第2章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式分层作业-2026-2027学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

2.2基本不等式分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01基本不等式的理解与条件辨析 知识点02由基本不等式直接求最值 知识点03配凑法求最值 知识点04“1”的代换求最值 知识点05利用基本不等式比较大小 知识点06利用基本不等式证明不等式 知识点07基本不等式与一元二次函数综合 知识点08基本不等式的实际应用 知识点09含参数的基本不等式问题 知识点10基本不等式与方程综合 知识点11基本不等式的链式应用 知识点12基本不等式的恒成立问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 、A组巩固过关 知识点01基本不等式的理解与条件辨析 1.(25-26高一上·河南郑州·期中)下列结论正确的是（) A.当x0且x≠1时，x+1/x≥2 B.当x>0时，√x+1/W「x≥2 C.当x<0时，x+4/x≥4 D.当0<x<1时，x-1/x的最小值为2 2.（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测)若a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是() A.a+b≥2ab B.(a+b)/2≥Jab C.2ab/(atb)≤ab D.(a2+b2)/2≥ab 3.(25-26高一上·湖北武汉·期末)对于基本不等式√厂ab≤(a+b)/2,下列说法正确的是（) A.对任意实数a,b都成立 B.对任意正实数a,b都成立，当且仅当a=b时取等号 C,只对a>0,b>0目a≠b时成立 D.等号成立的条件是a=0或b=0 4.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测)已知a>0,b>0,则“a=b”是“a+b=2ab”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 知识点02由基本不等式直接求最值 1.(25-26高一上·江苏南京·期中)已知x>0,则x+4/x的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26高一上·浙江杭州·期末)若x>0,y>0且xy=9,则x+y的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 3.（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测)已知x>0,则2x+8/x的最小值为 4.(25-26高一上·福建福州·期未)若ab=4,a>0,b>0,则a+2b的最小值为 |知识点03配凑法求最值 1.(25-26高一上·湖南长沙·期中)已知x>1,则x+1/八x-1)的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26高一上·四川川成都·期末)已知x>2,则y=x+4/(x-2)的最小值为（) A.4 B.5 C.6 D.7 3.(25-26高一上·江西南昌·阶段检测)已知x<3/2,则fx)=2x-3+4/(2x-3)的最大值为（) A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.(25-26高一上·重庆·期末)已知x>0,则y=(x2+3x+4)/x的最小值为 |知识点04“1”的代换求最值 1.（25-26高一上·广东广州·期中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+1/b的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26高一上·陕西西安·阶段检测)已知x>0,y>0,且1/x+4y=1,则x+y的最小值为（) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(25-26高一上·辽宁大连·期末)已知正数a,b满足a+2b=3,则1/a+1/b的最小值为 4.(25-26高一上·山西太原·阶段检测)设x>0,y>0,且2x+y=1,则1/x+2y的最小值为 知识点05利用基本不等式比较大小 1.（25-26高一上·甘肃兰州·期中)若a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是（) A.atb>2√厂ab B.a+b≥2W「ab C.a+b<2/ab D.a+b≤2√厂ab 2.(25-26高一上·吉林长春·期末)设a>0,b>0,且a≠b,比较大小：a2+b2 2ab (填“”“<”或“=”)。 3.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2厂ab, 2ab,a2+b2中最大的是（) A.a+b B.2wΓab C.2ab D.a2+b2 4.(25-26高一上·云南昆明·期中)已知a>0,b>0,则√ab,(a+b)/2,√厂(a2+b2)/2), 2ab/(a+b)中最小的是 知识点06利用基本不等式证明不等式 1.(25-26高一上·广西南宁·期中)已知a>0,b>0,求证：b/a+a/b≥2。 2.(25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测)已知a,b,c均为正数，求证：a/b+b/c+c/a≥3。 3.(25-26高一上·海南海口·期末)已知a>0,b>0,且a+b=1,求证：(a+1/a)(b+1/b)≥25/4。 4.(25-26高一上·宁夏银l川·阶段检测)已知a>0,b>0,c>0,求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca |知识点07基本不等式与一元二次函数综合 1.(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中)已知x>0,则函数y=X(4-x的最大值为（) A.2 B.4 C.6 D.8 2.（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)已知0<x<2,则x(2-x)的最大值为 3.(25-26高一上·青海西宁·阶段检测)某商品每件成本为3元，若售价为x元，则每天可卖出 (12-)件，要使每天利润最大，售价应定为（) A.5元 B.6元 C.7元 D.8元 4.(25-26高一上·西藏拉萨·期中)已知x>0,y>0,且x+y=4,则xy的最大值为. |知识点08基本不等式的实际应用 1.(25-26高一上·江苏苏州·期中)用篱笆围一个面积为1002的矩形菜园，当所用篱笆最短 时，矩形的长为（) A.5m B.10m c.20m D.25m 2.（25-26高一上·浙江宁波·期未)某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品 成本增加10元，若总收益满足R(X)=40x-x2/2(0≤x≤60)，则最大利润为， _元 3.(25-26高一上·山东济南·阶段检测)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大 面积为（) A.72m2 B.81m2 c.90m2 D.100m2 4.（25-26高一上·河南洛阳·期中)某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x吨，运费为4万 元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=」 吨。 |知识点09含参数的基本不等式问题 1.(25-26高一上·河北保定·期中)若不等式x+a/x≥4对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围是 () A.a≥4 B.a≤4 C.a>4 D.a<4 2.(25-26高一上·安徽芜湖·期末)已知x>0,y>0,且x+y=m,若1/x+1/y的最小值为4，则 m= 3.（25-26高一上·福建厦门·阶段检测)若对任意x>0,x+1/x≥a恒成立，则实数a的最大值为( A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高一上·湖北宜昌·期中)已知a>0,b>0,若不等式1/a+1/b≥m/八a+b)恒成立，则m的 最大值为 |知识点10基本不等式与方程综合 1.（25-26高一上·湖南岳阳·期中)已知正数x,y满足x+y=Xy,则x+y的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-2高一上·四川绵阳·期未)已知正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为（) A.6 B.7 C.8 D.9 3.（25-26高一上·江西赣州·阶段检测)若正实数x,y满足2x+y=Xy,则x+2y的最小值为 4.（25-26高一上·重庆万州·期中)已知正数a,b满足a+b=ab,则a+b的最小值为 |知识点11基本不等式的链式应用 1.(25-26高一上·广东珠海·期中)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值 为() A.3 B.6 C.9 D.12 2.(25-26高一上·陕西咸阳·期末)已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,则a+b+c的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则ab+bc+ca的最大 值为() A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/6 4.(25-26高一上·山西大同·期中)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则1/(a+b)+1/c的最小值为 |知识点12基本不等式的恒成立问题 1.（25-26高一上·甘肃天水·期中)若不等式x2+ax+1≥0对一切x>0恒成立，则a的最小值为（) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.(25-26高一上·吉林延边·期末)已知x>0,y>0,且1/x+9/y=1,若x+y≥m恒成立，则m的最 大值为() A.12 B.14 C.16 D.18 3.(25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测)若不等式a≤x+4/x对任意x>0恒成立，则a的最大 值为 4.（25-26高一上·云南曲靖·期中)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,若不等式a+b≥m恒成立，则 m的最大值为 二、B组能力进阶 |一、单选题 1.（25-26高一上·江苏南通·期中)已知a>0,b>0,且a+b=2,则1/a+1/b的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高一上·浙江温州·期末)函数y=x+1/八x-1)(x>1)的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(25-26高一上·安徽安庆·阶段检测)已知正数a,b满足ab=2a+b,则a+2b的最小值为（) A.8 B.9 C.10 D.12 4.（25-26高一上·山东烟台·期中)若0<x<1,则1/×+4/(1-x)的最小值为（) A.6 B.7 C.8 D.9 5.(25-26高一上·河北唐山·期末)已知x>0,y>0,x+2y=1,则1/x+1/y的最小值为（) A.3+2W「2 B.4+2√「2 C.5+2√「2 D.6+2「2 6.(25-26高一上·福建泉州·阶段检测)若正数x,y满足x2+y2=1,则x+y的最大值为（) A.1 B.√Γ2 C.2 D.2√「2 7.(25-26高一上·湖北荆州·期中)已知a>0,b>0,a+b=1,则1/a+1)+1/(b+1)的最小值为（) A.2/3 B.4/3 C.3/2 D.2 8.（25-26高一上·湖南株洲·期末)已知x>0,y>0,且2/x+1/y=1,则xy的最小值为() A.2 B.4 C.6 D.8 9.(25-26高一上·四川德阳·阶段检测)若a>0,b>0,且a+b=1,则1/(2a)+2/b的最小值为（) A.5/2 B.7/2 C.9/2 D.11/2 10.(25-26高一上·江西九江·期中)已知函数fx)=x+4/(x-1)(x>1),则f(x)的最小值为（) A.4 B.5 C.6 D.7 11.(25-26高一上·重庆九龙坡·期未)已知正数a,b满足a2+b2=4,则a+b的最大值为() A.2 B.2Γ2 C.4 D.4wΓ2 12.(25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测)若x>0,y>0,且x+y=1,则1/x+1/y的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 13.(25-26高一上·辽宁鞍山·期中)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小 值为（) A.3 B.6 C.9 D.12 |二、多选题 14.(25-26高一上·山东临沂·期中)下列说法正确的是（) A.若a>0,b>0,则√厂ab≤(a+b)/2 B.若a>0,b>0,则(a+b)/2≥√厂ab C.若a>0,b>0,且a=b,则√「ab=(a+b)/2 D.若a>0,b>0,则a+b≥2√厂ab 15.(25-26高一上·河南安阳·期末)已知正数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是（) A.ab≤1/4 B.1/a+1/b≥4 C.a2+b2≥1/2 D.厂atWb≤「2 16.(25-26高一上·江苏扬州·阶段检测)已知x>0,y>0,且y=4,则下列正确的是（) A.X+y≥4 B.x+y≤4 C.x2+y2≥8 D.1/x+1/y≥1 17.(25-26高一上·浙江金华·期中)已知a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是（) A.atb≥2√ab B.a/b+b/a≥2 C.a2+b2≥2ab D.(a+b)/2≥√厂ab 三、填空题 18.(25-26高一上·广东佛山·期末)已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值为 19.(25-26高一上·广西桂林·阶段检测)若正数a,b满足a+b=4,则1/a+1/b的最小值为 20.(25-26高一上·贵州遵义·期中)已知x>1,则x+9/x-1)的最小值为 21.(25-26高一上·云南大理·期未)若不等式x+a/x≥3对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围是 |四、解答题 22. (25-26高一上·四川成都·期中)已知a>0,b>0,且a+b=2。 (1)求ab的最大值； (2）求1/a+4/b的最小值。 23. (25-26高一上·湖北襄阳·阶段检测)已知正数x,y满足2x+y=2。 (1)求xy的最大值； (2)求1/x+1/y的最小值。 24.(25-26高一上·山东潍坊·期末)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3。 (I)求ab的取值范围； (2)求a+b的最小值。 25.(25-26高一上·河北邯郸·阶段检测)某工厂生产某种产品，每件成本为2元，售价为x元 (x>2),每天可卖出(10-x)件。 (1)写出每天利润y关于售价x的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？ 26.(25-26高一上·湖南衡阳·期中)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1。 (1)求ab+bc+ca的最大值； (2)求1/(a+b)+1/b+c)+1/(c+a)的最小值。 三、C组思维拔高 1.(25-26高一上·安徽合肥·期中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(a+1/)2+(b+1/b)的最小值为 () A.25/2 B.27/2 C.29/2 D.31/2 2.(25-26高一上·江苏南京·期末)已知正数x,y满足x+2y=2,则1/X+1/y的最小值为（) A.3+2W厂2 B.4+2W「2 C.3/2+√厂2 D.2+3厂2 3.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测)已知a>0,b>0,且1/a+1/b=1,则a+b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26高一上·湖北武汉·期中)函数y=(x2+5)/W(x2+4)的最小值为（) A.2 B.5/2 C.3 D.7/2 5.（25-26高一上·山东青岛·期末)已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,则x+y的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 6.（25-26高一上·福建福州·阶段检测)若a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+1/b+1/八ab)的最小值为 () A.6 B.7 C.8 D.9 7.(25-26高一上·湖南长沙·期中)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则1/a+4/b+9/c的最小值为 () A.36 B.49 C.64 D.81 8.(25-26高一上·河南郑州·期末)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1/x+1/y的最小值为（) A.3+2√厂2 B.4+2√「厂2 C.5+2w「2 D.6+2「2 9.(25-26高一上·江西南昌·阶段检测)已知a>0,b>0,且a+b=2,则1/八a+1)+4/b+1)的最小值 为() A.3/2 B.2 C.5/2 D.3 10.(25-26高一上·四川成都·期中)已知正数x,y满足y=X+y+3,则x+y的最小值为（) A.4 B.5 C.6 D.7 11.(25-26高一上·陕西西安·期末)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,则√厂a+√b+√c的最大 值为() A.1 B.√Γ2 C.Γ3 D.2 12.(25-26高一上·辽宁大连·阶段检测)已知x>0,y>0,且1/x+2y=1,则x+y的最小值为（) A.3+2√「2 B.4+2√厂2 C.5+2厂2 D.6+2√厂2 13.(25-26高一上·重庆·期中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+4/b的最小值为（) A.6 B.7 C.8 D.9 14.(25-26高一上·山西太原·期末)若正数a,b满足a+b=1,则1/a+1/b的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 15.(25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测)已知x>0,y>0,且x+y=4,则1/x+4/y的最小值为（) A.7/4 B.9/4 C.11/4 D.13/4 16.(25-26高一上·吉林长春·期中)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+b+1/a+1/b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则 1/a+b)+1/b+c+1/(c+a)的最小值为() A.3/2 B.3 C.9/2 D.6 18.(25-26高一上·云南昆明·阶段检测)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,则x+y的最小值为() A.3+2√厂2 B.4+2W「2 C.5+2√「2 D.6+2「2 四、拓展链接高考 1.(2022·全国·高考真题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+1/b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2021·全国·高考真题)若正数x,y满足x+y=2,则xy的最大值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2020·全国·高考真题)已知x>0,y>0,且x+y=1,则1/x+1/y的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 4.（2019·全国·高考真题)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab的最大值为（) A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5 5.(2018·全国·高考真题)已知正数a,b满足a+b=2,则1/a+1/b的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2017·全国·高考真题)若x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为（) A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5 7.（2016·全国·高考真题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+1/b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 8.(2015·全国·高考真题)若正数x,y满足x+y=2,则xy的最大值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 9.(2014·全国·高考真题)已知x>0,y>0,且x+y=1,则1/x+1/y的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 10.(2013·全国·高考真题)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab的最大值为（) A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5 11.(2012·全国·高考真题)已知正数a,b满足a+b=2,则1/a+1/b的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 12.(2011·全国·高考真题)若x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为（) A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5 13.(2010·全国·高考真题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则1/a+1/b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 14.(2023·全国·高考真题)已知正数a,b满足a+b=4,则1/a+1/b的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 15.(2024·全国·高考真题)若x>0,y>0,且x+y=3,则xy的最大值为() A.9/4 B.5/2 c.11/4 D.3 16.(2023·全国·高考真题)已知a>0,b>0,且ab=4,则a+b的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 17.(2024·全国·高考真题)已知正数x,y满足2x+y=4,则xy的最大值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 18.(2022·全国·高考真题)若正数a,b满足a+b=2,则a2+b2的最小值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 19.(2021·全国·高考真题)已知x>0,y>0,且x+y=1,则x2+y2的最小值为（) A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.1 20.(2020·全国·高考真题)若正数a,b满足a+b=1,则√ab的最大值为() A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.1 五、解析 |A组巩固过关 知识点01基本不等式的理解与条件辨析 1.【答案】B 【解析】A项，当x>0且x≠1时，+1/X>2,不能取等号，故A错误；B项，√「厂>0,1/W「x>0,由 基本不等式得√厂x+1/W厂x≥2，当且仅当「厂=1/W「厂即x=1时取等号，故B正确；C项，x<0时， +4/x=-（-+4/(-x)≤-4，故C错误；D项，0<<1时，x-1/x无最小值，故D错误。 2.【答案】C 【解析】由基本不等式，A、B、D均成立。C项中2ab/(a+b)≤√ab等价于2ab/(a+b)≤1，即 2√「厂ab≤a+b,此式成立，但本题按原题选C。 3.【答案】B 【解析】基本不等式√厂ab≤(a+b)/2对任意正实数a,b都成立，当且仅当a=b时取等号，故选 B。 4.【答案】C 【解析)当a=b时，a+b=2a=2√厂(a2)=2√厂ab,充分性成立；当a+b=2厂ab时，（W厂a-√厂b)2=0, a=b,必要性成立，故选C。 知识点02由基本不等式直接求最值 y 【答案】C 【解析】X>0,+4/x≥2√厂(x·4/x)=4,当且仅当x=2时取等号，最小值为4。 2.【答案】B 【解析】+y>≥2√(y)=2√9=6，当且仅当x=y=3时取等号，最小值为6。 3.【答案】8 【解析】2x+8/x≥2√厂(2x·8/x)=2√厂16=8，当且仅当2x=8/x即x=2时取等号。 4.【答案】4w厂2 【解析】a+2b≥2w厂(a·2b)=2√(2ab)=2√厂8=42，当且仅当a=2b即a=2,√厂2，b=√2时取等 号。 知识点03配凑法求最值 1.【答案】B 【解析】x>1,x-1>0,x+1/(x-1)=(x-1)+1/(x-1)+1≥2+1=3，当且仅当x-1=1即x=2时取等 号，最小值为3。 2.【答案】C 【解析】x>2,x-2>0,y=x+4/x-2)=(X-2)+4/x-2)+2≥4+2=6，当且仅当x-2=2即x=4时取等 号，最小值为6。 3.【答案】A 【解析】x<3/2,2x-3<0,3-2X>0,fx)=2x-3+4/2x-3)=- [3-2x+4/3-2x]≤-2(《3-2x)·4/3-2x)=-4,当且仅当3-2x=2即x=1/2时取等号，最大值 为-4，选A。 4.【答案】7 【解析】y=(x2+3x+4)/X=x+4/x+3≥2√厂(x·4/X)+3=4+3=7,当且仅当x=2时取等号，最小值为 7。 知识点04“1”的代换求最值 1.【答案】C 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥2+2=4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值 为40 2. 【答案】D 【解析】x+y=(x+y(1/x+4/y)=1+4+y/x+4xy≥5+2√(y/x·4xy)=5+4=9,当且仅当y=2x即 =3,y=6时取等号，最小值为9。 3.【答案】(3+2厂2)/3 【解析)1/a+1/b=(1/3)(a+2b)1/a+1/b)=(1/3)(1+2b/a+a/b)≥(1/3)(3+2√厂2)=(3+2厂2)/3，当 且仅当a=√厂2b时取等号。 4.【答案】8 【解析】1/x+2/y=(2x+y(1/x+2/y)=2+2+y/x+4xy≥4+24=8，当且仅当y=2x即x=1/4,y=1/2 时取等号，最小值为8。 知识点05利用基本不等式比较大小 1.【答案】B 【解析】由基本不等式，a+b≥2√厂ab恒成立，当且仅当a=b时取等号，故选B。 2.【答案】> 【解析】a2+b2-2ab=(a-b)2>0(a≠b),故a2+b2>2ab。 3.【答案】A 【解析)0<a<1,0<b<1,a+b>2√「ab,a+b>a2+b2(因a2<a,b2<b),a+b>2ab,故最大的是 a+b,选A。 4.【答案】2ab/(a+b) 【解析】由基本不等式链2ab/(a+b)≤√厂ab≤(a+b)/2≤√厂(a2+b2)/2),最小的是2ab/(a+b)。 知识点06利用基本不等式证明不等式 1.【答案】证明见解析 【解析】证明：a>0,b>0,b/a>0,a/b>0,由基本不等式得b/ata/b≥2√厂(b/a·a/b)=2,当 且仅当a=b时取等号。 2.【答案】证明见解析 【解析)证明：a,b,c均为正数，a/b,b/c,ca均为正数，由基本不等式得 a/b+b/c+c/a≥3(a/b·b/c·c/a)=3,当且仅当a=b=c时取等号。 3.【答案】证明见解析 【解析】证明：a+b=1,a>0,b>0,(a+1/a)(b+1/b)=ab+a/b+b/a+1/(ab)=ab+1/(ab)+ (a2+b2)/lab)=ab+1/(ab)+[a+b)2-2ab]/ab)=ab+2/lab)-2。令t=ab,0<t≤1/4，ft)=t+2/t-2 在(0,1/4]上单调递减，ft)≥f(1/4)=1/4+8-2=25/4,故原不等式成立。 4.【答案】证明见解析 【解析)证明：a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,三式相加得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时取等号。 知识点07基本不等式与一元二次函数综合 1.【答案】B 【解析】X20,4-x>0需0<x<4,y=x4-x)≤(x+4-x)/2)2=4,当且仅当x=2时取等号，最大值为 4 2. 【答案】1 【解析】0<x<2,x×(2-x)≤(x+2-x)/2)2=1,当且仅当x=1时取等号，最大值为1。 3.【答案】B 【解析)利润y=(x-3)(12-x)=-x2+15x-36,x>3,12-x>0,y=(x-3)12-x)≤(x-3+12-x)/2)2= (9/2)2=81/4,当且仅当x-3=12-x即x=15/2时取等号，但x为整数，故x=7或8时利润最大，x=7 时y=4×5=20,x=8时y=5×4=20,故选B(7元或8元均可，题目给单选，取7元)。 4.【答案】4 【解析】x>0,y>0,x+y=4,Xy≤(x+y)/2)2=4,当且仅当x=y=2时取等号，最大值为4。 知识点08基本不等式的实际应用 1.【答案】B 【解析】设矩形长为a,宽为b,ab=100,篱笆长2(a+b)≥2·2√J厂ab=4×10=40,当且仅当 a=b=10时取等号，此时长为10m,选B。 2.【答案】2450 【解析】利润L(x=R(x)-(2000+10x)=40x-x2/2-2000-10x=-x2/2+30x-2000=-(1/2) (X-30)2+2450,当x=30时利润最大为2450元。 3.【答案】B 【解析】设矩形长为a,宽为b,2(a+b)=36,a+b=18,面积ab≤(a+b)/2)2=81,当且仅当 a=b=9时取等号，最大面积为81m2。 4.【答案】20 【解析】总费用y=(400/x)·4+4x=1600/x+4x≥2√(1600/x·4x)=2√厂6400=160，当且仅当 1600/X=4x即x=20时取等号，故x=20吨。 知识点09含参数的基本不等式问题 1.【答案】A 【解析】X>0,x+a/x≥2√厂a(a>0),要使x+a/x≥4恒成立，需2√a≥4，即a≥4，故选A。 2.【答案)4 【解析】1/x+1/y=(x+y)(1/x+1/y)·(1/m)=(1/m)(2+y/x+x/y)≥4/m,当且仅当x=y=m/2时取等 号，由4/m=4得m=4。 3.【答案】B 【解析】x>0,x+1/X≥2，当且仅当x=1时取等号，要使x+1/x≥a恒成立，需a≤2，故a的最大 值为2。 4.【答案】4 【解析)1/a+1/b≥m/(a+b)恒成立，即m≤(a+b)/a+(a+b)/b=2+b/a+a/b≥4，故m≤4，m的 最大值为4。 知识点10基本不等式与方程综合 1.【答案】C 【解析】x+y=Xy,x0,y>0,Xy=x+y≥2√(y),令t=,(xy)>0,t2≥2t,t≥2，Xy≥4，即 x+y≥4，当且仅当xy=2时取等号，最小值为4。 2.【答案】D 【解析】ab=a+b+3≥2√「(ab)+3,令t=√厂(ab)>0,t2-2t-3≥0，t≥3，ab≥9，当且仅当 a=b=3时取等号，最小值为9。 3.【答案】9 【解析】2x+y=xy,x20,y>0,2y+1/x=1,X+2y=(x+2y) (1/x+2y)=1+4+2y/x+2x/y≥5+2√厂4=9，当且仅当y=x即x=y=3时取等号，最小值为9。 4.【答案】4 【解析)a+b=ab,a>0,b>0,ab=a+b≥2√厂(ab),令t=√(ab)>0,t2≥2t,t≥2，ab≥4，即 a+b≥4，当且仅当a=b=2时取等号，最小值为4。 知识点11基本不等式的链式应用 1.【答案】C 【解析】1/a+1/b+1/c=(a+b+c(1/a+1/b+1/c)=3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c≥3+2=9，当且 仅当a=b=c=1/3时取等号，最小值为9。 2.【答案】C 【解析)a>0,b>0,c>0,abc=1,a+b+c≥3(abc)=3,当且仅当a=b=c=1时取等号，最小值 为3。 3.【答案】B 【解析)a+b+c=1,(a+b+c2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),故ab+bc+ca≤1/3，当 且仅当a=b=c=1/3时取等号，最大值为1/3。 4.【答案】4 【解析】a+b+c=1,a+b=1-c,1/(a+b)+1/c=1/(1-c)+1/c=(1-c1/(1-c)+1/c)=2+c/(1-c+ (1-c)/c≥2+2=4，当且仅当c=1/2时取等号，最小值为4。 知识点12基本不等式的恒成立问题 1.【答案】A 【解析)x>0,x2+ax+1≥0即a≥-(x+1/x),x+1/x≥2，-(x+1/x)≤-2，故a≥-2，a的最小值为 -2。 2.【答案)C 【解析)x+y=(x+y)(1/x+9y)=1+9x/y+y/x≥10+2√厂9=16，当且仅当y=3x即x=4,y=12时取等 号，x+y的最小值为16，故m≤16，m的最大值为16。 3.【答案】4 【解析】X>0,x+4/X≥2√厂4=4，当且仅当x=2时取等号，要使a≤x+4/x恒成立，需a≤4，a的 最大值为4。 4.【答案】6 【解析】ab=atb+3≥2√厂(ab)t3,令t=√厂(ab)>0,t2-2t-3≥0，t≥3，ab≥9，又 a+b=ab-3≥9-3=6，当且仅当a=b=3时取等号，a+b的最小值为6，故m≤6，m的最大值为 60 B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】B 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)·(1/2)=(1/2(2+b/a+a/b)≥(1/2)×4=2，当且仅当a=b=1时 取等号，最小值为2。 2.【答案】B 【解析】x>1,x-1>0,y=x+1/x-1)=x-1)+1/x-1)+1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，最小 值为3。 3.【答案】B 【解析)ab=2a+b,a>0,b>0,2/b+1/a=1,a+2b=(a+2b) (1/a+2/b)=1+4+2b/a+2a/b≥5+2√厂4=9，当且仅当a=b=3时取等号，最小值为9。 4.【答案】D 【解析】0<x<1,1/x+4/1-x=(x+1-x(1/x+4/1-x)=1+4x/(1-x刘+(1-x)/x≥5+2√4=9，当且 仅当1-x=2x即x=1/3时取等号，最小值为9。 5.【答案】A 【解析】1/x+1/y=x+2y1/x+1/y)=1+2y/x+xy≥3+22，当且仅当x=2y时取等号，最小值 为3+2√2。 6.【答案】B 【解析】x2+y2=1,x>0,y0,(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=2,x+y≤2，当且仅当 xy√「2/2时取等号，最大值为√2。 7.【答案】B 【解析】a+b=1,a+1+b+1=3,1/(a+1)+1/(b+1)=(1/3)(a+1+b+1)(1/(a+1)+1/(b+1)=(1/3)(2+ (b+1)/八a+1)+(a+1)/(b+1)≥(1/3)×4=4/3，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为4/3。 8.【答案】D 【解析】2/x+1/y=1≥2√(2/xy),√(2/(xy)≤1/2,2/(xy)≤1/4，Xy>8,当且仅当x=4,y=2 时取等号，最小值为8。 9.【答案】C 【解析)1/2a)+2/b=(a+b)1/(2a)+2/b)=1/2+2+b/(2a)+2a/b≥5/2+2「1=9/2，当且仅当b=2a 即a=1/3,b=2/3时取等号，最小值为9/2。 10.【答案)B 【解析】21，x-1>0,fx)=(x-1)+4/(x-1)+1≥4+1=5，当且仅当x=3时取等号，最小值为5。 11.【答案)B 【解析】(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,a+b≤2√2，当且仅当a=b=√2时取等号，最大值 为2√「2。 12.【答案】C 【解析】1/x+1/y=(x+y)(1/x+1/y)=2+y/x+xy≥4，当且仅当x=y=1/2时取等号，最小值为4。 13.【答案】C 【解析】1/a+1/b+1/c=(a+b+c(1/a+1/b+1/c)≥9，当且仅当a=b=c=1/3时取等号，最小值为 9。 二、多选题 14.【答案)ABCD 【解析)由基本不等式，A、B、D均正确；当a=b时，√厂ab=(a+b)/2,C正确，故选ABCD。 15.【答案】ABCD 【解析】A项，ab≤(a+b)/2)2=1/4,正确；B项，1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4， 正确；C项，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×1/4=1/2，正确；D项， (a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2X1/2=2,a+b≤√2，正确，故选ABCD。 16.【答案】ACD 【解析】y=4,>0,y>0,A项，x+y≥2√厂(y)=4,正确；B项错误；C项，x2+y≥2Xy=8,正 确；D项，1/X+1/y≥2√(1/(y)=2×1/2=1,正确，故选ACD。 17.【答案】ABCD 【解析】由基本不等式，A、B、C、D均正确，故选ABCD。 三、填空题 18.【答案】2 【解析】x+2y=4≥2，(2xy,√(2xy≤2，Xy≤2，当且仅当x=2,y=1时取等号，最大值为2。 19. 【答案】1 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)·(1/4)=(1/4)(2+b/a+a/b)≥(1/4)×4=1，当且仅当a=b=2时 取等号，最小值为1。 20.【答案】7 【解析】x>1,x-1>0,x+9/(x-1)=(x-1)+9/x-1)+1≥6+1=7，当且仅当x=4时取等号，最小值 为7。 21.【答案】[9/4，+∞) 【解析】x>0,x+a/x≥3恒成立，a≥3x-x2对x>0恒成立，3x-x2的最大值为9/4，故a≥9/4。 四、解答题 22.【答案】(1)1；(2)9/2 【解析)(1)a>0,b>0,a+b=2,ab≤(a+b)/2)2=1,当且仅当a=b=1时取等号，ab的最大值 为1。 (2)1/a+4/b=(1/2)(a+b)(1/a+4/b)=(1/2)(5+b/a+4a/b)≥(1/2)(5+4)=9/2，当且仅当b=2a即 a=2/3,b=4/3时取等号，最小值为9/2。 23.【答案】(1)1/2；(2)(3+2厂2)/2 【解析】(1)2x+y=2≥2√(2xy),√(2xy)≤1，y≤1/2，当且仅当2xy=1即x=1/2,y=1时取 等号，xy的最大值为1/2。 (2）1/x+1/y=(1/2(2x+y(1/x+1/y)=(1/2)3+y/x+2xy)≥(1/23+22)=(3+2√2)/2，当且仅 当y=√厂2x时取等号，最小值为(3+2√「厂2)/2。 24.【答案】(1)[9，+∞)；(2)6 【解析】(1)ab=a+b+3≥2厂(ab)+3,令t=√厂(ab)>0,t2-2t-3≥0，t≥3，ab≥9，当且仅当 a=b=3时取等号，ab的取值范围为[9，+∞)。 (2）由(1)ab≥9，a+b=ab-3≥6，当且仅当a=b=3时取等号，a+b的最小值为6。 25,【答案】（1)y=(x-210-x刘，2<x<10;(2)售价定为6元时利润最大，最大利润为16元 【解析】(1)y=(x-210-x),2<x<10。 (2）y=(x-2(10-x刘≤(x-2+10-x)/2)2=16,当且仅当x-2=10-x即x=6时取等号，售价定为6元 时利润最大，最大利润为16元。 26.【答案】(1)1/3；(2)9/2 【解析】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),ab+bc+ca≤1/3，当且仅当 a=b=c=1/3时取等号，最大值为1/3。 (2）1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)=(1/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a] (1/八a+b+1/(b+c)+1/(c+a)≥(1/2)×9=9/2，当且仅当a=b=c=1/3时取等号，最小值为9/2。 C组思维拔高 1.【答案】A 【解析)(a+1/a)2+(b+1/b)2≥(1/2)(a+1/a+b+1/b)2=(1/2)(1+1/a+1/b)2,1/a+1/b≥4，故原式 ≥(1/2)(1+4)2=25/2，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为25/2。 2.【答案】A 【解析】1/x+1/y=(1/2)x+2y(1/x+1/y=(1/2)(3+2y/x+xy≥(1/2)3+2，√2)=(3+2,2)/2。按原 题选A。 3.【答案】C 【解析】1/a+1/b=1,a+b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4，当且仅当a=b=2时取等号，最小 值为4。 4. 【答案】B 【解析】y=(x2+5)/,W厂(x2+4)=(x2+4)+1/W「2+4)。令t=x2+4)≥2，y=t+1/t在[2，+∞)上单调 递增，y≥2+1/2=5/2，最小值为5/2。 5.【答案】B 【解析】x+y+xy=3,Xy=3-(x+y),x+y≥2√(y)=2(3-(x+y》,令t=x+y>0,t≥2√(3-t), t2≥43-t),t2+4t-12≥0，t≥2，最小值为2，当且仅当xy=1时取等号。 6.【答案】C 【解析】1/a+1/b+1/(ab)=(a+b)/ab)+1/(ab)=2/(ab),ab≤1/4,2/(ab)≥8，当且仅当 a=b=1/2时取等号，最小值为8。 7.【答案】A 【解析】1/a+4/b+9/c=(a+b+c(1/a+4/b+9/c)≥(1+2+3)2=36，当且仅当a=1/6,b=1/3,c=1/2 时取等号，最小值为36。 8.【答案】A 【解析】1/x+1/y=(2x+y1/x+1/y)=2+1+y/x+2xy≥3+2√2，当且仅当y=√2x时取等号，最小 值为3+2√厂2。 9.【答案)C 【解析)a+b=2,a+1+b+1=4,1/(a+1)+4/(b+1)=(1/4)a+1+b+1)(1/(a+1)+4/(b+1)=(1/4)(5+ (b+1)/八a+1)+4(a+1)/(b+1)≥(1/4)(5+4)=9/4。按原题选C。 10.【答案】C 【解析】Xy=x+y+3≥2(y)+3,令t=(Xy>0,t2-2t-3≥0，t≥3，Xy≥9，x+y=Xy-3≥6， 当且仅当x=y=3时取等号，最小值为6。 11.【答案】C 【解析)(W厂a+b+c)2=a+b+c+2(wW厂ab+√bc+√厂ca)≤1+(a+b)+(b+c+(c+a)=1+2=3, √a+厂b+厂c≤√厂3，当且仅当a=b=c=1/3时取等号，最大值为，√厂3。 12.【答案】A 【解析)x+y=(x+y)(1/x+2y)=1+2x/y+y/x≥3+2√厂2，当且仅当y=√厂2x时取等号，最小值为 3+2√厂2。 13.【答案)D 【解析】1/a+4/b=(a+b)(1/a+4/b)=1+4a/b+b/a≥5+4=9，当且仅当b=2a即a=1/3,b=2/3时 取等号，最小值为9。 14.【答案)C 【解析)1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为4. 15.【答案】B 【解析】1/x+4y=(1/4)(x+y(1/x+4/y)=(1/4)(5+y/x+4x/y)≥(1/4)5+4)=9/4，当且仅当y=2x即 x=4/3,y=8/3时取等号，最小值为9/4。 16.【答案】C 【解析】ab=1,a+b+1/a+1/b=a+b+(a+b)/八ab)=2(a+b)≥2×2√厂(ab)=4,当且仅当a=b=1时取 等号，最小值为4。 17.【答案】C 【解析】1/(a+b)+1/b+c+1/(c+a)=(1/2[a+b)+(b+c)+(c+a] (1/(a+b)+1/b+c)+1/(c+a)≥(1/2)×9=9/2，当且仅当a=b=c=1/3时取等号，最小值为9/2。 18.【答案)A 【解析】x+2y=Xy,x>0,y>0,2/x+1/y=1,x+y=(x+y)(2/x+1/y)=2+1+xy+2y/x≥3+2√「2，当 且仅当x=√厂2y时取等号，最小值为3+2√「2。 拓展链接高考 1.【答案】C 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为4。 2.【答案】A 【解析】y≤(x+y)/2)2=1,当且仅当x=y=1时取等号，最大值为1。 3.【答案】C 【解析】1/x+1/y=(x+y(1/x+1/y)=2+y/x+xy≥4，当且仅当xy=1/2时取等号，最小值为4。 4.【答案】C 【解析】ab≤(a+b)/2)2=1/4,当且仅当a=b=1/2时取等号，最大值为1/4。 5.【答案】B 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)·(1/2)=(1/2)(2+b/a+a/b)≥(1/2)×4=2，当且仅当a=b=1时 取等号，最小值为2。 6.【答案】c 【解析】y≤(x+y)/2)2=1/4,当且仅当x=y=1/2时取等号，最大值为1/4。 7.【答案】C 【解析)1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为4. 8.【答案】A 【解析】y≤(x+y)/2)2=1,当且仅当xy=1时取等号，最大值为1。 9.【答案】C 【解析】1/x+1/y=(x+y(1/x+1/y)=2+y/x+xy≥4，当且仅当xy=1/2时取等号，最小值为4。 10.【答案】C 【解析】ab≤(a+b)/2)2=1/4,当且仅当a=b=1/2时取等号，最大值为1/4。 11.【答案】B 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)·(1/2)=(1/2)(2+b/a+a/b)≥2，当且仅当a=b=1时取等号， 最小值为2。 12.【答案】C 【解析】Xy≤(x+y)/2)2=1/4,当且仅当x=y=1/2时取等号，最大值为1/4。 13.【答案】C 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)=2+b/a+a/b≥4，当且仅当a=b=1/2时取等号，最小值为4。 14.【答案】A 【解析】1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)·(1/4)=(1/4)(2+b/a+a/b)≥(1/4)×4=1，当且仅当a=b=2时 取等号，最小值为1。 15.【答案】A 【解析】Xy≤(x+y)/2)2=9/4,当且仅当x=y=3/2时取等号，最大值为9/4。 16.【答案)C 【解析)a+b≥2√厂(ab)=4,当且仅当a=b=2时取等号，最小值为4. 17.【答案】B 【解析】2x+y=4≥2√(2xy),√(2xy)≤2，Xy≤2，当且仅当2xy=2即x=1,y=2时取等号，最 大值为2。 18.【答案】B 【解析)a2+b2≥(a+b)2/2=2,当且仅当a=b=1时取等号，最小值为2。 19.【答案】Cc 【解析】×2+y2≥(x+y)2/2=1/2,当且仅当×y=1/2时取等号，最小值为1/2。 20.【答案】C 【解析】√厂ab≤(a+b)/2=1/2,当且仅当a=b=1/2时取等号，最大值为1/2。