3.3 幂函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 1、幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 2、幂函数的特征： ①的系数为；②的底数是自变量；③的指数为常数。同时满足以上三个条件才是幂函数。 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减， 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 4、特定幂函数的性质： ①函数，，，和的图像都通过点（，）； ②函数，，是奇函数，函数是偶函数； ③在区间（，）上，函数，，，单调递增，函数是单调递减。 ④在第一象限内，函数的图像向上与轴无限接近，向右与轴无限接近。 ⑤在（，）上，幂函数中越大，函数图像越靠近轴；在（，）上幂函数中越大，函数图像越远离轴。 5、单调区间： 当为整数时，的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。 ①当为正奇数时，图像在定义域为内单调递增； ②当为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增； ③当为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域内单调递减）； ④当为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。 ⑤，在第一象限内递增；，在第一象限内递减。 6、幂函数图象的特点、性质： ①如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点。 ②幂函数的图象最多只能经过两个象限内；幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。 ③过定点：所有的幂函数在（，）都有定义，并且图象都通过点（，）。 ④单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在（，）上为增函数。如果，则幂函数的图象在（，）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴。 ⑤奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。 当（其中互质，和），若为奇数为奇数，则是奇函数，若为奇数为偶数，则是偶函数，若为偶数为奇数，则是非奇非偶函数。 ⑥图象特征：幂函数，（，），当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方；当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方。 ⑦在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列。 7、分数指数幂： 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是且。 我们规定，正数的负分数指数幂的意义是且。 我们规定，0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。 【题型1】判断函数是否是幂函数A根据函数是幂函数求参数值 1．下列函数是幂函数的是（　　） A．y＝2x2 B． C．y＝﹣x﹣1 D．y＝2x 2．下列函数中，，y＝2x+1，y＝x3+x，是幂函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．现有下列函数：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若函数f（x）＝（m﹣1）xm+1是幂函数，则实数m＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．已知函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）为幂函数，则实数a的值为（　　） A．﹣1或2 B．﹣2或1 C．﹣1 D．1 【题型2】求幂函数的解析式 1．已知幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（x）＝（　　） A．x4 B．x3 C．x6 D．x5 2．若幂函数f（x）＝xa的图象经过点，则函数f（x）的解析式是（　　） A． B． C． D． 3．已知点（a3，2）在幂函数f（x）＝（a﹣1）xb的图象上，则（　　） A．f（x）＝x﹣1 B． C．f（x）＝x3 D． 4．已知点（m，）在幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图像上，则（　　） A．f（x）＝x﹣2 B．f（x）＝x﹣4 C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x4 5．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2的图象经过原点，则m＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．2 【题型3】求幂函数的值 1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（　　） A． B． C．4 D．8 2．若幂函数f（x）的图象过点，则f（4