练案8 第一章 1.5.1 全称量词与存在量词-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

&方或5P+6-0,即=2或-39+1=0.a≠0， 即x=。由题意知为0,9=，所以有。2或。-3。 1 1 1 解得a=2或a=3综上可知，a=2或了 9.集合A={xlx>-2},B={xlx≤b,beR}, (1)若AUB=R,则b≥-2， 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2 (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2， 所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 10.①当a=0时，解得x=-1,满足条件； ②当α≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 a<0: 若方程有两个负的实根， (70 a 则必须满足 1 .1 <0. 即0<a≤4 a △=1-4a≥0， 1 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤4 .1 反之，若a≤4，则方程至少有一个负的实根。 因此，关于x的方程x2+x+1=0至少有一个负实根的充要 条件是a≤4 1.Cy≠0，x=2,产+4y=2+=4,y≠0，x=2y= y x y 2y 士=4，由y=4,通分整理得：+4y-4=0.2+ Y x xy 4-4y=0(x-2y)2=0,即x=2y,y≠0，产+4=45 Y x x=2y≠0，x=2y台+4y=4,放选C y x 12.AB由不等式1≤1x≤4，解得-4≤x≤-1或1≤x≤4，.不 等式1≤Ix1≤4成立的充分不必要条件为A,B.故选AB. 13.C命题“Hxe{xI1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题，可化为 Hxe{xl1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2）mm=4,即 “Vx∈xl1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的充要条件为a≥ 4,而要找的一个充分不必要条件即为集合{ala≥4}的真子 集，由选择项可知C符合题意 143或4易得方程2-4+m=0的根为x=4牡6-4切 2 2±√4-m,因为x是整数，即2±√4-m为整数，所以√4-m 为整数，且m≤4.又meN,所以m的值可取1,2,3,4，验证 可得m=3或m=4符合题意，反之，当m=3或m=4时，可以 推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根. 15.(1)当a=2时，A={xI1≤x≤7}，则A∩B={xI1≤x≤4}； CA={xlx<1或x>7},CB={xlx<-2或x>4}, (CA)n(C B)=xlx<-2x>7. (2)·x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，.A至B. ①若A=⑦，则a-1>2a+3,解得a<-4; ra-1≤2a+3, ②若A≠⑦，由AB,得{a-1≥-2， 2a+3≤4， 且a-1≥-2与2a+3≤4不同时取等号； 3 解得-1≤a≤2 .1 11 综上：a的取值范围是{aa<-4或-1≤a≤2 16.若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集 合A是集合B的真子集， rm>0, 则有1-m≤-2，且1-m≤-2与1+m≥6不同时取等号；解得m 1+m≥6， ≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5. 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集 合B是集合A的真子集， rm>0, 则有{1-m≥-2，解得0<m≤3， 1+m≤6. 所以，实数m的取值范围是0<m≤3. 若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于 集合B, 则有什网62方程组无都 所以，不存在满足条件的实数m. 练案[8] 1.C任意三角形都存在外接圆. 2.C对于③，梯形的对角线不一定相等.如直角梯形的对角线 显然不相等，故为假命题，其余均为真命题。 3.BA是全称量词命题：B既是存在量词命题又是真命题：C 中因为√3+(-3)=0，所以C是假命题：D中对于任意一个负 都有二<0，所以D是假命题.故 4.D全称量词命题含有量词“V”,故排除A,B,又等式a+b2+ 2ab=(a+b)对于全体实数都成立.故选D. 2 3 时于任意的xER+x+1口x+))+>0恒成立， 以存在xeR,使x2+x+1=0是假命题 6(,}）当a=b=时，存在两个不相等的正数a,6 使得a-6=a6是真命题，故所求有序数对(a,6)为（分，号）】 又如1，)等，答案不唯一 7.①③①油于Hx∈R,都有x2≥0，因而有x2+3≥3>0，即x2+ 3>0,所以命题“HxeR,x2+3>0”是真命题；②由于0∈N,当 x=0时，x3≥1不成立，是假命题：③由于-1∈Z,当x=-1时， x3<1成立，是真命题：④由于使x2=3成立的数只有±√3，而 它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于 3,是假命题， 8.①③④①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积 就相等，但不一定相似：②中，对任意x∈R,x2+x+1=x+ 厂7）+>0，所以不存在实数，使后+o+1<0,故②为假命 题；③中，当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中，如1 的倒数是它本身，为真命题，故填①③④. 9.(1)是存在量词命题，因为当x2+y2=0时，x=y=0,所以不存 在x,y为正实数，使x+y=0,故此命题是假命题 (2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必 是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真 命题. (3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0， 因此该命题是假命题 3 10.由3a+x-2=0,得3a-2=-x, .-3≤x≤2，∴.-2≤-x≤3， 5 .-2≤3a-2≤3，即0≤a≤3， 故实数a的取值范围是a0≤a≤3} 51 11.D因为x+3≥0，所以A={xlx≥-3}.又因为对Va∈M,都 有aA,所以a<-3.故选D. 12.AB易知选项A、B为真命题：C中命题当x<0时，IxI>x,所 以C为假命题：D中，由于a-b=2n-3n=-n,.n∈N时，-n <0,∴.a-b=-n<0,所以对于任意的neN,都有a<b,即a≠ b,故D为假命题. 13.ABD当A={1,2},B={1,2,3}时，满足条件“3x∈B,xE A”,且有AB,A∩B=1,2}≠⑦，则A、B正确；若BA,则 Hx∈B,都有x∈A,与“]x∈B,xEA”矛盾，那么B不可能 是A的真子集，则C错误：当A=1,2},B=3,4}时满足条 件“3x∈B,xA”且有A∩B=☑，则D正确 14a≥1若p是真命题，则-2x7+a≥0，即a≥1.若g为假命 题，即△=1-4(2a-1)<0,则a> 8,故a≥1. 15./n∈N且n≥2,13+2+3+…+n=(1+2+3++n)2根据 已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13+2+33+… +n3=(1+2+3+…+n)2,所以得到如下全称量词命题：Hn N且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 16.(1)当m=0时，y=x-a与x轴恒有公共点，所以aeR (2)当m≠0时，二次函数y=mx+x-m-a的图象和x轴恒有 公共点的充要条件是△=1+4m(m+a)≥0恒成立，即4m2+ 4am+1≥0恒成立. 设y1=4m2+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 象恒在m轴上方（或图象顶点在m轴上）的充要条件是A =(4a)2-16≤0，可得-1≤a≤1. 综上所述，当m=0时，a∈R; 当m≠0时，a∈{al-1≤a≤1}. 练案[9] 1.C原命题是全称量词命题其否定是“3x∈R,Ixl+x<0” 2.B根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.命题p:所 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做 第1题.故选B. 3.C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全 称量词命题，再否定命题结论.故选C. 4.ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数， 是假命题.有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱 形，是假命题.Hx∈R,x2-2x>0的否定：3x∈R,x2-2x≤0. 是真命题.3x∈R,2x+1为奇数的否定：Hx∈R,2x+1都不是 奇数，是假命题 5.ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为 全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误 6.3a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解 7p:3a,b∈ R,方程x+b=2无解或至少有两解. 7{mm≥4} 命题“3xe{≥-4}xm<0是假命题 1 即命题的否定为真命题.其否定为：“x∈{xx之4}x+m ≥0”，解得m≥4 8.存在量词命题假HxeR,x2+2x+5≥0命题p:3x∈R, x2+2x+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒 成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为Hx∈R,x+2x+5 ≥0. 30 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (2)对任意x∈R,x+1≠0，假命题. (3)所有的四边形都有外接圆，假命题 10.(1)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 一对等圆，其面积不相等或周长不相等 (3)该命题是存在量词命题，是真命题因为当x=1时，1x-21= 1<2.该命题的否定：x∈{-2，-1,0,1,2}，lx-21≥2 11.AC因为命题p:“VxeR,x2+1≠0”的否定是“]xeR,x2+ 1=0”.且p为真命题，则p是假命题故选AC 12.B对于p而言，取x=-1,则有1x+11=0<1,故p是假命题， 一p是真命题，对于g而言，取x=1,则有x=13=1=x,故g 是真命题，9是假命题，综上，7p和g都是真命题.故 选B. 13.3a≥0，关于x的方程x+ax+1=0没有实数解 14.{ala>4}HxeR,x2-4x+a≠0若命题p为假命题，则 p:HxeR,x2-4x+a≠0为真命题，则4=(-4)2-4a<0,解 得a>4. 15.命题“3m∈R,使得A∩B≠☑”为假命题，则其否定“Hm∈ R,A∩B=☑”为真命题 当a<0时，集合A={xl0≤x≤a}=☑， 符合A∩B=☑，当a≥0时，因为m+3>0. 所以由Hm∈R,A∩B=☑， 得a<m+3对于Hm∈R恒成立， 当meR时，有m+3≥3，所以a<3,则0≤a<3, 综上，实数a的取值范围为{ala<3}. 16.命题p的否定为：“H1≤x≤2，使得x+2ax+2-a≤0”， 设y=x2+2ax+2-a,1≤x≤2， 由题这，有公计202-8解得a53 因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 练案[10] 1.C 112 3 2AM-N=+1=(x+2)+>0,故MN 3.A易知M>0,N>0,因为M2-N2=(√a+√b)2-(√a+b)2= 2√Jab>0,所以M>N. 4.B考虑实际意义，知v≤120km/h,且d≥50m. 5.ACD对于A,可得a≥300，故A正确；对于B可得500x+ 400y≤20000，化为5x+4y≤200，故B错误；M-N=x2+3-3x= x-。）+>0,可得M>N,故C正确；因为x≠-2且y≠1 所以M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2>0,即M> -5,故D正确. 6.m3>m2-m+1.:m3-(m2-m+1)=m-m2+m-1=m2(m-1)+ (m-1)=(m-1)(m2+1).又.m>1,故(m-1)(m2+1)>0, ..m3>m2-m+1. 7.2≤d≤23最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角 线长2√3.故2≤d≤23. 8.8(x+19)>2200 x-12>9(D12)原来每天行驶xkm,现在 8x 每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就超过 2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天行驶 (x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多 的时间”用不等式表示为8x>9(x>12)。 x-12 64练案[8] 第-章1.5[1.5.1 A组·基础巩固 1.下列存在量词的命题中，是假命题的是 A.3x∈Z,x2-2x-3=0 B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3 整除 C.有的三角形没有外接圆 D.]x∈R,x=x 2.下列四个命题： ①一切实数均有相反数；②3a∈N,使得方程 ax+1=0无实数根：③梯形的对角线相等： ④有些三角形不是等腰三角形 其中，真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题 的是 () A.直角三角形的内角有一个是90° B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数，使二>2 4.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题 是 ( A.Ja,bER,a2+b2+2ab=(a+b)2 B.3a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 C.Ha>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 D.Ya,bER,a2+b2+2ab=(a+b)2 5.下列存在量词命题是假命题的是 A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0 C.有的整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 6.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得 a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b) 为 .(答案不唯一) 2( 全称量词与存在量词] 7.给出下列四个命题：①Hx∈R,x2+3>0; ②Hx∈N,x3≥1；③]x∈Z,x3<1;④]x∈Q, x2=3. 其中是真命题的是 (把所有真命题的 序号都填上). 8.下列存在量词命题是真命题的是 (填序号)》 ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数xo,使x+x+1<0; ③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增 大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身 9.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词 命题，并判断它们的真假， (1)存在两个正实数x,y,使x2+y2=0. (2)有两个角是45°的三角形是等腰直角三 角形. (3)能被5整除的整数末位数是0. 03 10.已知命题“-3≤x≤2,3+x-2=0”为真命 -2x+a≥0，命题 题，求实数a的取值范围. 9:x2+x+2a-1=0有实数根，若p为真命题，g 为假命题，则实数a的取值范围是 C组·拓展提升 15.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命 题或存在量词命题为 1+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2, 16.若Vx∈R,函数y=mx2+x-m-a的图象和x 轴恒有公共点，求实数a的取值范围. B组·综合运用 11.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使命题 “Ha∈M,aA”为真命题的集合M是 ( A.{ala≥-3} B.{ala>-3} C.{ala≤-3} D.ala<-3 12.(多选)给出下列命题，其中真命题有（) A.存在x<0,使|x|>x B.对于一切x∈Z,都有Ixl∈N C.存在x<0,使|x|≤x D.已知a=2n,b=3n,则存在n∈N*,使得 a=b 13.（多选)若集合A,B满足：彐x∈B,xA,则下 列关系可能成立的是 A.A手B B.A∩B≠☑ C.BSA D.A∩B=☑ —204