专题1 基本不等式八大题型讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

答案 例题精讲精练 例1-1【答案】A 【详解】由基本不等式可得. 故选A. 例1-2【答案】 【详解】由基本不等式可得的最小值为 例1-3【答案】B 【详解】此题不满足正数这个条件，但是稍作变形,而，所以原式有最大值-2 例1-4【答案】见详解 【详解】没有最小值，因为这个题目通过配凑法，可得，，所以，但是注意取等条件，，即,解得 或者-1，均不满足这个条件. 练1-1【答案】D 【详解】由基本不不等式可得，解得. 故选D. 练1-2【答案】 【详解】根据基本不等式可得. 例2-1【答案】32 【详解】和的配凑，要求积的最大值，我们可以思考和是否是一个定值，而这里可以配凑为一个定值，因为，所以，所以，同时平方，得，所以. 例2-2【答案】A 【详解】配凑法，,故选A. 例2-3【答案】C 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立.故选：C 练2-1【答案】 【详解】 例3-1【答案】4 【详解】 例3-2【答案】4 【详解】 例3-3【答案】 【详解】由题，变形为,而. 例3-4【答案】 【详解】,而,所以答案为. 例3-5【答案】7+ 【详解】将简单变形可得,然后 练3-1【答案】C 【详解】将简单变形可得,而, ,故选C. 练3-2【答案】 【详解】通过换元,可得，而，所以答案 练3-3【答案】B 【详解】，且,为非负实数，， 则 则，解得，，解得， 而 ， 当且仅当即，时,即时等号成立， 故， 故选：B. 练3-4【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 练3-5【答案】 【详解】因为，， 所以，， 所以， ， 当且仅当，即时取到等号. 所以. 故答案为： 例4-1【答案】AD 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 例4-2【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 练4-1【答案】ACD 【详解】正实数a，b满足，则， 对于A，由，当且仅当时取等号， 则，即的最小值为4，故A正确； 对于B，由，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值为4，故B错误； 对于C，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 由A知，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 练4-2【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 例5-1【答案】A 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时取得等号. 故选：A 例5-2【答案】25 【详解】因为，，， 所以 ，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为25. 故答案为：25 练5-1【答案】 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 练5-2【答案】 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 例6-1【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是； 故选：A 例6-2【答案】B 【详解】由题设，令，则， 所以，在上恒成立， 当，则，不满足题设； 当，对称轴为，只需，可得. 综上，，故整数的最小值为2. 故选：B 练6-1【答案】D 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值. 故选：D. 练6-2【答案】AC 【详解】若，则，当且仅当时等号成立，所以成立，故A正确； 若，则，又因为， 所以，当且仅当即时等号成立.故B错误； 若，则, 因为， 令，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立，故C正确； ，则， 即，显然，所以，又 ，所以， 若 所以， 当且仅当时等号成立，故D错误； 故选：AC 练6-3【答案】D 【详解】因为，显然，得到，所以， 又，为正实数，所以，得到，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 例7-1【答案】A 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 例7-2【答案】D 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，即，所以， 整理得，解得， 所以正数x的最大值为2. 故选：D. 练7-1【答案】B 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 例8-1【答案】(1)， (2)仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地 【详解】（1）解：由矩形的长为，则矩形的宽为， 则中间区域的长为，宽为，则定义域为， 则， 整理得，． （2）解：，当且仅当时取等号， 即． 所以当时，总造价最低为万元万元． 故仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地. 例8-2【答案】(1) (2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【详解】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 练8-1【答案】(1) (2)90万件 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故 （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 所以当年产量为90万件时，取得最大值为160． 通关练习 1.【答案】C 【详解】由题可知：， 因为都是正数，所以（当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 化简可得，解得，故C正确. 故选：C. 2.【答案】B 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 3.【答案】/ 【详解】因为，则， 若，则，不符合题意， 若， 则，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 4.【答案】D 【详解】因为，，， 所以原式 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 5．【答案】B 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值． 故选：B 6．【答案】B 【详解】， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 7.【答案】AD 【详解】由题意可知，（当且仅当时取等号），故A正确； 取，则，故BC错误； 因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故D正确； 故选：AD 8【答案】．BC 【详解】对于A， ， 即，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，A错误； 三角换元，，令. B正确； ， C正确，D错误. 故选：BC. 9【答案】．ACD 【详解】对于选项A、B：由，整理得， 因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 故A正确，B错误； 因为，整理得， 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 即，解得，故D正确； 故选：ACD. 10【答案】．BCD 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 11．【答案】ACD 【详解】因为，所以，则， 又，则，故，当且仅当时，等号成立， 所以，则，故A正确，B不正确； 因为，所以， 又，则，故，当且仅当时，等号成立，故D正确； 因为，所以，所以，即，C正确. 故选：ACD. 12.【答案】BC 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：因为， 因为，，所以有 得，所以有，当或时等号成立. 所以，得，所以，当时等号成立； 选项C：由选项B，得选项C正确； 选项D：由选项B，得选项D错误. 故选：BC 13.【答案】9 【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号， 故由得，即， 所以，故或（舍去）, 故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值， 故答案为：9 14．【答案】1 4 【详解】由x＞0，y＞0， 则， 即， 所以，所以， 当且仅当时，取等号， 即xy的最大值为1. 化为，解得， 当且仅当时，取等号，即x＋4y的最小值为4 故答案为： 1 ；4 15.【答案】C 【详解】由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 故选：C 16.【答案】C 【详解】由不等式恒成立可知，只需小于等于的最小值． 由， 可得， 当且仅当，即时取等号， 的最大值为. 故选：C． 17.【答案】A 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 18.【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 19.【答案】ABD 【详解】A：因为，， 所以有， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确； B：因为，所以 ，因为， 所以，即，于是有，因此本选项结论正确； C：当时，显然成立， 而，所以本选项结论不正确； D：因为，，且，所以 当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确， 故选：ABD 20．【答案】ABD 【详解】对于A，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当且仅当时等号成立，且，则，整理可得，，由，解得，故C错误； 对于D，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 21．【答案】BCD 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ， 当且仅当，即时等号，故D正确； 故选：BCD. 22．【答案】ABD 【详解】，且， 对于A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，的最大值是，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 故选：ABD. 23.【答案】/ 【详解】因为，， 所以， ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为：. 24． 【答案】 0 【详解】令，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所有当时，有最大值. 故答案为：0；. 25．【答案】 【详解】实数且， 则 当时，即 时取得等号， 所以的最小值为. 故答案为： 26.【答案】42．(1) (2)30万，最大利润为205万元 【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得. （2）①当时，单调递增， ； ②当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； ③当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ． 综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元． 27．【答案】(1)9 (2)4 【详解】（1）由，得，即， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故； （2）由，得，即，， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01基本不等式 一．题型梳理 题型1：简单理解基本不等式 题型2：配凑法的应用 题型3：“1”的妙用 题型4：方程类问题 题型5：齐次式问题 题型6：换元法与消元法的应用 题型7：不等式与恒成立问题结合 题型8：与实际问题结合 二．知识点回顾 1. 基本不等式：当时，有，当且仅当时取得等号。 其中称为算数平均值， 称为b的几何平均值。 来源： 2. 如何理解基本不等式：整理为一句话：两个正数相加，大于等于2倍根号下两正数相乘，这有助于我们灵活使用基本不等式。 3. 使用条件：一正（前提：两个正数才能使用，改变形式以后是两个正数也可以） 二定（关键：能否求出答案的关键，有和定与积定） 三相等（当且仅当两正数完全相等时取得等号）。 4.重要不等式：①, ②: ; ③: ④: ⑤:+ 对于第一个重要不等式，我们可以称为基本不等式串，其中有部分是基本不等式，最后一个是调和平均值，当然也可在适当情境中与之赋予一些意义，如平均速度；第二个重要不等式在多选题中计算的双边不等式显得十分重要；第三个我们可以称为重要不等式串，在解三角形求边长以及面积最值的时候应用十分常见； 第四个重要不等式在一些配凑法的题目中屡见不鲜，待会我们可以看看例题；第五个重要不等式其实就是“1”的妙用的实质内核。 三．题型精讲精练 题型1：简单理解基本不等式 例1-1 已知则的最大值为（ ） 例1-2 已知 求 例1-3当时，则对于的说法，正确的是 有最小值，为2 有最大值，为-2 有最小值，为1 有最大值，为-1 例1-4已知有没有最小值，为什么？ 练1-1已知 则的最大值为（ ） 练1-2已知 ,求 题型2：配凑法 例2-1 已知，则为__________ 例2-2已知 ,则的最小值为（ ） 例2-3已知则 的最小值为（ ） 练2-1（2024春•扬州期末）已知非负实数x，y满足，则x+y的最小值为 　　． 题型3：“1”的妙用 例3-1已知且则=____________ 例3-2已知且则=_____________ 例3-3已知且则=_____________ 例3-4已知且则=_______________ 例3-5已知已知且则=________________ 练3-1已知且则、分别是（ ） 练3-2已知且求 练3-3（2023-2024学年高一·重庆·期末）已知且则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 练3-4．（2023-2024学年高一·重庆·七校联考）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 练3-5．（23-24高一·全国阶段练习）已知，，，，且，则的最小值为 ． 题型4：方程类问题 例4-1（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 例4-2（22-23高一上·江苏南通·期中）【多选题】若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 练4-1（24-25高一上·广西玉林·期中）已知a，b为正实数，且，下列正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 练4-2（24-25高一上·安徽合肥·期中）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 题型5：齐次式问题 例5-1（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 例5-2（2024-2025高一上·天津河西·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 练5-1（2024-2025学年高一·全国·阶段练习）已知，，则的最大值是 ． 练5-2（2024-2025学年高一·重庆·期末）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 题型6：换元法与消元法的应用 例6-1（22-23高二上·陕西咸阳·期中）已知（），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例6-2（23-24高一上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练6-1（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 练6-2（20-21高一下·浙江·期末）【多选题】已知，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 练6-3（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 题型7：不等式与恒成立问题结合 例7-1（2023-2024高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7-2（2024-2025高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 练7-1（2024-2025高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8：基本不等式的实际应用 例8-1（2023-2024学年高一上·重庆缙云联盟·期末）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为元．设矩形的长为 () (1)将总造价 (元)表示为长度的函数： (2)如果当地政府财政拨款万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地? 例8-2（2024-2025学年高一上·广东深圳·阶段练习）2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 练8-1（2024-2025高一上·广西河池·阶段练习）最近某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 2 学科网（北京）股份有限公司 四．通关练习 1. （23-24高一上·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．已知实数a，b满足，则的最小值为 ________ 4. （22-23高一上·重庆北碚·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 5. （21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6. （22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 7. 【多选题】已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）【多选题】若满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 9. （23-24高一上·四川巴中·期中）【多选题】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏·期中）【多选题】已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·广东清远·期末）【多选题】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 12. （22-23·高一全国·阶段练习）【多选题】若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 13. （22-23高一上·河北唐山·期末）已知正数满足，则的最小值为 ． 14．（19-20高一下·浙江温州·开学考试）已知x＞0，y＞0，x＋4y＋xy＝5，则xy的最大值为 ；x＋4y的最小值为 ． 15. （2023-2024高一上·重庆南开中学·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．36 16（2023-2024学年高一·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 17. （2023-2024高一上·四川巴中·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18. （23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 19. （23-24高一上·重庆·期末）【多选题】已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）【多选题】下列说法正确的有（    ） A．若，则的最大值是； B．若，则； C．若，则的最大值是2； D．若，则有最大值. 21．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）【多选题】设正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 22．（23-24高一上·重庆开州·期中）【多选题】已知，且，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是9 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 23. （23-24高一上·重庆北碚·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 24．（2024-2025高一上·安徽六安·期中）已知函数，若，则当 时，有最大值 . 25．（2023-2024高一上·上海普陀·期末）若实数且，则的最小值为 _________ 26. （2024-2025高一上·四川巴中·阶段练习）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． (1)求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； (2)当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 27. （2024-2025高一上·山西晋城·阶段练习）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. $$