专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（ 9个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题04 二次函数与一元二次方程、不等式 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】三个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【知识点02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【知识点03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例1-1】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）（1）求不等式的解集 （2）求关于的不等式的解集，其中是常数. 【答案】（1）或；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，. 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． （2）原不等式可化为， 方程的根为或， 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【例1-2】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，不等式的解集为； 当时,不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）代入参数取值，根据一元二次不等式解法计算解集； （2）根据解集可知对应一元二次方程的两根，利用韦达定理计算参数的取值； （3）把因式分解为，再按两根与的大小分类讨论参数的取值，确定一元二次不等式的解集． 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得或， 故不等式的解集为． （2）由不等式的解集为知，是方程的两根． 由韦达定理，，解得 ，故实数的值为． （3）原不等式即，两根为与． 当，即时，解得或， 当，即时，不等式为，所以， 当，即时，解得或； 综上，时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式1-1】（26-27高一上·安徽铜陵·阶段检测）解关于的不等式： （）． 【答案】当时，原不等的解集为；当时，原不等式解集为；当时，解集为. 【详解】原不等式可化为. 当时，解不等式得或； 当时，解不等式得； 当时，解不等式得或. 综上所述：当时，原不等的解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式1-2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知集合，．设：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）化简集合，将条件转化为集合间的基本关系，写出不等式组，即可得答案； （2）分，，三种情况，分别求解不等式即可. 【详解】（1）不等式可化为， 所以不等式的解集为， 所以集合， 又，：，：，是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 即（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围为. （2）方程的解为，， 函数的图象开口向上， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式1-3】（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集是，求实数的值; (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定条件，利用三个“二次”的关系求出值. （2）按照，和，分类讨论求解不等式即得. 【详解】（1）依题意，是方程的两个实根， 而化为，解得或，则， 所以实数的值为. （2）不等式化为， 方程的解为或， 当时，解不等式得； 当时，原不等式可化为，该不等式的解集为； 当时，解不等式得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例2-1】（26-27高一上·四川泸州·期中）解关于的不等式()． 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】根据题意可得，易得、时的解集，时，分、、三种情况求解． 【详解】解：由已知得， ①当时，由，得． ②当时，不等式可化为， 解得或， ③当时，不等式可化为 若，即，则； 若，即，则不等式的解集为空集； 若，即，则． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式2-1】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）解下列关于 的不等式（）：． 【答案】① 当 时，解集为 ； ② 当 时，解集为 ； 当时，解集为 ； 当时，解集为 ； ③ 当 时，． 【分析】因式分解为 ，按 、、 以及 与 的大小分类讨论． 【详解】原不等式即 ． ① 当 时，，解集为 ； ② 当 时，不等式即 ： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； ③ 当 时，不等式即 ，又 ， 解集为 ． 【变式2-2】（26-27高一上·青海黄南·阶段检测）已知函数． (1)若，，求函数的最大值； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【详解】（1）当时，函数为，开口向上，对称轴为， 区间位于对称轴右侧，函数在该区间单调递增， 最大值在处取得，代入计算得. （2）对不等式左侧因式分解得，对应方程的两根为和． 因为，所以按两根大小分三类讨论： 当，即时，由不等式对应的二次函数图象， 可知不等式的解集为； 当时，不等式化为，无实数解，解集为； 当，即时，由不等式对应的二次函数图象， 可知不等式的解集为． 【变式2-3】（26-27高一上·山东烟台·期中）时，解关于的不等式． 【答案】时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为. 【分析】按和分类讨论，时解一元一次不等式；时先因式分解，转化为一元二次不等式，进而讨论求解即可. 【详解】不等式，即为. ①当时，原不等式化为，解集为. ②当时，原不等式化为， 当时，，解集为； 当时，原不等式化为，解集为； 当时，，解集为. 综上所述，时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为. 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 核心方法：法 【例3-1】（26-27高一上·全国·期中）解关于的不等式（为常数）． 【答案】当或时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】先求对应方程的判别式，按三种情形分类：时方程有两不等实根，结合开口向上的图像写“两根之外”，时不等式化为，除外恒成立；时抛物线恒在轴上方，解集为． 【详解】方程的判别式． 当，即或时，方程有两个不相等的实根， ，，且． 又二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为. 当，即或时，，原不等式化为， 所以解集为，即当时解集为，当时解集为． 当，即时，对任意恒成立，解集为． 综上，当或时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【例3-2】（26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2) (3)当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为. 【分析】（1）根据方程无解可求实数的取值范围. （2）问题转化为根据是的真子集分情况讨论求实数的取值范围. （3）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论，解不等式. 【详解】（1）由题意，方程无实根. 当时，方程可化为，故不合题意； 当时，由或，此时. 故实数的取值范围为. （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 因，所以. 由（1）得，① 当或时，，是的真子集； ② 当时，是的真子集； 设， ③当时，由方程的两根都在区间内， 则，解得； ④当时，函数的对称轴，则方程的两根不可能都在区间内，不合题意. 综上，当时，“”是“”的充分不必要条件. （3）当时，不等式可化为； 当时，，所以不等式的解集为； 当时，由或， 因为，所以. 所以不等式的解集为； 当时，由或，且， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得； 当时，，所以不等式的解集为. 综上可得，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【变式3-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若，解不等式（结果用表示）； 【答案】(1) (2) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先由已知一元二次不等式的解集确定对应方程的根，结合韦达定理求参数，再代入求解目标不等式. （2）将代入后，根据判别式的符号分类讨论求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由，的解集为可知： 和是方程的两个实根， 根据韦达定理可得：，解得，， 将代入不等式可得：，得， 化简为，因式分解得，解得. （2）当时，，由于， 所以不等式两边同除以，不等号方向改变， 得，则判别式， 因，故的符号由决定， ① 当，即，结合得时， 二次函数开口向上且与轴无交点，不等式恒成立，解集为， ② 当，即，结合得时， 不等式化为，解得，解集为， ③ 当，即，结合得时， 则根据方程求根公式可得：， 记，因为，且， 同时除以负数不等号反向，所以，又因为， 二次函数开口向下，的解集在两根外侧，即： 或， 综上所述：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【变式3-2】（26-27高一上·山西阳泉·阶段检测）（1）已知集合，集合．若，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）先求出集合，由得，再分、、三种情况讨论求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由， ， 因为，所以， 当时，，此时不成立； 当时，，满足； 当时，，则. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由， 当时，不等式为，解得； 当时，， 当，即时， 由于方程的根为， 因此不等式解得； 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，不等式无解； 当时，， 由于方程的根为， 因此不等式解得或. 综上所述，当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式3-3】（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）解下列关于x的不等式 (1) 【答案】(1)当时，解集为；当或时，解集为． 【详解】（1）解：对于方程，判别式， 当，即时，不等式无解； 当，即或时， 方程的两根为， 不等式的解集为， 综上，当时，解集为；当或时，解集为． 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 核心方法：根与系数的关系： 【例4-1】（多选）（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．不等式 的解集为 【答案】AD 【分析】由解集是两端点确定的闭区间知，且，是方程的两根，用韦达定理把，用 表示后逐项判断． 【详解】由解集为知，且，是的两根， 所以，，即，。此时，故，． 对于A：，故A正确； 对于B：，不可能取到，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，即，两边除以，得， 即，，解得，故D正确． 【例4-2】（多选）（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】先由一元二次不等式的解集确定，且是方程的两根，利用韦达定理得到，，再代入各选项验证判断. 【详解】因为的解集为， 所以， 则是方程 的两根， 则，解得，即， 因为，所以，，故选项A正确； ，故选项B正确； 将代入，得到， 解得，即， 因为，所以，即，故选项C错误； 将代入，得到， 解得， 因为，所以，即， 解得，故不等式的解集是，故选项D正确. 【变式4-1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由解集可知，且是的两根. 由韦达定理，，得；，得. ，即，解得， 不等式的解集为　. 【变式4-2】（多选）（26-27高一上·河南三门峡·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】ABD 【分析】A. 由不等式解集为闭区间判断抛物线开口向下，直接得二次项系数；B. 用韦达定理将、用表示，代入新不等式化简求解，对比解集判断正误；C. ， ， 得；D. ，，得. 【详解】选项A，已知不等式 的解集为 ，可得 ，A正确； 选项B，由 和 是方程 的两个实数根， 根据韦达定理得，，得，， 结合，可得，. 由不等式，得， 因为，得，即， 即，解得，B正确； 选项C，， 由 得 ，即 ，C错误； 选项D，， 由 得 ，即 ，D正确. 【变式4-3】（多选）（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 【答案】AC 【分析】先由三个二次的关系可得，进而可验证AC选项；再将代入不等式可判断BD选项. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，方程的根为， 所以，得，A正确； 将代入不等式，得不等式， 即，解得，所以不等式的解集为，B错误； 由得，C正确； 再将代入不等式，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为或，D错误. 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5-1】（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得 ，所以不等式的解集为. 【例5-2】（26-27高一上·全国·期中）不等式 的解集为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由，得， 即， 所以， 解得 . 所以不等式 的解集为. 【变式5-1】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式，结合分母不为零的限制条件求解解集. 【详解】首先对不等式移项，得，通分后整理分子： ， 即不等式等价为，进一步变形为，同时需满足分母不为零，即. 根据分式不等式的等价转化规则，上述不等式等价于， 解一元二次不等式得或， 结合的限制，最终解集为. 【变式5-2】（26-27高一上·吉林四平·期中）不等式的解集为________. 【答案】 【详解】移项通分得，它等价于. 解得或，解集为. 【变式5-3】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）不等式的解集为________ 【答案】 【详解】原不等式等价于； 由解得； 由解得； 综上所述，原不等式的解集为. 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 核心方法：判别法+分类讨论法 【例6-1】（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）对于任意，恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合常数不等式，二次函数的图像性质求解的取值范围. 【详解】当时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，为二次函数，若对任意满足恒成立，需同时满足： ①二次项系数大于，即； ②函数图象与轴至多有一个交点，即判别式，即，解得：， 两个条件同时成立可得：. 综合两种情况取并集可得m的取值范围是. 【例6-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，即当时，此时不等式为恒成立，符合题意； 当，即时，则有，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 【变式6-1】（26-27高一上·全国·期中）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对二次项系数进行分类讨论：当时，检验不等式是否恒成立；当时，结合二次函数性质可得且判别式. 【详解】当时，原不等式化为，显然不能对一切实数恒成立，故. 当时，要使不等式对一切实数恒成立， 需满足：，即， 整理得：，两边同乘得：， 因式分解得：，解得：或， 又，取交集得：， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分二次项系数为和不为两类讨论，系数为时直接验证，系数不为时结合二次函数开口方向与判别式求解后取并集. 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当，即时，需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的定义，利用二次函数恒小于0的条件建立不等式求解的取值范围. 【详解】要使对一切实数恒成立， 则对应的二次函数图象开口向下，且与轴无交点，因此：， ， 解得， 结合，可得的取值范围为. 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例7-1】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原假命题转化为全称恒成立的真命题，分离参数后利用基本不等式求最值，即可得到的取值范围，再判断各个选项即可. 【详解】因为命题“存在，使得成立”是假命题，所以其否定“，恒成立”为真命题， 由，对不等式变形可得，即对所有恒成立， 由基本不等式可得，当，，当且仅当，即时取等号， 此时取最小值为，因此，要使对所有恒成立，则，对比选项，不在的取值范围内. 【例7-2】（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将不等式利用参变分离法化成，再由基本不等式求出的最小值即得. 【详解】因，则 ，， 而，当且仅当 即 时取等号， 由题意，在上恒成立，故 <. 【变式7-1】（26-27高一上·全国·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】任意，不等式恒成立，可转化为恒成立， 令，即， 因，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故． 【变式7-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为在上有解，由对勾函数的性质可得，从而得，即可得答案. 【详解】因为不等式在上有解， 即在上有解， 因为，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 即实数的取值范围为. 【变式7-3】（26-27高一上·广西钦州·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，， 对于可知其在对称轴上取得最小值， 所以，即A正确. 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 核心方法：分解因式解不等式 【例8-1】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯元的价格销售，每天能卖出盏；若售价每提高元，日销售量将减少盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 整理得，解得， 又因为，所以， 所以这批台灯的销售单价的取值范围是． 【例8-2】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． (1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ (2)当在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 【答案】(1)该景区的门票价格为元或元或元. (2)该景区的门票价格为元或元. 【分析】（1）设门票降价为元，，门票日均营业额为万元，找到与的关系式，列出不等式求解. （2）列出不等关系，结合恒成立问题求解. 【详解】（1）设门票降价为元，，门票日均营业额为万元， 由题可得与的关系式为， 由，， 令，得到，解得，得到. 该景区的门票价格为元或元或元. （2）由（1）知，，. 结合题意得，当时，恒成立。 由，，可得. 而要小于等于的最小值，， 化简得，解得，. 该景区的门票价格为元或元. 【变式8-1】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得， 即，解得， 因为提价销售故，又， 这批台灯的销售单价的取值范围是． 【变式8-2】（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）为迎接校运动会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）．已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为米．（垂直于墙的边称为宽，不垂直于墙的边称为长，长与宽之间的大小关系不确定，墙的长度足够长） (1)当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ (2)若需要围成一个面积不小于平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围． 【答案】(1)当长为米，宽为米时，训练场地的面积最大，最大面积是平方米； (2)矩形宽的取值范围是（单位：米）． 【分析】（1）方法一：设矩形的宽为米，表示出长为米，建立面积关于的二次函数，根据二次函数开口方向、对称轴及自变量的实际范围求面积最大值；方法二：借助基本不等式，由定值条件，将面积变形为，利用“和定积最大”求最值，最后检验等号成立条件符合实际意义； （2）根据面积要求列出一元二次不等式，求解后结合自变量的实际取值范围，得到宽的取值范围． 【详解】（1）方法一：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 面积， 又因为，解得， 所以当时，平方米， 此时宽为20米，长为米． 方法二：设垂直于墙的一边（宽）的长为米，则平行于墙的一边长为米，且，，， 因为， 所以，当且仅当且，即，时，等号成立， 所以当长为米，宽为米时，训练场地的面积最大，最大面积是平方米； （2）由（1）方法一可知，，由题意得，， 即， 则，解得， 所以，解得， 所以矩形宽的取值范围是（单位：米）． 【变式8-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量，单位：来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数（单位：）与冷却液流量满足关系式，同时，为了确保光刻精度，热膨胀系数必须满足不等式． (1)要使满足光刻精度要求，求的取值范围； (2)在满足光刻精度要求的条件下，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)的最小值为11，最大值为27 【分析】（1）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可求解； （2），根据一元二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）根据题意得，化简得， 即，解得， 又，所以，所以的取值范围为； （2），该函数的图象是一条开口向上的抛物线， 其最小值在顶点处取得，即当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为； 综上，的最小值为11，最大值为27. 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9-1】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）对于，规定表示不大于的最大整数，例如，，，那么关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式可得，结合的概念可得不等式的解集. 【详解】由得，解得， 所以的所有可能取值为， 故，所以原不等式的解集为. 【例9-2】（2026·重庆永川·模拟预测）函数定义域为，对于给定的实数，（）定义集合：，当时，______.当，若，则的取值范围是______. 【答案】 或 【分析】理解集合定义含义，对问题进行分类讨论求解. 【详解】定义中的关键的意思是的取值夹在和之间，因为两个因式相乘，只有一正一负（或至少一个为0）. 第一空先求端点函数值，，即，由指数函数单调递增解得：，所以. 第二空当，若，求的取值范围：我们先写出端点值，从而得出介于与之间，记，对的正负进行讨论. 先研究在上的最值，对称轴，开口朝上： 当时，最小值在处为0； 当时，最小值在处为； 当时，最小值在处为. 当时，即，此时，根据上述最值分析可知，只有当时满足条件； 当时，即，此时， 需恒成立，当时，最大值，恒成立； 需恒成立， 当时，最小值，要求，与矛盾； 当时，最小值为恰好取到. 综上的取值范围：或. 【变式9-1】（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）在上定义运算．若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义将目标不等式进行化简，利用一元二次不等式恒成立方法求参数范围. 【详解】由题意得，， 原不等式可化为，即 该一元二次不等式对任意实数恒成立，二次函数开口向上，则有，解得, 实数的取值范围为. 【变式9-2】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，定义运算，若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合一元二次不等式解法及绝对值不等式解法计算求解即可. 【详解】由题意，则， 化简可得， 因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两实数根， 所以，解得， 所以可化为，解得或， 所以的解集为. 【变式9-3】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先化简不等式，利用分离参数法转化为恒成立问题，再借助基本不等式求出函数的最大值，进而得到参数的取值范围. 【详解】先化简左边， 原不等式可转化为：. 由于对任意实数恒成立，因此可以直接两边除以，不等号方向不变，得到： 题目要求：时，不等式恒成立，即 设，则， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立. 因此，即， 所以，故实数a的取值范围是. 一、单选题 1．（26-27高一上·吉林辽源·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 2．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得， 又， 故是 的充分不必要条件． 3．（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）不等式 的解集是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】，即， 令，解得， 则二次函数 ，，抛物线开口向上， 所以不等式 的解集为 . 4．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数，求右侧函数在区间上的最大值. 【详解】，即  ，， 令 ，在上单调递减，最大值 ，故 . 5．（26-27高一上·全国·期中）若不等式 −有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B．< C． D．> 【答案】A 【详解】不等式有解，即对应方程 −有实根，，得 ， 所以实数 的取值范围是. 6．（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则实数的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】解出集合A的范围，解集合B的二次不等式，得到区间端点，分类讨论，根据题意结合数轴，判断k的取值范围. 【详解】，可化为，解得或，故， ，可化为， 的两个解为：，， 当时， ，，仅有一个整数解，故，即， 当时， ，仅有一个整数解，则，即， 综上所述，k的取值范围为或，故结合选项k的可能取值为5. 7．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，则不等式成立， 当时，因为不等式对于恒成立，所以， ，即，， ，解得或（舍去），综上所述. 8．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，二次函数的对称轴为. 若，则抛物线开口向上，则，解得； 若，抛物线开口向下，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 二、多选题 9．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则的解集为 C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由二次函数与二次不等式之间的关系，结合题意推出，及，，之间的关系， 再逐一判断即可. 【详解】令，方程的根为，由韦达定理得，. 由不等式的解集为，函数的图像开口向上，. 选项A：若，由，，，A错误. 选项B：若，，，， 不等式为，由 ，，， 的解集为，B正确. 选项C：由选项B知，，C正确. 选项D：由题知方程有不相等的两个根，， 由，，，，D正确. 10．（26-27高一上·河南·阶段检测）关于的不等式，下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若对一切实数不等式都成立，则的取值范围是 D．若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】代入计算可判断A；根据解集得出二次函数开口向下，由韦达定理计算可判断B； 对一切实数不等式都成立，考虑等于0和不等0两种情况可判断C；把不等式看作关于k的一次函数，代入区间端点和求解后可判断D. 【详解】对于A，当 时，代入不等式得：，整理得， 求解方程 ，由求根公式得两根为 ，二次函数开口向上， 小于0的解集为两根之间，即 ，A正确； 对于B，若不等式的解集为 ，说明对应的二次函数开口向下，且方程 的两个根为 ， 根据韦达定理，两根之积满足：，即， 解得 ，因为，验证韦达定理两根之和：，符合条件，B正确； 对于C，若对一切实数x不等式恒成立，分两种情况讨论： 当时，不等式变为 ，该式恒成立，满足条件. 当时，需二次函数开口向下且判别式小于0，即，解得. 综合两种情况，k的取值范围是，选项C漏掉了的情况，C错误； 对于D，将原不等式整理为关于k的一次函数形式： 要使该式对恒成立，只需一次函数在区间端点处的函数值均小于0： 当 ，，整理得 ，即 对任意实数恒大于0. 当 ，，整理得 ，解得 . 综合两个条件，最终的取值范围是 ，D正确. 三、填空题 11．（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据题意分或两种情况，结合一元二次不等式相关知识可解． 【详解】关于的不等式的解集为，则 当时，不等式恒成立； 当时，则且，得． 综上，k的取值范围为． 12．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 【答案】. 【详解】一元二次不等式的解集为， ，即， 不等式可转化为， 故不等式的解集为. 四、解答题 13．（26-27高一上·陕西渭南·期中）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为； 当 时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）先整理不等式，再按二次项系数是否为 0 分类，恒成立要求成立或二次函数开口向上、判别式小于0； （2）先因式分解不等式，再根据参数的正负、两根大小关系分多类讨论一元二次不等式的解集。 【详解】（1）由，，得， 即，该不等式对一切实数恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数开口向上且与轴无交点，即，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）由，整理得，即， ①当时，二次函数开口向上，方程两根为，，且，解集为或； ②当时，不等式化为，解集为； ③当时，二次函数开口向下，且，解集为； ④当 时，不等式化为，即，解集为； ⑤当时，二次函数开口向下，且，解集为； 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为； 当 时，解集为；当时，解集为. 14．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）设 （）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为或；当时，解集为； 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）利用三个二次的关系，结合韦达定理求解； （2）将不等式化简为因式分解形式，再根据二次函数开口方向及一元二次方程的根的大小分类讨论可得不等式解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且是方程的两个实根， 根据韦达定理，且，解得， 因此. （2）由得，即，， 分情况讨论： ①当时，不等式化为，解得，解集为； ②当时，方程的两根为，且， 故不等式解集为； ③当时，不等式两边除以化为， （i）若，则，不等式化为，不等式的解集为； （ii）若，则，不等式的解集为或； （iii）若，则，不等式的解集为或； 综上，当时，不等式的解集为或；当时，解集为； 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（26-27高一上·河南·阶段检测）表示不超过x的最大整数，例如，，． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，，不等式变为：，解得， 则t的解集为. 因为t是不超过x的最大整数，所以， 所以原不等式的解集为. （2）时的所有可能取值为 ， ， ， . 恒成立即时恒成立，分别代入 ，，此时m的取值范围是任意实数； ，； ，； ，， 公共解为，即实数m的取值范围是. 16．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数（）． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)①当时，解集为； ②当时，若，解集为； 若，解集为； 若，解集为； ③当时，解集为 (2) 【分析】（1）因式分解为，按、、及与的大小分类； （2）把不等式看成关于的一次不等式，由端点处成立列不等式组． 【详解】（1）． ①当时，，解集为； ②当时，不等式即， 若，则，解集为； 若，则，解集为； 若，则，解集为； ③当时，不等式即，又，解集为． （2）原不等式即，把它看成关于的一次函数， 要使它对任意恒成立，只需端点处成立： 当时，，解得或； 当时，，即，解得． 取交集得，所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与一元二次方程、不等式 （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】三个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【知识点02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【知识点03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例1-1】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）（1）求不等式的解集 （2）求关于的不等式的解集，其中是常数. 【例1-2】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值； (3)当时，求不等式的解集． 【变式1-1】（26-27高一上·安徽铜陵·阶段检测）解关于的不等式： （）． 【变式1-2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）（1）已知集合，．设：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式 【变式1-3】（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集是，求实数的值; (2)解关于x的不等式. 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例2-1】（26-27高一上·四川泸州·期中）解关于的不等式()． 【变式2-1】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）解下列关于 的不等式（）：． 【变式2-2】（26-27高一上·青海黄南·阶段检测）已知函数． (1)若，，求函数的最大值； (2)若，解关于x的不等式． 【变式2-3】（26-27高一上·山东烟台·期中）时，解关于的不等式． 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 核心方法：法 【例3-1】（26-27高一上·全国·期中）解关于的不等式（为常数）． 【例3-2】（26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：． 【变式3-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若，解不等式（结果用表示）； 【变式3-2】（26-27高一上·山西阳泉·阶段检测）（1）已知集合，集合．若，求实数的取值范围． （2）解关于的不等式. 【变式3-3】（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）解下列关于x的不等式 (1) 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 核心方法：根与系数的关系： 【例4-1】（多选）（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．不等式 的解集为 【例4-2】（多选）（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式4-1】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式4-2】（多选）（26-27高一上·河南三门峡·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【变式4-3】（多选）（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5-1】（26-27高一上·全国·期中）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（26-27高一上·全国·期中）不等式 的解集为（　　） A． B． C．或 D． 【变式5-1】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高一上·吉林四平·期中）不等式的解集为________. 【变式5-3】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）不等式的解集为________ 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 核心方法：判别法+分类讨论法 【例6-1】（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）对于任意，恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【变式6-1】（26-27高一上·全国·期中）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例7-1】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27高一上·全国·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27高一上·广西钦州·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 核心方法：分解因式解不等式 【例8-1】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯元的价格销售，每天能卖出盏；若售价每提高元，日销售量将减少盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得元以上不含元的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． (1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ (2)当在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 【变式8-1】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）为迎接校运动会，某班级计划用栅栏围成一个一面靠墙的矩形训练场地（如图所示）．已知靠墙的一边不需要栅栏，现有栅栏总长度为米．（垂直于墙的边称为宽，不垂直于墙的边称为长，长与宽之间的大小关系不确定，墙的长度足够长） (1)当矩形的长和宽分别为多少米时，训练场地的面积最大？最大面积是多少？ (2)若需要围成一个面积不小于平方米的训练场地，请求出矩形宽的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量，单位：来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数（单位：）与冷却液流量满足关系式，同时，为了确保光刻精度，热膨胀系数必须满足不等式． (1)要使满足光刻精度要求，求的取值范围； (2)在满足光刻精度要求的条件下，求的最小值和最大值． 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9-1】（26-27高一上·河南漯河·阶段检测）对于，规定表示不大于的最大整数，例如，，，那么关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【例9-2】（2026·重庆永川·模拟预测）函数定义域为，对于给定的实数，（）定义集合：，当时，______.当，若，则的取值范围是______. 【变式9-1】（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）在上定义运算．若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，定义运算，若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）在上定义运算：，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 一、单选题 1．（26-27高一上·吉林辽源·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）不等式 的解集是（　　） A． B．或 C． D．或 4．（26-27高一上·全国·期中）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·期中）若不等式 −有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B．< C． D．> 6．（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则实数的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则的解集为 C．若，，则 D．若，则 10．（26-27高一上·河南·阶段检测）关于的不等式，下列说法正确的是（     ） A．当时，不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若对一切实数不等式都成立，则的取值范围是 D．若当时，不等式恒成立，则的取值范围是 三、填空题 11．（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为________ 12．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 四、解答题 13．（26-27高一上·陕西渭南·期中）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 14．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）设 （）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式． 15．（26-27高一上·河南·阶段检测）表示不超过x的最大整数，例如，，． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若，恒成立，求实数m的取值范围． 16．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数（）． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $