专题02 常用逻辑用语（ 7个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【知识点02】从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若与互不包含，则是的既不充分也不必要条件. 【知识点03】充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【知识点04】全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【知识点05】常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【考点题型一】充分性，必要性的判断 【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例1-1】（26-27高一上·吉林四平·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，当且仅当时，取等号， 当时，，但， 故“”是“”的充分不必要条件． 【例1-2】（26-27高二上·江西宜春·期中）“”是“或”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充分必要”“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】若， 则当时，；当时，. 所以或； 若或，则不能同时成立， 取，则. 故“”是“或”的充分不必要条件. 【变式1-1】（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）“”是“关于的方程有两个负根”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】关于的方程有两个负根， 则，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 【变式1-2】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知：和：，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别验证推出关系，由可以推出说明必要成立，举出反例说明由推不出，充分不成立，从而判定为必要不充分条件． 【详解】①必要性成立， 若， 则，且， 所以， ②充分性不成立， 举反例：取，，，满足， 但是，不满足， 所以是的必要不充分条件． 【变式1-3】（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）实数与，“”的（    ）条件是“或”． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】充分性判断：若或，不能推出， 反例：如取，，满足，但，不满足，故充分性不成立. 必要性判断：若，则必有或， 利用逆否命题证明：若且，则，显然成立，因此原命题成立，故必要性成立. 因此“或”是“”的必要不充分条件. 【考点题型二】根据充分性，必要性求参数 【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例2-1】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由充分不必要条件以及集合之间的关系即可求解. 【详解】因为是的充分不必要条件， 故集合为集合的真子集， 则且等号不同时成立，则. 【例2-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）代入求出，再按全集为实数集求补集与的交集． （2）根据给定条件，利用充分不必要的定义，结合集合的包含关系列式求出的范围． 【详解】（1）当时，． 由，得． 所以． （2）由的定义知． “”是“”的充分不必要条件，等价于真包含于， 由、，得且． 解，得； 解，得或，因此， 而当时，， 所以实数的取值范围是． 【变式2-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为______． 【答案】 【分析】由题意可得是的真子集，分与讨论求解. 【详解】， 由是的充分不必要条件，可知是的真子集， 当时，满足是的真子集，； 当时，需或，得或. 综上，. 【变式2-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若“条件”是“条件”的充分不必要条件，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义，结合题意可得，由此列方程组，求解可得m的取值范围. 【详解】由题意得，. 由，得. 所以m的取值范围是. 【变式2-3】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的值． 【答案】(1)， (2)． 【详解】（1）若，则，， 所以，． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以． 解方程，得，． 当时，，，集合A不满足集合中元素的互异性． 当时，， 则当，即时，，集合A不满足集合中元素的互异性； 当，即(舍负)时，此时，满足题意． 综上，实数的值为． 【考点题型三】命题的否定 【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。 【例3-1】（26-27高三上·江苏·学业考试真题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以原命题的否定为“”. 【例3-2】（26-27高一上·广东深圳·期中）命题：“，”的否定是________________________________． 【答案】 ， 【分析】根据全称命题的否定为特称命题的规则，替换量词并否定结论即可得到结果. 【详解】根据含量词命题的否定的改写规则，先将量词“”替换为“”，再将“”改为“”， 得到命题“”的否定为“”. 【变式3-1】（26-27高一上·天津宝坻·阶段检测）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定规则，替换量词并否定结论判断即可. 【详解】命题为存在量词命题，存在量词命题的否定为全称量词命题， 因此为，，A正确. 【变式3-2】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题：，，则是，. 【变式3-3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“，”． 【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，判别法，基本不等式等方法 【例4-1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合 ，非空集合 ． (1)若命题 ，，并且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； (2)若“命题 ”是假命题，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将命题为真转化为，且 ，结合非空列不等式组求解； （2）将命题为假转化为，结合非空分类讨论求解. 【详解】（1）由得，即． 是的必要不充分条件，即且不能推出，故且． 由得且，即． 又 需要 且，不可能同时成立，所以． 故 ． （2）“”为假命题，即． 因为，所以或． 由知不可能，故，即． 所以． 【变式4-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知命题“，使”是真命题，则实数的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合判别式求得的取值范围. 【详解】依题意：“，使”是真命题， ，解得或. 【变式4-2】（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）已知集合，若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由命题“”是假命题，可得命题“”为真命题. 即，对任意恒成立， 又，所以，故， 所以实数的取值范围为. 【考点题型五】不等式在非区间上恒（能）成立问题 【解题方法】分离变量，基本不等式，对钩函数等方法 【例5-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将存在量词命题为假转化为其否定的全称量词命题为真，求出的取值范围，再结合必要不充分条件与集合包含关系的对应性来判断. 【详解】命题“，”为假命题，命题“，”为真命题，即对任意的恒成立. 令，为开口向上的二次函数，对称轴为； ，当时，取得最大值，即； 原命题为假的充要条件为，则 必要不充分条件对应的集合需真包含集合. 对于A，对应的集合不包含，故A错误； 对于B，对应的集合不包含，故B错误； 对于C，真包含于对应的集合，故C正确； 对于D，对应的集合真包含于，为充分不必要条件，故D错误. 【例5-2】（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】命题“”为假命题， 它的否定：为真命题， 即， 令， 二次函数对称轴， ， 存在性：只需， ， 实数的取值范围：. 【变式5-1】（26-27高一上·湖南·阶段检测）若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可. 【详解】存在实数满足，使得不等式成立， 等价于，其中， 令，，当时，，所以． 【变式5-2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于命题：“，”为假命题， 故“，”为真命题，即，使得成立， 由于在上的最小值在时取得，最小值为1， 故，即实数的取值范围为. 【变式5-3】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题：“，”为假命题，它的否定：一定是真命题. 二次函数开口向上，对称轴为. 在区间上，当时取得最大值. 要让对所有恒成立，只需大于在该区间的最大值， 即，对应区间为. 【考点题型六】二次函数在区间上的恒（能）成立问题 【解题方法】判别法（注意，只有二次函数+范围才可单独使用判别法，否则都是错误的） 【例6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 【变式6-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 【变式6-3】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集即可. 【详解】当时，不等式化为，符合题意； 当时，由，不等式为真命题， 所以，即，解得， 综上，实数的取值范围为. 【考点题型七】常用逻辑用语中新定义题 【例7-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，当时都有，则称是“封闭”函数.已知两个命题：：函数是“封闭”函数.：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数且.则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【答案】B 【分析】根据题目中“封闭”函数的定义，分别判断命题和命题是否成立. 【详解】当时，， 而，故P为假命题； 对于集合使，则， 而是“封闭”函数，则，即，都有， 对于区间使，则， 而， ， 即，故一定是“封闭”函数，故Q为真命题. 故选：B. 【例7-2】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）定义：对于两个非空集合 ,，若 ，则称容纳.已知集合，集合(). (1)当 时，判断是否容纳，并说明理由； (2)若集合 容纳集合，求实数 的取值范围； (3)若“集合容纳 ”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)定义：若非空，且，则称容纳.,(). 当时，容纳. 时，.，显然非空， 中的元素都在中，即 ，所以容纳. (2). (3). 【分析】新定义“容纳”需要满足两个条件，非空，.根据设问，逐一检验这两个条件即可. 【详解】（1）当时，容纳，理由如下. 时，.，显然非空， 中的元素都在中，即 ，所以容纳. （2）集合 容纳集合，则,解得.,解得.所以的取值范围是. （3）集合容纳 ，则，解得. “集合容纳 ”是“”的充分不必要条件,则是的真子集，，即实数的取值范围是. 【变式7-1】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题中定义、充分不必要的性质进行求解即可. 【详解】. 因为表示不大于的最大整数， 所以由. A：显然当成立时，成立，所以本选项符合条件； B：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； C：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； D：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件. 【变式7-2】（25-26高一上·上海静安·期末）对于函数，若存在，使得成立，则称函数是“准奇函数”，为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数，使得有无数个“准奇值”. 下列判断正确的是（　　  ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】命题①根据“准奇函数”的定义，按和分类讨论，判断是否有解即可；命题②根据“准奇函数”的定义，当时，令，解出的值即可判断. 【详解】对于命题①：当时，；当时，， 若是“准奇函数”，需存在使得，分两种情况讨论： 1）若，则，，， 代入得，显然，即无解； 2）若，则，，， 代入得，即， 因为，，所以无解； 综上不存在满足条件，即不是“准奇函数”，命题①为真命题； 对于命题②：当时，，当时，， 若是“准奇函数”，需存在，使得， 若，则，代入得，解得， 因此存在实数，使得有无数个“准奇值”(所有均为准奇值)，命题②为真命题， 故选：A 【变式7-3】（多选）（26-27高一上·广东中山·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ） A．， B．，，若，则 C．， D．方程的解集为 【答案】BCD 【分析】对于A，取，，，A错误，对于B，，则，，故，B正确，对于C ，设，讨论与 求解，对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值. 【详解】对选项A：取，则，，A错误； 对选项B：，则，，故， 所以，B正确； 对选项C：设， 所以， ， 当时，，，，. 所以，， 故当时，成立； 当 时，则，，，. 所以，， 故当时，成立，综上C正确； 对选项D：由知，一定为整数且， 所以，所以，所以， 由得， 由解得， 只能取，由解得或 (舍去)， 故，所以或， 因为，， 所以当时，；当时，， 所以方程的解集为，故D正确. 一、单选题 1．（湖北鄂东南联盟2026-2027学年高三上学期11月联考数学试卷）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】将存在量词替换为全称量词，保留限制条件不变，否定结论， 因此原命题的否定为，. 2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，故或，解得或， 所以可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件 3．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设，． 由得，解得， 记． 由，知，等价于且， 解得，记． 因为，所以能推出，即是的必要条件； 又而，所以不能推出，即不是的充分条件． 所以“”是“”的必要不充分条件． 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）设，则 “” 是 “” 的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，可得， 解得，代入得，因此充分性成立； 若，取，此时，，显然，因此必要性不成立. 综上，“” 是 “”的充分不必要条件. 5．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“存在，使得成立”为假命题， 则其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为，该不等式要在上恒成立， 则需小于等于的最小值. 根据基本不等式，当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围是. 6．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将问题转化为当时，恒成立，再利用二次函数的性质，及不等式恒成立的充要条件得到，进而解不等式即可． 【详解】由命题为假命题， 则命题：，都有为真命题， 即当时，恒成立， 又当时，， 所以，解得，或． 所以实数的取值范围为． 7．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断选项. 【详解】由题意可得：，因为， 所以两边同时除以得：， 令，，由均值不等式可得： ，当时取最小值， 故成立时，， 在A选项中,与命题中的取值范围相同，是充要条件， 在B选项中，， 所以是命题的一个必要不充分条件， 在C选项中，与没有包含关系， 所以不是必要不充分条件， 在选项D中，与没有包含关系， 所以，不是必要不充分条件. 二、多选题 8．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）设集合，条件：，下列是的充分不必要条件的有（     ） A．： B．： C．： D．： 【答案】AC 【详解】由 得，等价于，解得， 若是的充分不必要条件，则对应的集合是的真子集， 选项A：是的真子集，满足要求，A正确； 选项B：中存在元素（如）不属于，不是的子集，不满足要求，B错误； 选项C：是的真子集，满足要求，C正确； 选项D：中除外其余元素均不属于，不是的子集，不满足要求，D错误. 9．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】BD 【详解】由 得 ， 解得或， 对于A， 时 ，代入不等式中，，不满足充分性，故A 错误； 对于B，，， 都满足不等式或， 但或不能推出，，， 所以是充分不必要条件，故B 正确； 对于C，该条件与解集完全相同，是充要条件，故C 错误； 对于D，可以推出或， 但或不能推出， 所以是充分不必要条件，故D 正确． 三、填空题 10．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，再按集合是否为空集分类讨论，求出参数范围. 【详解】由题意，是的充分不必要条件，等价于是的真子集. 当，即时，. 因为，符合题意. 当，即时，. 要使，需满足且，结合，得. 此时，故，真包含关系成立. 综上，实数的取值范围为. 11．（26-27高一上·河北廊坊·期中）若命题：“，”是真命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，为真命题， 因为时，命题显然不成立， 所以，， 解得， 所以实数的取值范围是. 12．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【详解】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时， 不成立，此时原命题为真，不符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 四、解答题 13．（26-27高一上·湖北黄冈·期中）（1）求不等式的解集. （2）求不等式的解集. （3）设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解. （2）将不等式转化为不等式组，再利用一元二次不等式求解. （3）化简命题，再利用命题真假求出范围. 【详解】（1）不等式，解得， 所以所求解集为. （2）不等式， 则，解得或， 所以所求解集为. （3）当时，， 由对任意，不等式恒成立， 得，则，解得，因此命题； 不等式， 当时，， 由存在，使得不等式成立，得，因此命题， 由命题p与命题q一真一假，得真假，即，或假真，即， 所以实数m的取值范围是. 14．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围； (2)若命题与一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，求出在上的最小值，进而即可得到答案； （2）根据为真等价于判别式非负，从而得到为真时的取值范围，进而结合（1）即可得到答案． 【详解】（1）令，， 则是开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，在上单调递增，则，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 要命题为真命题，即要，解得； 当时，在上单调递减，则的最小值，不符合题意，舍去． 综上，真时，的取值范围为． （2）若真，则， 解得，或，此时． 由一真一假， 结合（1），当真假时，得； 当假真时，得． 故的取值范围为． 15．（26-27高一上·全国·期中）设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对集合B是否为空集进行分类讨论，再由交集结果即可求出实数的取值范围； （2）由题意可知为的真子集，得出不等式可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得. （2）因或，故， 因为，故，即. 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集， 故， 解得. 所以实数的取值范围为 16．（25-26高一上·福建三明·期中）已知集合，集合 (1)求集合； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解分式不等式可得集合； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的必要条件，所以， ，所以， 所以，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【知识点02】从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若与互不包含，则是的既不充分也不必要条件. 【知识点03】充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【知识点04】全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【知识点05】常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 【考点题型一】充分性，必要性的判断 【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例1-1】（26-27高一上·吉林四平·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（26-27高二上·江西宜春·期中）“”是“或”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充分必要”“既不充分又不必要”） 【变式1-1】（26-27高一上·重庆璧山·阶段检测）“”是“关于的方程有两个负根”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知：和：，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）实数与，“”的（    ）条件是“或”． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【考点题型二】根据充分性，必要性求参数 【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围 【例2-1】（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值集合为______． 【变式2-2】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）若“条件”是“条件”的充分不必要条件，则m的取值范围是______. 【变式2-3】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的值． 【考点题型三】命题的否定 【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。 【例3-1】（26-27高三上·江苏·学业考试真题）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例3-2】（26-27高一上·广东深圳·期中）命题：“，”的否定是________________________________． 【变式3-1】（26-27高一上·天津宝坻·阶段检测）已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（26-27高一上·四川成都·阶段检测）命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）已知命题：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点题型四】根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，判别法，基本不等式等方法 【例4-1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知集合 ，非空集合 ． (1)若命题 ，，并且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； (2)若“命题 ”是假命题，求实数 的取值范围． 【变式4-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知命题“，使”是真命题，则实数的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）已知集合，若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________． 【考点题型五】不等式在非区间上恒（能）成立问题 【解题方法】分离变量，基本不等式，对钩函数等方法 【例5-1】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【例5-2】（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 【变式5-1】（26-27高一上·湖南·阶段检测）若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【考点题型六】二次函数在区间上的恒（能）成立问题 【解题方法】判别法（注意，只有二次函数+范围才可单独使用判别法，否则都是错误的） 【例6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【变式6-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【变式6-3】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为__________． 【考点题型七】常用逻辑用语中新定义题 【例7-1】（25-26高一上·上海静安·阶段检测）已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，当时都有，则称是“封闭”函数.已知两个命题：：函数是“封闭”函数.：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数且.则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 【例7-2】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）定义：对于两个非空集合 ,，若 ，则称容纳.已知集合，集合(). (1)当 时，判断是否容纳，并说明理由； (2)若集合 容纳集合，求实数 的取值范围； (3)若“集合容纳 ”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式7-1】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·上海静安·期末）对于函数，若存在，使得成立，则称函数是“准奇函数”，为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数，使得有无数个“准奇值”. 下列判断正确的是（　　  ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【变式7-3】（多选）（26-27高一上·广东中山·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ） A．， B．，，若，则 C．， D．方程的解集为 一、单选题 1．（湖北鄂东南联盟2026-2027学年高三上学期11月联考数学试卷）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）设，则 “” 是 “” 的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）设集合，条件：，下列是的充分不必要条件的有（     ） A．： B．： C．： D．： 9．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）不等式 成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． 或 D． 三、填空题 10．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________． 11．（26-27高一上·河北廊坊·期中）若命题：“，”是真命题，则实数的取值范围是____________. 12．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题 13．（26-27高一上·湖北黄冈·期中）（1）求不等式的解集. （2）求不等式的解集. （3）设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围. 14．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)当命题为真命题时，求实数的取值范围； (2)若命题与一真一假，求实数的取值范围． 15．（26-27高一上·全国·期中）设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·福建三明·期中）已知集合，集合 (1)求集合； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $