专题03 指数、对数函数的图象与性质的归纳及应用 （专项训练11大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以指数、对数函数图象与性质为核心，通过11类题型构建“概念-性质-综合应用”三阶训练体系，提炼换元法、定义法等解题通法，强化知识内在逻辑与核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数图像与性质|4题型|定义法求参数、换元求值域、复合函数单调性分析|从定义到性质应用，层层递进| |对数函数图像与性质|4题型|定义法求参数、定义域值域分析、复合函数单调性|与指数函数平行结构，凸显对称性| |指数对数内在关系|1题型|指数对数互化、反函数求解|建立指数与对数函数的反函数联系| |综合运算应用|2题型|换元法处理综合问题、恒成立存在性问题转化|整合前序知识，提升综合解题能力|

专题03指数、对数函数的图象与性质的归纳及应用 常考题型·精准突破 考点一 指数函数图像与性质 题型1 指数函数定义求参数、过定点（高频） 题型2 指数（型）函数定义域与值域、换元求值域（重） 题型3 指数复合函数单调性与指数不等式（高频） 题型4指数型函数奇偶性与抽象不等式（难） 考点二 对数函数图像与性质 题型5 对数函数定义求参数、过定点（高频） 题型6对数（型）函数定义域与值域（重） 题型7 对数复合函数单调性与对数不等式（高频） 题型8对数型函数奇偶性与抽象不等式（难） 考点三 指数、对数函数的内在关系 题型9指数对数互化与反函数（重） 考点四 指数、对数综合运算应用 题型10换元法处理指数、对数综合问题（高频） 题型11恒成立、存在性综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数函数图像与性质 ◆题型1指数函数定义求参数、过定点 1.（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·第04讲指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）-1）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 3.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 4.（25-26高一下·上海杨浦·期中）指数函数与的图像关于轴对称，则__________． ◆题型2 指数（型）函数定义域与值域、换元求值域 5.（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8.（多选）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． ◆题型3 指数复合函数单调性与指数不等式 9.（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 10.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. 12.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. ◆题型4 指数型函数奇偶性与抽象不等式 13.（25-26高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 14.（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 15.（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 考点二 对数函数图像与性质 ◆题型5 对数函数定义求参数、过定点 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 18.（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 19.（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 20.（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． ◆题型6 对数（型）函数定义域与值域 21.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 22.（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．（2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． ◆题型7 对数复合函数单调性与对数不等式 25.（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 26．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 27.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29.（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． ◆题型8对数型函数奇偶性与抽象不等式 30.（多选）（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．存在极值 C．的值域是 D．存在实数，且，使得在上的值域为 31.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 32.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 考点三 指数、对数函数的内在关系 ◆题型9 指数对数互化与反函数 33.（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 34.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 35.（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 36.（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）若函数与且互为反函数，且的图象过点，则__________． 37.（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)求； (2)设，求的最小值； (3)已知正实数满足，，求的值． 考点四 指数、对数综合运算应用 ◆题型10 换元法处理指数、对数综合问题 38.（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 40.（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的最大值为_______． 41.（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． ◆题型11 恒成立、存在性综合问题 42.（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 44.（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的值为___________． 45．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 46．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·北京·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7.（25-26高一上·江西吉安·期末）设是定义在上的偶函数，当时，，若对任意的，均有，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8.（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 9.（多选）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数（且），则下列正确的是（    ）． A．的定义域为 B．当时，在上的值域为 C．的图象关于点对称 D．若有两个零点，则的取值范围为 10.（多选）（25-26高一上·辽宁·期末）设，，则（   ） A． B． C． D．当时， 11.（多选）（25-26高一上·河北承德·期末）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 2、 填空题 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 13.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 14.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 15.（25-26高一上·河南·期末）已知函数，，若对任意的，总存在（），使得成立，则实数的取值范围是______. 16.（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的值为___________． 三、解答题 17.（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 18．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知函数． (1)设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． (2)已知，且函数的最小值为4，求的值． 19．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数. (1)求a的值； (2)求函数的最小值； (3)设函数，若对任意，恒成立，求b的取值范围. 20.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 21．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 22.（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知函数. (1)若函数的图像经过点，求不等式的解集； (2)设，若，证明：； (3)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03指数、对数函数的图象与性质的归纳及应用 常考题型·精准突破 考点一 指数函数图象与性质 ◆题型1指数函数定义求参数、过定点 1.【答案】D 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 2．【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 3.【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 4.【答案】 【详解】关于轴对称后，函数变成， 所以. ◆题型2 指数（型）函数定义域与值域、换元求值域 5.【答案】D 【详解】由函数有意义，则满足，解得，即， 又由指数函数的性质，可得，即， 根据集合交集的定义与运算，可得. 6.【答案】A 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 7.【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 8.【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD ◆题型3 指数复合函数单调性与指数不等式 9.【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 10.【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 11.【答案】(1)定义域为，值域为；(2)递增区间是，递减区间是. 【详解】（1）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为； ，当且仅当时取等号，即， 因此，， 所以的值域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 12.【答案】 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. ◆题型4 指数型函数奇偶性与抽象不等式 13.【答案】B 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 14.【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 15.【答案】A 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 16．【答案】(1)； (2) 由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. (3). 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. （2）略 （3）不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 考点二 对数函数图象与性质 ◆题型5 对数函数定义求参数、过定点 17.【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 18.【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 19.【答案】7 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 20.【答案】A 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 ◆题型6 对数（型）函数定义域与值域 21.【答案】B 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 22.【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 23.【答案】A 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 24．【答案】 【详解】令 ． 当 时，． 当 时， 可以取遍 ，所以符合题意． 当 时，函数 的图象开口向上． 要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ． 因为且 ，所以 ，解得 当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 ◆题型7 对数复合函数单调性与对数不等式 25.【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 26．【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 27.【答案】C 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 28.【答案】C 【详解】设，其中， 要使得当时，不等式恒成立， 只需在上的图象位于的图象的下方， 如图所示，画出函数和的图象， 当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去； 当时，只需，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 29.【答案】 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. ◆题型8对数型函数奇偶性与抽象不等式 30.【答案】ACD 【详解】对于A：由， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B：由， 因为函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减， 则在R上单调递增，无极值，故B错误； 对于C：由B知在R上单调递增，由， 而，则，即，则，即， 故的值域是，故C正确； 对于D：由C知，函数在R上单调递增，若在上的值域为 则，所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在R上有两个交点，结合为奇函数，在上单调递增， 且的值域是，且， 可作出函数与的大致图象如图：由图可知与在R上有两个交点， 因此存在实数且，使在上的值域为，故D正确. 31.【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 32.【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 考点三 指数、对数函数的内在关系 ◆题型9 指数对数互化与反函数 33.【答案】C 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 34.【答案】D 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 35.【答案】BC 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 36.【答案】 【详解】由的图象过点，代入可得，解得，所以， 因为与互为反函数， 由指数函数的反函数为对数函数，可得， 所以. 故答案为： 37. 【详解】（1）由题意得函数与的图象关于直线对称， 则与互为反函数，所以． （2）由题意得， 因为，所以设，则， 得到， 则的最小值为． （3）由，有， 则，解得； 由，有， 得到，即，故， 从而，设，， 设，则，， 则，因此， 故在上为增函数， 由，有，所以，， 因此 考点四 指数、对数综合运算应用 ◆题型10 换元法处理指数、对数综合问题 38.【答案】B 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 39.【答案】B 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 40.【答案】10 【详解】令，， 即当时，的最大值. 故答案为：10. 41.【详解】（1）解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 （2）解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. ◆题型11 恒成立、存在性综合问题 42.【答案】C 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 43．【答案】 【详解】因为函数，， 所以对任意时，恒成立， 即任意时，恒成立， 令，， 又在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为： 44.【答案】13 【详解】因为在上单调递增，所以 ，因为. 所以在上的取值范围为. 因为对任意的，都存在，使得成立，即. 由于，则的取值范围需完全包含于的取值范围. 同时，任意对应的必须能取到中的值，因此： 设在上的值域为，根据题意，对任意，存在使得成立， 这等价于集合是集合的子集，因为， 所以，由此可得，解得. 故答案为：13. 45．【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 46．【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．B 2.B 3.A 4．C 5.D 6.C 7.B 8.AC 9.ACD 10.BCD 11.ABD 2、 填空题 12． 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 13. 【详解】①当时，作出函数的图象如图（1）． 若直线与函数的图象有两个交点， 则由图象可知，所以． ②当时，作出函数的图象如图（2）， 若直线与函数的图象有两个交点， 则由图象可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 14. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 15. 【详解】当时，，可知在上的值域为． 因为在上是增函数， 且，， 可知在上的值域为． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，可得解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 16. 13 【详解】因为在上单调递增，所以 ，因为. 所以在上的取值范围为. 因为对任意的，都存在，使得成立，即. 由于，则的取值范围需完全包含于的取值范围. 同时，任意对应的必须能取到中的值，因此： 设在上的值域为，根据题意，对任意，存在使得成立， 这等价于集合是集合的子集，因为， 所以，由此可得，解得. 故答案为：13. 三、解答题 17.【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 18．【详解】（1）（i）由，可得， 所以 （ii）由题意可知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，. 因为当时，恒成立， 所以函数有一个零点为1， 即，即 令， 因为，所以的一个零点， 且当时，，当时，， 所以，且， 所以，即的最小值为． （2）当时，，有， 当时，令，则， 其对称轴为，在上单调递减， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，由函数的连续性，可知在上单调递增， 当时，， 因此， 令，解得，符合要求，所以. 19．【详解】（1）. 因为是偶函数，所以，即 可得. （2），当且仅当时，等号成立，所以. 令，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为0， 故的最小值为0. （3）令 则 令 原问题转化为对任意，恒成立. 因为在上单调递减，， 所以，解得. 故b的取值范围为. 20.【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 21．【详解】（1）当时，， 则，解得： 则得定义域为. 由，可得，可得， 解得，因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 22.【详解】（1）解：由函数的图象过点，可得，解得， 所以，且函数在为单调递增函数， 则不等式，即为，解得， 所以不等式的解集为. （2）解：由，可得， 画出函数的图象，如图所示， 要使得，可得， 由，可得，则， 即，可得， 所以，且， 由， 因为，所以等号不成立，所以，可得. （3）解：由方程，可得， 由对数的运算法则，可得， 所以，且满足，因为，所以， 由，可得， 令，可得，则， 又由函数在上单调递增，所以， 所以，因为且，所以，所以实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03指数、对数函数的图象与性质的归纳及应用 常考题型·精准突破 考点一 指数函数图像与性质 题型1 指数函数定义求参数、过定点（高频） 题型2 指数（型）函数定义域与值域、换元求值域（重） 题型3 指数复合函数单调性与指数不等式（高频） 题型4指数型函数奇偶性与抽象不等式（难） 考点二 对数函数图像与性质 题型5 对数函数定义求参数、过定点（高频） 题型6对数（型）函数定义域与值域（重） 题型7 对数复合函数单调性与对数不等式（高频） 题型8对数型函数奇偶性与抽象不等式（难） 考点三 指数、对数函数的内在关系 题型9指数对数互化与反函数（重） 考点四 指数、对数综合运算应用 题型10换元法处理指数、对数综合问题（高频） 题型11恒成立、存在性综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数函数图像与性质 ◆题型1指数函数定义求参数、过定点 1.（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 2．（25-26·第04讲指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）-1）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 3.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 4.（25-26高一下·上海杨浦·期中）指数函数与的图像关于轴对称，则__________． 【答案】 【详解】关于轴对称后，函数变成， 所以. ◆题型2 指数（型）函数定义域与值域、换元求值域 5.（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知集合，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得集合和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得，即， 又由指数函数的性质，可得，即， 根据集合交集的定义与运算，可得. 6.（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 7.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 8.（多选）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定函数，利用指数函数的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD ◆题型3 指数复合函数单调性与指数不等式 9.（2026·北京·三模）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 10.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 11.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数 (1)求的定义域和值域； (2)求的单调区间. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)递增区间是，递减区间是. 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式求出定义域，结合二次函数、指数函数求出值域. （2）利用二次函数、指数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间. 【详解】（1）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为； ，当且仅当时取等号，即， 因此，， 所以的值域为. （2）函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在R上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 12.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，则，，然后根据得出，最后根据题意得出存在，使得成立，进而结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. ◆题型4 指数型函数奇偶性与抽象不等式 13.（25-26高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 14.（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 15.（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 16．（25-26高一上·重庆·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出. （2）利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）由给定不等式分离参数，再利用指数函数性质求出最小值即可求出范围. 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. （2）略 （3）不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 考点二 对数函数图像与性质 ◆题型5 对数函数定义求参数、过定点 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 18.（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 19.（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 20.（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 ◆题型6 对数（型）函数定义域与值域 21.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 22.（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 23.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 24．（2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】对数函数 的定义域为 ，值域为 ，所以只需使 的正值部分取遍 ．分 ，， 三种情况讨论． 【详解】令 ． 当 时，． 当 时， 可以取遍 ，所以符合题意． 当 时，函数 的图象开口向上． 要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ． 因为且 ，所以 ，解得 当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 ◆题型7 对数复合函数单调性与对数不等式 25.（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 26．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 27.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 28.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为在上的图象位于的图象的下方，画出和的图象，结合对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设，其中， 要使得当时，不等式恒成立， 只需在上的图象位于的图象的下方， 如图所示，画出函数和的图象， 当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去； 当时，只需，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 29.（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. ◆题型8对数型函数奇偶性与抽象不等式 30.（多选）（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．存在极值 C．的值域是 D．存在实数，且，使得在上的值域为 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，由单调性定义判断B，结合单调性判断C，结合单调性与奇偶性的性质判断D. 【详解】对于A：由， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B：由， 因为函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减， 则在R上单调递增，无极值，故B错误； 对于C：由B知在R上单调递增，由， 而，则，即，则，即， 故的值域是，故C正确； 对于D：由C知，函数在R上单调递增，若在上的值域为 则，所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在R上有两个交点，结合为奇函数，在上单调递增， 且的值域是，且， 可作出函数与的大致图象如图：由图可知与在R上有两个交点， 因此存在实数且，使在上的值域为，故D正确. 31.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. (3) 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 32.（25-26高一下·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数在R上单调递减. (2) 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 考点三 指数、对数函数的内在关系 ◆题型9 指数对数互化与反函数 33.（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 34.（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 35.（多选）（25-26高一上·山东临沂·期末）下列结论正确的是（    ） A．函数是对数函数 B．函数和的图象关于轴对称 C．函数和的图象关于直线对称 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】BC 【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数和的图象即可判断；对于C，由互为反函数的函数图象性质即可判断；对于D，将代入函数，即可判断. 【详解】对于A，由对数函数的定义知函数不是对数函数. 对于B, 函数和的图象关于轴对称,故B正确； 对于C，函数和互为反函数，故它们的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，将代入函数得，故函数（且）的图象必过定点，故D错误. 故选：BC 36.（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）若函数与且互为反函数，且的图象过点，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，由指数函数与对数函数互为反函数，得到，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由的图象过点，代入可得，解得，所以， 因为与互为反函数， 由指数函数的反函数为对数函数，可得， 所以. 故答案为： 37.（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)求； (2)设，求的最小值； (3)已知正实数满足，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用反函数的性质求解即可. （2）结合题意求出，再利用换元法结合二次函数性质求解最小值即可. （3）结合题意与定义法判断的单调性，进而得到，最后求解即可. 【详解】（1）由题意得函数与的图象关于直线对称， 则与互为反函数，所以． （2）由题意得， 因为，所以设，则， 得到， 则的最小值为． （3）由，有， 则，解得； 由，有， 得到，即，故， 从而，设，， 设，则，， 则，因此， 故在上为增函数， 由，有，所以，， 因此 考点四 指数、对数综合运算应用 ◆题型10 换元法处理指数、对数综合问题 38.（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 39.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 40.（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的最大值为_______． 【答案】10 【分析】应用换元法结合指数函数的性质计算求解. 【详解】令，， 即当时，的最大值. 故答案为：10. 41.（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算整理得，再根据二次函数性质求最值即可； （2）令，将问题转化为对恒成立，进而分和，结合不等式的性质和基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 （2）解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. ◆题型11 恒成立、存在性综合问题 42.（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 43．（25-26高一上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】化简不等式，转化为上恒成立，利用单调性求不等式右边式子的最小值即可得解, 【详解】因为函数，， 所以对任意时，恒成立， 即任意时，恒成立， 令，， 又在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为： 44.（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的值为___________． 【答案】13 【分析】先求出在上的取值范围为，然后对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围需完全包含于的取值范围，同时，任意对应的必须能取到中的值，从而求出结果. 【详解】因为在上单调递增，所以 ，因为. 所以在上的取值范围为. 因为对任意的，都存在，使得成立，即. 由于，则的取值范围需完全包含于的取值范围. 同时，任意对应的必须能取到中的值，因此： 设在上的值域为，根据题意，对任意，存在使得成立， 这等价于集合是集合的子集，因为， 所以，由此可得，解得. 故答案为：13. 45．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 46．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）“”是函数在R上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 2.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 3.（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出函数的周期和对称性，再化简的值，最后利用指数函数的性质即可求出. 【详解】，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      5.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 6.（25-26高二下·北京·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 7.（25-26高一上·江西吉安·期末）设是定义在上的偶函数，当时，，若对任意的，均有，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得函数的解析式，利用分类讨论思想，根据分段函数的取值，化简不等式，可得答案. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，则， 当时，，可得， 所以， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意，对任意的，均有， 当时，由，则，即， 则，不等式显然不恒成立； 当，即时，由，则， 即，则，不等式显然恒成立； 当，即时， ①当时，，由，则， 即，则，不等式显然恒成立； ②当且时，由，则， 即，则，而，要使恒成立， 则，解得，则； ③当且时，由，则， 即，则，不等式显然不恒成立. 综上所述，. 故选：B 8.（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 9.（多选）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数（且），则下列正确的是（    ）． A．的定义域为 B．当时，在上的值域为 C．的图象关于点对称 D．若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断. 【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确； 对于B，当时，，因为和在上单调递减， 所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于点对称，故C正确； 对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图， 若有两个零点，即函数和的图象有两个交点，由图可得，故D正确. 故选：ACD. 10.（多选）（25-26高一上·辽宁·期末）设，，则（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据题目所给函数 ，直接利用指数运算进行推导，可判断ABC；换元，利用二次函数值域的求法可求解D. 【详解】选项 A： ， ， 所以 ，故 A 错； 选项 B： = ，故 B 正确； 选项 C：， 而 ， 所以 ，故 C 正确； 选项 D：令 ， 则 再令 ，得 为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在区间内单调递增， 最大值在 （即 ）处取得，为 ，故 D 正确. 故选：BCD 11.（多选）（25-26高一上·河北承德·期末）取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间与上均为减函数 B．的值域是 C．方程的所有实根为0，1 D．当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据题意，当时，；当时，，结合选项，利用指数函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上为单调递减函数； 当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上也为单调递减函数， 所以函数在和上均为减函数，所以A正确； 对于B，当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，， 综上可得，的值域为，所以B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，解得， 当时，， 所以方程的所有实数根为，所以C错误； 对于D，由方程，即，则，可得， 令， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 要使得方程有2个实根时，即和的图像有两个公共点， 作出函数的图像，如图所示， 结合图像，可得实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 2、 填空题 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 13.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 14.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性得到的一个周期为4，并得到，求出答案. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 15.（25-26高一上·河南·期末）已知函数，，若对任意的，总存在（），使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分别求解的值域为，的值域为，由题意得到，结合集合关系即可求解. 【详解】当时，，可知在上的值域为． 因为在上是增函数， 且，， 可知在上的值域为． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，可得解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 16.（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的值为___________． 【答案】13 【分析】先求出在上的取值范围为，然后对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围需完全包含于的取值范围，同时，任意对应的必须能取到中的值，从而求出结果. 【详解】因为在上单调递增，所以 ，因为. 所以在上的取值范围为. 因为对任意的，都存在，使得成立，即. 由于，则的取值范围需完全包含于的取值范围. 同时，任意对应的必须能取到中的值，因此： 设在上的值域为，根据题意，对任意，存在使得成立， 这等价于集合是集合的子集，因为， 所以，由此可得，解得. 故答案为：13. 三、解答题 17.（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． 18．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知函数． (1)设． （i）若，求的值； （ii）当时，恒成立，求的最小值． (2)已知，且函数的最小值为4，求的值． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）求并代入求解；（ii）分析单调性、零点，确定零点和正负，由零点得，构造函数，并根据其性质求的最小值. （2）确定分段区间，分析各区间单调性，并根据最小值为4求解. 【详解】（1）（i）由，可得， 所以 （ii）由题意可知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，. 因为当时，恒成立， 所以函数有一个零点为1， 即，即 令， 因为，所以的一个零点， 且当时，，当时，， 所以，且， 所以，即的最小值为． （2）当时，，有， 当时，令，则， 其对称轴为，在上单调递减， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 当时，令，则， 对称轴为，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，由函数的连续性，可知在上单调递增， 当时，， 因此， 令，解得，符合要求，所以. 19．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数. (1)求a的值； (2)求函数的最小值； (3)设函数，若对任意，恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【分析】（1）由即可求出a的值； （2）令，由基本不等式求出的范围，再由二次函数的性质求出函数的最小值； （3）由（1）得令，从而得，要使，只需，从而即可求解. 【详解】（1）. 因为是偶函数，所以，即 可得. （2），当且仅当时，等号成立，所以. 令，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为0， 故的最小值为0. （3）令 则 令 原问题转化为对任意，恒成立. 因为在上单调递减，， 所以，解得. 故b的取值范围为. 20.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 21．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，，． (1)若，求定义域，并解关于x的方程； (2)设，函数在区间上的最大值为3，求t的取值范围； (3)当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求a的取值范围． 【答案】(1)定义域为，解为， (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的解析式，求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程； （2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值， 分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数， 由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得： 则得定义域为. 由，可得，可得， 解得，因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 22.（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知函数. (1)若函数的图像经过点，求不等式的解集； (2)设，若，证明：； (3)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，利用的单调性，列出不等式组，即可求解； （2）画出函数的图像，结合图像，得到，再由，化简得到，求得，结合基本不等式，即可得证； （3）由，利用对数的运算法则，得，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图像过点，可得，解得， 所以，且函数在为单调递增函数， 则不等式，即为，解得， 所以不等式的解集为. （2）解：由，可得， 画出函数的图像，如图所示， 要使得，可得， 由，可得，则， 即，可得， 所以，且， 由， 因为，所以等号不成立，所以，可得. （3）解：由方程，可得， 由对数的运算法则，可得， 所以，且满足，因为，所以， 由，可得， 令，可得，则， 又由函数在上单调递增，所以， 所以，因为且，所以，所以实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $