定义列方程组，系数等于 1，底数，舍去不符合条件的解。 3. 已知指数函数过点求解析式：设，把点坐标代入，解出底数a，得到函数。 4. 图象平移、对称变换： (1) 平移：左加右减针对x； (2) 关于y轴对称得到；关于原点对称得到； 5. 实际衰减模型（半衰期）：剩余质量 = 初始质量，T为半衰期。 【经典例题】 1．指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】设指数函数，且，因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得，则，所以.故答案为：81. 2．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】因为函数是指数函数，所以且，即且，解得.故选：A. 3．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【来源】上海市控江中学2025-2026学年高一上学期期末质量调研数学试卷 【详解】因为函数 是指数函数，所以有，且，所以的取值范围是.故答案为： 4．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【来源】上海交通大学附属中学2026届高三第二学期考前自测数学试题 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 5．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【来源】重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一期末考试数学试题 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，解得，故.又的图象也过点，则，则得，因，故，所以.故答案为：. 6．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴.故选：A. 7．写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【来源】江苏省南通市海安市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】由题意知，当，时满足条件，当，且时，可得，形如，或且均可.故答案为：（答案不唯一） 8．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以，故选：B. 9．已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 【答案】 【来源】江苏省锡山高级中学锡西分校2025-2026学年高一上学期12月阶段性检测练习数学试卷 【详解】由函数且，令时，，所以， 设指数函数为且，因为点在指数函数图象上，所以， 所以，所以，故答案为：. 10．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设碘-131的衰减率为，则，由半衰期为天，可得，解得，所以，.故选：A. 【巩固练习】 1．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【来源】四川省蓬溪中学校2025-2026学年高一上学期第三次质量检测数学试题 【详解】设指数函数为，且，将代入得，解得，故函数解析式为.故答案为： 2．若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷 【详解】令且，因为，则，即，解得或（舍），所以，则，故答案为：. 3．已知函数的图象过点，则___________． 【答案】 【来源】福建省南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】因为函数的图像过点，所以，解得，所以，所以．故答案为：. 4．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2026年辽宁省普通高中学业水平合格性考试沈阳市数学模拟试卷（一） 【详解】已知函数（，）的图象经过点，，解得， ∴，依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 5．将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市丰台区2025-2026学年高三上学期开学统一练习数学试题 【详解】函数的图象关于原点对称的函数的解析式为，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数，故.故选： 6．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标 【答案】 【来源】上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】因为为指数函数，所以，且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有，所以令，求解得，所以，因此的图像经过定点． 7．函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 【答案】 【详解】方法一：的图象过点，即，解得，故． 其反函数为，所以． 方法二：因为指数函数（且）的反函数为（且）， 的图象过点，故函数的图象过点， 所以，故，所以，所以． 故答案为：. 8．若函数是指数函数，则实数___________． 【答案】/0.5 【来源】浙江省台州市山海协作体2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题 【详解】由题意得，解得或1（舍去）.故答案为：. 9．若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故．故选：A． 10．已知指数函数，则实数的取值范围是________； 【答案】 【详解】由已知且，解得且，所以的范围是. 故答案为： 题型三 指数型函数图象过定点问题 1. 核心原理：，不管底数取合法范围内任何值，0 次幂恒等于 1。 2. 求定点步骤：令指数部分等于 0，解出x，再代入函数求出对应的，得到定点。 3. 定点与基本不等式结合：定点坐标代入直线等式，得到的关系式，用 “1 的代换” 求代数式最值，注意一正二定三相等。 4. 幂函数结合题型：先利用幂函数定义和单调性求出参数，再求指数型函数过的定点。 【经典例题】 1．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【来源】上海市南汇中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立，因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得，该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 2．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，，则时，，函数（，且）的图象恒过定点.所以点P的坐标为. 3．函数且的图象恒过点__________. 【答案】 【来源】辽宁省协作校联考2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题 【详解】因此指数函数恒过定点，所以令，解得，将代入函数，得，即函数图象恒过点. 4．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】【教材解读】第四章 指数函数与对数函数（练）高中数学素养晋级之路 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 5．函数必经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故B错误； 因为无意义，所以函数不经过点，故C错误； 由，所以函数不经过点，故D错误. 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【来源】上海交通大学附属中学2026届高三第二学期考前自测数学试题 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 7．幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市巴川系2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】由题意可知，∴，∴，令，即，，∴函数图象过定点.故选：C. 8．已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【来源】广东省广州市第七十五中学2026-2027学年高三上学期8月阶段性测试数学试卷 【详解】令，即，，所以恒过定点，因为点在函数的图象上，则有，，当且仅当，即时等号成立.则的最小值为. 9．已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【来源】四川成都市盐道街外国语学校2025-2026学年高一上学期期末检测数学试卷 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以.又A点在直线上，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为2. 10．已知直线过函数图象的定点，则最小值为____ 【答案】 【来源】福建省厦门第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷 【详解】函数的定点为，故直线满足（）.将化为，则 .由基本不等式，，当且仅当即时取等号.结合，解得，，此时.所以最小值为故答案为： 【巩固练习】 1．且的图象恒过定点_________． 【答案】 【来源】湖南省长沙外国语学校2025-2026年高一上学期期末考试数学试题 【详解】令，得，则，即且的图象恒过定点.故答案为：. 2．函数（，且）的图象恒过定点_______. 【答案】 【来源】河北冀州中学2025-2026学年高一下学期开学检测数学试题 【详解】因为时，，所以图象恒过定点. 3．（多选）函数必经过的点有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】湖南株洲市第四中学2026届高三普通高中学业水平合格性考试模拟二数学试题 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确；由，所以函数不经过点，故B错误；由，所以函数必经过点，故C正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故D错误. 4．函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州第十四中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为，所以函数的图象过定点.故选：A. 5．设函数，为实数，曲线的图象所过定点的坐标为___________． 【答案】 【来源】河南省部分重点中学2025-2026学年高一上学期12月大联考数学试题（北师大版） 【详解】因为，令，可得，所以的图象所过定点的坐标为. 故答案为： 6．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点____. 【答案】 【来源】天津市第五十五中学2025-2026学年高一上学期第二次质量调查数学试卷 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，解得， 所以且，令，得，所以，所以且的图象过定点.故答案为： 7．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【来源】重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一期末考试数学试题 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，解得，故.又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以.故答案为：. 8．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷 【详解】由指数函数的性质可知，当时，，所以恒过定点，，则函数恒过定点，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.故选：ACD. 9．已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 【答案】8 【来源】天津市第三中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷 【详解】当时，函数，故函数且）的图象恒过定点， ，，，根据均值不等式可得，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.故答案为：. 10．已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【来源】2026届四川省字节精准教育联盟高三二模考试数学试题 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点，又由函数的图象过函数图象的定点，可得，即，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 题型四 根据指数型函数解析式判断图象形状与位置关系 1. 奇偶性优先：判断函数奇偶性，奇函数图象关于原点对称，偶函数关于轴对称，排除部分选项。 2. 特殊点代入：代入等特殊值，算出函数值，排除不符合坐标的图像。 3. 单调性分析：看内层、外层复合函数单调性，同增异减，判断递增还是递减，排除错误选项。 4. 极限趋势：分析时函数趋向，看函数趋近哪个值。 5. 多个函数同图对比： (1) 分清底数时指数函数递增；时指数函数递减； (2) 底数越大，时，图象越高；时，底数越小图象越低； (3) 指数函数与一次函数、二次函数同图：一个图象得到底数范围，再验证另一个函数是否匹配该范围。 【经典例题】 1．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【来源】贵州省遵义市第二十一中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性考试数学试题 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 2．函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省常德市石门县第一中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性检测数学试题 【详解】由题意知，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，排除A，，排除B，，排除C，故D正确.故选：D 3．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】设，的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又，当时，，，，，即，排除C，在上单调递减，排除B． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省广州市番禺区2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误，当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确.故选：D. 5．函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 6．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，因为，由可得且，故函数的定义域为，排除AC，当时，，排除D. 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【来源】上海海事大学附属北蔡高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 8．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省阜宁中学2025-2026学年高一上学期第二次学情调研数学试卷 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递增，故A符合题意；对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递减，故B符合题意；对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，，当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意；对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，，而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意.故选：D 9．已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题 【详解】对A，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方，则，则，则单调递减，与图象不符合，故A错误；对B，由图知，因为在直线右侧图象在图象下方，则，则，则单调递增，与图象不符合，故B错误；对C，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方，则，则，则单调递增，与图象符合，故C正确；对D，同C分析得单调递增，与图象不符合，故D错误.故选：C. 10．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【来源】河北省承德市2025-2026学年高一上学期12月期中联考数学试题 【详解】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意．故选：B． 【巩固练习】 1．（多选）下列图象中，不可能表示指数函数的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】ABD 【来源】广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】指数函数的一般形式为且，其具有以下性质：定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.图象恒过点.观察图像可知，只有C可能是指数函数图象.故选：ABD. 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省江南十校2025-2026学年高一上学期12月分科诊断联考数学试题（A） 【详解】当时，为减函数，排除C、D，当时，为增函数，排除B. 故选：A 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省名校考试联盟2025-2026学年高一上学期12月选科指导调研考试数学试题 【详解】由，可得，排除C，则，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D；当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省南充市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】对于，由，可得，解得，所以函数的定义域为，因为，故函数为奇函数，排除AB选项，当时，，，则，此时，排除C选项，故选：D. 5．函数的图像大致为（   ）. A．  B．   C．   D．   【答案】B 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期期末练习数学试题 【详解】因为，所以，又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号.故选：B. 6．函数且的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【来源】河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期第三次月考（12月）数学试题 【详解】当时，在上单调递减，，，故A正确C错误；当时，在上单调递增，，，故B，D均错误.故选：A 7．，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【来源】上海市育才中学2025-2026学年高一上学期12月质量调研考试数学试卷 【详解】已知指数函数，，函数为减函数，函数图象恒过，且，，因此函数经过第一，第二象限，则函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到，又，则函数经过第二，第三，第四象限.故选：A 8．已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【来源】云南省红河哈尼族彝族自治州个旧市星河高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】对于A，B，由图象结合指数函数性质得，且对于，当时，， 则，故A正确，B错误，对于C，由指数函数性质结合图象得，则，与图象不符，故C错误，对于D，由指数函数性质结合图象得，对于，当时，，则，与图象不符，故D错误.故选：A 9．指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．  B．  C．   D．   【答案】A 【来源】广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快，因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）.故选：A 10．如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 题型五 由指数型函数图象求参数取值范围 1. 型图象不经过某些象限： 2. 函数递增，图像不过第二象限：保证处函数值； 3. 图像过二、三、四象限：函数必须递减，同时时函数值小于 4. 复合指数型函数，结合单调性、截距、特殊位置建立不等式，解出参数范围。 【经典例题】 1．函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为在定义域R上单调递增，又的图像不经过第二象限，所以当时，解得，所以实数的取值范围为.故答案为： 2．（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，，故选：AC. 3．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以，， 因为，所以，所以. 4．（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误；当时，，得，故D正确，C错误.故选：BD 5．已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到，由图可知，解得． 故选：D. 6．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误；对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误；对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误；对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上，因此可知函数的图象不经过第四象限.故选：D 7．已知函数的图象如图所示，则（    ）   A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即．故选：A． 8．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确；因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确.故选：CD. 9．已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：函数,因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 10．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图得，，所以.因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示，由图可知：，则.故选：A. 【巩固练习】 1．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数，当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数，所以，大于，，大于且小于，由图知： ，即， ，即， 所以.故选：B 2．函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：，故答案为： 3．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由指数函数的单调性可得函数为递减函数，因为图象不经过第一象限， 所以当时，，解得，故选：A. 4．（多选）若函数（且)的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由函数的图象可以看作由指数函数的图象向上（时）平移个单位或向下（时）,平移个单位得到，要使函数的图像不经过第二象限，根据指数函数的图象的性质可得， 又因为指数函数的图象恒经过点，所以必须将指数函数的图象向下平移至少1个单位，所以,故AC正确，BD错误，.故选：AC 5．若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即.综上分析，可得.故选：C. 6．“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得，而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件．故选：B 7．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，，因时，函数为减函数，故得.故选：D. 8．（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误；对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确；对于C，，由是增函数，则，故C错误；对于D，由，，则函数是增函数，当时，，故D正确.故选：BD. 9．已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C 10．指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象是下降的，所以；又因为函数的图象是上升的，所以.故选：C. 题型六 指数型函数定义域与值域 1. 定义域： (1) 指数部分本身定义域为； (2) 如果有分式、根式，按照分式分母不为 0，根号内大于等于 0 求定义域。 2. 值域求法 (1) 换元法：令，先求内层的值域，再结合单调性求最终值域。 (2) 随t增大而增大；随t增大而减小。 (3) 注意恒成立，指数函数结果永远大于 0。 【经典例题】 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数函数的定义域为.故选：D. 2．函数 的定义域是___________ . 【答案】 【详解】要使函数有意义，须使.所以.因为函数是减函数，所以，所以.所以函数 的定义域是.故答案为：. 3．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故，故的定义域为， 令，则，故的定义域为.故选：D. 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 5．函数的值域是______________． 【答案】 【来源】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为，，即函数的值域是. 6．函数的值域为___________. 【答案】 【来源】福建省南安第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段测试数学试题 【详解】函数的定义域为，令，则，则， 所以函数的值域为.故答案为：. 7．函数的值域为______． 【答案】 【来源】广东省江门市2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 【详解】因为，，当时取最小值0．所以值域为. 故答案为：. 8．设，则的最小值为_____． 【答案】 【来源】2026年全国中学生数学奥林匹克北京赛区初赛一试试题 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为. 9．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南邵阳市武冈市2025-2026学年下学期学考模拟卷高二数学 【详解】当时，，，因为在上是单调递增函数，所以，即；当时，，，因为在上是单调递减函数，所以，即；综上可知，的值域为.故选项C正确. 10．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 【答案】 【来源】江苏盐城市响水县清源高级中学2025-2026学年高一下学期开学检测数学试题 【详解】因为，所以，所以；因为，所以，则，所以，则，则，所以的值域为.故答案为：； 【巩固练习】 1．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省九校联盟2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】根据题意，函数，则函数，即，所以.故选：C 2．函数的定义域为______． 【答案】 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】函数的定义域满足：，解得且.故答案为： 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为指数函数，所以． 4．已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【来源】湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题 【详解】由函数有意义，需使，解得：，因为在R上单调递增，由可得，所以，所以，所以，所以函数的值域为. 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽省安庆市桐城中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此，所以函数的值域是. 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因在上单调递增，则时，， 又在上单调递增，则时，， 则的值域为，故A正确． 7．函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 8．若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市2026届高三下学期5月联合诊断检测数学试题 【详解】函数的定义域为，由是奇函数即， 所以，解得，则， 因为且，所以，，则，即，可得，所以函数的值域为． 9．定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西咸阳市兴平市南郊高级中学2025-2026学年第二学期第七次质量检测高三数学试题 【详解】当时，，则，因函数为奇函数，则当时，则， 所以，又因，所以，即，综上可得的值域为，故D正确.故选：D. 10．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______． 【答案】 【来源】辽宁省鞍山市鞍山市部分高中高2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题 【详解】因为，令，则的值域等价于的值域， 配方得，所以.又，所以， 所以，即，因为，即，所以取遍该区间的所有值时，的整数取值为，所以函数的值域为. 故答案为：. 题型七 由指数型函数值域或最值求参 1. 换元，先写出的取值范围，结合单调性，根据题目给出的值域或最值，列出关于参数的不等式或方程。 2. 注意分类讨论底数：和两种情况单调性不一样，分开列式求解。 3. 看清自变量的给定区间，区分定义域是全体实数还是限定闭区间。 【经典例题】 1．已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【来源】海南省澄迈县华东师范大学澄迈实验中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为，所以，即，又，解得，此时函数，所以，当时，在区间上的最大值为，最小值为，所以，方程无解.综上，.故选：B 2．已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定，因为，所以的最小值为（当时取得），因此函数的最小值为，又已知的最小值为1，所以，解得．故选：A. 3．已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令，因为单调递减，又因为函数的最大值为2027，则的最小值为，所以，且当时有， 即得，解得或，所以. 4．已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 【答案】或 【详解】，若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数，当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减，可得为增函数，当时，，解得：，符合题意，综上所述：的值为或.故答案为：或 5．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题 【详解】因为，所以，则，因为函数的值域为，所以，此时，因为，所以，解得，则，故C正确.故选：C 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【来源】福建省漳州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】当时，的值域为，当时，的值域为， 若使函数的值域为，则,画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图： 显然当和时，，当时，满足题意； 因此不等式的解集为.故答案为： 7．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南开封市河南大学附属中学2026届高三下学期模拟预测（一）数学试题 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 8．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【来源】云南保山第一中学等校2025-2026学年高一下学期3月开学联考数学试卷 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含，所以解得． 故实数a的取值范围是． 9．已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省西安中学2026届高三下学期考前模拟考试数学试题 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2，所以，解得. 10．若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【来源】贵州省黔南州2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】令，则得的最小值为. 当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； 当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； ②当，即时， .令，解得，不满足题意. 综上所述，的取值范围为.故答案为：. 11．（多选）若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AB 【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，故有，解得或（舍去）.当时，在上的最大值为，最小值为，故有，解得或（舍去）.综上，或.故选：AB 12．已知函数的最大值为2，则______． 【答案】/ 【来源】第6天 指数运算与指数函数（重点生）【练】（考前百日冲刺）确保120分 【详解】设，则．因为为减函数，又有最大值为2，所以有最小值．二次函数有最小值所以开口向上，因此，二次函数的最小值，所以，解得．故答案为：. 13．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数，当时，，，则；当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，当时，，，则， 所以实数的值是或. 14．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为，且函数在内是严格增函数，则______. 【答案】/0.25 【详解】当时，函数在区间上单调递增，则有，解得， 此时，则，所以函数在内是严格减函数，不满足题意； 当时，函数在区间上单调递减，则有，解得， 此时，则，函数在内是严格增函数，满足题意； 综上，.故答案为：. 15．若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【详解】令，函数的值域为，的值域为， 的值域为，，故实数的取值范围为：，故答案为：． 16．设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期5月质量调研数学试题 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增，因此此时函数最大值为，当时，函数为，若，则函数在上单调递增，此时函数不存在最大值，当时，函数在上单调递减，则此时，取不到最大值，此时若该函数有最大值，应有，解得. 17．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省易县中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，即，且，解得，则．故选：D 18．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是.故选：A 19．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下，得在上单调递增，在上单调递减，又指数函数在上单调递增，所以在里必须存在，解得．故选：ABD． 20．若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省锡山高级中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题 【详解】当时，函数在和上都递增，且当时，，则函数不存在最小值；当时，，则在上递增，又，且时，，而，所以函数的最小值为；当时，在上递减，要使函数存在最小值，则需在上递增，当时，，所以，解得，此时，，综上所述，． 题型八 由指数型函数单调性求参 复合函数口诀：同增异减，外层，内层 ，外层递增；整体单调性和内层完全相同； ，外层递减；整体单调性和内层相反。 【经典例题】 1．指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北省肃宁县忠德学校高中部2025-2026学年高一第一学期期末数学质量检测试题 【详解】由于指数函数是上的减函数，故有，求得，则实数的取值范围为.故选：C． 2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南衡阳市2026届高三下学期第二次联考数学试题 【详解】因为函数在上为增函数，且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递减，令，又因为单调递减，则在上单调递增，则，所以实数的取值范围是. 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为上的增函数，所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意；当时，在上单调递减，则，解得.综上，. 5．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州遵义市第五中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题 【详解】由题意可知可看作由和复合而成；当时，函数单调递增，要使在上单调递增，则需在上单调递增，因此需满足，解得，结合得；当时，函数单调递减，要使在上单调递增，则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在；综合可知的取值范围为. 6．已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意 ，需有 ，由于 ，函数 在上单调递减， 因此，即 ； （2）令 ，则 ，由于 且 ，分两种情况： 若 ，则外层函数 递增，而内层函数 递减，故复合函数 递减，不符合题意， 若 ，则外层函数 递减，内层函数 递减，故复合函数 递增，符合题意， 故； 综上， 的取值范围是 .故答案为： 7．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期数学期末试卷 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件：当时，指数函数单调递增，因此；当时，一次函数单调递增，因此斜率，解得；在分段点处，左端函数值不大于右端函数值，即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州毕节市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】因为函数在上单调递减，则在上单调递减，故，解得；在上单调递减，则在上单调递增，故；，解得：恒成立， 综上，的取值范围为． 9．已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对任意的都有成立，故在上单调递减，则，解得，即实数的取值范围为. 10．已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省常州市正行中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为对任意，，且，都有，所以在上单调递增，则有，解得，即. 【巩固练习】 1．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆第三十中学校2025-2026学年度高一年级第一学期第二次月考数学试题 【详解】令，因为函数在定义域上单调递增，则在区间上单调递增，函数的图象开口向上，对称轴为，所以，则实数a的取值范围是. 故选：A. 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减；当时，，在上单调递减，符合条件；当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得；当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件；综上可得.故选 ：B． 3．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减，因此 的单调性与 的单调性相反，要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增.二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧，即：.故选： A 4．设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【来源】湖北竹溪县第一高级中学等学校2025-2026学年4月高一年级数学训练卷 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是. 5．（多选）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】山西长治某校2025-2026学年高一上学期第一学期期末质量评估（补考）数学试题 【详解】由题意可知，，所以， 所以，对比选项可知ABD满足题意，C不符合题意. 6．已知函数，其中且．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学试题 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得． 7．函数是上的单调函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南保山市第八中学等校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】由题意可知是上的单调函数，而指数函数是增函数，则，解得． 8．若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河北省保定市六校联考2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题 【详解】因为对任意的实数都有 ，所以函数 在 上是单调递增函数. 则根据分段函数单调性的判断方法，得，解得.实数a的取值范围.故选：D 9．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南濮阳市油田实验教育集团2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题 【详解】因为对任意实数，都有成立，所以在上为增函数， 所以，解得，所以的取值范围为，故选：C 10．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【来源】江苏省常州高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为对于任意，当时，都有，即， 所以函数在上严格递增，即在上严格递增， 所以，解得，即的取值范围为.故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01指数与指数函数 题型一 指数幂的化简与求值 1 题型二 指数函数的判定与求参 6 题型三 指数型函数图象过定点问题 12 题型四 根据指数型函数解析式判断图象形状与位置关系 17 题型五 由指数型函数图象求参数取值范围 26 题型六 指数型函数定义域与值域 33 题型七 由指数型函数值域或最值求参 39 题型八 由指数型函数单调性求参 46 题型一 指数幂的化简与求值 1. 牢记分数指数幂、负指数幂的运算法则，根式与分数指数幂互相转化，统一成指数形式再运算。 2. 已知这类条件求代数式的值，常用平方变形：，整体代入，不单独求a的值。 3. 多个字母条件求值，利用指数运算法则，把目标式子用已知的幂整体表示。 4. 化简注意定义域，偶次根式开方结果为非负数，。 【经典例题】 1．（    ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D．1 .故选：B 3．计算= 4．计算：. 5．设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 7．已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 8．已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．化简：____________ 10．已知，，化简：__________. 【巩固练习】 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．化简为（   ）. A． B． C． D． 3．求值：__________. 4．若，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 6．若，则的值为（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 7．若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 8．若，则___________．（用m，n表示） 9．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 10．已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 题型二 指数函数的判定与求参 1. 指数函数判定：严格满足，系数必须为1，指数只能是单独自变量x，底数大于 0 不等于 1。 2. 求参数：对照指数函数定义列方程组，系数等于 1，底数，舍去不符合条件的解。 3. 已知指数函数过点求解析式：设，把点坐标代入，解出底数a，得到函数。 4. 图象平移、对称变换： (1) 平移：左加右减针对x； (2) 关于y轴对称得到；关于原点对称得到； 5. 实际衰减模型（半衰期）：剩余质量 = 初始质量，T为半衰期。 【经典例题】 1．指数函数的图象经过点___________. 2．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 3．若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 4．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 5．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 6．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 7．写出一个满足的函数解析式__________. 8．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 9．已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 10．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 2．若指数函数满足，则_____． 3．已知函数的图象过点，则___________． 4．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标 7．函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 8．若函数是指数函数，则实数___________． 9．若函数（且）图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（  ） A． B． C． D． 10．已知指数函数，则实数的取值范围是________ 题型三 指数型函数图象过定点问题 1. 核心原理：，不管底数取合法范围内任何值，0 次幂恒等于 1。 2. 求定点步骤：令指数部分等于 0，解出x，再代入函数求出对应的，得到定点。 3. 定点与基本不等式结合：定点坐标代入直线等式，得到的关系式，用 “1 的代换” 求代数式最值，注意一正二定三相等。 4. 幂函数结合题型：先利用幂函数定义和单调性求出参数，再求指数型函数过的定点。 【经典例题】 1．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 2．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 3．函数且的图象恒过点__________. 4．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 5．函数必经过（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 7．幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 8．已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 9．已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 10．已知直线过函数图象的定点，则最小值为____ 【巩固练习】 1．且的图象恒过定点_________． 2．函数（，且）的图象恒过定点_______. 3．（多选）函数必经过的点有（     ） A． B． C． D． 4．函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 5．设函数，为实数，曲线的图象所过定点的坐标为___________． 6．幂函数在上单调递增，则且的图象过定点____. 7．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 8．（多选）已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知函数且）的图象恒过定点，且满足，则的最小值_________. 10．已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型四 根据指数型函数解析式判断图象形状与位置关系 1. 奇偶性优先：判断函数奇偶性，奇函数图象关于原点对称，偶函数关于轴对称，排除部分选项。 2. 特殊点代入：代入等特殊值，算出函数值，排除不符合坐标的图像。 3. 单调性分析：看内层、外层复合函数单调性，同增异减，判断递增还是递减，排除错误选项。 4. 极限趋势：分析时函数趋向，看函数趋近哪个值。 5. 多个函数同图对比： (1) 分清底数时指数函数递增；时指数函数递减； (2) 底数越大，时，图象越高；时，底数越小图象越低； (3) 指数函数与一次函数、二次函数同图：一个图象得到底数范围，再验证另一个函数是否匹配该范围。 【经典例题】 1．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．  D．   2．函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 6．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A．B．C． D． 8．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B．C． D． 【巩固练习】 1．（多选）下列图象中，不可能表示指数函数的是（   ） A．  B．  C．  D．   2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图像大致为（   ）. A．  B．   C．   D．   6．函数且的图象可能是（   ） A．B． C． D． 7．，，则图象不经过第（  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 8．已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（   ） A．B．C． D． 9．指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．  B．  C．   D．   10．如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 题型五 由指数型函数图象求参数取值范围 1. 型图象不经过某些象限： 2. 函数递增，图像不过第二象限：保证处函数值； 3. 图像过二、三、四象限：函数必须递减，同时时函数值小于 4. 复合指数型函数，结合单调性、截距、特殊位置建立不等式，解出参数范围。 【经典例题】 1．函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 2．（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 5．已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 7．已知函数的图象如图所示，则（    ）   A．， B．， C．， D．， 8．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 10．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）   A． B． C． D． 2．函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 3．若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若函数（且)的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 5．若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 6．“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 9．已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   10．指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型六 指数型函数定义域与值域 1. 定义域： (1) 指数部分本身定义域为； (2) 如果有分式、根式，按照分式分母不为 0，根号内大于等于 0 求定义域。 2. 值域求法 (1) 换元法：令，先求内层的值域，再结合单调性求最终值域。 (2) 随t增大而增大；随t增大而减小。 (3) 注意恒成立，指数函数结果永远大于 0。 【经典例题】 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．函数 的定义域是___________ . 3．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域是______________． 6．函数的值域为___________. 7．函数的值域为______． 8．设，则的最小值为_____． 9．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．记表示不超过的最大整数，如.已知函数，则__________，函数的值域为__________. 【巩固练习】 1．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为______． 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的值域为____________． 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的值域为______. 8．若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 9．定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（   ） A． B． C． D． 10．对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，例如，．若函数，则函数的值域为______． 题型七 由指数型函数值域或最值求参 1. 换元，先写出的取值范围，结合单调性，根据题目给出的值域或最值，列出关于参数的不等式或方程。 2. 注意分类讨论底数：和两种情况单调性不一样，分开列式求解。 3. 看清自变量的给定区间，区分定义域是全体实数还是限定闭区间。 【经典例题】 1．已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 2．已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 3．已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 4．已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 5．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 7．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 9．已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 11．（多选）若函数（，且）在上的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 12．已知函数的最大值为2，则______． 13．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 14．若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为，且函数在内是严格增函数，则______. 15．若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 16．设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 17．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 20．若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八 由指数型函数单调性求参 复合函数口诀：同增异减，外层，内层 ，外层递增；整体单调性和内层完全相同； ，外层递减；整体单调性和内层相反。 【经典例题】 1．指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 7．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 5．（多选）函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，其中且．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数是上的单调函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若且，函数满足对任意的实数都有成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $