第03讲 利用基本不等式求最值-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第03讲 利用基本不等式求最值 ( 第一关 ) 知识梳理 知识点1 重要不等式 1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 证明： 推论：（）. 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）；. 知识点2 基本不等式≤ (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． ◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 知识点3 几个重要的不等式 （5） . 证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立） ( 第二关 ) 解题策略 利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) ( 第三关 ) 典例精析 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________. 【解析】因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36. 变式1：函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最大值为　 　． 【解析】y=2﹣x﹣=2﹣（x+）=2﹣4=﹣2，当且仅当x=2时取等号． 所以函数y=2﹣x﹣（x＞0）的最大值为﹣2．故答案为：﹣2． 解题技巧: 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 【例2】 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A.　　　　　　　B．2 C．2 D．4 【解析】由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2， 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.故选C 变式1：若实数x、y满足2x+2y＝1，则x+y的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2] B．[0，2] C．[﹣2，+∞） D．[﹣2，0] 【解析】由实数x、y满足2x+2y＝1，根据基本不等式得，1＝2x+2y≥2，故x+y≤﹣2．故选：A． 变式2：已知x为正实数，且x2＋＝1，则x的最大值为________． 【解析】因为x>0，所以x＝≤.又x2＋＝＋＝.所以x≤×＝，当且仅当x2＝＋，即x＝时，等号成立．故(x)max＝. 【例3】若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值为（　　） A． B．2 C． D．4 【解析】由题意，可知：（a+1）（b+1）≤（）2＝（）2＝．故选：C． 【例4】若实数x，y满足x+y＝8，则x2+y2的最小值是（　　） A．8 B．32 C．16 D．4 【解析】因为，当且仅当x＝y时等号成立， 因为x+y＝8，所以，所以x2+y2≥32， 故x2+y2的最小值是32，故选：B． 【乘方】 若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 【例5】设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 【解析】令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18， 当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝. 所以 tmax＝＝3. 考点二 配凑法求最值 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件. (2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： ①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； ②代数式的变形以配凑出和或