专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（ 11个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册
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内容正文：
专题03等式性质与不等式的性质、基本不等式
（11个考点梳理+题型解读+提升训练）
【知识点01】作差法比较大小
作差法的依据：①；②；③
步骤：
(1)作差；
(2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）
(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）
(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）
【知识点02】不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
【知识点03】重要不等式
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
【知识点04】基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）
【考点题型一】比较两个代数式的大小
【解题方法】作差法
【例1-1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，所以 恒成立．
【例1-2】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若，，则与的大小关系是______．
【答案】
【详解】由，得
，当且仅当时取等号，则，
所以与的大小关系是.
【变式1-1】（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．随 值变化而变化
【答案】C
【分析】作差比较与的大小关系，即与的大小关系．
【详解】．
因为，所以，即，
故对任意实数都有．
【变式1-2】（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵
，
∴，A正确.
【变式1-3】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）比较下列各组中两个代数式的大小： ____ （填写不等式符号）
【答案】
【详解】，
因为，，所以 ，
故.
【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）
【例2-1】（四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】由，，且，得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1.
【例2-2】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，则的最大值为______．
【答案】/
【详解】由，，得，
则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
【变式2-1】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）设，且满足，则的最大值为________.
【答案】
【分析】根据基本不等式的关系，直接求解即可.
【详解】由基本不等式，当时，，
当且仅当时取等号，此时的最大值为.
【变式2-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知，则函数的最大值为______．
【答案】
【详解】由题意得，
由二次根式性质得，故，
当且仅当时取等，此时解得，故最大值为.
【变式2-3】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设，且，则的最大值为________．
【答案】
【详解】因为，，所以，，
由基本不等式可得，故，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）
【例3-1】（26-27高一上·全国·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以由均值不等式可得，
，当且仅当 时取等号，即的最小值为．
【变式3-1】（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】时，，
当且仅当时取等，
则的最小值为．
【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））
形如：
【例4-1】（湖北鄂东南联盟2026-2027学年高三上学期11月联考数学试卷）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】A
【分析】将目标式变形为，利用“1”的妙用，结合基本不等式求解最小值．
【详解】已知，，所以，
因为， ，
所以 ，
展开计算得 ，
因为，，根据基本不等式可得 ，
当且仅当即时等号成立，满足已知条件，
所以，
所以．
【例4-2】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】先凑配，再利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即时，取得最小值，
故取得最小值.
【变式4-1】（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将左侧表达式变形后利用基本不等式可求出其最值，即得答案.
【详解】由题意可知，对任意，恒成立，
因此小于等于函数在区间上的最小值，
因为，所以，
则，
根据基本不等式得：
，
等号成立当且仅当，解得，
因此 ，即在上的最小值为3，
故，即的取值范围是.
【变式4-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
【变式4-3】（24-25高一上·四川达州·阶段检测）若，则函数的最小值为______.
【答案】6
【详解】因为，所以，
所以由基本不等式可得，，
当且仅当，即（舍去的值）时等号成立，
所以函数的最小值为.
【考点题型五】基本不等式（常数代换法）
形如：①已知，求；
或已知，求
【例5-1】（26-27高一上·云南昆明·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【详解】由基本不等式可得，
当时等号成立，因此的最小值为9．
【例5-2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为________
【答案】
/
【分析】先对已知等式变形得到，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值.
【详解】因为正数满足，所以可得，且，，
则
因为 当且仅当，即时等号成立，
联立，解得，满足，符合题意.
因此，即最小值为.
【变式5-1】（26-27高一上·全国·期中）若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C．< D．>
【答案】A
【详解】由得,于是.
因为,,所以,.
由基本不等式得,当且仅当,即时取等号.
结合解得,,说明等号可以取到.
于是的最小值为,不等式恒成立等价于.
【变式5-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将等式两边同时除以，可得，
所以，
因为，所以，当且仅当，即，
结合，可得时取等号，故的最小值为4.
【变式5-3】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知正数满足，的最小值为__________．
【答案】
【分析】先展开目标代数式，结合已知条件将替换为，将目标式转化为，再通过“的代换”结合基本不等式求解最小值.
【详解】由，，，
，
由为正数，
当即，时等号成立，
的最小值为.
【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）
形如：或者，常用换元法：令
【例6-1】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由，可得，可令，即，
则
当且仅当，即，取得最小值.
【例6-2】（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（ ）
A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】B
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，有最大值.
【变式6-1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，则，所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，函数的最小值为.
【变式6-2】（26-27高一上·天津宝坻·阶段检测）已知，的最小值为______．
【答案】
【分析】利用换元法将分式转化为满足基本不等式适用条件的形式，根据基本不等式求解最小值即可.
【详解】令，则， ，
所以.
又，则，当且仅当即时等号成立，
因此，此时，满足，等号可取.
故原式的最小值为.
【变式6-3】（25-26高一上·河北·期中）函数的值域为___________．
【答案】.
【分析】根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，
当时，可得，当且仅当，即时取等号，
所以；
当时，可得，
当且仅当，即时取等号，，
综上可得，函数的值域为.
故答案为：.
【考点题型七】条件等式求最值
形如：，目标①求型；目标②求型
【例7-1】（河北省保定市2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，
故，故（负解舍去），
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
【例7-2】（26-27高一上·上海松江·阶段检测）若正实数，满足，则的最大值为__________．
【答案】/0.125
【分析】利用基本不等式将已知等式中的转化为关于的不等式，换元后求解二次不等式即可得到的最大值.
【详解】因为，为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.
又已知，得，代入不等式 中可得：，
令，得：，整理得：，
解得：，又，得：，即.
解得：，当且仅当，即，时等号成立.
则的最大值为.
【变式7-1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测），，，则的最小值是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】D
【分析】先将变形得到，再通过“乘1”法结合基本不等式求最小值.
【详解】，，，得.
，当且仅当即时等号成立.
的最小值为18.
【变式7-2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】条件变形为，再换元.
【详解】由得，
令，，
则，，
当时取等号，所以的最小值为.
【变式7-3】（多选）（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】借助基本不等式及基本不等式“1”的活用，逐项计算即可得.
【详解】对于A，，得，得，
当且仅当时取等号，故A错误；
对于B，由，得，
所以，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，由 可知(，
故，故C正确；
对于D，由得，等式两边同时平方得 ，
即，因为，所以，
当且仅当时取等号， 故D正确.
【考点题型八】对钩函数求最值
形如或者
【例8-1】（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【详解】对任意，不等式恒成立，
而函数在上单调递减，则，因此
所以的最小值是10.
【例8-2】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为2
C．的最小值为4 D．的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据对勾函数的性质及基本不等式可得.
【详解】对于A：由，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C：，
当且仅当，即时等号成立，所以C正确；
对于D：令，则，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，
所以，所以D错误.
故选：ABC.
【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合各个函数的定义域，利用基本不等式和对勾函数的单调性分别求解最值即可求解.
【详解】对于A，由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，故A错误，
对于B，设，，则原式为，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，
所以，故B错误，
对于C，，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C正确，
对于D，若，则，故D错误。
【变式8-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合函数单调性及基本不等式分别检验各选项可得答案．
【详解】令，设，
则，
当时，，可得，
，所以在上单调递增，
当时，，可得，
，所以在上单调递减.
对于A，令，则，在上单调递增，
函数在处取得最小值，故A错误；
对于B，令，则由得，在上单调递减，
没有最小值，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D,当时，D显然不成立，故D错误．
故选：C．
【变式8-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可．
【详解】对于A，函数（），当时，，
当且仅当时取等号；当时，，
又，当且仅当时取等号，
所以此时，因此，函数无最小值，故A错误；
对于B，函数，当时，，；
当时，，，因此，函数无最小值，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时取等号，
此时，所以函数最小值为2，故C正确；
对于D，令，则，函数变为（），
函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误．
故选：C．
【考点题型九】基本不等式的恒成立问题
【例9-1】（26-27高一上·河南周口·期中）已知实数满足 ，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再令，通过基本不等式计算可得，即可得.
【详解】不等式恒成立即，
令，则，
已知，所以，
代入得：，
由重要不等式（当且仅当时取等），
所以 ，即，
因此，
所以，即，
要使 恒成立，则.
【例9-2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对条件等式变形得到，结合柯西不等式求出代数式的最小值，再根据恒成立原理列不等式求解．
【详解】因为，为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
因为对满足的所有正实数，都成立，
所以，即，整理得，
解得，所以正数的最大值为．
【变式9-1】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】先用基本不等式求 的最小值，再由恒成立转化为关于 的不等式．
【解答】因为 ，
所以 ，，且 ．
所以，
由基本不等式 ，
所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号．
由恒成立得 ，
即 ，
又 ，所以 的最大值为 ．
【变式9-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________．
【答案】
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值，从而可求满足条件的整数的个数.
【详解】因为，故，所以
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，故，解得，
故满足条件的整数的个数是.
【变式9-3】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】（或）
【分析】由恒成立，得，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得：恒成立，即，
，所以，
当时，即时，等号成立，
所以.
【考点题型十】在实际问题中判断使用基本不等式求最值
【例10-1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）小明家距离学校公里．早上上学，如果小明骑共享单车，则速度恒为公里/分钟；如果由家长每天在某一固定时刻开车送，根据导航软件预测，早高峰时段，家长开车的平均速度（单位：公里/分钟）与行驶时间（单位：分钟）始终满足．（注：这里的表示前分钟这一整段行程的平均速度）
(1)若家长全程开车送，则需要多少时间到达学校？
(2)若家长全程开车送，在某一时段内平均车速超过前10分钟的平均车速，求行驶时间的取值范围；
(3)若家长开车送，为了赶时间，在中途某一时间点下车骑共享单车去学校，则小明最短需要多少分钟才能到达学校？
【答案】(1)40分钟
(2)
(3)34分钟
【分析】（1）利用路程、速度、时间的关系列出方程求解.
（2）由给定条件列出不等式并求解.
（3）列出小明到达学校用时的关系式，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由家长全程开车送，得，则，整理得，
而，解得，所以家长全程开车送，需要40分钟到达学校.
（2）当时，，由平均车速超过前10分钟的平均车速，得，
而，整理得，解得，
所以行驶时间的取值范围是.
（3）设小明坐车行驶分钟后下车骑共享单车，则小明坐车行驶里程，
小明骑共享单车行驶里程为，所用时间，
因此小明到达学校共用时为，
当且仅当，即时取等号，
所以小明最短需要34分钟才能到达学校.
【例10-2】（26-27高一上·重庆·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案.
方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元（）.
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值（）；
(2)若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围.
【答案】(1)，（）；元
(2)
【分析】（1）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；
（2）根据题意可得，分离参数，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）根据题意，，（），
由于，当且仅当，即时等号成立，
此时，
所以方案一的最低报价约为元，
（2）由（1）可知，方案一的报价为，
根据题意，方案二的报价为，
对任意的（）时，由方案二都比方案一省钱可得
，
化简得在上恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，结合，故实数的取值范围为.
【变式10-1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值．
【答案】 的最小值为 元，此时
【分析】设 ，由十字形面积求出矩形的另一边长，再把花坛、花岗岩、草坪三部分面积用 表示，最后用基本不等式求最小值．
【详解】设（m），则十字形面积为 ，所以 ．
正方形的边长为，面积为，花坛造价为；
四个阴影矩形的总面积为，花岗岩造价为 ；
每个空角三角形的两条直角边长均为，四个三角形的总面积为，
草坪造价为．
所以
．
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
所以 元，此时 ．
【变式10-2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台．
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【答案】(1)
(2)当年产量为百台（即4000台）时年利润最大，最大年利润为万元
【分析】（1）根据利润=销售收入−生产成本−固定成本列函数关系式即可；
（2）当时，根据二次函数的性质得到最值；当时，利用基本不等式求出最值；再比较得到最值即可．
【详解】（1）由题意，年产量为百台时的销售收入为万元，
．
当时，；
当时，．
（2）当时，，
当时，取最大值；
当时，
，
当且仅当，即时取等号．
，
当年产量为百台（即4000台）时年利润最大，最大年利润为万元．
【变式10-3】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．
(1)求的值；
(2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3)投入3万元时，厂家的利润最大，利润最大为29万元
【分析】（1）由时，代入即可求解；
（2）由销售收入减去促销费用、成本即可求解；
（3）由（2）结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得；
（2）由（1）可得.
所以每件产品的销售价格为（元），
2027年的利润.
（3）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2027年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
【考点题型十一】不等式中的新定义题
【例11-1】（26-27高一上·湖南岳阳·阶段检测）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
【答案】(1)，
(2)点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下：
由点是点的“上位点”，得，即，
则，
即，因此点是点的“下位点”；
又，
即，因此点是点的“上位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
(3)4039
【分析】（1）利用“上位点”和“下位点”的定义，写出点的一个“上位点”的坐标和“下位点”的坐标.
（2）由已知可得，再利用作差法，结合“下位点”和“上位点”的定义推理得证.
（3）由定义得，结合整数的特性建立恒成立的不等式求出的范围，再借助（2）的结论确定满足条件即得的最小值.
【详解】（1）由，得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和.
（2）略
（3）假定对，总存在正整数，使得点既是点的
“下位点”，又是点的“上位点”，即对，
总存在正整数，不等式恒成立，
则对，总存在正整数，，而均为正整数，
于是对，总存在正整数，恒成立，
则对，恒成立，
而，当且仅当时取等号，因此，
又由（2）中的结论知，，时，满足条件，
所以的最小值为4039.
【例11-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）设是任意两个非空集合，称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为．
(1)若，求与；
(2)若为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据“与的笛卡尔积”定义直接求解即可；
（2）设，根据“笛卡尔积”定义可得，，那么，最后利用基本不等式求实数的取值范围.
【详解】（1），
（2）设，则，，
那么，
当且仅当即，结合、为质数、为正整数且，
可得仅当、，时取等号，此时表达式取得最小值18，
由于对任意质数恒成立，所以，
实数的取值范围为.
【变式11-1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”.
(1)对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”；
(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值.
【答案】(1)和
(2)由是的“下位序列”，得，即.①
因为，
所以，②
因为，
所以，③
由②③得.
(3)
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义，结合不等式的性质，利用作差法得到结论；
（3）根据定义结合第（2）的结论求解.
【详解】（1）设是的“下位序列”，其中、取自且，
由定义得,
若，则，与矛盾，
当且时取等号，不成立，故只能，
此时，即，故可取或，检验，
，均成立，
所以的“下位序列”为和.
（2）略
（3）是 的“下位序列”，
是的“下位序列”，
于是问题等价于：求最小正整数，使得对每个，
都存在正整数满足，
取，，
，
，
两个不等式均等价于，对恒成立，故满足要求.
设正整数满足要求，特别取，则存在正整数，
使，即，
令，由知为正整数，
代入得，即，
当时，，无正整数解；
当时，，得；
当时，，此时的取值大于，
故一切满足条件的均有，则正整数的最小值为.
【变式11-2】（25-26高一上·上海闵行·期中）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件.
【答案】(1)，.
(2)
证明：若，设，
由定义知：且，
因此“”是“”的必要条件；
若，对任意，均有，
即对任意，均有，
由任意性知，则，
因此“”是“”的充分条件，
所以“”是“”的充要条件.
(3)，，.
【分析】（1）根据的定义直接运算求解.
（2）根据的定义结合充分必要条件分析证明.
（3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）略
（3）设，
则，，
可得，
当且仅当，即时取等号，
所以实数的取值范围；
若取到最值，则，即，于是，即，
所以.
【变式11-3】（25-26高三·全国·三轮复习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．
(1)若，，求和．
(2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件．
【答案】(1)，
(2)，，，．
【分析】（1）根据新定义直接运算求解；
（2）设，，，，则，，，先化简，再运用基本不等式求的范围，即可求解．
【详解】（1）由题意可得，，
．
（2）设，，，，
则，，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为．
若取到最大值，则，即，
可得，即，所以，．
一、单选题
1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法比较
【答案】A
【分析】将的分子分母同乘变形后，结合糖水不等式即可比较与的大小.
【详解】首先对进行等价变形，分子分母同乘正数，分数值不变，则
，已知，
又因为，满足糖水不等式的前提条件，
令，则， 根据糖水不等式：
若，则，代入可得： ，
即，所以.
2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对A，因为，所以，又，所以.故A一定不成立；
对B，因为，所以，又，所以.故B一定成立；
对C，取，，，，则满足，，但，，所以不成立.故C不一定成立；
对D，因为，所以，又，根据“糖水不等式”， ，故D一定不成立.
3．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，通过举反例排除错误选项，验证正确选项即可得出结论.
【详解】A选项，举反例：，
满足，但是，，A错误.
B选项，举反例：，
即成立，但是，B错误.
C选项，，，，C错误.
D选项，由可知：（如果两边就相等），
不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得到，D正确.
4．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】，当且仅当时，等号成立，
故，
则，当且仅当时，等号成立.
5．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原式，当且仅当时取等号.
6．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，，
当且仅当，即时取等号.
7．（26-27高一上·云南昆明·期中）燃油的价格有升也有降，小王本月要加两次油，第一次油价为元/升，第二次油价为元/升，，现有两种加油方案：第一种方案，每次加40升的燃油；第二种方案，每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算
B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样划算
D．无法确定采用哪种方案划算
【答案】B
【详解】第一种方案的均价是，第二种方案的均价是，
由，所以第二种方案的均价更低，更划算.
二、多选题
8．（26-27高一上·四川乐山·阶段检测）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质、作差法及特殊值法证明即可.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，因为，
若，则，，
所以，.
所以，即，故B正确；
对于C，因为，
若，则，，，
所以，即，故C正确；
对于D，令，，则，，故D错误．
9．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．已知，的最小值为5
B．已知，，且，则的最小值为
C．若，，，则的最小值是2
D．已知，，且，则的最小值为
【答案】BC
【分析】对于A选项，将原式进行等价变形得：，然后再通过均值不等式求解最小值即可；对于B选项，利用“1”的代换，结合均值不等式求解最小值即可；对于C选项，通过因式分解可得：，然后再根据均值不等式求解最小值即可；对于D选项，通过已知条件，将原式进行等价变形得：，然后再根据“1”的代换，结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】对于A选项，
，
因为，所以，故
（当且仅当即时取等号），所以，故选项A错误；
对于B选项，已知，，且，所以，
那么
（当且仅当即时取等号），故选项B正确；
对于C选项，若，，，则即，
所以，即，，故,
当且仅当即时取等号，故选项C正确；
对于D选项，已知，，且，那么
，当且仅当即时取等号，故选项D错误.
三、填空题
10．（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）若，，则的最大值是______．
【答案】/5.5
【详解】设，得出，进而利用不等式的性质求解最大值．
【解答】设，
所以，
所以，因为，，
所以，，
所以，即的最大值为．
11．（26-27高一上·云南·阶段检测）若命题“，”是假命题，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由特称命题与全称命题的真假关系转化命题，分离参数，借助基本不等式求最值，求解参数的范围.
【详解】命题“，”是假命题，
因此其否定“，”是真命题，即不等式在上恒成立.
分离参数得，即在上恒成立.
由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为4.
所以的取值范围为.
12．（26-27高一上·山东烟台·期中）已知，，且，则的最小值为________．
【答案】/
【详解】由，通分整理得 ，
则 ，即.
由，根据基本不等式，
当且仅当时取等号，
故的最小值为.
四、解答题
13．（26-27高一上·广东深圳·期中）（1），，比较的大小．
（2）设，，求，的范围；
（3）已知正实数满足等式，求的最小值．
【答案】（1）（2），（3）
【分析】（1）根据条件，利用作差法，即可求解；
（2）根据条件，利用不等式的性质，即可求解；
（3）根据条件，利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1），所以.
（2）由，，得，
又，，所以．
（3） 正实数满足等式，则，
所以
，，， ，则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
14．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为米，平行于墙的一条边长为米，且．
(1)已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为平方米，当为何值时，有最大值？并求出这个最大值．
(2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？
【答案】(1)时最大，最大值为450平方米；
(2)最少需要32米
【分析】（1）由篱笆两条长为的边和一条长为的边组成，得，把化成关于的二次函数；
（2）由用基本不等式求的最小值．
【详解】（1）篱笆长为，所以，
．
所以当时取最大值，此时，满足，
即当米时有最大值450平方米．
（2）由，篱笆长，
当且仅当，即，时取等号，此时，满足，
所以最少需要32米篱笆．
15．（26-27高一上·河北·阶段检测）如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，.
(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值.
【答案】(1)关于的函数解析式为，定义域
(2)
【分析】（1）由图根据总面积找出两者的关系，求出定义域即可；
（2）取中点，连接，作于点，由图分析推得，求出半圆铁片面积的表达式，利用基本不等式求出其最小值.
【详解】（1）由图可知，在等腰直角三角形中，，
由于矩形，全等，
所以，
故零件总面积为，即，
由，得，
故关于的函数解析式为，.
（2）
设半圆半径为，那么
如图所示，取中点，连接，作于点，
根据圆的对称性可知，为半圆的圆心，由于为等腰直角三角形，
所以，
又，所以，则，
所以
由（1），得，故，，
，
当且仅当 ，即 时（此时 ，在定义域内），等号成立，
所以能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值为.
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专题03等式性质与不等式的性质、基本不等式
（11个考点梳理+题型解读+提升训练）
【知识点01】作差法比较大小
作差法的依据：①；②；③
步骤：
(1)作差；
(2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）
(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）
(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）
【知识点02】不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
【知识点03】重要不等式
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
【知识点04】基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）
【考点题型一】比较两个代数式的大小
【解题方法】作差法
【例1-1】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若，，则与的大小关系是______．
【变式1-1】（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．随 值变化而变化
【变式1-2】（26-27高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）比较下列各组中两个代数式的大小： ____ （填写不等式符号）
【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）
【例2-1】（四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【例2-2】（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，则的最大值为______．
【变式2-1】（26-27高一上·湖北黄冈·期中）设，且满足，则的最大值为________.
【变式2-2】（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）已知，则函数的最大值为______．
【变式2-3】（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）设，且，则的最大值为________．
【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）
【例3-1】（26-27高一上·全国·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））
形如：
【例4-1】（湖北鄂东南联盟2026-2027学年高三上学期11月联考数学试卷）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【例4-2】（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【变式4-1】（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知，则的最小值是______．
【变式4-3】（24-25高一上·四川达州·阶段检测）若，则函数的最小值为______.
【考点题型五】基本不等式（常数代换法）
形如：①已知，求；
或已知，求
【例5-1】（26-27高一上·云南昆明·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【例5-2】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为________
【变式5-1】（26-27高一上·全国·期中）若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C．< D．>
【变式5-2】（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）已知正数满足，的最小值为__________．
【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）
形如：或者，常用换元法：令
【例6-1】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（ ）
A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【变式6-1】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（26-27高一上·天津宝坻·阶段检测）已知，的最小值为______．
【变式6-3】（25-26高一上·河北·期中）函数的值域为___________．
【考点题型七】条件等式求最值
形如：，目标①求型；目标②求型
【例7-1】（河北省保定市2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（26-27高一上·上海松江·阶段检测）若正实数，满足，则的最大值为__________．
【变式7-1】（26-27高一上·广东湛江·阶段检测），，，则的最小值是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
【变式7-2】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（多选）（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型八】对钩函数求最值
形如或者
【例8-1】（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．10
【例8-2】（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为2
C．的最小值为4 D．的最小值为4
【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型九】基本不等式的恒成立问题
【例9-1】（26-27高一上·河南周口·期中）已知实数满足 ，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________．
【变式9-3】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________．
【考点题型十】在实际问题中判断使用基本不等式求最值
【例10-1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）小明家距离学校公里．早上上学，如果小明骑共享单车，则速度恒为公里/分钟；如果由家长每天在某一固定时刻开车送，根据导航软件预测，早高峰时段，家长开车的平均速度（单位：公里/分钟）与行驶时间（单位：分钟）始终满足．（注：这里的表示前分钟这一整段行程的平均速度）
(1)若家长全程开车送，则需要多少时间到达学校？
(2)若家长全程开车送，在某一时段内平均车速超过前10分钟的平均车速，求行驶时间的取值范围；
(3)若家长开车送，为了赶时间，在中途某一时间点下车骑共享单车去学校，则小明最短需要多少分钟才能到达学校？
【例10-2】（26-27高一上·重庆·阶段检测）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施.某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为米，宽度为（）（单位：米），地面面积为平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案.
方案一：储物室的墙面报价为每平方米元，屋顶和地面报价共计元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元（）.
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值（）；
(2)若对任意的（）时，方案二都比方案一省钱，求实数的取值范围.
【变式10-1】（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值．
【变式10-2】（26-27高一上·山东济南·阶段检测）某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台．
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
【变式10-3】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）某厂家拟2027年举行某产品的促销活动．经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）．
(1)求的值；
(2)将2027年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)问该厂家2027年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？求出利润的最大值．
【考点题型十一】不等式中的新定义题
【例11-1】（26-27高一上·湖南岳阳·阶段检测）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
【例11-2】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）设是任意两个非空集合，称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为．
(1)若，求与；
(2)若为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围．
【变式11-1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）对于四个正数，如果 ，那么称是的“下位序列”.
(1)对于，试求元素取自这四个数的的“下位序列”；
(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断： 之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件：对集合内的每个，存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值.
【变式11-2】（25-26高一上·上海闵行·期中）数学优等生嘉俞阅读课外书籍时，了解到笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系及应满足的条件.
【变式11-3】（25-26高三·全国·三轮复习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．
(1)若，，求和．
(2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件．
一、单选题
1．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法比较
2．（26-27高一上·贵州遵义·阶段检测）若，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（26-27高一上·云南昆明·期中）燃油的价格有升也有降，小王本月要加两次油，第一次油价为元/升，第二次油价为元/升，，现有两种加油方案：第一种方案，每次加40升的燃油；第二种方案，每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算
B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样划算
D．无法确定采用哪种方案划算
二、多选题
8．（26-27高一上·四川乐山·阶段检测）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．已知，的最小值为5
B．已知，，且，则的最小值为
C．若，，，则的最小值是2
D．已知，，且，则的最小值为
三、填空题
10．（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）若，，则的最大值是______．
11．（26-27高一上·云南·阶段检测）若命题“，”是假命题，则的取值范围为______．
12．（26-27高一上·山东烟台·期中）已知，，且，则的最小值为________．
四、解答题
13．（26-27高一上·广东深圳·期中）（1），，比较的大小．
（2）设，，求，的范围；
（3）已知正实数满足等式，求的最小值．
14．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）某农户计划靠一面足够长的墙，用篱笆围出一块矩形菜地（墙作为矩形的一条长边，无需篱笆）．设垂直于墙的一条边长为米，平行于墙的一条边长为米，且．
(1)已知所用的篱笆长为60米，设菜地面积为平方米，当为何值时，有最大值？并求出这个最大值．
(2)若要围成面积为128平方米的菜地，需要用篱笆长最少是多少米？
15．（26-27高一上·河北·阶段检测）如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，.
(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值.
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