专题01 集合及其运算（ 11个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题01 集合及其运算 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【知识点02】集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【知识点03】子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【知识点04】真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【知识点05】并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【知识点06】交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【知识点07】全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【考点题型一】辨别元素与集合，集合与集合的关系 【解题方法】元素与集合关系：属于（）和不属于（）两个关系 集合与集合关系：包含；真包含；相等关系。 【例1-1】（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当均为正数时，，， 当有个正数，个负数时，不妨设，则，， 若有个正数，个负数时，不妨设，则，， 当均为负数时，，， 综上可知，所以D正确，其它选项错误. 【例1-2】（26-27高一上·重庆长寿·阶段检测）下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系，结合集合的基本性质逐一判断即可选出不正确的关系. 【详解】选项A：集合中含有元素，因此关系正确. 选项B：空集是任意集合的子集，因此关系正确. 选项C：自然数集包含0和1，因此中所有元素都属于，关系正确. 选项D：是有理数集，是无理数，不属于有理数集，因此关系错误. 【变式1-1】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】首先明确各数集的定义：为正整数集，为整数集，为有理数集，为实数集， 对①：计算得，是正整数，因此，故①错误； 对②：是整数，因此，故②错误； 对③：是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数集，因此，故③错误； 对④：是分数，属于实数范畴，因此，故④正确. 综上，正确的关系仅有1个. 【变式1-2】（26-27高二上·江西宜春·期中）设集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合， 所以，所以A不正确； ，所以B不正确； ，所以C正确； ，所以D不正确. 【变式1-3】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断上述选项. 【详解】空集是指不含任何元素的集合，则A选项错误； 是指自然数集，不属于自然数，则B选项错误； 空集是任何集合的子集，则C选项正确； 中的元素为，中的元素为，不是的子集，则D选项错误. 【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数 【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性 【例2-1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）若集合，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】令、分两种情况进行讨论求解即可，并检验集合元素的互异性. 【详解】因为集合，且，所以或. 若，则，此时，元素6重复，不符合集合元素的互异性； 若，则，，符合. 故. 【例2-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为： 【变式2-1】（26-27高一上·全国·期中）已知集合，−，则实数的值为（    ） A．− B．−或 C． D．− 【答案】A 【详解】由，得（无实数解）或，得. 当时，，满足互异性，故. 【变式2-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 【变式2-3】（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数 【解题方法】分类讨论+判别法 【例3-1】（26-27高一上·广东深圳·期中）若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 【答案】 【详解】当时，原式为，解得，符合题目要求； 当时，因为只有一个元素故，解得， 故a的取值集合是. 【例3-2】（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，方程为，解得，集合有 1 个元素，满足条件. 当时，方程是一元二次方程，，解得且. 综上，. （2）当时，方程，有 1 个根，满足至多 1 个元素. 当时，一元二次方程要求，解得. 综上，或. 【变式3-1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数________ 【答案】 或 【分析】分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，结合一次方程解的性质与二次方程判别式构造方程求解. 【详解】依题意，方程只有1个实根： 当时，方程只有1个实根为，，符合题意； 当时，由解得，此时符合题意. 故实数的取值为或. 【变式3-2】（26-27高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 【变式3-3】（26-27高一上·山西·阶段检测）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【考点题型四】列举法和描述法 【解题方法】抓住描述法的一般元素和共同特征 【例4-1】（25-26高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 【例4-2】（26-27高一·全国·课后作业）设集合． （1）试判断元素1，与集合的关系； （2）用列举法表示集合 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意分别将代入即可验证元素1，与集合B的关系； （2）由题意首先确定的值，然后求得的值即可确定集合B. 【详解】（1）当时， 当时，. 因此 （2）因为时，， 所以，此时， 所以 【变式4-1】（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M=_____. 【答案】 【分析】将代入式子，依次计算得到答案. 【详解】当a=2时，因为2∈M，所以=-3∈M；因为-3∈M，所以=∈M； 因为∈M，所以∈M；因为∈M，所以=2∈M，所以M=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的列举法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 【变式4-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）设，用列举法表示A=____________. 【答案】 【分析】为正整数且也为整数,可知能够被6整除，逐个正因数计算即可． 【详解】由题意得,,故为6的正因数,所以,故,故,列举法得出答案. 故答案为. 【点睛】本题主要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,表示自然数,表示正自然数,即正整数.表示整数. 【变式4-3】（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知集合，则集合用列举法表示为__________________ 【答案】 【分析】由，，可得是12不小于3的因数，列出因数，求解即可 【详解】由，，则是12不小于3的因数，则可为3,4,6,12，即为0,1,3,9， 则集合用列举法表示为 【点睛】本题考查描述法与列举法的转换，列举法表示集合，数集的应用 【考点题型五】子集（真子集）问题 【例5-1】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，时；，时，； ，时；，时，； ，时；，时，. 所以，有4个元素，真子集个数. 【例5-2】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，分类讨论结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，， 由集合中元素的互异性可得且， 此时的可能值为，其中， 若即时，，所以， 此时集合的真子集个数为； 若即且时，， 此时集合的真子集个数为； 综上所述：集合的真子集个数的可能取值是3或7. 故答案为：3或7. 【变式5-1】（天津市南开中学2026-2027学年第一学期高一年级“启航计划”数学学科阶段性测试试卷）已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据其子集个数列关系式求解范围. 【详解】，因为集合有且只有个子集， 所以集合中有且只有个整数，可知，三个整数关于对称， 所以， 所以，解得. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式5-3】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知集合有且仅有一个真子集，则实数__________． 【答案】或 【详解】因为集合有且仅有一个真子集， 所以方程只有唯一解， 当时，，符合题意； 当时，，即， 所以实数或. 【考点题型六】根据集合关系求参数（重点题型） 【解题方法】数轴法，列举法，特别注意不要忽视空集 【例6-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合. (1)若，求a的值. (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1），得到方程组，求出； （2）分和两种情况，得到方程，检验后求出答案 【详解】（1），若，则， 则，解得； （2），若，则，解得， 若，则或， 若，则，解得或， 当时，，解得，此时，满足， 当时，由（1）可知，，满足要求； 若，则，解得或7， 当时，，解得或，故， 不满足， 综上，或 【例6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式6-1】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，。 (1)当时，求集合的子集的个数； (2)若，求实数的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出中的自然数，根据集合中子集的个数公式即可求解； （2）根据题意，由，结合是否为空集分类讨论即可求解. 【详解】（1）已知集合，当时，，共个元素，子集个数为. （2）已知集合，， 当，即，解得，此时满足； 当时，若，则需且，，得； 故实数的取值范围为. 【变式6-2】（26-27高一上·吉林松原·阶段检测）已知集合. (1)若的子集有两个，求实数的取值集合. (2)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （2）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为，所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【变式6-3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，. (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 或或 (3) 【详解】（1）∵ 集合中只有一个元素， ∴ 一元二次方程有两个相等的实数根，判别式. ∴. 解得. （2）①当时，方程无解，故，满足，符合条件. ②当时，解方程得. ∵ ，∴ . 若，解得. 若，解得. 综上，的取值为或或. （3）1. 当时，满足，此时判别式，解得. 2. 当只有一个元素时，需满足且方程的根为-1或4， 由得，代入方程得，解得且， 故该情况不成立. 3. 当时，由韦达定理得，该方程组无解. 综上，的取值范围为. 【考点题型七】集合的综合运算 【解题方法】并交补定义，请特别注意区分交集（）并集（）符合的区别 【例7-1】（26-27高一上·吉林辽源·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，，得. 【例7-2】（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 集合，， 所以，. 【变式7-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为． 因为全集，， 所以或 因为， 所以或． 【变式7-2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别化简集合与集合，再根据交集的定义求解两集合的公共元素即可. 【详解】 由，得，解得或，因此，又，所以. 【变式7-3】（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知集合，，则中元素个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 则. 【考点题型八】根据集合的运算结果求参数 【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数 【例8-1】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求： (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合：由，解得或， 故，. 当时，， 故， （2）由，可知， 即， 于是需满足，解得且，即， 又已知，故实数的取值范围是. 【例8-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）并集为全集等价于填补的补区间，根据区间端点列不等式组，取交集得到参数范围； （2）交集条件等价于是补集的子集，分空集、非空两类讨论，分别列不等式后取并集得参数范围. 【详解】（1）集合或，， 若，则，解得，取交集得， 故实数的取值范围是； （2）由已知，等价于， 分两种情况讨论： ①当∅时，满足子集关系，此时，解得； ②当∅时，有，解得， 综上，， 故实数的取值范围是. 【变式8-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) 或，或 (2) 【分析】（1）代入后依次按补集、并集的定义计算即可； （2）将转化为，分集合为空集、非空集两种情况求解参数范围. 【详解】（1）已知集合，， 若，则， 所以或，或. （2）若，则， 当时，即，满足，符合题意； 当时，即，若，则； 综上所述，的取值范围为. 【变式8-2】（26-27高一上·河南周口·期中）若集合，集合. (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念即可求出； （2）根据，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时， .    .   . （2）因为，所以. 要使 ，需满足：   ，解得. 同时集合必须非空（或至少在包含A时非空），即 . 综上所述，实数的取值范围是. 【变式8-3】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，分和两种情况，结合包含关系运算求解即可； （2）分和两种情况，结合交集运算求解即可. 【详解】（1）若，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）若， 当时，则，解得，显然符合题意； 当时，则或， 解得或空集； 综上所述：实数的取值范围为. 【考点题型九】实际问题中的集合问题 【解题方法】利用图解 【例9-1】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）某学校组织学生前往智慧农场体验采摘活动，共有30名学生参与，其中，参与采摘草莓的有18人，参与采摘蓝莓的有20人，参与采摘树莓的有20人．已知只参与采摘一种水果的学生有8人，则三种水果都参与采摘的学生人数为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，借助容斥原理列式求解. 【详解】设参与采摘草莓的同学构成集合，参与采摘蓝莓的同学构成集合，参与采摘树莓的同学构成集合， 则集合的元素个数分别为，且集合的元素个数为， 在如下的韦恩图：    由，得， 由，得， 因此，解得， 所以同时参加了三项活动的人数为6. 【例9-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 【答案】5 【分析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可得解. 【详解】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有5人． 故答案为：5． 【变式9-1】（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）对班级若干名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成多3人，其余的不赞成．已知对、都赞成的学生有18人，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，则班级总人数是_______________人． 【答案】 【详解】设班级总人数是，则赞成的有，赞成的有，对、都不赞成的有， 如图可得， 解得，即班级总人数为. 【变式9-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为________. 【答案】126 【详解】依题意，，，. 图中阴影部分表示在中的补集，即，共7个元素，其非空真子集的个数为. 【变式9-3】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    【考点题型十】集合中的新定义题（选填题） 【例10-1】（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】①计算得： ， ， ，满足性质， ①正确. ②计算得： ， ， ，不满足性质， ②错误. ③由互异性得且，结合，得. ，，计算得： ， 由逐一验证： ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，交集非空，不满足； ：，，而中均小于，均大于， 无公共元素，满足性质，因此满足性质的的取值为， 由于时不满足性质，所以命题③不成立. ④由，所有两元素差的绝对值都必须是中的元素， 求： ，该值属于.又，不可能等于， 故只能，解得. 求： 代入，，，则属于. 假设，即，此时，但不在中， 即会多出元素，与矛盾，因此不能等于，因此只能，解得. 验证：，，符合条件，此时， ④正确. 【例10-2】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为___________. 【答案】4 【分析】由，集合表示的字符串为101001，得出，进而求出集合，从而得到答案． 【详解】若，集合表示的字符串为101001，即， 集合可能是，所以满足条件的集合的个数为4. 【变式10-1】（26-27高一上·广东惠州·阶段检测）对于任意集合 A，B，规定且.若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义将运算转化为集合差集形式，结合两集合相等的性质推导集合A、B的关系，再逐一验证选项即可. 【详解】由且， 已知，任取元素，根据定义有且； 同时，根据定义有 且； 两个结论相互矛盾，说明不存在这样的元素 ，即 且， 由 可得中所有元素都属于，即； 由 可得中所有元素都属于，即； 因此，此时 一定成立，A正确； 不成立，不成立， B，C错误； 若，则无共同元素，与矛盾，D错误. 【变式10-2】（多选）（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 【答案】ACD 【分析】根据“类”的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，即余数为2，故A正确； 对于B，，即余数为1，故B错误； 对于C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，故C正确； 对于D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，故D正确． 【变式10-3】（多选）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫作集合与的“差集”，记作，即且；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫作集合与的“对称差集”，记作，即且．下列四个选项中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】利用“差集”、 “对称差集”的定义，结合子集的定义，交集和并集的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得无公共元素，则，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，且，且， 因此且，D正确. 【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题） 【例11-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1) 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）略 （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 【例11-2】（26-27高一上·山西大同·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【答案】(1) 是＂乘法封闭集＂； 中的所有完美元素为－1 和1. (2)证明 是＂乘法封闭集＂任取 ，根据集合 的定义，可设： 则 因为 均为整数, 所以： 因此 可以表示为 的形式（其中 ，故 . 由乘法封闭集的定义可知，是一个＂乘法封闭集＂. (3) 是集合 的完美元素. 【详解】（1）对 中任意两个元素作乘积： 故 中任意两元素之积仍属于 ， 是乘法封闭集. 又因为： 所以－1 和 1 均为 的完美元素. （2）略 （3）首先， （取 ，均为整数）. 接下来验证其倒数是否也属于 ： 因为 ，所以 . 即： ，且它的倒数 ，满足完美元素的定义. 因此， 是集合 的完美元素. 【变式11-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． (1)分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； (2)已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； (3)已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 【答案】(1) 因为 ，，，，所以 是“差封闭集”； 因为 中 ，所以 不是“差封闭集”． (2)； (3)， 【分析】（1）枚举集合中任意两个不同元素差的绝对值，检验结果是否全部属于原集合，以此判断是否满足差封闭集定义； （2）根据差封闭要求，得到，结合对的取值分类讨论，舍去矛盾情形求出； （3）先由锁定，再对分类得到c的候选值，代入检验排除不满足封闭性的c. 【详解】（1）略 （2） 中，，，还需 ． 若 ，则 ，与 矛盾；若 ，则 ；若 ，无解． 所以 ． （3）（）中， 必须在 中： 得 （舍）； 无解； 得 （舍）；故 ，即 ． 此时 ， 必须在 中： 若 ，则 （舍）；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，无解． 当 时，，两两之差为 ，，，都属于 ，符合； 当 时，，，不符合． 所以 ，． 【变式11-2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义：设非空数集，若，，，则称是一个“乘法封闭集”．已知集合． (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合． 【答案】(1)证明：设，则， 所以． 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”． (2)或 【分析】（1）结合新定义即可求证； （2）由题意得到中恰有2个元素，再结合新定义列出等式求解讨论即可. 【详解】（1）略 （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设． 由“乘法封闭集”的定义可知，，，． 由，得或，即或，所以，或． 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去）， 此时，或． 综上，或． 【变式11-3】（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． (1)判断集合和是否是“开放”集合； (2)若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） (3)若集合是“开放”集合，求的值． 【答案】(1)不是“开放”集合；是“开放”集合 (2)（写出一个即可） (3)1 【分析】(1)根据“开放”集合定义，只要找到一对元素，它们的和与差都不在集合内，即可判定不是开放集合；全部元素两两检验，每一组的和或差至少一个在集合内，才是开放集合； (2)构造5个元素的开放集合，包含1，优先选取对称整数集合，验证任意两元素的和或差属于该集合即可； (3)利用得到或，排除的情况得到，再结合集合互异性与开放集合条件分类讨论求出剩余元素，最后计算代数式的值. 【详解】（1）因为，，所以不是“开放”集合； 集合中任意两个元素，它们的和或者差至少一个在集合内，所以是“开放”集合 （2）满足题意，或 （3）因为集合是“开放”集合，则，至少一个成立． 若，取，，且，不符合开放集合定义，舍去； 所以只能，则，此时，讨论： 若时，，此时，满足题意，； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，无解； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，此时不是“开放”集合； 所以，为， 所以． 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课前预习）方程 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】移项得 ，即 ，故方程的解集为 ． 2．（26-27高一上·全国·期中）设是一个非空数集，若对任意，都有、、（除法要求时），则称为一个“数域”.下列集合中是数域的是（    ） A．整数集 B． C．有理数集 D．自然数集 【答案】C 【分析】对“数域”的定义逐一检验封闭性. 【详解】对于A项，中（）不一定为整数（如），不是数域； 对于B项，中，不满足加法封闭，不是数域； 对于C项，中任意，、、、均为有理数，是数域； 对于D项，中，不满足减法封闭，不是数域. 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知集合，则的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 又，所以. 若一个集合含有个元素，则它的所有子集个数为，真子集需要排除集合本身，因此真子集个数为. 代入，得真子集个数为. 4．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（    ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【详解】① 集合中元素无序，正确； ② 任何集合都是它自身的子集， 正确； ③ 不含任何元素，而 含一个元素 ，故 ，错误； ④ 含元素 ，不是空集，错误； ⑤ 空集是任何集合的子集，正确； ⑥ ， 正确． 所以不正确的是 ③④． 5．（2026·广东汕尾·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式确定集合，再求两个集合的交集. 【详解】由，得，即，故. 又，所以，即. 6．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由并集定义可得. 7．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知均为非零实数，集合，则集合中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故的所有值组成的集合为，2个元素. 8．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）对非空实数集合，规定：，称为集合的差集．已知集合是由整数构成的非空集合，满足，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知中最大、最小元素差为4，由差集确定中的三个元素，求出三个元素的和，再由选项即可得出判断． 【详解】由，知中任意两元素之差都是偶数，则中所有元素均为奇数或均为偶数； 由中元素最大差为，所以的元素只能是三个：，，，，此时，符合题意. 又因为中三个元素和为，易知元素和为3的倍数，选项中只有0为3的倍数. 9．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设存在正实数t，若平面点集满足：任意点，都有，则称该点集为“t阶集”，则下列说法不正确的是（   ）． A．若是“t阶集”，则． B．若是“t阶集”，则t为任意正实数 C．若是“t阶集”，则． D．若是“t阶集”，则． 【答案】D 【分析】本题为新定义题，理解“阶集”的概念是关键.根据定义，对于集合中任意一点，坐标变为后仍在集合中.逐项将代入集合对应的方程或不等式中，求出的取值范围或值，再结合选项进行判断即可. 【详解】点集.若是“阶集”，则任意点满足，其对应的点也满足.将代入，得，解得.因为为正实数，所以.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足，即，此式对任意正实数均恒成立，所以可为任意正实数.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足，即.因为，化简得.要对任意满足的点均成立，必须有.又，所以.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足.已知且，所以.要使对任意符合条件的恒成立，必须有，即(当时)，解得.选项说，故错误. 10．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，时；，时，； ，时；，时，； ，时；，时，. 所以，有4个元素，真子集个数. 11．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设集合，若，则的值为（     ） A．0 B． C． D．0或 【答案】B 【详解】，又， ，解得或， 时，的元素为，符合题意； 时，的元素为，不符合集合的互异性，故（舍去）； 综上，的值为． 12．（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）集合，，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把三个集合中的数写成同分母，比较被4除的余数. 【解答】，分子被4除余3， ，分子被4除余3， 为所有奇数除以4， 故，且是的真子集.于是，选B. 13．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由得，即且， 所以，得． 又中两个元素互异，故． 所以的取值范围是 ． 二、多选题 14．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合 集合，若⊆，则实数的取值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【详解】由，即，得. 选项A，当时，由得，而，故知，故A正确； 选项B，当时，方程即，无解，，由空集是任何集合的子集知，故B正确； 选项C，当时，由得，而，故，故C正确； 选项D，当时，由得，而，故，故D错误. 15．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】分两种情况讨论：和， ①当时，，解得，满足， ②当时，则，得， 综合①，②，成立的完整取值范围是， 对于A：，是的子集，符合； 对于B：，取，此时，不满足，不符合； 对于C：，是的子集，符合； 对于D：，就是完整解集，符合. 16．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设全集，则实数的值可以是（     ） A．0 B． C．4 D．1 【答案】ABD 【分析】利用集合运算性质将转化为，先求解集合，再分为空集、非空集两种情况讨论参数的取值，逐一验证选项即可。 【详解】 由，得，解得或，所以. 由，得. 当时，方程无解，即，满足； 当时，方程解为，由，得，解得或. 故实数的值可以是0，1，. 17．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设全集，集合，是的两个子集，对于任意，定义下列选项中能推出的是（     ） A．对于任意，都有 B．对于任意，都有 C．对于任意，都有 D．对于任意，都有 【答案】BC 【分析】首先明确等价于对任意，当且仅当，结合的分段定义逐一分析各选项条件能否推出该结论即可. 【详解】选项A：若对任意，，则且恒成立，即，， 此时，无法推出，A错误； 选项B：若对任意，，仅存在两种情况： ①，即且；②，即且， 说明且，恰好满足，B正确； 选项C：若对任意，，首先分母即恒成立，得， 其次分子恒成立，得，此时，可推出，C正确； 选项D：若对任意，，则或， 即若则必有，仅说明，无法推出（例如满足该式，但），D错误. 三、填空题 18．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设，若集合有且仅有两个子集，则______． 【答案】或 【分析】根据集合的子集性质和分式方程与化成的整式方程的根的特征分类考虑，计算即得. 【详解】依题意，方程只有一个实数根，因即， 可得（*）， 则方程（*）只有这一个根或者有0和1（增根）两个根， 即或，解得或. 19．（26-27高一上·上海松江·阶段检测）若集合，，且，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据交集的结果得到，且，再将两个元素代入对应不等式，进而列不等式组求解即可． 【详解】由，且， 则，且， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 20．（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）已知全集为，集合，，若，则________ 【答案】0或3 【详解】由集合运算性质可知，等价于，即集合的所有元素都属于集合. 根据集合元素的互异性，集合中. 由于，，因此，分两种情况讨论： 当时，，此时，，满足，且所有元素互异，符合要求； 当时，整理得，解得或; 若，则，，，满足，且所有元素互异，符合要求； 若，集合不满足元素互异性，舍去. 综上，的取值为0或3. 21．（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，.若，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】先求，再由分类. 【解答】，等价于. 当时，，得， 当时，， 当时，， 所以，所以，不符合题意， 当时，，此时A有两个不同元素，由得，即方程的两个根为-1和3， 无解， 综上所述的取值范围为. 四、解答题 22．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设，，且． (1)求的值及集合； (2)设全集，求； (3)求的子集个数． 【答案】(1)，，； (2) (3)4个 【分析】（1）将代入中,即可求得的值，根据的值，即可求出集合； （2）先求出全集，再根据求解即可； （3）求出，再列举出其子集即可. 【详解】（1）根据题意得：，， 将代入中的方程得：， 解得， 则，； （2）因为，， 所以； （3）的所有子集为，，，．共4个． 23．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知全集，， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集和补集的定义求解； （2）利用交集和子集的定义求解. 【详解】（1），，， 或， 因为，所以， . （2）因为，所以， ，， 当时，即，满足 当时，即时，需使，即. 综上所述，的取值范围是 . 24．（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解. （2）给定并集的结果，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，则或， 而，所以． （2）由，得． 当时，满足，则，解得； 当时，由，得， 所以a的取值范围为． 25．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，先求出集合，再求出，最后利用交集的定义求解即可； （2）由得出，结合可知是的真子集，分和两种情况讨论，列出关于的不等式组即可求解. 【详解】（1）当时，集合， 则或， 因为，所以. （2）由题意可得，. 又因为，所以  . ①当时，满足  ，此时，解得； ②当时，需满足，解得. 又因为，所以与不能同时成立，解得. 所以此时. 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【知识点02】集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【知识点03】子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【知识点04】真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【知识点05】并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【知识点06】交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【知识点07】全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【考点题型一】辨别元素与集合，集合与集合的关系 【解题方法】元素与集合关系：属于（）和不属于（）两个关系 集合与集合关系：包含；真包含；相等关系。 【例1-1】（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27高一上·重庆长寿·阶段检测）下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（26-27高二上·江西宜春·期中）设集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数 【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性 【例2-1】（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）若集合，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【例2-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【变式2-1】（26-27高一上·全国·期中）已知集合，−，则实数的值为（    ） A．− B．−或 C． D．− 【变式2-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖北孝感·阶段检测）设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数 【解题方法】分类讨论+判别法 【例3-1】（26-27高一上·广东深圳·期中）若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 【例3-2】（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【变式3-1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数________ 【变式3-2】（26-27高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【变式3-3】（26-27高一上·山西·阶段检测）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【考点题型四】列举法和描述法 【解题方法】抓住描述法的一般元素和共同特征 【例4-1】（25-26高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 【例4-2】（26-27高一·全国·课后作业）设集合． （1）试判断元素1，与集合的关系； （2）用列举法表示集合 【变式4-1】（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M=_____. 【变式4-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）设，用列举法表示A=____________. 【变式4-3】（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知集合，则集合用列举法表示为__________________ 【考点题型五】子集（真子集）问题 【例5-1】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 【变式5-1】（天津市南开中学2026-2027学年第一学期高一年级“启航计划”数学学科阶段性测试试卷）已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式5-3】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知集合有且仅有一个真子集，则实数__________． 【考点题型六】根据集合关系求参数（重点题型） 【解题方法】数轴法，列举法，特别注意不要忽视空集 【例6-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合. (1)若，求a的值. (2)若，求实数a的取值范围. 【例6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式6-1】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）设集合，。 (1)当时，求集合的子集的个数； (2)若，求实数的取值范围。 【变式6-2】（26-27高一上·吉林松原·阶段检测）已知集合. (1)若的子集有两个，求实数的取值集合. (2)若且，求实数的取值集合. 【变式6-3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，. (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数的值. 【考点题型七】集合的综合运算 【解题方法】并交补定义，请特别注意区分交集（）并集（）符合的区别 【例7-1】（26-27高一上·吉林辽源·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（26-27高三上·重庆北碚·阶段检测）已知集合，，则中元素个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型八】根据集合的运算结果求参数 【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数 【例8-1】（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求： (2)若，且，求实数的取值范围． 【例8-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-1】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求的取值范围． 【变式8-2】（26-27高一上·河南周口·期中）若集合，集合. (1)若，求； (2)当时，求实数的取值范围. 【变式8-3】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型九】实际问题中的集合问题 【解题方法】利用图解 【例9-1】（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）某学校组织学生前往智慧农场体验采摘活动，共有30名学生参与，其中，参与采摘草莓的有18人，参与采摘蓝莓的有20人，参与采摘树莓的有20人．已知只参与采摘一种水果的学生有8人，则三种水果都参与采摘的学生人数为_______． 【例9-2】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有4人，同时参加三项比赛的有2人，则同时参加田赛和径赛的有__________人. 【变式9-1】（26-27高一上·上海虹口·阶段检测）对班级若干名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成多3人，其余的不赞成．已知对、都赞成的学生有18人，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多1人，则班级总人数是_______________人． 【变式9-2】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为________. 【变式9-3】（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【考点题型十】集合中的新定义题（选填题） 【例10-1】（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）对于给定的非空集合，定义集合 ， ，若，则称集合满足性质，则下列命题成立的是（    ） ①集合满足性质； ②集合满足性质； ③若集合满足性质且，，则； ④若集合，且，则． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【例10-2】（26-27高一上·福建莆田·阶段检测）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为___________. 【变式10-1】（26-27高一上·广东惠州·阶段检测）对于任意集合 A，B，规定且.若 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（多选）（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 【变式10-3】（多选）（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫作集合与的“差集”，记作，即且；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫作集合与的“对称差集”，记作，即且．下列四个选项中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题） 【例11-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【例11-2】（26-27高一上·山西大同·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． (1)判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； (2)证明：是一个“乘法封闭集”； (3)判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【变式11-1】（26-27高一上·甘肃兰州·期中）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． (1)分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； (2)已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； (3)已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 【变式11-2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义：设非空数集，若，，，则称是一个“乘法封闭集”．已知集合． (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合． 【变式11-3】（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． (1)判断集合和是否是“开放”集合； (2)若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） (3)若集合是“开放”集合，求的值． 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课前预习）方程 的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）设是一个非空数集，若对任意，都有、、（除法要求时），则称为一个“数域”.下列集合中是数域的是（    ） A．整数集 B． C．有理数集 D．自然数集 3．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知集合，则的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）有下列关系式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中不正确的是（    ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 5．（2026·广东汕尾·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知均为非零实数，集合，则集合中元素的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（26-27高一上·四川绵阳·阶段检测）对非空实数集合，规定：，称为集合的差集．已知集合是由整数构成的非空集合，满足，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设存在正实数t，若平面点集满足：任意点，都有，则称该点集为“t阶集”，则下列说法不正确的是（   ）． A．若是“t阶集”，则． B．若是“t阶集”，则t为任意正实数 C．若是“t阶集”，则． D．若是“t阶集”，则． 10．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）定义集合，已知集合，，则集合的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设集合，若，则的值为（     ） A．0 B． C． D．0或 12．（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）集合，，的关系是（　　） A． B． C． D． 13．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合 集合，若⊆，则实数的取值可以是（    ） A． B．0 C． D．1 15．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，，则使得成立的实数的取值范围可以是（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）设全集，则实数的值可以是（     ） A．0 B． C．4 D．1 17．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设全集，集合，是的两个子集，对于任意，定义下列选项中能推出的是（     ） A．对于任意，都有 B．对于任意，都有 C．对于任意，都有 D．对于任意，都有 三、填空题 18．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设，若集合有且仅有两个子集，则______． 19．（26-27高一上·上海松江·阶段检测）若集合，，且，则实数的取值范围为__________． 20．（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）已知全集为，集合，，若，则________ 21．（26-27高一上·山东枣庄·阶段检测）已知集合，.若，则的取值范围为______． 四、解答题 22．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）设，，且． (1)求的值及集合； (2)设全集，求； (3)求的子集个数． 23．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知全集，， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 24．（26-27高一上·辽宁抚顺·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 25．（26-27高一上·四川内江·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $