集合与常用逻辑用语 复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合与常用逻辑用语复习讲义 集合与常用逻辑用语考点目录 考点序号 考点内容 1 集合的概念与表示 2 元素与集合的关系 3 集合与集合的关系 4 空集 5 集合相等 6 集合的运算：交集、并集、补集 7 集合的运算：德摩根律与容斥原理 8 充分条件与必要条件 9 全称量词与存在量词 10 以集合和常用逻辑用语为背景的含参问题 11 集合新定义 考点一 集合的概念与表示 1.集合的含义与表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母、、、…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母，，，…表示． 2.元素的三个特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3.集合的两种表示方法 (1)列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】①元素与元素之间必须用“，”隔开. ②集合中的元素必须是明确的. ③集合中的元素不能重复. ④集合中的元素可以是任何事物． 4.元素的意义 元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 2．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 6．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）方程组解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】由，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C. 考点二 元素与集合的关系 1. 元素与集合关系的判断及应用 (1)属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． (2)常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 1．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 2．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 6．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因，，故的值可能为， 故，集合有4个元素. 故选：C 考点三 集合与集合的关系 1. 子集的概念 (1)子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． (2)真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() (3)集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2. 子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. (2)任何一个集合都是它本身的子集，即. (3)如果，，则. (4)如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 (1)的子集的个数有个． (2)的非空子集的个数有个． (3)的真子集的个数有个． (4)的非空真子集的个数有个． 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】空集是任何非空集合的真子集，所以，A正确； 有理数集的补集为无理数集，所以，B正确； 正整数集不包括元素0，所以，C错误； 表示自然数集，表示整数集，所以，D正确． 故选:C． 2．（24-25高一上·重庆·期中）下列结论描述不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是无理数，则，且，，. 故A错误；BCD正确. 故选：A. 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，，则A与B的关系是（    ） A． B． C． D．无法确认 【答案】A 【详解】集合，， 所以， 故选：A. 4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，由元素与集合的关系和集合与集合的关系， 有，，，，ABC选项错误，D选项正确. 故选：D. 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由可得， ，故不同的的个数为. 故选：C 7．（24-25高一上·内蒙古·期中）集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则集合的子集个数为. 故选：B. 8．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】若中只有一个奇数，则集合可以是， 若中没有奇数，则或，所以符合条件的集合共有6个， 故选：D. 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）满足条件的集合的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得1，，则的其它元素只能从3、4中选最少选1个，最多选2个， 故满足条件的集合的个数为3， 故选：C. 10．（24-25高一上·云南·期中）集合的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意可得，故其非空子集个数为. 故选：A. 考点四 空集 1.空集 (1)定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． (2)，，，的关系 与 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；是实数 中不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 2．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 4．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 5．（24-25高一上·天津和平·期中）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 考点五 集合相等 1.集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2.集合相等的判断 (1)判断元素的类型是否相同； (2)对应关系是否成立. 3.集合相等的含参问题 (1)判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. (2)回代检验互异性. (3)如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. 1．（24-25高一上·广东阳江·期中·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 2．（24-25高一上·湖南长沙·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得，一一对应， 则； 对于B，由，得，一一对应，则； 对于C，由，得，一一对应，则； 对于D，，但方程无解，则与不相同 故选：ABC. 4．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 5．（24-25高一上·湖南·期中）设集合，，若，则 . 【答案】1 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 7．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 8．（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 9．（24-25高一上·安徽合肥·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，，若，则 【答案】 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 考点六 集合的运算：交集、并集、补集 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：___________（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 3．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：___________（读作“交”），即．用Venn图表示如图所示： （1）与相交（有公共元素） （2），则 （3）与相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． （2）定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 4．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 5．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 6．补集的概念 对于一个集合，由全集中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． （2）若，则或，二者必居其一． 7．补集的性质 （1）； （2）； （3）. 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高二下·四川内江·期末）已知，，等于（    ） A． B．M C．N D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以 故选：D 3．（23-24高二下·辽宁朝阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，所以. 故选：A 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知集合，，，则M的子集共有（    ） A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】C 【详解】由集合，，得， 所以集合的子集个数为. 故选：C 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 根据交集运算法则可得. 故选：C 7．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，又 所以， 故选：B 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，且， 所以. 故选：D 9．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为, 所以或， 所以, 故选：A. 10．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，或， 解得或. 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上所述，. 故选：C. 考点七 集合的运算：德摩根律与容斥原理 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 1．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【详解】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 3．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 4．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（   ） A．25 B．30 C．24 D．23 【答案】A 【详解】根据题意，画出Venn图如下：    所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：A. 5．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 6．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 7．（24-25高一上·四川成都·期中）高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（    ） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 【答案】A 【详解】 由图可知，既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（人）， 故选：A． 8．（24-25高一上·河北保定·期中）某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（    ） A．27 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢奥数，2人只喜欢编程，2人只喜欢书法， 同时喜欢奥数和编程但不喜欢书法的有9人， 同时喜欢编程和书法但不喜欢奥数的有2人， 同时喜欢奥数和书法但不喜欢编程的有3人， 三种都喜欢的有3人， 则该班学生人数为. 故选：C. 9．（24-25高一上·海南·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 【答案】B 【详解】设参加田赛的学生组成集合，则， 设参加径赛的学生组成集合，则， 由题意，知， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选：B． 10．（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 【答案】B 【详解】因为同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人， 所以同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有人， 同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有人， 同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有人， 因为有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣， 所以有人只对骑自行车感兴趣， 有人只对打羽毛球感兴趣， 有人只对打篮球感兴趣， 则该栋楼房的居民人数为. 故选：B. 考点八 充分条件与必要条件 1.充分必要条件 （1）若是的充分条件，则_______. （2）若是的必要条件，则_______. （3）若的充分条件是，则_______. （4）若的必要条件是，则_______. 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得， 显然， 所以“”是“必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高一上·广东广州·期中）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 3．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】甲：，乙：,根据不等式性质，知道甲可以推出乙，但是乙推不出甲. 故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，,所以是的不充分条件； 当时，,所以是的不必要条件. 故选：D. 5．（23-24高一下·河北·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，而， 当，则； 当时，若，则不成立， 故“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A． 6．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 7．（23-24高二下·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”， 所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件. 故选：B 8．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：即，因为，所以不一定成立，故A错误； 对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误； 对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误； 对于D：即，则成立，故D正确. 故选：D. 9．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 10．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 考点九 全称量词与存在量词 1. 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． (2)全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 2. 存在量词与存在量词命题 (1)全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． (2)存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 ，它的否定：________________. (2)特称命题，它的否定：________________. 2.常见词语的否定 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 或 否定 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 某个 某些 至少有个 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 2．（23-24高一上·天津·期末）命题“所有六边形得内角和都是”的否定为（    ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 【答案】B 【详解】“所有六边形得内角和都是”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是”. 故选：B 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“，”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“，”的否定为. 故选：C 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：B. 5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知命题，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据含有量词命题的否定形式可知，命题的否定为， 故选：B. 6．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】运用特称量词的否定，只否定结论，特称全称互换.则命题“”的否定是“”. 故选：D. 考点十 以集合和常用逻辑用语为背景的含参问题 1．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合， 若，则是的充分条件或是的必要条件； 若，则是的必要条件或是的充分条件； 若，则是的充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条件． 2.重难点解读（已知数集、） (1)若,则__________________. (2)若,则__________________. (3)若“”是“”的充分条件，则__________________. (4)若“”是“”的必要条件，则__________________. (5)若“”是“”的充分不必要条件，则__________________. (6)若“”是“”的必要不充分条件，则__________________. (7)若，当集合含参数时，需讨论___________或___________； 当集合含参数时，需保证___________； (8)若，则先讨论___________，再将端点值代入检验两集合是否__________. (9)若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点________取等，其余情况均可取等. 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为非空集合， 由，得，则， 又，当时，， 所以. （2）因为，，所以， 故实数a的取值范围为． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，且或， 所以. （2）由，则，可得. 3．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）， 当时，， 所以， ． （2）因为“”是“”的必要条件， 所以， 故， 解得， 即实数a的取值范围是． 4．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 5．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解可得， 故可知， 当时，， 所以，； （2）因为是的充分不必要条件， 所以⫋，则， 解得. 6．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 所以集合的真子集有； （2）选①，因为“”是“”的充分条件， 所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 选②，因为，所以， 当时，，符合题意， 当时，， 因为，所以或，所以或， 综上所述，实数的取值集合为. 8．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是的充分条件， 所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，. 考点十一 集合新定义 1．（24-25高一上·四川泸州·期中·多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习·多选）对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【详解】解：对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B正确； 对于C，若，则， 故，故选项C错误； 对于D，， 又，则，故选项D正确． 故选：BD． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期中·多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】A选项，，，所以， 所以A选项正确. B选项，，，， 则，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项错误. D选项，若， 则 ， 所以D选项正确. 故选：ABD 4．（24-25高一上·山西·期中·多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高一上·浙江·期中·多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 【答案】AD 【详解】对于A，记，由，设，， 则，，可知，， 则集合是封闭集，故A正确； 对于B，取集合{有理数}， 若，则都有，成立，故集合是封闭集． {无理数}，取，可知，， 故不是封闭集，故B错误； 对于C，取，是封闭集． 取，由，设，， 则，， 则，，可知是封闭集，且， 取，则，但， 因此不是封闭集，故C错误； 对于D，设，则，， 若集合，为封闭集，且， 则，；，； 从而，，则也是封闭集，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高一上·山东日照·期中）对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3)1350 【详解】（1）因为集合， 所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得， ，，，可得. （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复， 而，故即， （3）设满足题意，设， 则， ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 7．（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)；. (2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，. （2）（ⅰ）设，则， 因为，所以，所以， 即，因此， 因为，所以，所以， 由此可知中至少有和两个元素，所以， 故或. （ⅱ）设，因为，所以， 又因为，所以，即， 若，则，故可以是； 若，则，故可以是，； 若，则，故可以是，； 若，则， 像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集； 若，则， 同样不符合是有限集； 同理可得，当或时，也不符合是有限集； 综上，可以是，，，，， 均满足. 8．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）设为非空数集，定义，. (1)若，求，； (2)已知，，若，求证：； (3)若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350， 【详解】（1）由， ，故 ， 故. （2）由于集合且， 所以中也只包含三个元素，即 剩下的，所以. （3）设满足题意，其中， ， 所以，，所以， 因为，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，则，所以， 当时满足题意，证明如下： 设且，则， ， 依题意有，故的最小值为675， 于是当时A中元素最多，即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 10．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 【答案】(1)是完美自相加集合，不是完美自相加集合； (2)2051 (3)675 【详解】（1）是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下： 集合,由此可知集合自相加后， 新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合； 所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数， 故后面集合不管进行多少次相加都是与相同； 故不是完美自相加集合； （2）由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行一次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使 则，又因为 故的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$集合与常用逻辑用语复习讲义 集合与常用逻辑用语考点目录 考点序号 考点内容 1 集合的概念与表示 2 元素与集合的关系 3 集合与集合的关系 4 空集 5 集合相等 6 集合的运算：交集、并集、补集 7 集合的运算：德摩根律与容斥原理 8 充分条件与必要条件 9 全称量词与存在量词 10 以集合和常用逻辑用语为背景的含参问题 11 集合新定义 考点一 集合的概念与表示 1.集合的含义与表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母、、、…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母，，，…表示． 2.元素的三个特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3.集合的两种表示方法 (1)列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】①元素与元素之间必须用“，”隔开. ②集合中的元素必须是明确的. ③集合中的元素不能重复. ④集合中的元素可以是任何事物． 4.元素的意义 元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。 1．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 2．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 3．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 4．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·天津·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）方程组解集是（    ） A． B． C． D．或 考点二 元素与集合的关系 1. 元素与集合关系的判断及应用 (1)属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． (2)常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 1．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点三 集合与集合的关系 1. 子集的概念 (1)子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． (2)真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() (3)集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2. 子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. (2)任何一个集合都是它本身的子集，即. (3)如果，，则. (4)如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 (1)的子集的个数有个． (2)的非空子集的个数有个． (3)的真子集的个数有个． (4)的非空真子集的个数有个． 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）下列结论描述不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，，则A与B的关系是（    ） A． B． C． D．无法确认 4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西北海·期中）已知集合满足，则不同的的个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（24-25高一上·内蒙古·期中）集合的子集个数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（24-25高二上·云南昭通·期中）满足条件的集合的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25高一上·云南·期中）集合的非空子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四 空集 1.空集 (1)定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． (2)，，，的关系 与 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；是实数 中不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高一上·天津和平·期中）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点五 集合相等 1.集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2.集合相等的判断 (1)判断元素的类型是否相同； (2)对应关系是否成立. 3.集合相等的含参问题 (1)判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. (2)回代检验互异性. (3)如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. 1．（24-25高一上·广东阳江·期中·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·湖南长沙·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习·多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一上·湖南·期中）设集合，，若，则 . 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 7．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 8．（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 9．（24-25高一上·安徽合肥·期中）若，则 ． 10．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）已知，，，，若，则 考点六 集合的运算：交集、并集、补集 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：___________（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 3．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：___________（读作“交”），即．用Venn图表示如图所示： （1）与相交（有公共元素） （2），则 （3）与相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． （2）定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 4．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 5．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 6．补集的概念 对于一个集合，由全集中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． （2）若，则或，二者必居其一． 7．补集的性质 （1）； （2）； （3）. 1．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川内江·期末）已知，，等于（    ） A． B．M C．N D． 3．（23-24高二下·辽宁朝阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知集合，，，则M的子集共有（    ） A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 6．（23-24高一下·贵州黔西·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．2 考点七 集合的运算：德摩根律与容斥原理 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 1．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 2．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 3．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 4．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（   ） A．25 B．30 C．24 D．23 5．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 6．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 7．（24-25高一上·四川成都·期中）高一某班共有45名学生，该班参加数学强基班的学生有25人，参加物理强基班的学生有18人，既参加数学强基班又参加物理强基班的学生有8人，则既没有参加数学强基班又没有参加物理强基班的学生有（    ） A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 8．（24-25高一上·河北保定·期中）某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为（    ） A．27 B．23 C．26 D．29 9．（24-25高一上·海南·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（    ） A．29人 B．23人 C．36人 D．25人 10．（24-25高一上·广西·期中）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动.为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为（   ） A．91 B．93 C．95 D．97 考点八 充分条件与必要条件 1.充分必要条件 （1）若是的充分条件，则_______. （2）若是的必要条件，则_______. （3）若的充分条件是，则_______. （4）若的必要条件是，则_______. 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东广州·期中）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一下·河北·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（23-24高二下·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，则“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 考点九 全称量词与存在量词 1. 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． (2)全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 2. 存在量词与存在量词命题 (1)全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． (2)存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 ，它的否定：________________. (2)特称命题，它的否定：________________. 2.常见词语的否定 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 或 否定 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 某个 某些 至少有个 1．（23-24高二下·宁夏银川·期末）设命题，则的否定为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·天津·期末）命题“所有六边形得内角和都是”的否定为（    ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）命题“，”的否定为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知命题，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 考点十 以集合和常用逻辑用语为背景的含参问题 1．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合， 若，则是的充分条件或是的必要条件； 若，则是的必要条件或是的充分条件； 若，则是的充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条件． 2.重难点解读（已知数集、） (1)若,则__________________. (2)若,则__________________. (3)若“”是“”的充分条件，则__________________. (4)若“”是“”的必要条件，则__________________. (5)若“”是“”的充分不必要条件，则__________________. (6)若“”是“”的必要不充分条件，则__________________. (7)若，当集合含参数时，需讨论___________或___________； 当集合含参数时，需保证___________； (8)若，则先讨论___________，再将端点值代入检验两集合是否__________. (9)若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点________取等，其余情况均可取等. 1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：． (1)当时，求与； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 4．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 5．（23-24高一上·山东济南·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知集合，. (1)求的真子集； (2)若______，求实数的取值集合. 从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答. ①“”是“”的充分条件；②. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 8．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知集合， (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点十一 集合新定义 1．（24-25高一上·四川泸州·期中·多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习·多选）对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 3．（24-25高一上·江苏镇江·期中·多选）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 4．（24-25高一上·山西·期中·多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 5．（24-25高一上·浙江·期中·多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（    ） A．集合是封闭集 B．若集合是封闭集，则也是封闭集 C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集 6．（24-25高一上·山东日照·期中）对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 7．（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，． (1)若集合，求和． (2)已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 8．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）设为非空数集，定义，. (1)若，求，； (2)已知，，若，求证：； (3)若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 10．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. (1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由； (2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数； (3)若且，集合，，求：的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$